doc/info/pt_BR/Elliptic.texi

   1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
   2 @c /Elliptic.texi/1.9/Sat Jun  2 00:12:39 2007//
   3 @menu
   4 * Introdução a Funções Elípticas e Integrais::
   5 * Funções e Variáveis Definidas para Funções Elípticas::
   6 * Funções e Variáveis Definidas para Integrais Elípticas::
   7 @end menu
   8
   9
  10
  11 @node Introdução a Funções Elípticas e Integrais, Funções e Variáveis Definidas para Funções Elípticas, , Top
  12 @comment  node-name,  next,  previous,  up
  13
  14 @section Introdução a Funções Elípticas e Integrais
  15
  16 Maxima inclui suporte a funções elípticas Jacobianas e a
  17 integrais elípticas completas e incompletas.  Isso inclui manipulação
  18 simbólica dessas funções e avaliação numérica também.
  19 Definições dessas funções e muitas de suas propriedades podem ser
  20 encontradas em Abramowitz e Stegun, Capítulos 16--17.  Tanto quanto possível,
  21 usamos as definições e relações dadas aí.
  22
  23 Em particular, todas as funções elípticas e integrais elípticas usam o parâmetro
  24 @math{m} em lugar de módulo @math{k} ou o ângulo modular
  25 @math{\alpha}.  Isso é uma área onde discordamos de Abramowitz e
  26 Stegun que usam o ângulo modular para as funções elípticas.  As
  27 seguintes relações são verdadeiras:
  28 @ifinfo
  29 @math{m = k^2} e @math{k = \sin(\alpha)}
  30 @end ifinfo
  31 @tex
  32 $$m = k^2$$ and $$k = \sin\alpha $$
  33 @end tex
  34
  35 As funções elípticas e integrais elípticas estão primariamente tencionando suportar
  36 computação simbólica.  Portanto, a maiora das derivadas de funções
  37 e integrais são conhecidas.  Todavia, se valores em ponto flutuante forem dados,
  38 um resultado em ponto flutuante é retornado.
  39
  40 Suporte para a maioria de outras propriedades das funções elípticas e
  41 integrais elípticas além das derivadas não foram ainda escritas.
  42
  43 Alguns exemplos de funções elípticas:
  44 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
  45 @c jacobi_sn (u, m);
  46 @c jacobi_sn (u, 1);
  47 @c jacobi_sn (u, 0);
  48 @c diff (jacobi_sn (u, m), u);
  49 @c diff (jacobi_sn (u, m), m);
  50
  51 @example
  52 (%i1) jacobi_sn (u, m);
  53 (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
  54 (%i2) jacobi_sn (u, 1);
  55 (%o2)                        tanh(u)
  56 (%i3) jacobi_sn (u, 0);
  57 (%o3)                        sin(u)
  58 (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
  59 (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
  60 (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
  61 (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
  62
  63       elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
  64  (u - ------------------------------------)/(2 m)
  65                      1 - m
  66
  67             2
  68    jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
  69  + --------------------------------
  70               2 (1 - m)
  71 @end example
  72
  73 Alguns exemplos de integrais elípticas:
  74 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
  75 @c elliptic_f (phi, m);
  76 @c elliptic_f (phi, 0);
  77 @c elliptic_f (phi, 1);
  78 @c elliptic_e (phi, 1);
  79 @c elliptic_e (phi, 0);
  80 @c elliptic_kc (1/2);
  81 @c makegamma (%);
  82 @c diff (elliptic_f (phi, m), phi);
  83 @c diff (elliptic_f (phi, m), m);
  84
  85 @example
  86 (%i1) elliptic_f (phi, m);
  87 (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
  88 (%i2) elliptic_f (phi, 0);
  89 (%o2)                          phi
  90 (%i3) elliptic_f (phi, 1);
  91                                phi   %pi
  92 (%o3)                  log(tan(--- + ---))
  93                                 2     4
  94 (%i4) elliptic_e (phi, 1);
  95 (%o4)                       sin(phi)
  96 (%i5) elliptic_e (phi, 0);
  97 (%o5)                          phi
  98 (%i6) elliptic_kc (1/2);
  99                                      1
 100 (%o6)                    elliptic_kc(-)
 101                                      2
 102 (%i7) makegamma (%);
 103                                  2 1
 104                             gamma (-)
 105                                    4
 106 (%o7)                      -----------
 107                            4 sqrt(%pi)
 108 (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
 109                                 1
 110 (%o8)                 ---------------------
 111                                     2
 112                       sqrt(1 - m sin (phi))
 113 (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
 114        elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
 115 (%o9) (-----------------------------------------------
 116                               m
 117
 118                                  cos(phi) sin(phi)
 119                              - ---------------------)/(2 (1 - m))
 120                                              2
 121                                sqrt(1 - m sin (phi))
 122 @end example
 123
 124 Suporte a funções elípticas e integrais elípticas foi escrito por Raymond
 125 Toy.  Foi colocado sob os termos da Licençã Pública Geral (GPL)
 126 que governa a distribuição do Maxima.
 127
 128 @node Funções e Variáveis Definidas para Funções Elípticas, Funções e Variáveis Definidas para Integrais Elípticas, Introdução a Funções Elípticas e Integrais, Top
 129 @comment  node-name,  next,  previous,  up
 130
 131 @section Funções e Variáveis Definidas para Funções Elípticas
 132
 133 @deffn {Função} jacobi_sn (@var{u}, @var{m})
 134 A Função elíptica Jacobiana @math{sn(u,m)}.
 135 @end deffn
 136
 137 @deffn {Função} jacobi_cn (@var{u}, @var{m})
 138 A função elíptica Jacobiana @math{cn(u,m)}.
 139 @end deffn
 140
 141 @deffn {Função} jacobi_dn (@var{u}, @var{m})
 142 A função elíptica Jacobiana @math{dn(u,m)}.
 143 @end deffn
 144
 145 @deffn {Função} jacobi_ns (@var{u}, @var{m})
 146 A função elíptica Jacobiana @math{ns(u,m) = 1/sn(u,m)}.
 147 @end deffn
 148
 149 @deffn {Função} jacobi_sc (@var{u}, @var{m})
 150 A função elíptica Jacobiana @math{sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m)}.
 151 @end deffn
 152
 153 @deffn {Função} jacobi_sd (@var{u}, @var{m})
 154 A função elíptica Jacobiana @math{sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m)}.
 155 @end deffn
 156
 157 @deffn {Função} jacobi_nc (@var{u}, @var{m})
 158 A função elíptica Jacobiana @math{nc(u,m) = 1/cn(u,m)}.
 159 @end deffn
 160
 161 @deffn {Função} jacobi_cs (@var{u}, @var{m})
 162 A função elíptica Jacobiana @math{cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m)}.
 163 @end deffn
 164
 165 @deffn {Função} jacobi_cd (@var{u}, @var{m})
 166 A função elíptica Jacobiana @math{cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m)}.
 167 @end deffn
 168
 169 @deffn {Função} jacobi_nd (@var{u}, @var{m})
 170 A função elíptica Jacobiana @math{nc(u,m) = 1/cn(u,m)}.
 171 @end deffn
 172
 173 @deffn {Função} jacobi_ds (@var{u}, @var{m})
 174 A função elíptica Jacobiana @math{ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m)}.
 175 @end deffn
 176
 177 @deffn {Função} jacobi_dc (@var{u}, @var{m})
 178 A função elíptica Jacobiana @math{dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m)}.
 179 @end deffn
 180
 181 @deffn {Função} inverse_jacobi_sn (@var{u}, @var{m})
 182 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{sn(u,m)}.
 183 @end deffn
 184
 185 @deffn {Função} inverse_jacobi_cn (@var{u}, @var{m})
 186 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{cn(u,m)}.
 187 @end deffn
 188
 189 @deffn {Função} inverse_jacobi_dn (@var{u}, @var{m})
 190 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{dn(u,m)}.
 191 @end deffn
 192
 193 @deffn {Função} inverse_jacobi_ns (@var{u}, @var{m})
 194 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{ns(u,m)}.
 195 @end deffn
 196
 197 @deffn {Função} inverse_jacobi_sc (@var{u}, @var{m})
 198 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{sc(u,m)}.
 199 @end deffn
 200
 201 @deffn {Função} inverse_jacobi_sd (@var{u}, @var{m})
 202 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{sd(u,m)}.
 203 @end deffn
 204
 205 @deffn {Função} inverse_jacobi_nc (@var{u}, @var{m})
 206 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{nc(u,m)}.
 207 @end deffn
 208
 209 @deffn {Função} inverse_jacobi_cs (@var{u}, @var{m})
 210 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{cs(u,m)}.
 211 @end deffn
 212
 213 @deffn {Função} inverse_jacobi_cd (@var{u}, @var{m})
 214 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{cd(u,m)}.
 215 @end deffn
 216
 217 @deffn {Função} inverse_jacobi_nd (@var{u}, @var{m})
 218 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{nc(u,m)}.
 219 @end deffn
 220
 221 @deffn {Função} inverse_jacobi_ds (@var{u}, @var{m})
 222 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{ds(u,m)}.
 223 @end deffn
 224
 225 @deffn {Função} inverse_jacobi_dc (@var{u}, @var{m})
 226 A inversa da função elíptica Jacobiana @math{dc(u,m)}.
 227 @end deffn
 228
 229
 230 @node Funções e Variáveis Definidas para Integrais Elípticas, , Funções e Variáveis Definidas para Funções Elípticas, Top
 231 @comment  node-name,  next,  previous,  up
 232
 233 @section Funções e Variáveis Definidas para Integrais Elípticas
 234
 235 @anchor{elliptic_f}
 236 @deffn {Função} elliptic_f (@var{phi}, @var{m})
 237 A integral elíptica incompleta de primeiro tipo, definida como
 238
 239 @ifhtml
 240 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 241 @end ifhtml
 242 @ifinfo
 243 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 244 @end ifinfo
 245
 246 @tex
 247 $$\int_0^\phi {{d\theta}\over{\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 248 @end tex
 249
 250 Veja também @ref{elliptic_e} e @ref{elliptic_kc}.
 251
 252 @end deffn
 253
 254 @anchor{elliptic_e}
 255 @deffn {Função} elliptic_e (@var{phi}, @var{m})
 256 A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como
 257
 258 @ifhtml
 259 @math{elliptic_e(u, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 260 @end ifhtml
 261 @ifinfo
 262 @math{elliptic_e(u, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 263 @end ifinfo
 264 @tex
 265 $$\int_0^\phi \sqrt{1 - m\sin^2\theta} d\theta$$
 266 @end tex
 267 Veja também @ref{elliptic_e} e @ref{elliptic_ec}.
 268
 269 @end deffn
 270
 271 @anchor{elliptic_eu}
 272 @deffn {Função} elliptic_eu (@var{u}, @var{m})
 273 A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como
 274 @ifhtml
 275 @math{integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)}
 276
 277 onde @math{tau = sn(u,m)}
 278 @end ifhtml
 279 @ifinfo
 280 @math{integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)}
 281
 282 onde @math{tau = sn(u,m)}
 283 @end ifinfo
 284 @tex
 285 $$\int_0^u {\rm dn}(v, m) dv  = \int_0^\tau \sqrt{{1-m t^2}\over{1-t^2}} dt$$
 286
 287 onde $\tau = {\rm sn}(u, m)$
 288 @end tex
 289
 290
 291 Isso é relacionado a @math{elliptic_e} através de
 292 @ifinfo
 293 @math{elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)}
 294 @end ifinfo
 295 @tex
 296 $$E(u,m) = E(\phi, m)$$
 297
 298 onde $\phi = \sin^{-1} {\rm sn}(u, m)$
 299 @end tex
 300 Veja também @ref{elliptic_e}.
 301 @end deffn
 302
 303 @deffn {Função} elliptic_pi (@var{n}, @var{phi}, @var{m})
 304 A integral elíptica incompleta de terceiro tipo, definida como
 305
 306 @ifhtml
 307 @math{integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 308 @end ifhtml
 309 @ifinfo
 310 @math{integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 311 @end ifinfo
 312 @tex
 313 $$\int_0^\phi {{d\theta}\over{(1-n\sin^2 \theta)\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 314 @end tex
 315
 316 Somente a derivada em relação a @math{phi} é conhecida pelo Maxima.
 317 @end deffn
 318
 319 @anchor{elliptic_kc}
 320 @deffn {Função} elliptic_kc (@var{m})
 321 A integral elíptica completa de primeiro tipo, definida como
 322
 323 @ifhtml
 324 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 325 @end ifhtml
 326 @ifinfo
 327 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 328 @end ifinfo
 329
 330 @tex
 331 $$\int_0^{{\pi}\over{2}} {{d\theta}\over{\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 332 @end tex
 333 Para certos valores de @math{m}, o valor da integral é conhecido em
 334 termos de funções @math{Gamma}.  Use @code{makegamma} para avaliar esse valor.
 335 @end deffn
 336
 337 @anchor{elliptic_ec}
 338 @deffn {Função} elliptic_ec (@var{m})
 339 A integral elíptica completa de sgundo tipo, definida como
 340
 341 @ifhtml
 342 @math{integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 343 @end ifhtml
 344 @ifinfo
 345 @math{integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 346 @end ifinfo
 347
 348 @tex
 349 $$\int_0^{{\pi}\over{2}} \sqrt{1 - m\sin^2\theta} d\theta$$
 350 @end tex
 351 Para certos valores de @math{m}, o valor da integral é conhecido em
 352 termos de funçõesv@math{Gamma}.  Use @code{makegamma} para avaliar esse valor.
 353 @end deffn
 354
 355