share/tensor/helicity.dem

   1 /* Copyright (C) 2003 Valerij Pipin <pip@iszf.irk.ru>
   2  *
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   7  *
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   9  * useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied
  10  * warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR
  11  * PURPOSE.  See the GNU General Public License for more details.
  12  *
  13  * Proving the conservation of helicity in hydrodynamics
  14  *
  15 */
  16 (if get('itensor,'version)=false then load(itensor),
  17  icounter:5,idummyx:j,derivabbrev:false)$
  18
  19 ("the conservation of helicity in hydrodynamics")$
  20 ("the covariant formulation of the Euler equation is")$
  21 euler:d_t*v([i1])+'liediff(v,v([i0]))=
  22       -extdiff(p([]),i1)/rho([])+extdiff((v([i0])|v/2-phi([])),i1)$
  23 ishow(euler)$
  24
  25 ("take the exterior derivative of both sides")$
  26 euler:d_t*omega([i1,i2])+'liediff(v,omega([i0,i1]))=
  27       extdiff(-extdiff(p([]),i1)/rho([])+extdiff(v([i0])|v/2-phi([]),i1),i2)$
  28 ishow(euler)$
  29 ishow(omega([i1,i2])=extdiff(v([i1]),i2))$
  30 ("declare the function's dependencies")$
  31 depends(p,[rho,s])$
  32 ("define the chain rule for the derivatives' replacement")$
  33 matchdeclare(i,symbolp);
  34 defrule(p_r, p([],[],i),'diff(p,rho)*rho([],[],i));
  35 defrule(p_sr, p([],[],i),'diff(p,s)*s([],[],i)+'diff(p,rho)*rho([],[],i));
  36 ("apply the rules")$
  37 ishow(ratsimp(apply1(euler,p_r)))$
  38 ("this law was originally discovered by Lord Kelvin")$
  39 ("for the more general case there is Ertel's theorem")$
  40
  41 ("apply another rule where pressure depends on both rho and the entropy")$
  42 euler:factor(expand(apply1(euler,p_sr)))$
  43 ishow(euler)$
  44 ("The RHS vanishes after forming the exterior product with the
  45  differential of the entropy")$
  46 rhs(euler)~extdiff(s([]),i3)$
  47 ishow(lhs(euler)=factor(expand(apply1(%,p_sr))))$
  48
  49 /* End of demo -- comment line needed by MAXIMA to resume demo menu */