share/linearalgebra/matrixexp.usage

   1 Every square matrix can be expressed as a linear combination of
   2 commuting projection matrices plus a nilpotent matrix.  Specifically,
   3 given a square matrix M, there are scalars z1, z2, ... zn and matrices
   4 P1, P2, ... , Pn, D, such that
   5
   6 (1) M = z1 P1 + z2 P2 + ... + zn Pn + D,
   7 (2) spectrum(M) = {z1,z2, ..., zn},
   8 (3) Pi Pj = Pj Pi = kron_delta(i,j) Pi, for 1 <= i,j <= n,
   9 (4) D is nilpotent,
  10 (5) D Pi = Pi D, for 1 <= i <= n,
  11 (6) P1 + P2 + ... + Pn = I.
  12
  13 We call (1) the spectral representation of M.  Recall that a matrix
  14 is D is nilpotent means that there is a positive integer k such that
  15 D^k = 0.
  16
  17 The spectral representation of a matrix is not a continuous function of
  18 the matrix arguments. Here is an example
  19
  20 (C1) spectral_rep(matrix([1,0],[0,x]));
  21
  22 Proviso: assuming x-1 # 0
  23                              [ 0  0 ]  [ 1  0 ]   [ 0  0 ]
  24 (D1)               [[x, 1], [[      ], [      ]], [      ]]
  25                              [ 0  1 ]  [ 0  0 ]   [ 0  0 ]
  26
  27 Maxima does give a warning that it has assumed that x does not equal 1.
  28 Unfortunately, the assumption x-1 # 0 isn't available to the user. When
  29 x = 1, the spectral representation is
  30
  31 (C2) spectral_rep(matrix([1,0],[0,1]));
  32
  33                                  [ 1  0 ]   [ 0  0 ]
  34 (D2)                      [[1], [[      ]], [      ]]
  35                                  [ 0  1 ]   [ 0  0 ]
  36 (C3)
  37
  38 Functions:
  39
  40 spectral_rep(mat)
  41
  42 When mat is a square matrix, return a list of the form
  43
  44    [[z1,z2, ... zn], [P1, P2, ... ,Pn], D],
  45
  46 where z1 P1 + z2 P2 + ... + zn Pn + D is the spectral representation of M.
  47
  48 matrixexp(mat, t)
  49
  50 When mat is a square matrix, return exp(mat * t).  The second argument
  51 is optional and it defaults to 1.
  52
  53 matrixfun(lambda-expr, mat)
  54
  55 When mat is a square matrix and lambda-expr is a Maxima lambda expression,
  56 extend the function lambda-expr to matrices and return lambda-expr(mat).
  57 Thus matrixfun(lambda([x],x^2), mat) == mat . mat and
  58 matrixfun(lambda([x], 1/x), mat) == mat^^-1.
  59
  60 If the lambda-expr involves an unknown function, you may need to load
  61 pdiff; otherwise, you'll get an error. Here is an example
  62
  63 (C1) load("matexp.lisp")$
  64 (C2) m : matrix([1,2],[0,1])$
  65 (C3) matrixfun(lambda([x], f(x)),m);
  66
  67 Attempt to differentiate with respect to a number:
  68 1 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
  69 (C4) load("pdiff")$
  70 (C5)  matrixfun(lambda([x], f(x)),m);
  71
  72                               [ f(1)  2 f   (1) ]
  73 (D5)                          [          (1)    ]
  74                               [                 ]
  75                               [  0      f(1)    ]
  76 (C6)
  77
  78
  79 Barton Willis wrote matexp. This code is covered by the GNU public
  80 license. Please send bug reports to the Maxima mailing list.