doc/info/pt_BR/zeilberger.texi

   1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
   2 @c /zeilberger.texi/1.6/Sat Jun  2 00:13:35 2007//
   3 @menu
   4 * Introdução a zeilberger::
   5 * Funções e Variáveis Definidas para zeilberger::
   6 @end menu
   7
   8 @node Introdução a zeilberger, Funções e Variáveis Definidas para zeilberger, zeilberger, zeilberger
   9 @section Introdução a zeilberger
  10
  11 @code{zeilberger} é uma implementação do algorítmo de Zeilberger
  12 para somatório hipergeométricos definidos, e também
  13 para o algorítmo de Gosper para somatórios hipergeométricos
  14 indefinidos.
  15
  16 @code{zeilberger} faz uso do método de otimização "filtering" desenvolvido por Axel Riese.
  17
  18 @code{zeilberger} foi desenvolvido por Fabrizio Caruso.
  19
  20 @code{load ("zeilberger")} torna esse pacote disponível para uso.
  21
  22 @subsection O problema dos somatórios hipergeométricos indefinidos
  23
  24 @code{zeilberger} implementa o algorítmo de Gosper
  25 para somatório hipergeométrico indefinido.
  26 Dado um termo hipergeométrico @math{F_k} em @math{k} queremos encontrar sua anti-diferença
  27 hipergeométrica, isto é, um termo hipergeométrico @math{f_k} tal que @math{F_k = f_(k+1) - f_k}.
  28
  29 @subsection O problema dos somatórios hipergeométricos definidos
  30
  31 @code{zeilberger} implementa o algorítmo de Zeilberger
  32 para somatório hipergeométrico definido.
  33 Dado um termo hipergeométrico apropriado (em @math{n} e @math{k}) @math{F_(n,k)} e um
  34 inteiro positivo @math{d} queremos encontrar um @math{d}-ésima ordem de recorrência
  35 linear com coeficientes polinomiais (em @math{n}) para @math{F_(n,k)}
  36 e uma função racional @math{R} em @math{n} e @math{k} tal que
  37
  38 @math{a_0 F_(n,k) + ... + a_d F_(n+d),k = Delta_K(R(n,k) F_(n,k))}
  39
  40 onde @math{Delta_k} é o @math{k}-seguinte operador de diferença, i.e.,
  41 @math{Delta_k(t_k) := t_(k+1) - t_k}.
  42
  43 @subsection Níveis de detalhe nas informações
  44
  45 Existe também versões de níveis de detalhe fornecidos pelos comandos
  46 que são chamados (os níveis) através da adição de um dos seguintes prefixos:
  47
  48 @table @code
  49 @item Summary
  50 Apenas um sumário é mostrado no final
  51 @item Verbose
  52 Algumas informações nos passos intermediários
  53 @item VeryVerbose
  54 Muita informação
  55 @item Extra
  56 Muito mais informação incluindo informação sobre
  57 o sistema linear no algorítmo de Zeilberger
  58 @end table
  59
  60 Por exemplo:
  61 @code{GosperVerbose}, @code{parGosperVeryVerbose},
  62 @code{ZeilbergerExtra}, @code{AntiDifferenceSummary}.
  63
  64
  65 @node Funções e Variáveis Definidas para zeilberger, , Introdução a zeilberger, zeilberger
  66 @section Funções e Variáveis Definidas para zeilberger
  67
  68 @deffn {Função} AntiDifference (@var{F_k}, @var{k})
  69
  70 Retorna a anti-diferença hipergeométrica
  71 de @var{F_k}, se essa anti-diferença.
  72 De outra forma @code{AntiDifference} retorna @code{no_hyp_antidifference}.
  73 @end deffn
  74
  75 @deffn {Função} Gosper (@var{F_k}, @var{k})
  76 Retorna o certificado racional @var{R(k)} para @var{F_k}, isto é,
  77 uma função racional tal que
  78
  79 @math{F_k = R(k+1) F_(k+1) - R(k) F_k}
  80
  81 se essa função racional exitir.
  82 De outra forma, @code{Gosper} retorna @code{no_hyp_sol}.
  83 @end deffn
  84
  85 @deffn {Função} GosperSum (@var{F_k}, @var{k}, @var{a}, @var{b})
  86
  87 Retorna o somatório de @var{F_k} de @math{@var{k} = @var{a}} a @math{@var{k} = @var{b}}
  88 se @var{F_k} tiver ma diferença hipergeométrica.
  89 De outra forma, @code{GosperSum} retorna @code{nongosper_summable}.
  90
  91 Exemplos:
  92
  93 @c ===beg===
  94 @c load ("zeilberger");
  95 @c GosperSum ((-1)^k*k / (4*k^2 - 1), k, 1, n);
  96 @c GosperSum (1 / (4*k^2 - 1), k, 1, n);
  97 @c GosperSum (x^k, k, 1, n);
  98 @c GosperSum ((-1)^k*a! / (k!*(a - k)!), k, 1, n);
  99 @c GosperSum (k*k!, k, 1, n);
 100 @c GosperSum ((k + 1)*k! / (k + 1)!, k, 1, n);
 101 @c GosperSum (1 / ((a - k)!*k!), k, 1, n);
 102 @c ===end===
 103 @example
 104 (%i1) load ("zeilberger");
 105 (%o1)  /usr/share/maxima/share/contrib/Zeilberger/zeilberger.mac
 106 (%i2) GosperSum ((-1)^k*k / (4*k^2 - 1), k, 1, n);
 107
 108 Dependent equations eliminated:  (1)
 109                            3       n + 1
 110                       (n + -) (- 1)
 111                            2               1
 112 (%o2)               - ------------------ - -
 113                                   2        4
 114                       2 (4 (n + 1)  - 1)
 115 (%i3) GosperSum (1 / (4*k^2 - 1), k, 1, n);
 116                                 3
 117                           - n - -
 118                                 2       1
 119 (%o3)                  -------------- + -
 120                                 2       2
 121                        4 (n + 1)  - 1
 122 (%i4) GosperSum (x^k, k, 1, n);
 123                           n + 1
 124                          x          x
 125 (%o4)                    ------ - -----
 126                          x - 1    x - 1
 127 (%i5) GosperSum ((-1)^k*a! / (k!*(a - k)!), k, 1, n);
 128                                 n + 1
 129                 a! (n + 1) (- 1)              a!
 130 (%o5)       - ------------------------- - ----------
 131               a (- n + a - 1)! (n + 1)!   a (a - 1)!
 132 (%i6) GosperSum (k*k!, k, 1, n);
 133
 134 Dependent equations eliminated:  (1)
 135 (%o6)                     (n + 1)! - 1
 136 (%i7) GosperSum ((k + 1)*k! / (k + 1)!, k, 1, n);
 137                   (n + 1) (n + 2) (n + 1)!
 138 (%o7)             ------------------------ - 1
 139                           (n + 2)!
 140 (%i8) GosperSum (1 / ((a - k)!*k!), k, 1, n);
 141 (%o8)                  nonGosper_summable
 142 @end example
 143 @end deffn
 144
 145 @deffn {Função} parGosper (@var{F_@{n,k@}}, @var{k}, @var{n}, @var{d})
 146 Tenta encontrar uma recorrência de @var{d}-ésima ordem para @var{F_@{n,k@}}.
 147
 148 O algorítmo retorna uma seq@"{u}ência
 149 @math{[s_1, s_2, ..., s_m]} de soluções.
 150 Cada solução tem a forma
 151
 152 @math{[R(n, k), [a_0, a_1, ..., a_d]]}
 153
 154 @code{parGosper} retorna @code{[]} caso não consiga encontrar uma recorrência.
 155 @end deffn
 156
 157 @deffn {Função} Zeilberger (@var{F_@{n,k@}}, @var{k}, @var{n})
 158 Tenta calcular o somatório hipergeométrico indefinido de @var{F_@{n,k@}}.
 159
 160 @code{Zeilberger} primeiro invoca @code{Gosper}, e se @code{Gosper} não conseguir encontrar uma solução, então @code{Zeilberger} invoca
 161 @code{parGosper}com ordem 1, 2, 3, ..., acima de @code{MAX_ORD}.
 162 Se Zeilberger encontrar uma solução antes de esticar @code{MAX_ORD},
 163 Zeilberger para e retorna a solução.
 164
 165 O algorítmo retorna uma seq@"{u}ência
 166 @math{[s_1, s_2, ..., s_m]} de soluções.
 167 Cada solução tem a forma
 168
 169 @math{[R(n,k), [a_0, a_1, ..., a_d]]}
 170
 171 @code{Zeilberger} retorna @code{[]} se não conseguir encontrar uma solução.
 172
 173 @code{Zeilberger} invoca @code{Gosper} somente se @code{gosper_in_zeilberger} for @code{true}.
 174 @end deffn
 175
 176 @section Variáveis globais gerais
 177
 178 @defvr {Variável global} MAX_ORD
 179 Valor padrão: 5
 180
 181 @code{MAX_ORD} é a ordem máxima de recorrência tentada por @code{Zeilberger}.
 182 @end defvr
 183
 184 @defvr {Variável global} simplified_output
 185 Valor padrão: @code{false}
 186
 187 Quando @code{simplified_output} for @code{true},
 188 funções no pacote @code{zeilberger} tentam
 189 simplificação adicional da solução.
 190 @end defvr
 191
 192 @defvr {Variável global} linear_solver
 193 Valor padrão: @code{linsolve}
 194
 195 @code{linear_solver} nomeia o resolvedor que é usado para resolver o sistema
 196 de equações no algorítmo de Zeilberger.
 197 @end defvr
 198
 199 @defvr {Variável global} warnings
 200 Valor padrão: @code{true}
 201
 202 Quando @code{warnings} for @code{true},
 203 funções no pacote @code{zeilberger} imprimem
 204 mensagens de alerta durante a execução.
 205 @end defvr
 206
 207 @defvr {Variável global} gosper_in_zeilberger
 208 Valor padrão: @code{true}
 209
 210 Quando @code{gosper_in_zeilberger} for @code{true},
 211 a função @code{Zeilberger} chama @code{Gosper} antes de chamar @code{parGosper}.
 212 De outra forma, @code{Zeilberger} vai imediatamente para @code{parGosper}.
 213 @end defvr
 214
 215 @defvr {Variável global} trivial_solutions
 216 Valor padrão: @code{true}
 217
 218 Quando @code{trivial_solutions} for @code{true},
 219 @code{Zeilberger} retorna soluções
 220 que possuem certificado igual a zero, ou todos os coeficientes iguais a zero.
 221 @end defvr
 222
 223 @section Variáveis relacionadas ao teste modular
 224
 225 @defvr {Variável global} mod_test
 226 Valor padrão: @code{false}
 227
 228 Quando @code{mod_test} for @code{true},
 229 @code{parGosper} executa um
 230 teste modular discartando sistemas sem solução.
 231 @end defvr
 232
 233 @defvr {Variável global} modular_linear_solver
 234 Valor padrão: @code{linsolve}
 235
 236 @code{modular_linear_solver} nomeia o resolvedor linear usado pelo  teste modular em @code{parGosper}.
 237 @end defvr
 238
 239 @defvr {Variável global} ev_point
 240 Valor padrão: @code{big_primes[10]}
 241
 242 @code{ev_point} é o valor no qual a variável @var{n} é avaliada
 243 no momento da execução do teste modular em @code{parGosper}.
 244 @end defvr
 245
 246 @defvr {Variável global} mod_big_prime
 247 Valor padrão: @code{big_primes[1]}
 248
 249 @code{mod_big_prime} é o módulo usado pelo teste modular em @code{parGosper}.
 250 @end defvr
 251
 252 @defvr {Variável global} mod_threshold
 253 Valor padrão: 4
 254
 255 @code{mod_threshold} is the
 256 maior ordem para a qual o teste modular em @code{parGosper} é tentado.
 257 @end defvr
 258
 259