doc/info/pt_BR/Series.texi

   1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
   2 @c /Series.texi/1.17/Sat Jun  2 00:13:07 2007/-ko/
   3 @menu
   4 * Introdução a Séries::
   5 * Funções e Variáveis Definidas para Séries::
   6 @end menu
   7
   8 @node Introdução a Séries, Funções e Variáveis Definidas para Séries, Séries, Séries
   9 @section Introdução a Séries
  10 Maxima contém funções @code{taylor} e @code{powerseries} (séries de potência) para encontrar as
  11 séries de funções diferenciáveis.   Maxima também tem ferramentas  tais como @code{nusum}
  12 capazes de encontrar a forma fechada de algumas séries.   Operações tais como adição e multiplicação travalham da forma usual sobre séries.  Essa seção apresenta as variáveis globais que controlam a
  13 expansão.
  14 @c end concepts Series
  15 @node Funções e Variáveis Definidas para Séries,  , Introdução a Séries, Séries
  16 @section Funções e Variáveis Definidas para Séries
  17
  18 @defvr {Variável de opção} cauchysum
  19 Valor padrão: @code{false}
  20
  21 @c REPHRASE
  22 Quando multiplicando adições jutas com @code{inf} como seus limites superiores,
  23 se @code{sumexpand} for @code{true} e @code{cauchysum} for @code{true}
  24 então o produto de Cauchy será usado em lugar do produto
  25 usual.
  26 No produto de Cauchy o índice do somatório interno é uma
  27 função do índice do externo em lugar de variar
  28 independentemente.
  29
  30 Exemplo:
  31
  32 @example
  33 (%i1) sumexpand: false$
  34 (%i2) cauchysum: false$
  35 (%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
  36                       inf         inf
  37                       ====        ====
  38                       \           \
  39 (%o3)                ( >    f(i))  >    g(j)
  40                       /           /
  41                       ====        ====
  42                       i = 0       j = 0
  43 (%i4) sumexpand: true$
  44 (%i5) cauchysum: true$
  45 (%i6) ''s;
  46                  inf     i1
  47                  ====   ====
  48                  \      \
  49 (%o6)             >      >     g(i1 - i2) f(i2)
  50                  /      /
  51                  ====   ====
  52                  i1 = 0 i2 = 0
  53 @end example
  54
  55 @end defvr
  56
  57 @deffn {Função} deftaylor (@var{f_1}(@var{x_1}), @var{expr_1}, ..., @var{f_n}(@var{x_n}), @var{expr_n})
  58 Para cada função @var{f_i} de uma variável @var{x_i},
  59 @code{deftaylor} define @var{expr_i} como a séries de Taylor sobre zero.
  60 @var{expr_i} é tipicamente um polinômio em @var{x_i} ou um somatório;
  61 expressões mais gerais são aceitas por @code{deftaylor} sem reclamações.
  62
  63 @code{powerseries (@var{f_i}(@var{x_i}), @var{x_i}, 0)}
  64 retorna as séries definidas por @code{deftaylor}.
  65
  66 @code{deftaylor} retorna uma lista das funções
  67 @var{f_1}, ..., @var{f_n}.
  68 @code{deftaylor} avalia seus argumentos.
  69
  70 Exemplo:
  71
  72 @example
  73 (%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
  74 (%o1)                          [f]
  75 (%i2) powerseries (f(x), x, 0);
  76                       inf
  77                       ====      i1
  78                       \        x         2
  79 (%o2)                  >     -------- + x
  80                       /       i1    2
  81                       ====   2   i1!
  82                       i1 = 4
  83 (%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
  84                       2         3          4
  85                      x    3073 x    12817 x
  86 (%o3)/T/     1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
  87                      2     18432     307200
  88 @end example
  89
  90 @end deffn
  91
  92 @defvr {Variável de opção} maxtayorder
  93 Valor padrão: @code{true}
  94
  95 @c REPHRASE
  96 Quando @code{maxtayorder} for @code{true}, durante a manipulação
  97 algébrica de séries (truncadas) de Taylor, @code{taylor} tenta reter
  98 tantos termos quantos forem conhecidos serem corretos.
  99
 100 @end defvr
 101
 102 @deffn {Função} niceindices (@var{expr})
 103 Renomeia os índices de adições e produtos em @var{expr}.
 104 @code{niceindices} tenta renomear cada índice para o valor de @code{niceindicespref[1]},
 105 a menos que o nome apareça nas parcelas do somatório ou produtório,
 106 nesses casos @code{niceindices} tenta
 107 os elementos seguintes de @code{niceindicespref} por sua vez, até que uma varável não usada unused variable seja encontrada.
 108 Se a lista inteira for exaurida,
 109 índices adicionais são constrídos através da anexaao de inteiros ao valor de
 110 @code{niceindicespref[1]}, e.g., @code{i0}, @code{i1}, @code{i2}, ....
 111
 112 @code{niceindices} retorna uma expressão.
 113 @code{niceindices} avalia seu argumento.
 114
 115 Exemplo:
 116
 117 @example
 118 (%i1) niceindicespref;
 119 (%o1)                  [i, j, k, l, m, n]
 120 (%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
 121                  inf    inf
 122                 /===\   ====
 123                  ! !    \
 124 (%o2)            ! !     >      f(bar i j + foo)
 125                  ! !    /
 126                 bar = 1 ====
 127                         foo = 1
 128 (%i3) niceindices (%);
 129                      inf  inf
 130                     /===\ ====
 131                      ! !  \
 132 (%o3)                ! !   >    f(i j l + k)
 133                      ! !  /
 134                     l = 1 ====
 135                           k = 1
 136 @end example
 137
 138 @end deffn
 139
 140 @defvr {Variável de opção} niceindicespref
 141 Valor padrão: @code{[i, j, k, l, m, n]}
 142
 143 @code{niceindicespref} é a lista da qual @code{niceindices}
 144 pega os nomes dos índices de adições e produtos products.
 145
 146 Os elementos de @code{niceindicespref} são tipicamente nomes de variáveis,
 147 embora que não seja imposto por @code{niceindices}.
 148
 149 Exemplo:
 150
 151 @example
 152 (%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
 153 (%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
 154                  inf    inf
 155                 /===\   ====
 156                  ! !    \
 157 (%o2)            ! !     >      f(bar i j + foo)
 158                  ! !    /
 159                 bar = 1 ====
 160                         foo = 1
 161 (%i3) niceindices (%);
 162                      inf  inf
 163                     /===\ ====
 164                      ! !  \
 165 (%o3)                ! !   >    f(i j q + p)
 166                      ! !  /
 167                     q = 1 ====
 168                           p = 1
 169 @end example
 170
 171 @end defvr
 172
 173 @deffn {Função} nusum (@var{expr}, @var{x}, @var{i_0}, @var{i_1})
 174 Realiza o somatório hipergeométrico indefinido de @var{expr} com
 175 relação a @var{x} usando um procedimento de decisão devido a R.W. Gosper.
 176 @var{expr} e o resultado deve ser expressável como produtos de expoentes inteiros,
 177 fatoriais, binomios, e funções recionais.
 178
 179 @c UMM, DO WE REALLY NEED TO DEFINE "DEFINITE" AND "INDEFINITE" SUMMATION HERE ??
 180 @c (CAN'T WE MAKE THE POINT WITHOUT DRAGGING IN SOME NONSTANDARD TERMINOLOGY ??)
 181 Os termos "definido"
 182 and "e somatório indefinido" são usados analogamente a "definida" and
 183 "integração indefinida".
 184 Adicionar indefinidamente significa dar um resultado simólico
 185 para a adição sobre intervalos de comprimentos de variáveis, não apenas e.g. 0 a
 186 infinito.  Dessa forma, uma vez que não existe fórmula para a adição parcial geral de
 187 séries binomiais, @code{nusum} não pode fazer isso.
 188
 189 @code{nusum} e @code{unsum} conhecem um porco sobre adições e subtrações de produtos finitos.
 190 Veja também @code{unsum}.
 191
 192 Exemplos:
 193
 194 @example
 195 (%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
 196
 197 Dependent equations eliminated:  (1)
 198 (%o1)                     (n + 1)! - 1
 199 (%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
 200                      4        3       2              n
 201       2 (n + 1) (63 n  + 112 n  + 18 n  - 22 n + 3) 4      2
 202 (%o2) ------------------------------------------------ - ------
 203                     693 binomial(2 n, n)                 3 11 7
 204 (%i3) unsum (%, n);
 205                               4  n
 206                              n  4
 207 (%o3)                   ----------------
 208                         binomial(2 n, n)
 209 (%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
 210                     n - 1
 211                     /===\
 212                      ! !   2
 213 (%o4)              ( ! !  i ) (n - 1) (n + 1)
 214                      ! !
 215                     i = 1
 216 (%i5) nusum (%, n, 1, n);
 217
 218 Dependent equations eliminated:  (2 3)
 219                             n
 220                           /===\
 221                            ! !   2
 222 (%o5)                      ! !  i  - 1
 223                            ! !
 224                           i = 1
 225 @end example
 226
 227 @end deffn
 228
 229 @c THIS ITEM NEEDS SERIOUS WORK
 230 @deffn {Função} pade (@var{taylor_series}, @var{numer_deg_bound}, @var{denom_deg_bound})
 231 Retorna uma lista de
 232 todas as funções racionais que possuem a dada expansão da séries de Taylor
 233 onde a adição dos graus do numerador e do denominador é
 234 menor que ou igual ao nível de truncação das séries de potência, i.e.
 235 são "melhores" aproximações, e que adicionalmente satisfazem o grau
 236 especificado associado.
 237
 238 @var{taylor_series} é uma séries de Taylor de uma variável.
 239 @var{numer_deg_bound} e @var{denom_deg_bound}
 240 são inteiros positivos especificando o grau associado sobre
 241 o numerador e o denominador.
 242
 243 @var{taylor_series} podem também ser séries de Laurent, e o grau
 244 associado pode ser @code{inf} que acarreta todas funções racionais cujo grau
 245 total for menor que ou igual ao comprimento das séries de potências a serem
 246 retornadas.  O grau total é definido como @code{@var{numer_deg_bound} + @var{denom_deg_bound}}.
 247 O comprimento de séries de potência é definido como
 248 @code{"nível de trncação" + 1 - min(0, "ordem das séries")}.
 249
 250 @example
 251 (%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
 252                               2    3
 253 (%o1)/T/             1 + x + x  + x  + . . .
 254 (%i2) pade (%, 1, 1);
 255                                  1
 256 (%o2)                       [- -----]
 257                                x - 1
 258 (%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
 259                    + 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
 260                    + 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
 261                    + 67108864*x - 134217728)
 262        /134217728, x, 0, 10);
 263                     2    3       4       5       6        7
 264              x   3 x    x    15 x    23 x    21 x    189 x
 265 (%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
 266              2    16    32   1024    2048    32768   65536
 267
 268                                   8         9          10
 269                             5853 x    2847 x    83787 x
 270                           + ------- + ------- - --------- + . . .
 271                             4194304   8388608   134217728
 272 (%i4) pade (t, 4, 4);
 273 (%o4)                          []
 274 @end example
 275
 276 Não existe função racional de grau 4 numerador/denominador, com essa
 277 expansão de série de potência.  Você obrigatoriamente em geral tem grau do numerador e
 278 grau do denominador adicionando para cima ao menor grau das séries de potência,
 279 com o objetivo de ter disponível coeficientes desconhecidos para resolver.
 280
 281 @example
 282 (%i5) pade (t, 5, 5);
 283                      5                4                 3
 284 (%o5) [- (520256329 x  - 96719020632 x  - 489651410240 x
 285
 286                   2
 287  - 1619100813312 x  - 2176885157888 x - 2386516803584)
 288
 289                5                 4                  3
 290 /(47041365435 x  + 381702613848 x  + 1360678489152 x
 291
 292                   2
 293  + 2856700692480 x  + 3370143559680 x + 2386516803584)]
 294 @end example
 295
 296 @end deffn
 297
 298 @defvr {Variável de opção} powerdisp
 299 Valor padrão: @code{false}
 300
 301 Quando @code{powerdisp} for @code{true},
 302 uma adição é mostrada com seus termos em ordem do crescimento do expoente.
 303 Dessa forma um polinômio é mostrado como séries de potências truncadas,
 304 com o termo constante primeiro e o maior expoente por último.
 305
 306 Por padão, termos de uma adição são mostrados em ordem do expoente decrescente.
 307
 308 @c NEED AN EXAMPLE HERE
 309 @end defvr
 310
 311 @deffn {Função} powerseries (@var{expr}, @var{x}, @var{a})
 312 Retorna a forma geral expansão de séries de potência para @var{expr}
 313 na variável @var{x} sobre o ponto @var{a} (o qual pode ser @code{inf} para infinito).
 314
 315 Se @code{powerseries} incapaz de expandir @var{expr},
 316 @code{taylor} pode dar os primeiros muitos termos de séries.
 317
 318 Quando @code{verbose} for @code{true},
 319 @code{powerseries} mostra mensagens de progresso.
 320
 321 @example
 322 (%i1) verbose: true$
 323 (%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
 324 can't expand
 325                                  log(sin(x))
 326 so we'll try again after applying the rule:
 327                                         d
 328                                       / -- (sin(x))
 329                                       [ dx
 330                         log(sin(x)) = i ----------- dx
 331                                       ]   sin(x)
 332                                       /
 333 in the first simplification we have returned:
 334                              /
 335                              [
 336                              i cot(x) dx - log(x)
 337                              ]
 338                              /
 339                     inf
 340                     ====        i1  2 i1             2 i1
 341                     \      (- 1)   2     bern(2 i1) x
 342                      >     ------------------------------
 343                     /                i1 (2 i1)!
 344                     ====
 345                     i1 = 1
 346 (%o2)                -------------------------------------
 347                                       2
 348 @end example
 349
 350 @end deffn
 351
 352 @defvr {Variável de opção} psexpand
 353 Valor padrão: @code{false}
 354
 355 Quando @code{psexpand} for @code{true},
 356 uma expressão função racional extendida é mostrada completamente expandida.
 357 O comutador @code{ratexpand} tem o mesmo efeito.
 358
 359 @c WE NEED TO BE EXPLICIT HERE
 360 Quando @code{psexpand} for @code{false},
 361 uma expressão de várias variáveis é mostrada apenas como no pacote de função racional.
 362
 363 @c TERMS OF WHAT ??
 364 Quando @code{psexpand} for  @code{multi},
 365 então termos com o mesmo grau total nas variáveis são agrupados juntos.
 366
 367 @end defvr
 368
 369 @deffn {Função} revert (@var{expr}, @var{x})
 370 @deffnx {Função} revert2 (@var{expr}, @var{x}, @var{n})
 371 Essas funções retornam a reversão de @var{expr}, uma série de Taylor sobre zero na variável @var{x}.
 372 @code{revert} retorna um polinômio de grau igual ao maior expoente em @var{expr}.
 373 @code{revert2} retorna um polinômio de grau @var{n},
 374 o qual pode ser maior que, igual a, ou menor que o grau de @var{expr}.
 375
 376 @code{load ("revert")} chama essas funções.
 377
 378 Exemplos:
 379
 380 @example
 381 (%i1) load ("revert")$
 382 (%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
 383                    2    3    4    5     6
 384                   x    x    x    x     x
 385 (%o2)/T/      x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
 386                   2    6    24   120   720
 387 (%i3) revert (t, x);
 388                6       5       4       3       2
 389            10 x  - 12 x  + 15 x  - 20 x  + 30 x  - 60 x
 390 (%o3)/R/ - --------------------------------------------
 391                                 60
 392 (%i4) ratexpand (%);
 393                      6    5    4    3    2
 394                     x    x    x    x    x
 395 (%o4)             - -- + -- - -- + -- - -- + x
 396                     6    5    4    3    2
 397 (%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
 398                     2    3    4    5    6
 399                    x    x    x    x    x
 400 (%o5)/T/       x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
 401                    2    3    4    5    6
 402 (%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
 403 (%o6)                           0
 404 (%i7) revert2 (t, x, 4);
 405                           4    3    2
 406                          x    x    x
 407 (%o7)                  - -- + -- - -- + x
 408                          4    3    2
 409 @end example
 410
 411 @end deffn
 412
 413 @deffn {Função} taylor (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{n})
 414 @deffnx {Função} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], @var{a}, @var{n})
 415 @deffnx {Função} taylor (@var{expr}, [@var{x}, @var{a}, @var{n}, 'asymp])
 416 @deffnx {Função} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], [@var{a_1}, @var{a_2}, ...], [@var{n_1}, @var{n_2}, ...])
 417 @deffnx {Função} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{a_1}, @var{n_1}], [@var{x_2}, @var{a_2}, @var{n_2}], ...)
 418 @code{taylor (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{n})} expande a expressão @var{expr}
 419 em uma série truncada de Taylor ou de Laurent na variável @var{x}
 420 em torno do ponto @var{a},
 421 contendo termos até @code{(@var{x} - @var{a})^@var{n}}.
 422
 423 Se @var{expr} é da forma @code{@var{f}(@var{x})/@var{g}(@var{x})}
 424 e @code{@var{g}(@var{x})} não possui de grau acima do grau @var{n}
 425 então @code{taylor} tenta expandir @code{@var{g}(@var{x})} acima do gau @code{2 @var{n}}.
 426 Se existe ainda termos não zero, @code{taylor} dobra o
 427 grau de expansão de @code{@var{g}(@var{x})}
 428 contanto que o grau da expansão o grau da expansão seja menor que ou igual a @code{@var{n} 2^taylordepth}.
 429
 430 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], @var{a}, @var{n})}
 431 retorna uma série de potência truncada
 432 de grau @var{n} em todas as variáveis @var{x_1}, @var{x_2}, ...
 433 sobre o ponto @code{(@var{a}, @var{a}, ...)}.
 434
 435 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{a_1}, @var{n_1}], [@var{x_2}, @var{a_2}, @var{n_2}], ...)}
 436 retorna uma série de potência truncada nas variáveis @var{x_1}, @var{x_2}, ...
 437 sobre o ponto @code{(@var{a_1}, @var{a_2}, ...)},
 438 truncada em @var{n_1}, @var{n_2}, ....
 439
 440 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], [@var{a_1}, @var{a_2}, ...], [@var{n_1}, @var{n_2}, ...])}
 441 retorna uma série de potência truncada nas variáveis @var{x_1}, @var{x_2}, ...
 442 sobre o ponto @code{(@var{a_1}, @var{a_2}, ...)},
 443 truncada em @var{n_1}, @var{n_2}, ....
 444
 445 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x}, @var{a}, @var{n}, 'asymp])}
 446 retorna uma expansão de @var{expr} em expoentes negativos de @code{@var{x} - @var{a}}.
 447 O termo de maior ordem é @code{(@var{x} - @var{a})^@var{-n}}.
 448
 449 Quando @code{maxtayorder} for @code{true}, então durante maniplulação
 450 algébrica da séries de Taylor (truncada), @code{taylor} tenta reter
 451 tantos termos quantos forem conhecidos serem corretos.
 452
 453 Quando @code{psexpand} for @code{true},
 454 uma expressão de função racional extendida é mostrada completamente expandida.
 455 O comutador @code{ratexpand} tem o mesmo efeito.
 456 Quando @code{psexpand} for @code{false},
 457 uma expressão de várias variáveis é mostrada apenas como no pacote de função racional.
 458 Quando @code{psexpand} for  @code{multi},
 459 então os termos com o mesmo grau total nas variáveis são agrupados juntos.
 460
 461 Veja também o comutador @code{taylor_logexpand} para controlar a expansão.
 462
 463 Exemplos:
 464 @c EXAMPLES ADAPTED FROM example (taylor)
 465 @c taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
 466 @c %^2;
 467 @c taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
 468 @c %^2;
 469 @c product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
 470 @c ev (taylor(%, x,  0, 3), keepfloat);
 471 @c taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
 472 @c taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
 473 @c taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
 474 @c taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
 475 @c taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
 476 @c taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
 477 @c taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
 478 @c taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
 479 @c taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
 480 @c taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
 481
 482 @example
 483 (%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
 484                            2             2
 485              (a + 1) x   (a  + 2 a + 1) x
 486 (%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
 487                  2               8
 488
 489                                    3      2             3
 490                                (3 a  + 9 a  + 9 a - 1) x
 491                              + -------------------------- + . . .
 492                                            48
 493 (%i2) %^2;
 494                                     3
 495                                    x
 496 (%o2)/T/           1 + (a + 1) x - -- + . . .
 497                                    6
 498 (%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
 499                        2    3      4      5
 500                   x   x    x    5 x    7 x
 501 (%o3)/T/      1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
 502                   2   8    16   128    256
 503 (%i4) %^2;
 504 (%o4)/T/                  1 + x + . . .
 505 (%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
 506                          inf
 507                         /===\
 508                          ! !    i     2.5
 509                          ! !  (x  + 1)
 510                          ! !
 511                         i = 1
 512 (%o5)                   -----------------
 513                               2
 514                              x  + 1
 515 (%i6) ev (taylor(%, x,  0, 3), keepfloat);
 516                                2           3
 517 (%o6)/T/    1 + 2.5 x + 3.375 x  + 6.5625 x  + . . .
 518 (%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
 519                                2       3
 520                  1   1   x    x    19 x
 521 (%o7)/T/         - + - - -- + -- - ----- + . . .
 522                  x   2   12   24    720
 523 (%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
 524                                 4
 525                            2   x
 526 (%o8)/T/                - x  - -- + . . .
 527                                6
 528 (%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
 529 (%o9)/T/                    0 + . . .
 530 (%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
 531                                                2          4
 532             1     1       11      347    6767 x    15377 x
 533 (%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
 534              6      4        2   15120   604800    7983360
 535             x    2 x    120 x
 536
 537                                                           + . . .
 538 (%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
 539                2  2       4      2   4
 540               k  x    (3 k  - 4 k ) x
 541 (%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
 542                 2            24
 543
 544                                     6       4       2   6
 545                                (45 k  - 60 k  + 16 k ) x
 546                              - -------------------------- + . . .
 547                                           720
 548 (%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
 549                       2       2     3      2         3
 550                     (n  - n) x    (n  - 3 n  + 2 n) x
 551 (%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
 552                          2                 6
 553
 554                                4      3       2         4
 555                              (n  - 6 n  + 11 n  - 6 n) x
 556                            + ---------------------------- + . . .
 557                                           24
 558 (%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
 559                3                 2
 560               y                 y
 561 (%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
 562               6                 2
 563
 564                     3                       2
 565                y   y            2      1   y            3
 566           + (- - + -- + . . .) x  + (- - + -- + . . .) x  + . . .
 567                2   12                  6   12
 568 (%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
 569                      3        2      2      3
 570                     x  + 3 y x  + 3 y  x + y
 571 (%o14)/T/   y + x - ------------------------- + . . .
 572                                 6
 573 (%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
 574           1   y              1    1               1            2
 575 (%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
 576           y   6               2   6                3
 577                              y                    y
 578
 579                                            1            3
 580                                       + (- -- + . . .) x  + . . .
 581                                             4
 582                                            y
 583 (%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
 584                              3         2       2        3
 585             1     x + y   7 x  + 21 y x  + 21 y  x + 7 y
 586 (%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
 587           x + y     6                   360
 588 @end example
 589
 590 @end deffn
 591
 592 @defvr {Variável de opção} taylordepth
 593 Valor padrão: 3
 594
 595 @c UM, THE CONTEXT FOR THIS REMARK NEEDS TO BE ESTABLISHED
 596 Se existem ainda termos não zero, @code{taylor} dobra o
 597 grau da expansão de @code{@var{g}(@var{x})}
 598 contanto que o grau da expansão seja menor que ou igual a @code{@var{n} 2^taylordepth}.
 599
 600 @end defvr
 601
 602 @deffn {Função} taylorinfo (@var{expr})
 603 Retorna information about the séries de Taylor @var{expr}.
 604 O valor de retorno é uma lista de listas.
 605 Cada lista compreende o nome de uma variável,
 606 o ponto de expansão, e o grau da expansão.
 607
 608 @code{taylorinfo} retorna @code{false} se @var{expr} não for uma séries de Taylor.
 609
 610 Exemplo:
 611
 612 @example
 613 (%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
 614                   2                       2
 615 (%o1)/T/ - (y - a)  - 2 a (y - a) + (1 - a )
 616
 617          2                        2
 618  + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
 619
 620          2                        2   2
 621  + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
 622
 623          2                        2   3
 624  + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x  + . . .
 625 (%i2) taylorinfo(%);
 626 (%o2)               [[y, a, inf], [x, 0, 3]]
 627 @end example
 628
 629 @end deffn
 630
 631 @deffn {Função} taylorp (@var{expr})
 632 Retorna @code{true} se @var{expr} for uma séries de Taylor,
 633 e @code{false} de outra forma.
 634
 635 @end deffn
 636
 637 @c WHAT IS THIS ABOUT EXACTLY ??
 638 @defvr {Variável de opção} taylor_logexpand
 639 Valor padrão: @code{true}
 640
 641 @code{taylor_logexpand} controla expansão de logarítmos em
 642 séries de @code{taylor}.
 643
 644 Quando @code{taylor_logexpand} for @code{true}, todos  logarítmos são expandidos completamente dessa forma
 645 problemas de reconhecimento de zero envolvendo envolvendo identidades logarítmicas não
 646 atrapalham o processo de expansão.  Todavia, esse esquema não é sempre
 647 maematicamente correto uma vez que isso ignora informações de ramo.
 648
 649 Quando @code{taylor_logexpand} for escolhida para @code{false}, então a expansão logarítmica que ocorre
 650 é somente aquela que for necessária para obter uma séries de potência formal.
 651
 652 @c NEED EXAMPLES HERE
 653 @end defvr
 654
 655 @defvr {Variável de opção} taylor_order_coefficients
 656 Valor padrão: @code{true}
 657
 658 @code{taylor_order_coefficients} controla a ordenação dos
 659 coeficientes em uma série de Taylor.
 660
 661 Quando @code{taylor_order_coefficients} for @code{true},
 662 coeficientes da séries de Taylor são ordenados canonicamente.
 663 @c IS MAXIMA'S NOTION OF "CANONICALLY" DESCRIBED ELSEWHERE ??
 664 @c AND WHAT HAPPENS WHEN IT IS FALSE ??
 665
 666 @c NEED EXAMPLES HERE
 667 @end defvr
 668
 669 @deffn {Função} taylor_simplifier (@var{expr})
 670 Simplifica coeficientes da séries  de potência @var{expr}.
 671 @code{taylor} chama essa função.
 672
 673 @end deffn
 674
 675 @defvr {Variável de opção} taylor_truncate_polynomials
 676 Valor padrão: @code{true}
 677
 678 @c WHAT IS THE "INPUT TRUNCATION LEVEL" ?? THE ARGUMENT n OF taylor ??
 679 Quando @code{taylor_truncate_polynomials} for @code{true},
 680 polinômios são truncados baseados sobre a entrada de níveis de truncação.
 681
 682 De outra forma,
 683 entrada de polinômios para @code{taylor} são consideradas terem precisão infinita.
 684 @c WHAT IS "INFINITE PRECISION" IN THIS CONTEXT ??
 685
 686 @end defvr
 687
 688 @deffn {Função} taytorat (@var{expr})
 689 Converte @var{expr} da forma @code{taylor} para a forma de expressão racional canônica (CRE).
 690 O efeito é o mesmo que @code{rat (ratdisrep (@var{expr}))}, mas mais rápido.
 691
 692 @end deffn
 693
 694 @deffn {Função} trunc (@var{expr})
 695 Coloca notas na representação interna da expressão geral @var{expr}
 696 de modo que isso é mostrado como se suas adições forem séries de Taylor truncadas.
 697 @var{expr} is not otherwise modified.
 698
 699 Exemplo:
 700
 701 @example
 702 (%i1) expr: x^2 + x + 1;
 703                             2
 704 (%o1)                      x  + x + 1
 705 (%i2) trunc (expr);
 706                                 2
 707 (%o2)                  1 + x + x  + . . .
 708 (%i3) is (expr = trunc (expr));
 709 (%o3)                         true
 710 @end example
 711
 712 @end deffn
 713
 714 @deffn {Função} unsum (@var{f}, @var{n})
 715 Retorna a primeira diferençã de trás para frente @code{@var{f}(@var{n}) - @var{f}(@var{n} - 1)}.
 716 Dessa forma @code{unsum} logicamente é a inversa de @code{sum}.
 717
 718 Veja também @code{nusum}.
 719
 720 Exemplos:
 721 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING INPUTS
 722 @c g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
 723 @c g(n^4);
 724 @c nusum (%, n, 0, n);
 725 @c unsum (%, n);
 726
 727 @example
 728 (%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
 729                                      n
 730                                   p 4
 731 (%o1)               g(p) := ----------------
 732                             binomial(2 n, n)
 733 (%i2) g(n^4);
 734                               4  n
 735                              n  4
 736 (%o2)                   ----------------
 737                         binomial(2 n, n)
 738 (%i3) nusum (%, n, 0, n);
 739                      4        3       2              n
 740       2 (n + 1) (63 n  + 112 n  + 18 n  - 22 n + 3) 4      2
 741 (%o3) ------------------------------------------------ - ------
 742                     693 binomial(2 n, n)                 3 11 7
 743 (%i4) unsum (%, n);
 744                               4  n
 745                              n  4
 746 (%o4)                   ----------------
 747                         binomial(2 n, n)
 748 @end example
 749
 750 @end deffn
 751
 752 @defvr {Variável de opção} verbose
 753 Valor padrão: @code{false}
 754
 755 Quando @code{verbose} for @code{true},
 756 @code{powerseries} mostra mensagens de progresso.
 757
 758 @end defvr
 759