doc/info/ru/Trigonometric.texi

   1 @c Language=Russian
   2 @c Encoding=UTF-8
   3 @c File=Trigonometric.texi
   4 @c OriginalRevision=1.20
   5 @c TranslatedBy: (c) 2007-09-22 Alexey V. Beshenov <al@beshenov.ru>
   6
   7 @menu
   8 * Тригонометрия в Maxima::
   9 * Функции и переменные для тригонометрии::
  10 @end menu
  11
  12 @node Тригонометрия в Maxima, Функции и переменные для тригонометрии, Тригонометрия, Тригонометрия
  13 @section Тригонометрия в Maxima
  14
  15 В Maxima определено много тригонометрических функций. Запрограммированны не все
  16 тригонометрические тождества, но пользователь может добавить большинство из
  17 них благодаря возможностям системы по поиску совпадений с шаблонами (подстановки).
  18 В Maxima определены следующие тригонометрические функции @code{acos}, @code{acosh}, @code{acot},
  19 @code{acoth}, @code{acsc}, @code{acsch}, @code{asec}, @code{asech}, @code{asin},
  20 @code{asinh}, @code{atan}, @code{atanh}, @code{cos},
  21 @code{cosh}, @code{cot}, @code{coth}, @code{csc}, @code{csch},
  22 @code{sec}, @code{sech}, @code{sin}, @code{sinh}, @code{tan} и
  23 @code{tanh}. Для работы с тригонометрическими функциями есть ряд особых команд, см.
  24 @code{trigexpand}, @code{trigreduce} и @code{trigsign}. Два встроенных пакета
  25 расширяют правила упрощения Maxima: @code{ntrig} и @code{atrig1}. Для подробностей
  26 запустите @code{describe(@var{command})}.
  27
  28 @opencatbox{Категории:}
  29 @category{Тригонометрические функции}
  30 @closecatbox
  31
  32 @node Функции и переменные для тригонометрии,  , Тригонометрия в Maxima, Тригонометрия
  33 @section Функции и переменные для тригонометрии
  34
  35 @defvr {Управляющая переменная} %piargs
  36 Значение по умолчанию: @code{true}
  37
  38 Если @code{%piargs} равно @code{true}, то тригонометрические функции упрощаются до
  39 алгебраических констант, если аргумент кратен
  40 @iftex
  41 @math{\pi}, @math{\pi/2}, @math{\pi/3}, @math{\pi/4} или @math{\pi/6}.
  42 @end iftex
  43 @ifnottex
  44 @math{%pi}, @math{%pi/2}, @math{%pi/3}, @math{%pi/4} или @math{%pi/6}.
  45 @end ifnottex
  46
  47 @iftex
  48 Maxima использует некоторые тождества, применимые, если @math{\pi} домножается
  49 @end iftex
  50 @ifnottex
  51 Maxima использует некоторые тождества, применимые, если @math{%pi} домножается
  52 @end ifnottex
  53 на целую переменную (символ, определенный как целое число).
  54
  55 Примеры:
  56
  57 @c ===beg===
  58 @c %piargs : false;
  59 @c [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  60 @c [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  61 @c %piargs : true;
  62 @c [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  63 @c [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  64 @c [cos (%pi/3), cos (10*%pi/3), tan (10*%pi/3), cos (sqrt(2)*%pi/3)];
  65 @c ===end===
  66 @example
  67 (%i1) %piargs : false;
  68 (%o1)                         false
  69 (%i2) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  70                                 %pi       %pi
  71 (%o2)            [sin(%pi), sin(---), sin(---)]
  72                                  2         3
  73 (%i3) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  74                       %pi       %pi       %pi
  75 (%o3)            [sin(---), sin(---), sin(---)]
  76                        4         5         6
  77 (%i4) %piargs : true;
  78 (%o4)                         true
  79 (%i5) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  80                                 sqrt(3)
  81 (%o5)                    [0, 1, -------]
  82                                    2
  83 (%i6) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  84                          1         %pi   1
  85 (%o6)                [-------, sin(---), -]
  86                       sqrt(2)       5    2
  87 (%i7) [cos (%pi/3), cos (10*%pi/3), tan (10*%pi/3), cos (sqrt(2)*%pi/3)];
  88                 1    1               sqrt(2) %pi
  89 (%o7)          [-, - -, sqrt(3), cos(-----------)]
  90                 2    2                    3
  91 @end example
  92
  93 Некоторые тождества применяются, если @code{%pi} и @code{%pi/2} домножается
  94 на целую переменную (символ, определенный как целое число):
  95
  96 @c ===beg===
  97 @c declare (n, integer, m, even);
  98 @c [sin (%pi * n), cos (%pi * m), sin (%pi/2 * m), cos (%pi/2 * m)];
  99 @c ===end===
 100 @example
 101 (%i1) declare (n, integer, m, even);
 102 (%o1)                         done
 103 (%i2) [sin (%pi * n), cos (%pi * m), sin (%pi/2 * m), cos (%pi/2 * m)];
 104                                       m/2
 105 (%o2)                  [0, 1, 0, (- 1)   ]
 106 @end example
 107
 108 @opencatbox{Категории:}
 109 @category{Тригонометрические функции}
 110 @category{Флаги и переменные упрощения}
 111 @closecatbox
 112 @end defvr
 113
 114 @defvr {Управляющая переменная} %iargs
 115 Значение по умолчанию: @code{true}
 116
 117 Если @code{%iargs} равно @code{true}, то тригонометрические функции упрощаются
 118 @iftex
 119 до гиперболических, если аргумент явно домножается на мнимую единицу @math{i}.
 120 @end iftex
 121 @ifnottex
 122 до гиперболических, если аргумент явно домножается на мнимую единицу @math{%i}.
 123 @end ifnottex
 124
 125 Упрощение производится, даже если аргумент явно является вещественным;
 126 @iftex
 127 Maxima лишь проверяет, просматривается ли явно в аргументе множитель @math{i}.
 128 @end iftex
 129 @ifnottex
 130 Maxima лишь проверяет, просматривается ли явно в аргументе множитель @math{%i}.
 131 @end ifnottex
 132
 133 Примеры:
 134
 135 @c ===beg===
 136 @c %iargs : false;
 137 @c [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 138 @c %iargs : true;
 139 @c [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 140 @c ===end===
 141 @example
 142 (%i1) %iargs : false;
 143 (%o1)                         false
 144 (%i2) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 145 (%o2)           [sin(%i x), cos(%i x), tan(%i x)]
 146 (%i3) %iargs : true;
 147 (%o3)                         true
 148 (%i4) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 149 (%o4)           [%i sinh(x), cosh(x), %i tanh(x)]
 150 @end example
 151
 152 Упрощение проводится, даже если аргумент явно является вещественным:
 153
 154 @c ===beg===
 155 @c declare (x, imaginary);
 156 @c [featurep (x, imaginary), featurep (x, real)];
 157 @c sin (%i * x);
 158 @c ===end===
 159 @example
 160 (%i1) declare (x, imaginary);
 161 (%o1)                         done
 162 (%i2) [featurep (x, imaginary), featurep (x, real)];
 163 (%o2)                     [true, false]
 164 (%i3) sin (%i * x);
 165 (%o3)                      %i sinh(x)
 166 @end example
 167
 168 @opencatbox{Категории:}
 169 @category{Тригонометрические функции}
 170 @category{Гиперболические функции}
 171 @category{Флаги и переменные упрощения}
 172 @closecatbox
 173 @end defvr
 174
 175 @deffn {Функция} acos (@var{x})
 176  - Арккосинус.
 177
 178 @opencatbox{Категории:}
 179 @category{Тригонометрические функции}
 180 @closecatbox
 181 @end deffn
 182
 183 @deffn {Функция} acosh (@var{x})
 184  - Ареакосинус (гиперболический арккосинус).
 185
 186 @opencatbox{Категории:}
 187 @category{Гиперболические функции}
 188 @closecatbox
 189 @end deffn
 190
 191 @deffn {Функция} acot (@var{x})
 192  - Арккотангенс.
 193
 194 @opencatbox{Категории:}
 195 @category{Тригонометрические функции}
 196 @closecatbox
 197 @end deffn
 198
 199 @deffn {Функция} acoth (@var{x})
 200  - Ареакотангенс (гиперболический арккотангенс).
 201
 202 @opencatbox{Категории:}
 203 @category{Гиперболические функции}
 204 @closecatbox
 205 @end deffn
 206
 207 @deffn {Функция} acsc (@var{x})
 208  - Арккосеканс.
 209
 210 @opencatbox{Категории:}
 211 @category{Тригонометрические функции}
 212 @closecatbox
 213 @end deffn
 214
 215 @deffn {Функция} acsch (@var{x})
 216  - Ареакосеканс (гиперболический арккосеканс).
 217
 218 @opencatbox{Категории:}
 219 @category{Гиперболические функции}
 220 @closecatbox
 221 @end deffn
 222
 223 @deffn {Функция} asec (@var{x})
 224  - Арксеканс.
 225
 226 @opencatbox{Категории:}
 227 @category{Тригонометрические функции}
 228 @closecatbox
 229 @end deffn
 230
 231 @deffn {Функция} asech (@var{x})
 232  - Ареасеканс (гиперболический арксеканс).
 233
 234 @opencatbox{Категории:}
 235 @category{Гиперболические функции}
 236 @closecatbox
 237 @end deffn
 238
 239 @deffn {Функция} asin (@var{x})
 240  - Арксинус.
 241
 242 @opencatbox{Категории:}
 243 @category{Тригонометрические функции}
 244 @closecatbox
 245 @end deffn
 246
 247 @deffn {Функция} asinh (@var{x})
 248  - Ареасинус (гиперболический арксинус).
 249
 250 @opencatbox{Категории:}
 251 @category{Гиперболические функции}
 252 @closecatbox
 253 @end deffn
 254
 255 @deffn {Функция} atan (@var{x})
 256  - Арктангенс.
 257
 258 @opencatbox{Категории:}
 259 @category{Тригонометрические функции}
 260 @closecatbox
 261 @end deffn
 262
 263 @deffn {Функция} atan2 (@var{y}, @var{x})
 264  - соответствует значению @code{atan(@var{y}/@var{x})} на интервале
 265 (@code{-%pi}, @code{%pi}).
 266
 267 @opencatbox{Категории:}
 268 @category{Тригонометрические функции}
 269 @closecatbox
 270 @end deffn
 271
 272 @deffn {Функция} atanh (@var{x})
 273  - Ареатангенс (гиперболический арктангенс).
 274
 275 @opencatbox{Категории:}
 276 @category{Гиперболические функции}
 277 @closecatbox
 278 @end deffn
 279
 280 @c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
 281 @c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
 282 @defvr {Пакет} atrig1
 283 Пакет @code{atrig1} содержит несколько дополнительных правил упрощения
 284 для обратных тригонометрических функций. Вместе с уже известными Maxima правилами,
 285 полностью реализована работа с углами @code{0}, @code{%pi/6}, @code{%pi/4},
 286 @code{%pi/3} и @code{%pi/2}, а также соответствующими углами в трех других четвертях.
 287 Для использования пакета выполните @code{load("atrig1");}.
 288
 289 @opencatbox{Категории:}
 290 @category{Тригонометрические функции}
 291 @category{Пакет atrig1}
 292 @closecatbox
 293 @end defvr
 294
 295 @anchor{cos}
 296 @deffn {Функция} cos (@var{x})
 297  - Косинус.
 298
 299 @opencatbox{Категории:}
 300 @category{Тригонометрические функции}
 301 @closecatbox
 302 @end deffn
 303
 304 @anchor{cosh}
 305 @deffn {Функция} cosh (@var{x})
 306  - Ареакосинус (гиперболический арккосинус).
 307
 308 @opencatbox{Категории:}
 309 @category{Гиперболические функции}
 310 @closecatbox
 311 @end deffn
 312
 313 @deffn {Функция} cot (@var{x})
 314  - Котангенс.
 315
 316 @opencatbox{Категории:}
 317 @category{Тригонометрические функции}
 318 @closecatbox
 319 @end deffn
 320
 321 @deffn {Функция} coth (@var{x})
 322  - Ареакотангенс (гиперболический арккотангенс).
 323
 324 @opencatbox{Категории:}
 325 @category{Гиперболические функции}
 326 @closecatbox
 327 @end deffn
 328
 329 @deffn {Функция} csc (@var{x})
 330  - Косеканс.
 331
 332 @opencatbox{Категории:}
 333 @category{Тригонометрические функции}
 334 @closecatbox
 335 @end deffn
 336
 337 @deffn {Функция} csch (@var{x})
 338  - Ареакосеканс (гиперболический арккосеканс).
 339
 340 @opencatbox{Категории:}
 341 @category{Гиперболические функции}
 342 @closecatbox
 343 @end deffn
 344
 345 @defvr {Управляющая переменная} halfangles
 346 Значение по умолчанию: @code{false}
 347
 348 Если @code{halfangles} равно @code{true}, то тригонометрические функции
 349 аргументов @code{@var{expr}/2} упрощаются в функции от @var{expr}.
 350
 351 Примеры:
 352
 353 @c ===beg===
 354 @c halfangles : false;
 355 @c sin (x / 2);
 356 @c halfangles : true;
 357 @c sin (x / 2);
 358 @c ===end===
 359 @example
 360 (%i1) halfangles : false;
 361 (%o1)                         false
 362 (%i2) sin (x / 2);
 363                                  x
 364 (%o2)                        sin(-)
 365                                  2
 366 (%i3) halfangles : true;
 367 (%o3)                         true
 368 (%i4) sin (x / 2);
 369                         sqrt(1 - cos(x))
 370 (%o4)                   ----------------
 371                             sqrt(2)
 372 @end example
 373
 374 @opencatbox{Категории:}
 375 @category{Тригонометрические функции}
 376 @category{Флаги и переменные упрощения}
 377 @closecatbox
 378 @end defvr
 379
 380 @c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
 381 @c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
 382 @defvr {Пакет} ntrig
 383 Пакет @code{ntrig} содержит набор правил упрощения для тригонометрических
 384 функций с аргументами вида @code{@var{f}(@var{n} %pi/10)}, где @var{f} - одна из
 385 функций @code{sin}, @code{cos}, @code{tan}, @code{csc}, @code{sec} и @code{cot}.
 386 @c NEED TO LOAD THIS PACKAGE ??
 387
 388 @opencatbox{Категории:}
 389 @category{Тригонометрические функции}
 390 @category{Пакет ntrig}
 391 @closecatbox
 392 @end defvr
 393
 394 @deffn {Функция} sec (@var{x})
 395  - Секанс.
 396
 397 @opencatbox{Категории:}
 398 @category{Тригонометрические функции}
 399 @closecatbox
 400 @end deffn
 401
 402 @deffn {Функция} sech (@var{x})
 403  - Гиперболический секанс.
 404
 405 @opencatbox{Категории:}
 406 @category{Гиперболические функции}
 407 @closecatbox
 408 @end deffn
 409
 410 @anchor{sin}
 411 @deffn {Функция} sin (@var{x})
 412  - Синус.
 413
 414 @opencatbox{Категории:}
 415 @category{Тригонометрические функции}
 416 @closecatbox
 417 @end deffn
 418
 419 @anchor{sinh}
 420 @deffn {Функция} sinh (@var{x})
 421  - Гиперболический синус.
 422
 423 @opencatbox{Категории:}
 424 @category{Гиперболические функции}
 425 @closecatbox
 426 @end deffn
 427
 428 @deffn {Функция} tan (@var{x})
 429  - Тангенс.
 430
 431 @opencatbox{Категории:}
 432 @category{Тригонометрические функции}
 433 @closecatbox
 434 @end deffn
 435
 436 @deffn {Функция} tanh (@var{x})
 437  - Гиперболический тангенс.
 438
 439 @opencatbox{Категории:}
 440 @category{Гиперболические функции}
 441 @closecatbox
 442 @end deffn
 443
 444 @c NEEDS CLARIFICATION AND EXAMPLES
 445 @anchor{trigexpand}
 446 @deffn {Функция} trigexpand (@var{expr})
 447 Раскрывает тригонометрические и гиперболические функции суммы или произведения углов в
 448 @var{expr}. Для получения лучших результатов нужно сначала раскрыть @var{expr}. Для
 449 повышения пользовательского контроля за упрощением функция раскрывает только один
 450 уровень сумм/произведений за раз. Для полного раскрытия в синусы и косинусы укажите
 451 @code{trigexpand: true}.
 452
 453 @code{trigexpand} управляется следующими глобальными флагами:
 454
 455 @table @code
 456 @item trigexpand
 457 Раскрывать все получающиеся в последствии выражения с синусами и косинусами.
 458 @item halfangles
 459 Раскрывать функции половинных углов в функции полных углов.
 460 @item trigexpandplus
 461 Раскрывать функции сумм аргументов (например, @code{sin(x + y)}).
 462 @item trigexpandtimes
 463 Раскрывать функции кратных аргументов (например, @code{sin(2 x)}).
 464 @end table
 465
 466 Примеры:
 467
 468 @c ===beg===
 469 @c x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
 470 @c trigexpand(sin(10*x+y));
 471 @c ===end===
 472 @example
 473 (%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
 474                          2           2
 475 (%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x
 476 (%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
 477 (%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)
 478
 479 @end example
 480
 481 @opencatbox{Категории:}
 482 @category{Тригонометрические функции}
 483 @category{Функции упрощения}
 484 @closecatbox
 485 @end deffn
 486
 487 @defvr {Управляющая переменная} trigexpandplus
 488 Значение по умолчанию: @code{true}
 489
 490 @code{trigexpandplus} управляет раскрытием функций от сумм аргументов в @code{trigexpand}
 491 (если @code{trigexpand} равно @code{true}, либо в функции @code{trigexpand}), например,
 492 @code{sin(x+y)}. Упрощение производится, только если @code{trigexpandplus} равно @code{true}.
 493
 494 @opencatbox{Категории:}
 495 @category{Тригонометрические функции}
 496 @category{Флаги и переменные упрощения}
 497 @closecatbox
 498 @end defvr
 499
 500 @defvr {Управляющая переменная} trigexpandtimes
 501 Значение по умолчанию: @code{true}
 502
 503 @code{trigexpandplus} управляет раскрытием функций от произведений аргументов в
 504 @code{trigexpand} (если @code{trigexpand} равно @code{true}, либо в функции @code{trigexpand}),
 505 например, @code{sin(2*x)}. Упрощение производится, только если @code{trigexpandtimes} равно
 506 @code{true}.
 507
 508 @opencatbox{Категории:}
 509 @category{Тригонометрические функции}
 510 @category{Флаги и переменные упрощения}
 511 @closecatbox
 512 @end defvr
 513
 514 @defvr {Управляющая переменная} triginverses
 515 Значение по умолчанию: @code{all}
 516
 517 @code{triginverses} управляет раскрытием композиций тригонометрических и гиперболических
 518 функций со своими обратными функциями.
 519
 520 Если @code{all}, то и @code{atan(tan(@var{x}))}, и @code{tan(atan(@var{x}))}
 521 упрощается в @var{x}.
 522
 523 Если @code{true}, то упрощение @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))} не производится.
 524
 525 Если @code{false}, то ни @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))}, ни
 526 @code{@var{fun}(@var{arcfun}(@var{x}))} не будет упрощено.
 527
 528 @opencatbox{Категории:}
 529 @category{Тригонометрические функции}
 530 @category{Флаги и переменные упрощения}
 531 @closecatbox
 532 @end defvr
 533
 534 @deffn {Функция} trigreduce (@var{expr}, @var{x})
 535 @deffnx {Функция} trigreduce (@var{expr})
 536
 537 Раскрывает произведения и степени @code{sin}, @code{cos}, @code{sinh}, @code{cosh} в
 538 функции кратных аргументов @var{x}. Также производится попытка исключить такие функции из
 539 знаменателей. Если @var{x} не указано, будут использоваться все переменные из @var{expr}.
 540
 541 См. также @code{poissimp}.
 542
 543 @c ===beg===
 544 @c trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
 545 @c ===end===
 546 @example
 547 (%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
 548                cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
 549 (%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
 550                   2             2       2        2
 551
 552 @end example
 553
 554 В некоторых простых случаях команды упрощения используют информацию о переменных,
 555 объявленную следующим образом:
 556
 557 @c ===beg===
 558 @c declare(j, integer, e, even, o, odd)$
 559 @c sin(x + (e + 1/2)*%pi);
 560 @c sin(x + (o + 1/2)*%pi);
 561 @c ===end===
 562 @example
 563 (%i1) declare(j, integer, e, even, o, odd)$
 564 (%i2) sin(x + (e + 1/2)*%pi);
 565 (%o2)                        cos(x)
 566 (%i3) sin(x + (o + 1/2)*%pi);
 567 (%o3)                       - cos(x)
 568
 569 @end example
 570
 571 @opencatbox{Категории:}
 572 @category{Тригонометрические функции}
 573 @category{Функции упрощения}
 574 @closecatbox
 575 @end deffn
 576
 577 @defvr {Управляющая переменная} trigsign
 578 Значение по умолчанию: @code{true}
 579
 580 Если @code{trigsign} равно @code{true}, допускается упрощение отрицательных аргументов
 581 тригонометрических функций. Например, @code{sin(-x)} раскроется в @code{-sin(x)}.
 582
 583 @opencatbox{Категории:}
 584 @category{Тригонометрические функции}
 585 @category{Флаги и переменные упрощения}
 586 @closecatbox
 587 @end defvr
 588
 589 @deffn {Функция} trigsimp (@var{expr})
 590 Применяет тождества @math{sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1} и @math{cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1}
 591 для упрощения выражений с @code{tan}, @code{sec}, и так далее, до выражений с @code{sin},
 592 @code{cos}, @code{sinh}, @code{cosh}.
 593
 594 Результат может упрощаться далее с @code{trigreduce}, @code{ratsimp}, и @code{radcan}.
 595
 596 @code{demo ("trgsmp.dem")} показывает несколько примеров для @code{trigsimp}.
 597 @c MERGE EXAMPLES INTO THIS ITEM
 598
 599 @opencatbox{Категории:}
 600 @category{Тригонометрические функции}
 601 @category{Функции упрощения}
 602 @closecatbox
 603 @end deffn
 604
 605 @c NEEDS CLARIFICATION
 606 @deffn {Функция} trigrat (@var{expr})
 607 Возвращает канонический упрощенный квазилинейный вид тригонометрического выражения;
 608 @var{expr} - рациональная дробь с функциями @code{sin}, @code{cos} или @code{tan},
 609 аргументы которых - линейные формы некоторых переменных и @code{%pi/@var{n}}
 610 (@var{n} - целое) с целыми коэффициентами. Результат - упрощенная дробь с линейным
 611 числителем и знаменателем с @code{sin} и @code{cos}. Таким образом, @code{trigrat}
 612 переходит к линейному виду, только если это возможно.
 613
 614 @c ===beg===
 615 @c trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
 616 @c ===end===
 617 @example
 618 (%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
 619 (%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1
 620
 621 @end example
 622
 623 Следующий пример взят из раздела 1.5.5, "Теорема Морлея", книги Davenport, Siret,
 624 Tournier, @i{Calcul Formel}, изд-во Masson (английский перевод - Addison-Wesley).
 625
 626 @c ===beg===
 627 @c c: %pi/3 - a - b;
 628 @c bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
 629 @c ba: bc, c=a, a=c$
 630 @c ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
 631 @c trigrat (ac2);
 632 @c ===end===
 633 @example
 634 (%i1) c: %pi/3 - a - b;
 635                                     %pi
 636 (%o1)                     - b - a + ---
 637                                      3
 638 (%i2) bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
 639                       sin(a) sin(3 b + 3 a)
 640 (%o2)                 ---------------------
 641                            sin(b + a)
 642 (%i3) ba: bc, c=a, a=c$
 643 (%i4) ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
 644          2       2
 645       sin (a) sin (3 b + 3 a)
 646 (%o4) -----------------------
 647                2
 648             sin (b + a)
 649
 650                                         %pi
 651    2 sin(a) sin(3 a) cos(b) sin(b + a - ---) sin(3 b + 3 a)
 652                                          3
 653  - --------------------------------------------------------
 654                            %pi
 655                    sin(a - ---) sin(b + a)
 656                             3
 657
 658       2         2         %pi
 659    sin (3 a) sin (b + a - ---)
 660                            3
 661  + ---------------------------
 662              2     %pi
 663           sin (a - ---)
 664                     3
 665 (%i5) trigrat (ac2);
 666 (%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)
 667
 668  - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)
 669
 670  - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)
 671
 672  + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)
 673
 674  + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)
 675
 676  + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)
 677
 678  - 9)/4
 679
 680 @end example
 681
 682 @opencatbox{Категории:}
 683 @category{Тригонометрические функции}
 684 @category{Функции упрощения}
 685 @closecatbox
 686 @end deffn
 687