share/diffequations/ode2.usg

   1
   2         MACSYMA's ordinary differential equation (ODE) solver ODE2
   3 may be used for symbolically solving elementary ODEs of first and
   4 second order.
   5
   6         One calls the ODE2 routine as follows:
   7
   8 (C1) X^2*'DIFF(Y,X) + 3*X*Y = SIN(X)/X;
   9                          2 dY           SIN(X)
  10 (D1)                    X  -- + 3 X Y = ------
  11                            dX             X
  12
  13 (C2) ODE2(%,Y,X);
  14
  15                                 %C - COS(X)
  16 (D2)                        Y = -----------
  17                                      3
  18                                     X
  19
  20         We see from this example how ODE2 is used.  Namely, it takes
  21 three arguments:  an ODE of first or second order (only the left hand side
  22 need be given if the right hand side is 0), the dependent variable, and
  23 the independent variable.  When successful, it returns either an explicit
  24 or implicit solution for the dependent variable.  %C is used to represent
  25 the constant in the case of first order equations, and %K1 and %K2 the
  26 constants for second order equations.  If ODE2 cannot obtain a solution
  27 for whatever reason, it returns FALSE, after perhaps printing out an
  28 error message.
  29
  30         The methods implemented for first order equations in the order in
  31 which they are tested are:  linear, separable, exact - perhaps requiring
  32 an integrating factor, homogeneous, Bernoulli's equation, and a
  33 generalized homogeneous method.
  34
  35         For second order:  constant coefficient, exact, linear homogeneous
  36 with non-constant coefficients which can be transformed to constant
  37 coefficient, the Euler or equidimensional equation, the method of
  38 variation of parameters, and equations which are free of either the
  39 independent or of the dependent variable so that they can be reduced to
  40 two first order linear equations to be solved sequentially.
  41
  42         In the course of solving ODEs, several variables are set purely
  43 for informational purposes: METHOD denotes the method of solution used e.g.
  44 LINEAR, INTFACTOR denotes any integrating factor used, ODEINDEX denotes the
  45 index for Bernoulli's method or for the generalized homogeneous method,
  46 and YP denotes the particular solution for the variation of parameters
  47 technique.
  48
  49         In order to solve initial value problems (IVPs) and boundary
  50 value problems (BVPs), the routine IC1 is available for first
  51 order equations, and IC2 and BC2 for second order IVPs and BVPs,
  52 respectively.  They are used as in the following examples:
  53
  54 (C3) IC1(D2,X=%PI,Y=0);
  55                                  COS(X) + 1
  56 (D3)                       Y = - ----------
  57                                       3
  58                                      X
  59
  60 (C4) 'DIFF(Y,X,2) + Y*'DIFF(Y,X)^3 = 0;
  61                            2
  62                           d Y      dY 3
  63 (D4)                      --- + Y (--)  = 0
  64                             2      dX
  65                           dX
  66
  67 (C5) ODE2(%,Y,X);
  68                          3
  69                         Y  - 6 %K1 Y - 6 X
  70 (D7)                    ------------------ = %K2
  71                                 3
  72
  73 (C8) RATSIMP(IC2(D7,X=0,Y=0,'DIFF(Y,X)=2));
  74                              3
  75                           2 Y  - 3 Y + 6 X
  76 (D9)                    - ---------------- = 0
  77                                  3
  78
  79 (C10) BC2(D7,X=0,Y=1,X=1,Y=3);
  80                          3
  81                         Y  - 10 Y - 6 X
  82 (D11)                   --------------- = - 3
  83                                3
  84
  85         In order to see more clearly which methods have been implemented,
  86 a demonstration file is available.  To run it, you may do
  87 DEMO(ODE2,DEMO,DSK,SHARE); .