doc/info/pt/lsquares.texi

   1 /lsquares.texi/1.1/Mon Feb 27 22:09:17 2006//
   2 @c /lsquares.texi/1.1/Mon Feb 27 22:09:17 2006//
   3 @menu
   4 * Definições para lsquares::
   5 @end menu
   6
   7 @node Definições para lsquares,  , lsquares, lsquares
   8 @section Definições para lsquares
   9
  10
  11 @defvr {Variável global} DETCOEF
  12
  13 Essa variável é usada pelas funções
  14 @code{lsquares} e @code{plsquares} para armazenar o Coeficiente de
  15 Determinação que mede o melhor ajuste. Esse intervalo
  16 vai de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação
  17 exacta).
  18
  19 Quando @code{plsquares} for chamada com uma lista de variáveis independentes, @var{DETCOEF} é escolhida para uma lista de Coeficientes de Determinação. Veja @code{plsquares} para detalhes.
  20
  21 Veja também @code{lsquares}.
  22 @end defvr
  23
  24
  25 @deffn {Função} lsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{equação},@var{ParamList})
  26 @deffnx {Função} lsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{equação},@var{ParamList},@var{EsperadosList})
  27 Ajuste múltiplo de equações não lineares de uma tabela de dados pelo
  28 método dos "mínimos quadrados". @var{Mat} é uma matriz contendo os dados,
  29 @var{VarList} é uma lista de nomes de variáveis (um para cada coluna de @var{Mat}),
  30 @var{equação} é a equação a ser ajustada (essa equação deve estar na forma:
  31 @code{depvar=f(indepvari,..., paramj,...)}, @code{g(depvar)=f(indepvari,..., paramj,...)}
  32 ou na forma @code{g(depvar, paramk,...)=f(indepvari,..., paramj,...)}), @var{ParamList} é a
  33 lista de parâmetros para obter, e @var{EsperadosList} é uma lista opcional de aproximações
  34 iniciais para os parâmetros; quando esse último argumento estiver presente, @code{mnewton} é usado
  35 em lugar de @code{solve} com o objectivo de pegar os parâmetros.
  36
  37 A equação pode ser completamente não linear com relação às variáveis
  38 independentes e à variável dependente.
  39 Com o objectivo de usar @code{solve()}, as equações devem ser lineares ou polinomiais com
  40 relação aos parâmetros. Equações como @code{y=a*b^x+c} podem ser ajustadas para
  41 @code{[a,b,c]} com @code{solve} se os valores de @code{x} forem inteiros positivos pequenos e
  42 existirem poucos dados (veja o exemplo em lsquares.dem).
  43 @code{mnewton} permite ajustar uma equação não linear com relação aos
  44 parâmetros, mas um bom conjunto de aproximações iniciais deve ser fornecido.
  45
  46 Se possível, a equação ajustada é retornada. Se existir mais
  47 de uma solução, uma lista de equações é retornada.
  48 O Coeficiente de Determinação é mostrado para informar sobre
  49 o melhor ajuste, de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exacta).
  50 Esse valor é também armazenado na variável global @var{DETCOEF}.
  51
  52 Exemplos usando @code{solve}:
  53 @example
  54 (%i1) load("lsquares")$
  55
  56 (%i2) lsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
  57                [x,y,z], z=a*x*y+b*x+c*y+d, [a,b,c,d]);
  58       Determination Coefficient = 1.0
  59                     x y + 23 y - 29 x - 19
  60 (%o2)           z = ----------------------
  61                               6
  62 (%i3) lsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
  63                [n,p], p=a4*n^4+a3*n^3+a2*n^2+a1*n+a0,
  64          [a0,a1,a2,a3,a4]);
  65       Determination Coefficient = 1.0
  66                      4       3      2
  67                   3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
  68 (%o3)         p = -------------------------
  69                               6
  70 (%i4) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25]),
  71                [x,y], (y+c)^2=a*x+b, [a,b,c]);
  72       Determination Coefficient = 1.0
  73 (%o4) [y = 28 - sqrt(657 - 216 x),
  74                                 y = sqrt(657 - 216 x) + 28]
  75 (%i5) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25],[4,49]),
  76                [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c]);
  77       Determination Coefficient = 1.0
  78                               x
  79 (%o5)                  y = 3 2  + 1
  80 @end example
  81
  82
  83 Exemplos usando @code{mnewton}:
  84 @example
  85 (%i6) load("lsquares")$
  86
  87 (%i7) lsquares(matrix([1.1,7.1],[2.1,13.1],[3.1,25.1],[4.1,49.1]),
  88                [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c], [5,5,5]);
  89                                              x
  90 (%o7) y = 2.799098974610482 1.999999999999991
  91                                         + 1.099999999999874
  92 (%i8) lsquares(matrix([1.1,4.1],[4.1,7.1],[9.1,10.1],[16.1,13.1]),
  93                [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], [4,1,2]);
  94                              .4878659755898127
  95 (%o8) y = 3.177315891123101 x
  96                                         + .7723843491402264
  97 (%i9) lsquares(matrix([0,2,4],[3,3,5],[8,6,6]),
  98               [m,n,y], y=(A*m+B*n)^(1/3)+C, [A,B,C], [3,3,3]);
  99                                                      1/3
 100 (%o9) y = (3.999999999999862 n + 4.999999999999359 m)
 101                                          + 2.00000000000012
 102 @end example
 103
 104 Para usar essa função escreva primeiro @code{load("lsquares")}. Veja também @code{DETCOEF} e @code{mnewton}.
 105 @end deffn
 106
 107
 108 @deffn {Função} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars})
 109 @deffnx {Função} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon})
 110 @deffnx {Função} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon},@var{maxdegree})
 111 Ajuste de polinómios de várias variáveis de uma tabela de dados pelo método dos
 112 "mínimos quadrados". @var{Mat} é uma matriz contendo os dados, @var{VarList} é uma lista de nomes de variáveis (um nome para cada coluna de Mat, mas use "-" em lugar de nomes de variáveis para colunas de Mat), @var{depvars} é o
 113 nome de uma variável dependente ou uma
 114 lista com um ou mais nomes de variáveis dependentes (cujos nomes podem estar em @var{VarList}), @var{maxexpon} é o expoente máximo opcional para cada variável independente (1 por padrão), e @var{maxdegree} é o argumento opcional
 115 grau máximo do polinómio (@var{maxexpon} por padrão); note que a soma dos expoentes de cada termo deve ser menor ou igual a @var{maxdegree}, e se @code{maxdgree = 0} então nenhum limite é aplicado.
 116
 117 Se @var{depvars} é o nome de uma variável dependente (fora de uma lista), @code{plsquares} retorna o polinómio ajustado. Se @var{depvars} for uma lista de uma ou mais variáveis dependentes, @code{plsquares} retorna uma lista com
 118 o(s) polinómio(s) ajustado(s). Os Coeficientes de Determinação são mostrados com o objectivo de informar sobre o melhor do ajuste, cujo intervalo vai de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exacta). Esses valores são também armazenados na variável
 119 global @var{DETCOEF} (uma lista se @var{depvars} for tamb@'numa lista).
 120
 121
 122 Um simples exemplo de ajuste linear de várias variáveis:
 123 @example
 124 (%i1) load("plsquares")$
 125
 126 (%i2) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
 127                 [x,y,z],z);
 128      Determination Coefficient for z = .9897039897039897
 129                        11 y - 9 x - 14
 130 (%o2)              z = ---------------
 131                               3
 132 @end example
 133
 134 O mesmo exemplo sem restrições de grau:
 135 @example
 136 (%i3) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
 137                 [x,y,z],z,1,0);
 138      Determination Coefficient for z = 1.0
 139                     x y + 23 y - 29 x - 19
 140 (%o3)           z = ----------------------
 141                               6
 142 @end example
 143
 144 Quantas diagonais possui um polígono de N lados? Que
 145 grau polinomial deverá ser usado?
 146 @example
 147 (%i4) plsquares(matrix([3,0],[4,2],[5,5],[6,9],[7,14],[8,20]),
 148                 [N,diagonais],diagonais,5);
 149      Determination Coefficient for diagonais = 1.0
 150                                 2
 151                                N  - 3 N
 152 (%o4)              diagonais = --------
 153                                   2
 154 (%i5) ev(%, N=9);   /* Testando para um polígono de 9 lados - o eneágono */
 155 (%o5)                 diagonals = 27
 156 @end example
 157
 158 De quantas formas dispomos para colocar  duas raínhas sem que elas estejam ameaçadas num tabuleiro de xadrez n x n ?
 159 @example
 160 (%i6) plsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
 161                 [n,posicoes],[posicoes],4);
 162      Determination Coefficient for [posicoes] = [1.0]
 163                          4       3      2
 164                       3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
 165 (%o6)    [posicoes  = -------------------------]
 166                                   6
 167 (%i7) ev(%[1], n=8); /* Testando para um tabuleiro de (8 x 8) */
 168 (%o7)                posicoes = 1288
 169 @end example
 170
 171 Um exemplo com seis variáveis dependentes:
 172 @example
 173 (%i8) mtrx:matrix([0,0,0,0,0,1,1,1],[0,1,0,1,1,1,0,0],
 174                   [1,0,0,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,1])$
 175 (%i8) plsquares(mtrx,[a,b,_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],
 176                      [_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],1,0);
 177       Determination Coefficient for
 178 [_And, _Or, _Xor, _Nand, _Nor, _Nxor] =
 179 [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
 180 (%o2) [_And = a b, _Or = - a b + b + a,
 181 _Xor = - 2 a b + b + a, _Nand = 1 - a b,
 182 _Nor = a b - b - a + 1, _Nxor = 2 a b - b - a + 1]
 183 @end example
 184
 185 Para usar essa função escreva primeiramente @code{load("lsquares")}.
 186 @end deffn
 187
 188