share/sym/doconline

   1
   2 - Inserer les fonctions decrites ci-desous dans le fichier "macsym.doc"
   3   en lui conservant son ordonnancement (dictionnaire).
   4
   5 - Inserer dans le fichier "index" chaque nom de fonction avec
   6   son numero de ligne dans "macsym.doc"
   7
   8
   9
  10                         Documentation de SYM
  11
  12 &ARITE(DEGRE, ARITE, PUISSANCES) applique le the'ore`me de l'arite'
  13 (A. Valibouze (1992) Sur l'arit\'e des fonctions, \`a parai^tre dans
  14 la revue European Journal of Combinatorics ). Cette fonction permet de
  15 passer d'une fonction puissance d'une  resolvante en ARITE variables
  16 a une fonction puissance en DEGRE variables. Elle rajoute un
  17 coefficient binomial a chaque partition. On suppose que les fonctions
  18 puissances sont DONNEES SUR LA BASE DES FORMES MONOMIALES DE MANIERE
  19 PARTITIONNEE DANS LA LISTE $PUISSANCES. Ci dessous la liste des
  20 fonctions puissances est [x^2*y^4,x^5*y^5 + x^2,x^2*y^2+x^3] l'arite'
  21 est 2 et le degre' est 4. Cette fonction est utile aux calculs de re'solvantes.
  22
  23   arite(4,2,[[[1,2,4]],[[1,5,5],[1,2]],[[1,2,2],[1,3]]]);
  24
  25        [[[1, 2, 4]], [[1, 5, 5], [3, 2]], [[1, 2, 2], [3, 3]]]
  26
  27  aux fonctions puissances
  28 calcule'es de manie`re "contracte'e" dans PUISSANCES.
  29
  30
  31
  32 &CARD_ORBIT(partition,n) partition est une liste sous la forme
  33 [a1,m1,...,aq,mq] ou` mi est la multiplicite' de ai dans la partition.
  34 La fonction calcule le cardinal de l'orbite de la partition sous
  35 l'action du groupe syme'trique de degre' n.
  36
  37  CARD_ORBIT([5,2,1,3],6);
  38
  39                                  60
  40
  41 &CARD_STAB(l,egal) l est une liste d'objets ordonne's et egal est le
  42 test d'e'galite'entre eux. Soit N la longueur de la liste l. Cette fonction
  43 calcule le cardinal du stabilisateur de l sous l'action du groupe syme'trique
  44 d'ordre N.
  45
  46  CARD_STAB([a, a, c, b, b], eq);
  47
  48                                 4
  49
  50  CARD_STAB([1,1,2,3,3], "=");
  51
  52                                 4
  53
  54 &COMP2ELE(n, l) re'alise le passage des fonctions syme'triques
  55 comple`tes, donnee's dans la liste l, aux fonctions
  56 syme'triques e'le'mentaires de 0 a` n. Si la liste
  57 l contient moins de n+1 e'le'ments les valeurs formelles viennent
  58 la comple'ter. Le premier e'le'ment de la liste l donne le cardinal
  59 de l'alphabet si il existe, sinon on le met e'gal a` n.
  60
  61 COMP2ELE(3,[4,g1]);
  62                             2                3
  63            [4, g1, - h2 + g1 , - 2 g1 h2 + g1  + h3]
  64
  65 autres fonctions de changements de bases :
  66
  67 COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI,
  68 PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
  69
  70 &COMP2PUI(n, l) re'alise le passage des fonctions syme'triques
  71 comple`tes, donnee's dans la liste l, aux fonctions
  72 syme'triques e'le'mentaires de 0 a` n. Si la liste
  73 l contient moins de n+1 e'le'ments les valeurs formelles viennent
  74 la completer. Le premier e'le'ment de la liste l donne le cardinal
  75 de l'alphabet si il existe, sinon on le met e'gal a n.
  76
  77 COMP2PUI(3,[4,g]);
  78                      2          3
  79            [4, g, - g  + 2 h2, g  - 3 h2 g + 3 h3]
  80
  81
  82
  83 &CONT2PART(pc,lvar) rend le polyno^me partitionne' associe'
  84 a` la forme  contracte'e pc dont les variables sont dans lvar.
  85
  86 pc : 2*a^3*b*x^4*y + x^5$
  87 CONT2PART(pc,[x,y]);
  88                          3
  89                     [[2 a  b, 4, 1], [1, 5]]
  90
  91 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
  92
  93 CONTRACT, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.
  94
  95 &CONTRACT(psym,lvar) rend une forme contracte'e (i.e. un mono^me
  96 par orbite sous l'action du groupe syme'trique) du polyno^me psym
  97 en les variables contenues dans la liste lvar. La fonction EXPLOSE
  98 re'alise l'ope'ration inverse. La fonction TCONTRACT teste en plus
  99 la syme'trie du polyno^me.
 100
 101 psym : EXPLOSE(2*a^3*b*x^4*y,[x,y,z]);
 102
 103         3      4      3      4      3    4
 104      2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z
 105                 3    4        3      4      3    4
 106            + 2 a  b x  z + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
 107
 108 CONTRACT(psym,[x,y,z]);
 109
 110                         3    4
 111                      2 a  b x  y
 112
 113 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 114
 115 CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.
 116
 117 &DIRECT([P1,...,Pn],y,f,[lvar1,...,lvarn]) calcul l'image
 118 directe (voir M. GIUSTI,D. LAZARD et A. VALIBOUZE, ISSAC 1988, Rome)
 119 associe'e a` la fonction f, en les listes de variables lvar1,...,lvarn,
 120 et aux polyno^mes P1,...,Pn d'une variable y. l'arite' de la fonction
 121 f est importante pour le calcul. Ainsi, si l'expression de f ne depend
 122 pas d'une variable, non seulement il est inutile de donner cette
 123 variable mais cela diminue conside'rablement lees calculs si on ne le
 124 fait pas.
 125
 126 DIRECT([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2], z, b*v + a*u,
 127               [[u, v], [a, b]]);
 128
 129                     2                         2           2
 130                    z  - e1 f1 z - 4 e2 f2 + e1  f2 + e2 f1
 131
 132 DIRECT([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2], z, b*v + a*u,
 133               [[u, v], [a, b]]);
 134
 135        6            5            4       2     4          2  4     2   2  4
 136       Y  - 2 E1 F1 Y  - 6 E2 F2 Y  + 2 E1  F2 Y  + 2 E2 F1  Y  + E1  F1  Y
 137
 138                3                  3       3        3          3  3
 139  + 9 E3 F1 F2 Y  + 5 E1 E2 F1 F2 Y  - 2 E1  F1 F2 Y  - 2 E3 F1  Y
 140
 141              3  3       2   2  2       2      2  2     4   2  2
 142  - 2 E1 E2 F1  Y  + 9 E2  F2  Y  - 6 E1  E2 F2  Y  + E1  F2  Y
 143
 144              2     2       2   2     2       2      2     2             4  2
 145  - 9 E1 E3 F1  F2 Y  - 6 E2  F1  F2 Y  + 3 E1  E2 F1  F2 Y  + 2 E1 E3 F1  Y
 146
 147      2   4  2                 2         2         2            2      2
 148  + E2  F1  Y  - 27 E2 E3 F1 F2  Y + 9 E1  E3 F1 F2  Y + 3 E1 E2  F1 F2  Y
 149
 150      3         2                3            2      3             2   3
 151  - E1  E2 F1 F2  Y + 15 E2 E3 F1  F2 Y - 2 E1  E3 F1  F2 Y - E1 E2  F1  F2 Y
 152
 153              5          2   3                 3       3      3       3   3
 154  - 2 E2 E3 F1  Y - 27 E3  F2  + 18 E1 E2 E3 F2  - 4 E1  E3 F2  - 4 E2  F2
 155
 156      2   2   3        2   2   2                2   2     3      2   2
 157  + E1  E2  F2  + 27 E3  F1  F2  - 9 E1 E2 E3 F1  F2  + E1  E3 F1  F2
 158
 159      3   2   2       2   4                 4        2   6
 160  + E2  F1  F2  - 9 E3  F1  F2 + E1 E2 E3 F1  F2 + E3  F1
 161
 162 Recherche du polyno^me dont les racines sont les somme a+u ou a est
 163 racine de z^2  - e1* z + e2 et u est racine de z^2  - f1* z + f2
 164
 165 DIRECT([z^2  - e1* z + e2,z^2  - f1* z + f2], z,a+u,[[u],[a]]);
 166
 167        4         3         3         2     2  2            2         2     2  2
 168       Y  - 2 F1 Y  - 2 E1 Y  + 2 F2 Y  + F1  Y  + 3 E1 F1 Y  + 2 E2 Y  + E1  Y
 169
 170                                 2                   2                      2
 171  - 2 F1 F2 Y - 2 E1 F2 Y - E1 F1  Y - 2 E2 F1 Y - E1  F1 Y - 2 E1 E2 Y + F2
 172
 173                           2           2                2
 174  + E1 F1 F2 - 2 E2 F2 + E1  F2 + E2 F1  + E1 E2 F1 + E2
 175
 176
 177 DIRECT peut prendre deux drapeaux possibles : ELEMENTAIRES et
 178 PUISSANCES (valeur par de'faut) qui permettent de de'composer
 179 les polyno^mes syme'triques apparaissant dans ce calcul par
 180 les fonctions syme'triques e'le'mentaires ou les fonctions puissances
 181 respectivement.
 182
 183 fonctions de SYM utilis'ees dans cette fonction :
 184
 185 MULTI_ORBIT (donc ORBIT), PUI_DIRECT, MULTI_ELEM (donc ELEM),
 186 MULTI_PUI (donc PUI), PUI2ELE, ELE2PUI (si le drapeau DIRECT est
 187 a` PUISSANCES).
 188
 189 &ELE2COMP(m , l) passe des fonctions syme'triques e'le'mentaires
 190 aux fonctions comple`tes. Similaire a` COMP2ELE et COMP2PUI.
 191
 192 autres fonctions de changements de bases :
 193
 194 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI,
 195 PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 196
 197 &ELE2POLYNOME(l,z) donne le polyno^me en z dont les fonctions
 198 syme'triques e'le'mentaires des racines sont dans la liste l.
 199 l=[n,e1,...,en] ou` n est le degre' du polyno^me et ei la i-ie`me
 200 fonction syme'trique e'le'mentaire.
 201
 202  ele2polynome([2,e1,e2],z);
 203
 204                                   2
 205                                  Z  - E1 Z + E2
 206
 207  polynome2ele(x^7-14*x^5  + 56*x^3  - 56*X + 22,x);
 208
 209               [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
 210  ele2polynome( [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22],x);
 211
 212                           7       5       3
 213                          X  - 14 X  + 56 X  - 56 X + 22
 214
 215
 216
 217   la re'ciproque : POLYNOME2ELE(p,z)
 218
 219 autres fonctions a` voir :
 220
 221 POLYNOME2ELE, PUI2POLYNOME.
 222
 223 &ELE2PUI(m, l) passe des fonctions syme'triques e'le'mentaires
 224 aux fonctions comple`tes. Similaire a` COMP2ELE et COMP2PUI.
 225
 226 autres fonctions de changements de bases :
 227
 228 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI,
 229 PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 230
 231 &ELEM(ele,sym,lvar) de'compose le polyno^me syme'trique sym, en les variables
 232 contenues de la liste lvar, par les fonctions syme'triques e'le'mentaires
 233 contenues dans la liste ele. Si le premier e'le'ment de ele est donne'
 234 ce sera le cardinal de l'alphabet sinon on prendra le degre' du polyno^me
 235 sym. Si il manque des valeurs a` la liste ele des valeurs formelles
 236 du type "ei" sont rajoute'es. Le polyno^me sym peut etre donne'
 237 sous 3 formes diffe'rentes : contracte'e (ELEM doit alors valoir 1 sa valeur
 238 par de'faut), partitionne'e (ELEM doit alors valoir 3) ou e'tendue (i.e. le
 239 polyno^me en entier) (ELEM doit alors valoir 2). L'utilsation
 240 de la fonction PUI se re'alise sur le me^me mode`le.
 241
 242 Sur un alphabet de cardinal 3 avec e1, la premie`re fonction syme'trique
 243 e'le'mentaire, valant 7, le polyno^me syme'trique en 3 variables dont
 244 la forme contracte'e (ne de'pendant ici que de deux de ses variables)
 245 est x^4-2*x*y se de'compose ainsi en les fonctions syme'triques
 246 e'le'mentaires :
 247
 248 ELEM([3,7],x^4-2*x*y,[x,y]);
 249
 250                                2
 251                    28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401
 252
 253 autres fonctions de changements de bases :
 254
 255 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI,
 256 PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 257
 258 &EXPLOSE(pc,lvar) rend le polyno^me syme'trique associe' a` la forme
 259 contracte'e pc. La liste lvar contient les variables.
 260
 261 EXPLOSE(a*x +1,[x,y,z]);
 262
 263                      (x + y + z) a + 1
 264
 265 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 266
 267 CONTRACT, CONT2PART, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.
 268
 269 &KOSTKA(part1,part2) (e'crite par P. ESPERET) calcule le nombre de
 270 kostka associe' aux partition part1 et part2
 271
 272 kostka([3,3,3],[2,2,2,1,1,1]);
 273                                   6
 274
 275 &LGTREILLIS(n,m) rend la liste des partitions de poids n et de longueur m.
 276
 277  LGTREILLIS(4,2);
 278
 279                                [[3, 1], [2, 2]]
 280
 281  Voir e'galement : LTREILLIS, TREILLIS et TREINAT.
 282
 283 &LTREILLIS(n,m) rend la liste des partitions de poids n et de longueur
 284 infe'rieure ou e'gale a` m.
 285
 286  ltreillis(4,2);
 287
 288                          [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]
 289
 290  Voir e'galement : LGTREILLIS, TREILLIS et TREINAT.
 291
 292 &MON2SCHUR(l) la liste l repre'sente la fonction de Schur S_l :
 293  On a l=[i1,i2,...,iq]
 294 avec i1 <= i2 <= ... <= iq . La fonction de Schur est S_[i1,i2...,iq]
 295 est le mineur de la matrice infinie (h_{i-j}) i>=1, j>=1 compose'
 296 des q premie`res lignes et des colonnes i1+1,i2+2,...,iq+q.
 297
 298 On e'crit cette fonction de Schur en fonction des
 299 formes monomiales en utilisant les fonctions TREINAT et KOSTKA. La forme
 300 rendue est un polyno^me syme'trique dans une de ses repre'sentations
 301 contracte'es avec les variables x1, x2, ...
 302
 303  mon2schur([1,1,1]);
 304
 305                                X1 X2 X3
 306
 307  mon2schur([3]);
 308
 309                                          2        3
 310                             X1 X2 X3 + X1  X2 + X1
 311  MON2SCHUR([1,2]);
 312                                              2
 313                               2 x1 x2 x3 + x1  x2
 314
 315 ce qui veut dire que pour 3 variables cela donne :
 316        2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1 + x2^2 x3 + x3^2 x2
 317
 318 autres fonctions de changements de bases :
 319
 320 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MULTI_ELEM, MULTI_PUI,
 321 PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 322
 323 &MULTI_ELEM(l_elem,multi_pc,l_var) de'compose un polyno^me
 324 multi-syme'trique sous la forme multi-contracte'e multi_pc en les groupes
 325 de variables contenue dans la liste de listes l_var sur les
 326 groupes de fonctions syme'triques e'le'mentaires contenues dans l_elem.
 327
 328 MULTI_ELEM([[2,e1,e2],[2,f1,f2]],a*x+a^2+x^3,[[x,y],[a,b]]);
 329
 330                                 2                       3
 331                      - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1
 332
 333
 334 autres fonctions de changements de bases :
 335
 336 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_PUI,
 337 PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 338
 339 &MULTI_ORBIT(P,[lvar1, lvar2,...,lvarp]) P est un polyno^me en l'ensemble
 340 des variables contenues dans les listes lvar1, lvar2 ... lvarp.
 341 Cette fonction rame`ne l'orbite du polyno^me P sous l'action du produit
 342 des groupes syme'triques des ensembles de variables repre'sente's par
 343 ces p LISTES.
 344
 345  MULTI_ORBIT(a*x+b*y,[[x,y],[a,b]]);
 346
 347           [b y + a x, a y + b x]
 348
 349  multi_orbit(x+y+2*a,[[x,y],[a,b,c]]);
 350
 351               [Y + X + 2 C, Y + X + 2 B, Y + X + 2 A]
 352
 353
 354   voir e'galement : ORBIT pour l'action d'un seul groupe syme'trique
 355
 356 &MULTI_PUI est a` la fonction PUI ce que la fonction MULTI_ELEM est
 357 a` la fonction ELEM.
 358
 359 MULTI_PUI([[2,p1,p2],[2,t1,t2]],a*x+a^2+x^3,[[x,y],[a,b]]);
 360
 361                                               3
 362                                        3 P1 P2   P1
 363                           T2 + P1 T1 + ------- - ---
 364                                           2       2
 365
 366
 367 &MULTINOMIAL(r,part) ou` r est le poids de la partition part. Cette
 368 fonction rame`ne le coefficient multinomial associe' : si les
 369 parts de la partitions part sont i1, i2, ..., ik, le re'sultat de
 370 MULTINOMIAL est r!/(i1!i2!...ik!).
 371
 372 &MULTSYM(ppart1, ppart2,N) re'alise le produit de deux polyno^mes
 373 syme'triques de N variables en ne travaillant que modulo l'action du
 374 groupe syme'trique d'ordre N. Les polyno^mes sont dans leur repre'sentation
 375 partitionne'e.
 376
 377 Soient les 2 polyno^mes syme'triques en x, y : 3*(x+y) + 2*x*y et 5*(x^2+y^2)
 378 dont les formes partitionne'es sont respectivement [[3,1],[2,1,1]] et [[5,2]],
 379 alors leur produit sera donne' par :
 380
 381  MULTSYM([[3,1],[2,1,1]],[[5,2]],2);
 382
 383             [[10, 3, 1], [15, 2, 1], [15, 3, 0]]
 384
 385 soit 10*(x^3*y+y^3*x)+15*(x^2*y +y^2*x) +15(x^3+y^3)
 386
 387 Fonctions de changements de repre'sentations d'un polyno^me syme'trique :
 388
 389 CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.
 390
 391 &ORBIT(P,lvar) calcul l'orbite du polyno^me P en les variables de la liste
 392 lvar sous l'action du groupe syme'trique de l'ensemble des variables contenues
 393 dans la liste lvar.
 394
 395  orbit(a*x+b*y,[x,y]);
 396
 397                         [A Y + B X, B Y + A X]
 398  orbit(2*x+x^2,[x,y]);
 399                                 2         2
 400                               [Y  + 2 Y, X  + 2 X]
 401
 402
 403  voir e'galement : MULTI_ORBIT pour l'action d'un produit de groupes
 404 syme'triques sur un polyno^me.
 405
 406 &PART2CONT(ppart,lvar) passe de la forme partitionne'e a` la forme contracte'e
 407 d'un polyno^me syme'trique. La forme contracte'e est rendue avec les variables
 408 contenues dans lvar.
 409
 410 PART2CONT([[2*a^3*b,4,1]],[x,y]);
 411
 412                         3    4
 413                      2 a  b x  y
 414
 415 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 416
 417 CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PARTPOL, TCONTRACT, TPARTPOL.
 418
 419 &PARTPOL(psym, lvar) psym est un polyno^me syme'trique en les variables
 420 de lvar. Cette fonction rame`ne sa repre'sentation partitionne'e.
 421
 422 PARTPOL(-a*(x+y)+3*x*y,[x,y]);
 423
 424                    [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]
 425
 426 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 427
 428 CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, TCONTRACT, TPARTPOL.
 429
 430 &PERMUT(l) rame`ne la liste des permutations de la liste l.
 431
 432 &POLYNOME2ELE(p,x) donne la liste l=[n,e1,...,en] ou` n est le degre'
 433 du polyno^me p en la variable x et ei la i-ieme fonction syme'trique
 434 e'le'mentaire des racines de p.
 435
 436  POLYNOME2ELE(x^7-14*x^5  + 56*x^3  - 56*X + 22,x);
 437
 438               [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
 439
 440  ELE2POLYNOME( [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22],x);
 441
 442                           7       5       3
 443                          X  - 14 X  + 56 X  - 56 X + 22
 444
 445   la re'ciproque : ELE2POLYNOME(l,x)
 446
 447 &PRODRAC(L,K) L est une liste contenant les fonctions syme'triques
 448 e'le'mentaires sur un ensemble A. PRODRAC rend le polyno^me dont
 449 les racines sont les produits K a` K des e'le'ments de A.
 450
 451 &PUI(pui,sym,lvar) de'compose le polyno^me syme'trique sym, en les variables
 452 contenues de la liste lvar, par les fonctions puissances
 453 contenues dans la liste pui. Si le premier e'le'ment de pui est donne'
 454 ce sera le cardinal de l'alphabet sinon on prendra le degre' du polyno^me
 455 sym. Si il manque des valeurs a` la liste pui, des valeurs formelles
 456 du type "pi" sont rajoute'es. Le polyno^me sym peut etre donne'
 457 sous 3 formes diffe'rentes : contracte'e (PUI doit alors valoir 1 sa valeur
 458 par de'faut), partitionne'e (PUI doit alors valoir 3) ou e'tendue (i.e. le
 459 polyno^me en entier) (PUI doit alors valoir 2). La fonction ELEM
 460 s'utilise de la me^me manie`re.
 461
 462 PUI;
 463
 464                        1
 465 PUI([3,a,b],u*x*y*z,[x,y,z]);
 466
 467                                3
 468                              (a  - 3 b a + 2 p3) u
 469                              ---------------------
 470                                       6
 471
 472 autres fonctions de changements de bases :
 473
 474 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM,
 475 MULTI_PUI, PUI2COMP, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 476
 477 &PUI2COMP(N,LPUI) rend la liste des N premie`res fonctions comple`tes
 478 (avec en te^te le cardinal) en fonction des fonctions puissance donne'es dans
 479 la liste LPUI. Si la liste LPUI est vide le cardinal est N sinon
 480 c'est son premier e'le'ment similaire a` COMP2ELE et COMP2PUI.
 481
 482  PUI2COMP(2,[]);
 483
 484                                          2
 485                                        p1  + p2
 486                                [2, p1, --------]
 487                                           2
 488
 489  PUI2COMP(3,[2,a1]);
 490
 491                               2         3
 492                             a1  + p2  a1  + 3 p2 a1 + 2 p3
 493                     [2, a1, --------, --------------------]
 494                                2               6
 495
 496 Autres fonctions de changements de bases :
 497
 498 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM,
 499 MULTI_PUI, PUI, PUI2ELE, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 500
 501 &PUI2ELE(N,LPUI) re'alise le passage des fonctions puissances aux
 502 fonctions syme'triques e'le'mentaires.
 503 Si le drapeau PUI2ELE est GIRARD, on re'cupe`re la liste des fonctions
 504 syme'triques e'le'mentaires de 1 a` N, et s'il est e'gal a`  CLOSE,
 505 la Nie`me fonction syme'trique e'le'mentaire.
 506
 507 Autres fonctions de changements de bases :
 508
 509 COMP2ELE, COMP2PUI, ELE2COMP, ELE2PUI, ELEM, MON2SCHUR, MULTI_ELEM, MULTI_PUI,
 510 PUI, PUI2COMP, PUIREDUC, SCHUR2COMP.
 511
 512 &PUI2POLYNOME(X,LPUI) calcul le polyno^me en X dont les fonctions puissances
 513 des racines sont donne'es dans la liste LPUI.
 514
 515
 516 (C6) polynome2ele(x^3-4*x^2+5*x-1,x);
 517 (D6)                             [3, 4, 5, 1]
 518 (C7) ele2pui(3,%);
 519 (D7)                             [3, 4, 6, 7]
 520 (C8) pui2polynome(x,%);
 521                                3      2
 522 (D8)                          X  - 4 X  + 5 X - 1
 523
 524 Autres fonctions a` voir :
 525
 526 POLYNOME2ELE, ELE2POLYNOME.
 527
 528
 529 &PUI_DIRECT(ORBITE,[lvar1,...,lvarn],[d1,d2,...,dn])
 530   Soit f un polynome en n blocs de variables lvar1,...,lvarn.
 531   Soit ci le nombre de variables dans lvari . Et SC le produit des n
 532   groupes syme'triques de degre' c1,...,cn. Ce groupe agit
 533   naturellement sur f
 534   La liste ORBITE est l'orbite, note'e SC(f), de la fonction f sous
 535   l'action de SC. (Cette liste peut e^tre obtenue avec la fonction :
 536   MULTI_ORBIT).
 537   Les di sont des entiers tels que c1<=d1, c2<=d2,...,cn<=dn.
 538   Soit SD le produit des groupes syme'triques S_d1 x S_d2 x...x S_dn.
 539
 540   la fonction pui_direct rame`ne les N premie`res fonctions puissances de SD(f)
 541   de'duites des fonctions puissances de SC(f) ou` N est le cardinal de SD(f).
 542
 543   Le re'sultat est rendue sous forme multi-contracte'e par rapport a SD.
 544  (i.e. on ne conserve qu'un e'le'ment par orbite sous l'action de SD).
 545
 546 L:[[x,y],[a,b]]$
 547
 548 PUI_DIRECT(MULTI_ORBIT(a*x+b*y, L), L,[2,2]);
 549
 550                                     2  2
 551                  [a x, 4 a b x y + a  x ]
 552
 553 PUI_DIRECT(MULTI_ORBIT(a*x+b*y, L), L,[3,2]);
 554
 555                          2  2     2    2        3  3
 556   [2 A X, 4 A B X Y + 2 A  X , 3 A  B X  Y + 2 A  X ,
 557
 558     2  2  2  2      3    3        4  4
 559 12 A  B  X  Y  + 4 A  B X  Y + 2 A  X ,
 560
 561     3  2  3  2      4    4        5  5
 562 10 A  B  X  Y  + 5 A  B X  Y + 2 A  X ,
 563
 564     3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
 565 40 A  B  X  Y  + 15 A  B  X  Y  + 6 A  B X  Y + 2 A  X ]
 566
 567  PUI_DIRECT([y+x+2*c, y+x+2*b, y+x+2*a],[[x,y],[a,b,c]],[2,3]);
 568
 569                              2              2
 570       [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a ,
 571
 572               2                   3        2       2        3
 573            9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]
 574
 575
 576 PUI_DIRECT([y+x+2*c, y+x+2*b, y+x+2*a],[[x,y],[a,b,c]],[3,4]);
 577
 578 &PUIREDUC(N,LPUI) LPUI est une liste dont le premier e'le'ment est un entier
 579 M. PUIREDUC donne les N premie`res fonctions puissances en fonction
 580 des M premie`res.
 581
 582 PUIREDUC(3,[2]);
 583
 584                                                   3
 585                                       3 p1 p2 - p1
 586                           [2, p1, p2, -------------]
 587
 588                                             2
 589
 590 &RESOLVANTE(p,x,f,[x1,...,xd]) calcule la re'solvante du polyno^me p
 591 de la variable x et de degre' n >= d par la fonction f exprime'e en
 592 les variables x1,...,xd. Il est important pour l'efficacite' des
 593 calculs de ne pas mettre dans la liste [x1,...,xd] les variables
 594 n'intervenant pas dans la fonction de transformation f.
 595
 596 Afin de rendre plus efficaces les calculs on peut mettre des drapeaux
 597 a` la variable RESOLVANTE afin que des algorithmes ade'quates soient
 598 utilise's :
 599
 600 Si la fonction f est
 601   unitaire : un polyno^me d'une variable,
 602   line'aire ,
 603   alterne'e,
 604   une somme de variables,
 605   syme'trique en les variables qui apparaissent dans son expression,
 606   un produit de variables,
 607   la fonction de la re'solvante de Cayley (utilisable qu'en degre' 5)
 608      (x1*x2+x2*x3+x3*x4+x4*x5+x5*x1 - (x1*x3+x3*x5+x5*x2+x2*x4+x4*x1))^2
 609   generale,
 610
 611 le drapeau de RESOLVANTE pourra e^tre respectivement :
 612   unitaire,
 613   lineaire,
 614   alternee,
 615   somme,
 616   produit,
 617   cayley,
 618   generale.
 619
 620  resolvante:unitaire;
 621 resolvante(x^7-14*x^5  + 56*x^3  - 56*X + 22,x,x^3-1,[x]);
 622
 623         7      6        5         4          3           2
 624       Y  + 7 Y  - 539 Y  - 1841 Y  + 51443 Y  + 315133 Y  + 376999 Y + 125253
 625
 626    resolvante : lineaire;
 627   resolvante(x^4-1,x,x1+2*x2+3*x3,[x1,x2,x3]);
 628     24       20         16            12             8              4
 629    Y   + 80 Y   + 7520 Y   + 1107200 Y   + 49475840 Y  + 344489984 Y
 630                                                            + 655360000
 631                  Meme solution pour :
 632   resolvante : general;
 633   resolvante(x^4-1,x,x1+2*x2+3*x3,[x1,x2,x3]);
 634   resolvante(x^4-1,x,x1+2*x2+3*x3,[x1,x2,x3,x4])
 635   direct([x^4-1],x,x1+2*x2+3*x3,[[x1,x2,x3]]);
 636
 637   resolvante:lineaire$
 638   resolvante(x^4-1,x,x1+x2+x3,[x1,x2,x3);
 639
 640                                  4
 641                                 Y  - 1
 642
 643   resolvante:symetrique$
 644
 645   resolvante(x^4-1,x,x1+x2+x3,[x1,x2,x3]);
 646
 647                                  4
 648                                 Y  - 1
 649   resolvante(x^4+x+1,x,x1-x2,[x1,x2]);
 650             12      8       6        4        2
 651            Y   + 8 Y  + 26 Y  - 112 Y  + 216 Y  + 229
 652
 653   resolvante:alternee$
 654   resolvante(x^4+x+1,x,x1-x2,[x1,x2]);
 655
 656             12      8       6        4        2
 657            Y   + 8 Y  + 26 Y  - 112 Y  + 216 Y  + 229
 658
 659
 660   resolvante:produit;
 661   resolvante(x^7-7*x+3,x,x1*x2*x3,[x1,x2,x3]);
 662
 663          35      33         29        28         27        26         24
 664         Y   - 7 Y   - 1029 Y   + 135 Y   + 7203 Y   - 756 Y   + 1323 Y
 665
 666            23          22            21           20          19           18
 667  + 352947 Y   - 46305 Y   - 2463339 Y   + 324135 Y   - 30618 Y   - 453789 Y
 668
 669              17              15             14              12             11
 670  - 40246444 Y   + 282225202 Y   - 44274492 Y   + 155098503 Y   + 12252303 Y
 671
 672             10              9            8            7             6
 673  + 2893401 Y   - 171532242 Y  + 6751269 Y  + 2657205 Y  - 94517766 Y
 674
 675             5             3
 676  - 3720087 Y  + 26040609 Y  + 14348907
 677
 678    resolvante:symetrique$
 679   resolvante(x^7-7*x+3,x,x1*x2*x3,[x1,x2,x3]);
 680
 681        35      33         29        28         27        26         24
 682       Y   - 7 Y   - 1029 Y   + 135 Y   + 7203 Y   - 756 Y   + 1323 Y
 683
 684            23          22            21           20          19           18
 685  + 352947 Y   - 46305 Y   - 2463339 Y   + 324135 Y   - 30618 Y   - 453789 Y
 686
 687              17              15             14              12             11
 688  - 40246444 Y   + 282225202 Y   - 44274492 Y   + 155098503 Y   + 12252303 Y
 689
 690             10              9            8            7             6
 691  + 2893401 Y   - 171532242 Y  + 6751269 Y  + 2657205 Y  - 94517766 Y
 692
 693             5             3
 694  - 3720087 Y  + 26040609 Y  + 14348907
 695
 696  resolvante:cayley$
 697  resolvante(x^5-4*x^2+x+1,x,a,[]);
 698
 699 " resolvante de Cayley "
 700
 701        6       5         4          3            2
 702       X  - 40 X  + 4080 X  - 92928 X  + 3772160 X  + 37880832 X + 93392896
 703
 704 Pour la re'solvante de Cayley, les 2 derniers arguments sont neutres
 705 et le polyno^me donne' en entre'e doit ne'cessairement e^tre de degre' 5.
 706
 707 Voir e'galement : RESOLVANTE_BIPARTITE, RESOLVANTE_PRODUIT_SYM,
 708 RESOLVANTE_UNITAIRE, RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN,
 709 RESOLVANTE_KLEIN3, RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.
 710
 711 &RESOLVANTE_ALTERNEE1(p,x) calcule la transformation de
 712  p(x) de degre n par la fonction $\prod_{1\leq i<j\leq n-1} (x_i-x_j)$.
 713
 714 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 715 RESOLVANTE , RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 716 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE, RESOLVANTE_BIPARTITE.
 717
 718 &RESOLVANTE_BIPARTITE(p,x) calcule la transformation de
 719  p(x) de degre n (n pair) par la fonction
 720          $x_1x_2\ldots x_{n/2}+x_{n/2+1}\ldotsx_n$
 721
 722 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 723 RESOLVANTE , RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 724 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE,RESOLVANTE_ALTERNEE1
 725
 726  RESOLVANTE_BIPARTITE(x^6+108,x);
 727
 728                  10        8           6             4
 729                 Y   - 972 Y  + 314928 Y  - 34012224 Y
 730
 731
 732 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 733 RESOLVANTE , RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 734 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE,RESOLVANTE_ALTERNEE1.
 735
 736 &RESOLVANTE_DIEDRALE(p,x) calcule la transformation de
 737 p(x) par la fonction x_1x_2+x_3x_4.
 738
 739 resolvante_diedrale(x^5-3*x^4+1,x);
 740    15       12       11       10        9         8         7        6
 741   X   - 21 X   - 81 X   - 21 X   + 207 X  + 1134 X  + 2331 X  - 945 X
 742
 743                      5          4          3          2
 744              - 4970 X  - 18333 X  - 29079 X  - 20745 X  - 25326 X - 697
 745
 746 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 747 RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 748 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE.
 749
 750 &RESOLVANTE_KLEIN(p,x)  calcule la transformation de
 751 p(x) par la fonction x_1x_2x_4+x_4.
 752
 753 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 754 RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE, RESOLVANTE_KLEIN3,
 755 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.
 756
 757 &RESOLVANTE_KLEIN3(p,x) calcule la transformation de
 758 p(x) par la fonction x_1x_2x_4+x_4.
 759
 760 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 761 RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE,
 762 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.
 763
 764 &RESOLVANTE_PRODUIT_SYM(p,x) calcule la liste toutes les
 765 r\'esolvantes produit du polyn\^ome  p(x).
 766
 767   resolvante_produit_sym(x^5+3*x^4+2*x-1,x);
 768
 769           5      4             10      8       7       6       5    4       3
 770         [Y  + 3 Y  + 2 Y - 1, Y   - 2 Y  - 21 Y  - 31 Y  - 14 Y  - Y  + 14 Y
 771
 772         2       10      8       7    6       5       4       3      2
 773    + 3 Y  + 1, Y   + 3 Y  + 14 Y  - Y  - 14 Y  - 31 Y  - 21 Y  - 2 Y  + 1,
 774
 775     5      4
 776    Y  - 2 Y  - 3 Y - 1, Y - 1]
 777
 778
 779   resolvante:produit$
 780   resolvante(x^5+3*x^4+2*x-1,x,a*b*c,[a,b,c]);
 781
 782            10      8       7    6       5       4       3      2
 783           Y   + 3 Y  + 14 Y  - Y  - 14 Y  - 31 Y  - 21 Y  - 2 Y  + 1
 784
 785 Voir e'galement : RESOLVANTE, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 786 RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 787 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.
 788
 789 &RESOLVANTE_UNITAIRE(p,q,x) calcule la r\'esolvante du
 790 polyn\^ome p(x) par le polyn\^ome q(x).
 791
 792 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE,
 793 RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 794 RESOLVANTE_VIERER, RESOLVANTE_DIEDRALE.
 795
 796 &RESOLVANTE_VIERER(p,x) calcule la transformation de
 797 p(x) par la fonction x_1x_2-x_3x_4.
 798
 799 Voir e'galement : RESOLVANTE_PRODUIT_SYM, RESOLVANTE_UNITAIRE,
 800 RESOLVANTE_ALTERNEE1, RESOLVANTE_KLEIN, RESOLVANTE_KLEIN3,
 801 RESOLVANTE, RESOLVANTE_DIEDRALE.
 802
 803 &SCHUR2COMP(P,l_var) : P est un polyno^mes en les variables contenues dans
 804 la liste l_var. Chacune des variables de l_var repre'sente une fonction
 805 syme'trique comple`te. On repre'sente dans l_var la ie`me fonction syme'trique
 806 comple`te comme la concate'nation de la lettre h avec l'entier i : hi.
 807 Cette fonction donne l'expression de P en fonction des fonctions
 808 de Schur.
 809
 810   SCHUR2COMP(h1*h2-h3,[h1,h2,h3]);
 811
 812
 813                                     s
 814                                      1, 2
 815
 816  SCHUR2COMP(a*h3,[h3]);
 817
 818                                       s  a
 819                                        3
 820
 821
 822
 823 &SOMRAC(liste,K) la liste contient les fonctions syme'triques e'le'mentaires
 824 d'un polyno^me P . On calcul le polyno^mes dont les racines sont les sommes
 825 K a` K distinctes des racines de P.
 826
 827 Voir e'galement PRODRAC.
 828
 829 &TCONTRACT(pol,lvar) teste si le polyno^me pol est syme'trique en les
 830 variables contenues dans la liste lvar. Si oui il rend une forme contracte'e
 831 comme la fonction CONTRACT.
 832
 833 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 834
 835 CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TPARTPOL.
 836
 837 &TPARTPOL(pol,lvar) teste si le polyno^me pol est syme'trique en les
 838 variables contenues dans la liste lvar. Si oui il rend sa forme partionne'e
 839 comme la fonction PARTPOL.
 840
 841 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 842
 843 CONTRACT, CONT2PART, EXPLOSE, PART2CONT, PARTPOL, TCONTRACT.
 844
 845 &TREILLIS(n) rame`ne toutes les partitions de poids n.
 846
 847  treillis(4);
 848
 849             [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
 850
 851
 852 Voir e'galement : LGTREILLIS, LTREILLIS et TREINAT.
 853
 854 &TREINAT(part)  rame`ne la liste des partitions infe'rieures a` la partition
 855   part pour l'ordre naturel.
 856
 857    treinat([5]);
 858
 859                                [[5]]
 860    treinat([1,1,1,1,1]);
 861
 862     [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]
 863
 864    treinat([3,2]);
 865
 866                         [[5], [4, 1], [3, 2]]
 867
 868 Voir e'galement : LGTREILLIS, LTREILLIS et TREILLIS.
 869