share/raddenest/raddenest.texi

   1 \input texinfo
   2
   3 @setchapternewpage off
   4
   5 @setfilename raddenest.info
   6 @settitle Package raddenest
   7
   8 @ifinfo
   9 @macro var {expr}
  10 <\expr\>
  11 @end macro
  12 @end ifinfo
  13
  14 @dircategory Mathematics/Maxima
  15 @direntry
  16 * raddenest: (maxima/raddenest).           Maxima share package raddenest for de-nesting radicals.
  17 @end direntry
  18
  19 @node Top, Functions and variables for package raddenest, (dir), (dir)
  20 @top
  21 @menu
  22 * Functions and variables for package raddenest::
  23 * Function and variable index::
  24 @end menu
  25 @chapter Package raddenest
  26
  27 @node Functions and variables for package raddenest, Function and variable index, Top, Top
  28 @section Functions and variables for package raddenest
  29
  30 @anchor{raddenest}
  31 @deffn {Function} raddenest (@var{expr})
  32
  33 Denests different classes of nested radical expressions appearing as
  34 subexpressions in @var{expr}. Most of the implemented algorithms are specific
  35 to square roots, but some handle higher roots.
  36
  37 @code{raddenest} is able to denest some or all of the denestable
  38 expressions of the following types:
  39
  40 @enumerate
  41 @item
  42 square roots of sums of multiple unnested square roots;
  43 @item
  44 @iftex
  45 @tex
  46 $\sqrt{a+b\sqrt{r}}$
  47 @end tex
  48 @end iftex
  49 @ifnottex
  50 @math{sqrt(a + b*sqrt(r))}
  51 @end ifnottex
  52 where @var{a}, @var{b}, and @var{r} are linear
  53 combinations of square roots of positive rationals;
  54 @item
  55 expressions of the general form
  56 @iftex
  57 @tex
  58 $\sqrt{a+b\sqrt{r}}$
  59 @end tex
  60 @end iftex
  61 @ifnottex
  62 @math{sqrt(a + b*sqrt(r))}
  63 @end ifnottex
  64 are denested numerically (using square roots or fourth roots) or, in some
  65 cases, symbolically (assumptions allowing);
  66 @item
  67 @iftex
  68 @tex
  69 $(a+b\sqrt{r})^{1\over n}$
  70 @end tex
  71 @end iftex
  72 @ifnottex
  73 @math{(a+b*sqrt(r))^(1/n)}
  74 @end ifnottex
  75 with rational @var{a}, @var{b}, @var{r} (@var{r} positive) and integer
  76 @var{n};
  77 @item
  78 @iftex
  79 @tex
  80 $\sqrt{a^{1\over3}+b^{1\over3}}$
  81 @end tex
  82 @end iftex
  83 @ifnottex
  84 @math{sqrt(a^(1/3)+b^(1/3))}
  85 @end ifnottex
  86 with rational @var{a} and @var{b}.
  87 @end enumerate
  88
  89 In particular, all expressions denested by @code{sqrtdenest} are also denested
  90 by @code{raddenest}.
  91
  92 Interpretation of radical expressions:
  93
  94 The results given by @code{raddenest} are consistent with Maxima's default interpretation for
  95 @var{n}-th roots of a real:
  96
  97 @itemize
  98 @item
  99 @iftex
 100 @tex
 101 $a^{1\over n}$
 102 @end tex
 103 @end iftex
 104 @ifnottex
 105 @math{a^(1/n)}
 106 @end ifnottex
 107 with positive @var{a} corresponds to the positive real branch;
 108 @item
 109 @iftex
 110 @tex
 111 $\sqrt{a}$
 112 @end tex
 113 @end iftex
 114 @ifnottex
 115 @math{sqrt(a)}
 116 @end ifnottex
 117 with negative @var{a} corresponds to
 118 @iftex
 119 @tex
 120 $i\sqrt{-a}$
 121 @end tex
 122 @end iftex
 123 @ifnottex
 124 @math{%i*sqrt(-a)}
 125 @end ifnottex
 126 ;
 127 @item
 128 @iftex
 129 @tex
 130 $a^{1\over3}$
 131 @end tex
 132 @end iftex
 133 @ifnottex
 134 @math{a^(1/3)}
 135 @end ifnottex
 136 with negative @var{a} is interpreted using the real branch of
 137 the cube root if @code{@var{domain}=real}; with @code{@var{domain}=complex}
 138 subexpressions involving roots other than square roots are left unchanged.
 139 @end itemize
 140
 141 Examples:
 142
 143 @c ===beg===
 144 @c load (raddenest)$
 145 @c sqrt(sqrt(16+2*sqrt(55-10*sqrt(29))-2*sqrt(29))-sqrt(5))$
 146 @c raddenest(%);
 147 @c sqrt(1+1/(7+4*sqrt(3)));
 148 @c raddenest(%);
 149 @c sqrt(8*sqrt(2)+2*sqrt(5)-18);
 150 @c raddenest(%);
 151 @c raddenest(sqrt(5^(1/3)-4^(1/3)));
 152 @c raddenest((41-29*sqrt(2))^(1/5));
 153 @c assume(y>0)$
 154 @c raddenest(sqrt(9*y+6*x^2*sqrt(y)+x^4));
 155 @c a: (2-sqrt(5))^(1/3)$
 156 @c raddenest(a);
 157 @c raddenest(a), domain:'complex;
 158 @c ===end===
 159 @example
 160 (%i1) load (raddenest)$
 161 (%i2) sqrt(sqrt(16+2*sqrt(55-10*sqrt(29))-2*sqrt(29))-sqrt(5))$
 162 @group
 163 (%i3) raddenest(%);
 164                                        1/4
 165 (%o3)                 (11 - 2 sqrt(29))
 166 @end group
 167 @group
 168 (%i4) sqrt(1+1/(7+4*sqrt(3)));
 169                                 1
 170 (%o4)                sqrt(------------- + 1)
 171                           4 sqrt(3) + 7
 172 @end group
 173 @group
 174 (%i5) raddenest(%);
 175 (%o5)                   sqrt(6) - sqrt(2)
 176 @end group
 177 @group
 178 (%i6) sqrt(8*sqrt(2)+2*sqrt(5)-18);
 179                                      7/2
 180 (%o6)              sqrt(2 sqrt(5) + 2    - 18)
 181 @end group
 182 @group
 183 (%i7) raddenest(%);
 184 (%o7)       ((- sqrt(10)) + sqrt(5) + sqrt(2) + 1) %i
 185 @end group
 186 @group
 187 (%i8) raddenest(sqrt(5^(1/3)-4^(1/3)));
 188                          1/3      1/3    1/3
 189                     (- 25   ) + 20    + 2
 190 (%o8)               ------------------------
 191                                3
 192 @end group
 193 @group
 194 (%i9) raddenest((41-29*sqrt(2))^(1/5));
 195 (%o9)                      1 - sqrt(2)
 196 @end group
 197 (%i10) assume(y>0)$
 198 @group
 199 (%i11) raddenest(sqrt(9*y+6*x^2*sqrt(y)+x^4));
 200                                       2
 201 (%o11)                   3 sqrt(y) + x
 202 @end group
 203 (%i12) a: (2-sqrt(5))^(1/3)$
 204 @group
 205 (%i13) raddenest(a);
 206                            1   sqrt(5)
 207 (%o13)                     - - -------
 208                            2      2
 209 @end group
 210 @group
 211 (%i14) raddenest(a), domain:'complex;
 212                                      1/3
 213 (%o14)                  (2 - sqrt(5))
 214 @end group
 215 @end example
 216
 217 Limitations:
 218
 219 @code{raddenest} may in some cases only lower the index of a root without
 220 actually decreasing the absolute nesting depth of @var{expr}:
 221
 222 @c ===beg===
 223 @c load (raddenest)$
 224 @c raddenest((5*sqrt(2)+7)^(1/6));
 225 @c ===end===
 226 @example
 227 (%i1) load (raddenest)$
 228 @group
 229 (%i2) raddenest((5*sqrt(2)+7)^(1/6));
 230 (%o2)                   sqrt(sqrt(2) + 1)
 231 @end group
 232 @end example
 233
 234 References:
 235
 236 @enumerate
 237 @item
 238 Allan Borodin, Ronald Fagin, John E. Hopcroft, and Martin Tompa:
 239 @cite{Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots}
 240 J. Symbolic Computation (1985) 1, 169-188@*
 241 @url{http://researcher.watson.ibm.com/researcher/files/us-fagin/symb85.pdf}
 242 @item
 243 David J. Jeffrey and Albert D. Rich:
 244 @cite{Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting}
 245 in @cite{Computer Algebra Systems: A Practical Guide}
 246 M.J. Wester, Ed., Wiley 1999@*
 247 @url{http://www.cybertester.com/data/denest.pdf}
 248 @item
 249 Thomas J. Osler:
 250 @cite{Cardan Polynomials and the Reduction of Radicals}
 251 Mathematics Magazine 74(1), Feb. 2001@*
 252 @url{http://www.rowan.edu/open/depts/math/osler/mathmag026-032.pdf}
 253 @item
 254 Mascha Honsbeek:
 255 @cite{Radical Extensions and Galois Groups}, Chapter 3
 256 (PhD Thesis)@*
 257 @url{http://www.math.kun.nl/~bosma/students/honsbeek/M_Honsbeek_thesis.pdf}
 258 @item
 259 SymPy @code{sqrtdenest()} @url{http://www.sympy.org}
 260 @end enumerate
 261
 262 @end deffn
 263
 264 @node Function and variable index,  , Functions and variables for package raddenest, Top
 265 @appendix Function and variable index
 266 @printindex fn
 267 @printindex vr
 268
 269 @bye