doc/info/distrib.texi.m4

   1 @menu
   2 * Introduction to distrib::
   3 * Functions and Variables for continuous distributions::
   4 * Functions and Variables for discrete distributions::
   5 @end menu
   6
   7 @c Define an m4 macro for the NormalRV function that is used below.
   8 @c Can't use @macro because m4 is processed too late for this to work.
   9 m4_define(<<<m4_Normal_RV>>>,
  10 m4_math(<<<{\rm Normal}($1, $2)>>>, <<<@math{Normal($1, $2)}>>>))
  11
  12 @c Define the function student t to denote Student's t random variable
  13 m4_define(<<<m4_Student_T_RV>>>,
  14 @math{t($1)})
  15
  16 @c Define noncentral Student's t RV
  17 m4_define(<<<m4_Noncentral_T_RV>>>,
  18 m4_math(<<<{\rm nc\_t}($1, $2)>>>,<<<@math{nc_t($1, $2)}>>>))
  19
  20 @c Define Chi^2(n), the chi-squared random variate function.
  21 m4_define(<<<m4_Chi2_RV>>>,
  22 m4_math(<<<\chi^2($1)>>>, <<<@math{Chi^2($2)}>>>))
  23
  24 @c Define the Gamma RV
  25 m4_define(<<<m4_Gamma_RV>>>,
  26 m4_math(<<<\Gamma\left($1,$2\right)>>>, <<<@math{Gamma($1,$2)}>>>))
  27
  28 @c Define the noncentral chi-squared RV
  29 m4_define(<<<m4_noncentral_chi2_RV>>>,
  30 m4_math(<<<{\rm nc\_Chi}^2($1,$2)>>>, <<<@math{nc_Chi^2($1,$2)}>>>))
  31
  32 @c Define the exponential RV
  33 m4_define(<<<m4_Exponential_RV>>>,
  34 m4_math(<<<{\rm Exponential}($1)>>>, <<<@math{Exponential($1)}>>>))
  35
  36 @c Define the Weibull RV
  37 m4_define(<<<m4_Weibull_RV>>>,
  38 m4_math(<<<{\rm Weibull}($1,$2)>>>, <<<@math{Weibull($1,$2)}>>>))
  39
  40 @c Define lognormal RV
  41 m4_define(<<<m4_Lognormal_RV>>>,
  42 m4_math(<<<{\rm Lognormal}($1,$2)>>>,<<<@math{Lognormal($1,$2)}>>>))
  43
  44 @c Define beta RV
  45 m4_define(<<<m4_Beta_RV>>>,
  46 m4_math(<<<{\rm Beta}($1,$2)>>>,<<<@math{Beta($1,$2)}>>>))
  47
  48 @c Define continuous uniform RV
  49 m4_define(<<<m4_Continuous_Uniform_RV>>>,
  50 m4_math(<<<{\rm
  51 ContinuousUniform}($1,$2)>>>,<<<@math{ContinuousUniform($1,$2)}>>>))
  52
  53 @c Define logistic RV
  54 m4_define(<<<m4_Logistic_RV>>>,
  55 m4_math(<<<{\rm Logistic}($1,$2)>>>,<<<<@math{Logistice($1,$2)}>>>))
  56
  57 @c Define pareto RV
  58 m4_define(<<<m4_Pareto_RV>>>,
  59 m4_math(<<<{\rm Pareto}($1,$2)>>>,<<<@math{Pareto($1,$2)}>>>))
  60
  61 @c Define Rayleigh RV
  62 m4_define(<<<m4_Rayleigh_RV>>>,
  63 m4_math(<<<{\rm Rayleigh}($1)>>>,<<<@math{Rayleigh($1)}>>>))
  64
  65 @c Define Laplace RV
  66 m4_define(<<<m4_Laplace_RV>>>,
  67 m4_math(<<<{\rm Laplace}($1,$2)>>>,<<<@math{Laplace($1,$2)}>>>))
  68
  69 @c Define Cauchy RV
  70 m4_define(<<<m4_Cauchy_RV>>>,
  71 m4_math(<<<{\rm Cauchy}($1,$2)>>>,<<<@math{Cauchy($1,$2)}>>>))
  72
  73 @c Define Gumbel RV
  74 m4_define(<<<m4_Gumbel_RV>>>,
  75 m4_math(<<<{\rm Gumbel}($1,$2)>>>,<<<@math{Gumbel($1,$2)}>>>))
  76
  77 @node Introduction to distrib, Functions and Variables for continuous distributions
  78 @section Introduction to distrib
  79
  80
  81 Package @code{distrib} contains a set of functions for making probability computations on both discrete and continuous univariate models.
  82
  83 What follows is a short reminder of basic probabilistic related definitions.
  84
  85 Let @math{f(x)} be the @var{density function} of an absolute continuous random variable @math{X}. The @var{distribution function} is defined as
  86 m4_displaymath(
  87 <<<F\left(x\right)=\int_{ -\infty }^{x}{f\left(u\right)\;du}>>>,
  88 <<<
  89 @example
  90                        x
  91                       /
  92                       [
  93                F(x) = I     f(u) du
  94                       ]
  95                       /
  96                        minf
  97 @end example
  98 >>>)
  99 which equals the probability m4_math(<<<{\rm Pr}(X \le x)>>>, <<<@math{Pr(X <= x)}>>>).
 100
 101 The @var{mean} value is a localization parameter and is defined as
 102 m4_displaymath(
 103 <<<E\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{x\,f\left(x\right)\;dx}>>>,
 104 <<<
 105 @example
 106                      inf
 107                     /
 108                     [
 109            E[X]  =  I   x f(x) dx
 110                     ]
 111                     /
 112                      minf
 113 @end example
 114 >>>)
 115
 116 The @var{variance} is a measure of variation,
 117 m4_displaymath(
 118 <<<V\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,\left(x
 119  -E\left[X\right]\right)^2\;dx}>>>,
 120 <<<
 121 @example
 122                  inf
 123                 /
 124                 [                    2
 125          V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
 126                 ]
 127                 /
 128                  minf
 129 @end example
 130 >>>)
 131 which is a positive real number. The square root of the variance is
 132 the @var{standard deviation}, m4_math(<<<D[x]=\sqrt{V[X]}>>>, <<<@math{D[X]=sqrt(V[X])}>>>), and it is another measure of variation.
 133
 134 The @var{skewness coefficient} is a measure of non-symmetry,
 135 m4_displaymath(
 136 <<<SK\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
 137  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}>>>,
 138 <<<
 139 @example
 140                  inf
 141                 /
 142             1   [                    3
 143   SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
 144               3 ]
 145           D[X]  /
 146                  minf
 147 @end example
 148 >>>)
 149
 150 And the @var{kurtosis coefficient} measures the peakedness of the distribution,
 151 m4_displaymath(
 152 <<<KU\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
 153  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3>>>,
 154 <<<
 155 @example
 156                  inf
 157                 /
 158             1   [                    4
 159   KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
 160               4 ]
 161           D[X]  /
 162                  minf
 163 @end example
 164 >>>)
 165 If @math{X} is gaussian, @math{KU[X]=0}. In fact, both skewness and kurtosis are shape parameters used to measure the non--gaussianity of a distribution.
 166
 167 If the random variable @math{X} is discrete, the density, or @var{probability}, function @math{f(x)} takes positive values within certain countable set of numbers @math{x_i}, and zero elsewhere. In this case, the distribution function is
 168 m4_displaymath(
 169 <<< F\left(x\right)=\sum_{x_{i}\leq x}{f\left(x_{i}\right)} >>>,
 170 <<<
 171 @example
 172                        ====
 173                        \
 174                 F(x) =  >    f(x )
 175                        /        i
 176                        ====
 177                       x <= x
 178                        i
 179 @end example
 180 >>>)
 181
 182 The mean, variance, standard deviation, skewness coefficient and kurtosis coefficient take the form
 183 m4_displaymath(
 184 <<<\eqalign{
 185 E\left[X\right]&=\sum_{x_{i}}{x_{i}f\left(x_{i}\right)}, \cr
 186 V\left[X\right]&=\sum_{x_{i}}{f\left(x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left[X\right]\right)^2},\cr
 187 D\left[X\right]&=\sqrt{V\left[X\right]},\cr
 188 SK\left[X\right]&={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 189  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}, \cr
 190 KU\left[X\right]&={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 191  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3,
 192 }>>>,
 193 <<<
 194 @example
 195           ====
 196           \
 197    E[X] =  >  x  f(x ) ,
 198           /    i    i
 199           ====
 200            x
 201             i
 202
 203            ====
 204            \                     2
 205    V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
 206            /        i    i
 207            ====
 208             x
 209              i
 210
 211           D[X] = sqrt(V[X]),
 212
 213                      ====
 214               1      \                     3
 215   SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])
 216            D[X]^3    /        i    i
 217                      ====
 218                       x
 219                        i
 220
 221                      ====
 222               1      \                     4
 223   KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
 224            D[X]^4    /        i    i
 225                      ====
 226                       x
 227                        i
 228 @end example
 229 >>>)
 230 respectively.
 231
 232 There is a naming convention in package @code{distrib}. Every function name has two parts, the first one makes reference to the function or parameter we want to calculate,
 233 @example
 234 Functions:
 235    Density function            (pdf_*)
 236    Distribution function       (cdf_*)
 237    Quantile                    (quantile_*)
 238    Mean                        (mean_*)
 239    Variance                    (var_*)
 240    Standard deviation          (std_*)
 241    Skewness coefficient        (skewness_*)
 242    Kurtosis coefficient        (kurtosis_*)
 243    Random variate              (random_*)
 244 @end example
 245
 246 The second part is an explicit reference to the probabilistic model,
 247 @example
 248 Continuous distributions:
 249    Normal              (*normal)
 250    Student             (*student_t)
 251    Chi^2               (*chi2)
 252    Noncentral Chi^2    (*noncentral_chi2)
 253    F                   (*f)
 254    Exponential         (*exp)
 255    Lognormal           (*lognormal)
 256    Gamma               (*gamma)
 257    Beta                (*beta)
 258    Continuous uniform  (*continuous_uniform)
 259    Logistic            (*logistic)
 260    Pareto              (*pareto)
 261    Weibull             (*weibull)
 262    Rayleigh            (*rayleigh)
 263    Laplace             (*laplace)
 264    Cauchy              (*cauchy)
 265    Gumbel              (*gumbel)
 266
 267 Discrete distributions:
 268    Binomial             (*binomial)
 269    Poisson              (*poisson)
 270    Bernoulli            (*bernoulli)
 271    Geometric            (*geometric)
 272    Discrete uniform     (*discrete_uniform)
 273    hypergeometric       (*hypergeometric)
 274    Negative binomial    (*negative_binomial)
 275    Finite discrete      (*general_finite_discrete)
 276 @end example
 277
 278 For example, @code{pdf_student_t(x,n)} is the density function of the Student distribution with @var{n} degrees of freedom, @code{std_pareto(a,b)} is the standard deviation of the Pareto distribution with parameters @var{a} and @var{b} and @code{kurtosis_poisson(m)} is the kurtosis coefficient of the Poisson distribution with mean @var{m}.
 279
 280
 281 In order to make use of package @code{distrib} you need first to load it by typing
 282 @example
 283 (%i1) load("distrib")$
 284 @end example
 285
 286 For comments, bugs or suggestions, please contact the author at @var{'riotorto AT yahoo DOT com'}.
 287
 288 @opencatbox{Categories:}
 289 @category{Statistical functions}
 290 @category{Share packages}
 291 @category{Package distrib}
 292 @closecatbox
 293
 294
 295
 296
 297 @node Functions and Variables for continuous distributions, Normal Random Variable, Introduction to distrib
 298 @section Functions and Variables for continuous distributions
 299 Maxima knows the following kinds of continuous distributions.
 300
 301 @menu
 302 * Normal Random Variable::
 303 * Student's t Random Variable::
 304 * Noncentral Student's t Random Variable::
 305 * Chi-squared Random Variable::
 306 * Noncentral Chi-squared Random Variable::
 307 * F Random Variable::
 308 * Exponential Random Variable::
 309 * Lognormal Random Variable::
 310 * Gamma Random Variable::
 311 * Beta Random Variable::
 312 * Continuous Uniform Random Variable::
 313 * Logistic Random Variable::
 314 * Pareto Random Variable::
 315 * Weibull Random Variable::
 316 * Rayleigh Random Variable::
 317 * Laplace Random Variable::
 318 * Cauchy Random Variable::
 319 * Gumbel Random Variable::
 320 @end menu
 321
 322 @node Normal Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions, Functions and Variables for continuous distributions
 323 @subsection Normal Random Variable
 324
 325 @menu
 326 * Introduction to Normal Random Variables::
 327 * Functions and Variables for Normal Random Variables::
 328 @end menu
 329
 330 @node Introduction to Normal Random Variables
 331 @subsubsection Introduction to Normal Random Variables
 332
 333 Normal random variables (also called Gaussian) is denoted
 334 by m4_Normal_RV(m, s) where
 335 @math{m} is the mean and @math{s > 0} is the standard deviation.
 336
 337 @node Functions and Variables for Normal Random Variables
 338 @subsubsection Functions and Variables for Normal Random Variables
 339 @anchor{pdf_normal}
 340 @deffn {Function} pdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 341 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 342
 343 The pdf is
 344 m4_displaymath(
 345 <<<f(x; m, s) = {1\over s\sqrt{2\pi}} e^{\displaystyle -{(x-m)^2\over 2s^2}}>>>,
 346 <<<
 347 @example
 348                                  2
 349                           (x - m)
 350                         - --------
 351                                2
 352                             2 s
 353                       %e
 354       f(x, m, s) = -------------------
 355                    sqrt(2) sqrt(%pi) s
 356 @end example
 357 >>>)
 358
 359 @opencatbox{Categories:}
 360 @category{Package distrib}
 361 @closecatbox
 362
 363 @end deffn
 364
 365
 366 @anchor{cdf_normal}
 367 @deffn {Function} cdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 368 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
 369
 370 The cdf can be written analytically:
 371 m4_displaymath(
 372 <<<F(x; m, s) = {1\over 2} + {1\over 2} {\rm erf}\left(x-m\over s\sqrt{2}\right)>>>,
 373 <<<
 374 @example
 375                         x - m
 376                   erf(---------)
 377                       sqrt(2) s    1
 378      F(x, m, s) = -------------- + -
 379                         2          2
 380 @end example
 381 >>>)
 382
 383 @c ===beg===
 384 @c load ("distrib")$
 385 @c cdf_normal(x,m,s);
 386 @c ===end===
 387 @example
 388 (%i1) load ("distrib")$
 389 (%i2) cdf_normal(x,m,s);
 390                                     x - m
 391                               erf(---------)
 392                                   sqrt(2) s    1
 393 (%o2)                         -------------- + -
 394                                     2          2
 395 @end example
 396
 397 See also @mrefdot{erf}
 398
 399 @opencatbox{Categories:}
 400 @category{Package distrib}
 401 @closecatbox
 402
 403 @end deffn
 404
 405
 406 @anchor{quantile_normal}
 407 @deffn {Function} quantile_normal (@var{q},@var{m},@var{s})
 408 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @mrefdot{cdf_normal} Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 409
 410 @c ===beg===
 411 @c load ("distrib")$
 412 @c quantile_normal(95/100,0,1);
 413 @c float(%);
 414 @c ===end===
 415 @example
 416 (%i1) load ("distrib")$
 417 (%i2) quantile_normal(95/100,0,1);
 418                                       9
 419 (%o2)             sqrt(2) inverse_erf(--)
 420                                       10
 421 (%i3) float(%);
 422 (%o3)               1.644853626951472
 423 @end example
 424
 425 @opencatbox{Categories:}
 426 @category{Package distrib}
 427 @closecatbox
 428
 429 @end deffn
 430
 431
 432 @anchor{mean_normal}
 433 @deffn {Function} mean_normal (@var{m},@var{s})
 434 Returns the mean of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @var{m}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 435
 436 @opencatbox{Categories:}
 437 @category{Package distrib}
 438 @closecatbox
 439
 440 @end deffn
 441
 442
 443 @anchor{var_normal}
 444 @deffn {Function} var_normal (@var{m},@var{s})
 445 Returns the variance of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @math{s^2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 446
 447 @opencatbox{Categories:}
 448 @category{Package distrib}
 449 @closecatbox
 450
 451 @end deffn
 452
 453 @anchor{std_normal}
 454 @deffn {Function} std_normal (@var{m},@var{s})
 455 Returns the standard deviation of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @var{s}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 456
 457 @opencatbox{Categories:}
 458 @category{Package distrib}
 459 @closecatbox
 460
 461 @end deffn
 462
 463
 464 @anchor{skewness_normal}
 465 @deffn {Function} skewness_normal (@var{m},@var{s})
 466 Returns the skewness coefficient of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 467
 468 @opencatbox{Categories:}
 469 @category{Package distrib}
 470 @closecatbox
 471
 472 @end deffn
 473
 474
 475 @anchor{kurtosis_normal}
 476 @deffn {Function} kurtosis_normal (@var{m},@var{s})
 477 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 478
 479 @opencatbox{Categories:}
 480 @category{Package distrib}
 481 @closecatbox
 482
 483 @end deffn
 484
 485
 486 @anchor{random_normal}
 487 @deffn {Function} random_normal (@var{m},@var{s}) @
 488 @fname{random_normal} (@var{m},@var{s},@var{n})
 489
 490 Returns a m4_Normal_RV(m,s) random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_normal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
 491
 492 This is an implementation of the Box-Mueller algorithm, as described in Knuth, D.E. (1981) @var{Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming.} Addison-Wesley.
 493
 494 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 495
 496 @opencatbox{Categories:}
 497 @category{Package distrib}
 498 @category{Random numbers}
 499 @closecatbox
 500
 501 @end deffn
 502
 503 @node Student's t Random Variable, Noncentral Student's t Random Variable, Normal Random Variable, Normal Random Variable
 504 @subsection Student's t Random Variable
 505
 506 @menu
 507 * Introduction to Student's t Random Variable::
 508 * Functions and Variables for Student's t Random Variable::
 509 @end menu
 510
 511 @node Introduction to Student's t Random Variable
 512 @subsubsection Introduction to Student's t Random Variable
 513
 514 Student's t random variable is denoted by m4_Student_T_RV(n) where
 515 @math{n} is the degrees of freedom with @math{n > 0}.  If @math{Z} is
 516 a m4_Normal_RV(0,1) variable and @math{V} is an
 517 independent m4_math(\chi^2, chi^2) random variable with @math{n} degress of
 518 freedom, then
 519
 520 m4_displaymath(
 521 <<<Z \over \sqrt{V/n}>>>,
 522 <<<@math{Z/sqrt(V/n)}>>>)
 523
 524 has a Student's @math{t}-distribution with @math{n} degrees of freedom.
 525
 526 @node Functions and Variables for Student's t Random Variable
 527 @subsubsection Functions and Variables for Student's t Random Variable
 528 @anchor{pdf_student_t}
 529 @deffn {Function} pdf_student_t (@var{x},@var{n})
 530 Returns the value at @var{x} of the density function of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0} degrees of freedom. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 531
 532 The pdf is
 533 m4_displaymath(
 534 <<<f(x; n) = \left[\sqrt{n} B\left({1\over 2}, {n\over 2}\right)\right]^{-1}
 535 \left(1+{x^2\over n}\right)^{\displaystyle -{n+1\over 2}}>>>,
 536 <<<
 537 @example
 538                                      (- n) - 1
 539                                2     ---------
 540                       n + 1   x          2
 541                 gamma(-----) (-- + 1)
 542                         2     n
 543       f(x, n) = ------------------------------
 544                                   n
 545                   sqrt(%pi) gamma(-) sqrt(n)
 546                                   2
 547 @end example
 548 @math{(sqrt(n)*beta(1/2,n/2))^(-1) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2)}>>>)
 549
 550 @opencatbox{Categories:}
 551 @category{Package distrib}
 552 @closecatbox
 553
 554 @end deffn
 555
 556
 557 @anchor{cdf_student_t}
 558 @deffn {Function} cdf_student_t (@var{x},@var{n})
 559 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0} degrees of freedom.
 560
 561 The cdf is
 562 m4_displaymath(
 563 <<<F(x; n) =
 564 \cases{
 565 1-\displaystyle{1\over 2} I_t\left({n\over 2}, {1\over 2}\right) & $x \ge 0$ \cr
 566 \cr
 567 \displaystyle{1\over 2} I_t\left({n\over 2}, {1\over 2}\right) & $x < 0$
 568 }>>>,
 569 <<<
 570 @example
 571          [ 1-1/2*I_t(n/2, 1/2)  x >= 0
 572 F(x,n) = [
 573          [ 1/2*I_t(n/2, 1/2)    x < 0
 574 @end example
 575 >>>)
 576
 577 where m4_math(<<<t = n/(n+x^2)>>>, <<<@math{t = n/(n+x^2)}>>>) and m4_math(<<<I_t(a,b)>>>, <<<@math{I_t(a,b)}>>>) is the
 578 @ref{beta_incomplete_regularized} function.
 579
 580 @c ===beg===
 581 @c load ("distrib")$
 582 @c cdf_student_t(1/2, 7/3);
 583 @c float(%);
 584 @c ===end===
 585 @example
 586 (%i1) load ("distrib")$
 587 (%i2) cdf_student_t(1/2, 7/3);
 588                                          7  1  28
 589              beta_incomplete_regularized(-, -, --)
 590                                          6  2  31
 591 (%o2)    1 - -------------------------------------
 592                                2
 593 (%i3) float(%);
 594 (%o3)                .6698450596140415
 595 @end example
 596
 597 @opencatbox{Categories:}
 598 @category{Package distrib}
 599 @closecatbox
 600
 601 @end deffn
 602
 603
 604 @anchor{quantile_student_t}
 605 @deffn {Function} quantile_student_t (@var{q},@var{n})
 606 Returns the @var{q}-quantile of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 607
 608 @opencatbox{Categories:}
 609 @category{Package distrib}
 610 @closecatbox
 611
 612 @end deffn
 613
 614
 615 @anchor{mean_student_t}
 616 @deffn {Function} mean_student_t (@var{n})
 617 Returns the mean of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 618
 619 @opencatbox{Categories:}
 620 @category{Package distrib}
 621 @closecatbox
 622
 623 @end deffn
 624
 625
 626 @anchor{var_student_t}
 627 @deffn {Function} var_student_t (@var{n})
 628 Returns the variance of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>2}.
 629
 630 @c ===beg===
 631 @c load ("distrib")$
 632 @c var_student_t(n);
 633 @c ===end===
 634 @example
 635 (%i1) load ("distrib")$
 636 (%i2) var_student_t(n);
 637                                 n
 638 (%o2)                         -----
 639                               n - 2
 640 @end example
 641
 642 @opencatbox{Categories:}
 643 @category{Package distrib}
 644 @closecatbox
 645
 646 @end deffn
 647
 648
 649 @anchor{std_student_t}
 650 @deffn {Function} std_student_t (@var{n})
 651 Returns the standard deviation of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 652
 653 @opencatbox{Categories:}
 654 @category{Package distrib}
 655 @closecatbox
 656
 657 @end deffn
 658
 659
 660 @anchor{skewness_student_t}
 661 @deffn {Function} skewness_student_t (@var{n})
 662 Returns the skewness coefficient of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>3}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 663
 664 @opencatbox{Categories:}
 665 @category{Package distrib}
 666 @closecatbox
 667
 668 @end deffn
 669
 670
 671 @anchor{kurtosis_student_t}
 672 @deffn {Function} kurtosis_student_t (@var{n})
 673 Returns the kurtosis coefficient of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 674
 675 @opencatbox{Categories:}
 676 @category{Package distrib}
 677 @closecatbox
 678
 679 @end deffn
 680
 681
 682 @anchor{random_student_t}
 683 @deffn {Function} random_student_t (@var{n}) @
 684 @fname{random_student_t} (@var{n},@var{m})
 685
 686 Returns a Student random variate m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0}. Calling @code{random_student_t} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 687
 688 The implemented algorithm is based on the fact that if @math{Z} is a
 689 normal random variable m4_Normal_RV(0,1) and @math{S^2} is
 690 a m4_math(\chi^2, chi squared) random variable with @math{n} degrees of
 691 freedom, m4_Chi2_RV(n), then
 692
 693 m4_displaymath(
 694 <<<X={{Z}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}>>>,
 695 <<<
 696 @example
 697                            Z
 698                  X = -------------
 699                      /   2  \ 1/2
 700                      |  S   |
 701                      | ---  |
 702                      \  n   /
 703 @end example
 704 >>>)
 705 is a Student random variable with @math{n} degrees of freedom, m4_Student_T_RV(n).
 706
 707 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 708
 709 @opencatbox{Categories:}
 710 @category{Package distrib}
 711 @category{Random numbers}
 712 @closecatbox
 713
 714 @end deffn
 715
 716 @node Noncentral Student's t Random Variable, Chi-squared Random Variable, Student's t Random Variable, Normal Random Variable
 717 @subsection Noncentral Student's t Random Variable
 718
 719 @menu
 720 * Introduction to Noncentral Student's t Random Variable::
 721 * Functions and Variables for Noncentral Student's t Random Variable::
 722 @end menu
 723
 724 @node Introduction to Noncentral Student's t Random Variable
 725 @subsubsection Introduction to Noncentral Student's t Random Variable
 726 Let @math{ncp} be the non-centrality parameter, @math{n} be the
 727 degrees of freedom for the non-central Student's @math{t} random
 728 variable.
 729
 730 Then let @math{X} be a m4_Normal_RV(n,ncp) and @math{S^2} be an independent m4_math(\chi^2,
 731 chi squared) random variable with @math{n} degrees of freedom, the
 732 random variable
 733 m4_displaymath(
 734 <<<U = {X \over \sqrt{S^2\over n}}>>>,
 735 <<<@math{U = X/sqrt(S^2/n)}>>>)
 736
 737 has a non-central Student's @math{t} distribution with non-centrality
 738 parameter @math{ncp}.
 739
 740 @node Functions and Variables for Noncentral Student's t Random Variable
 741 @subsubsection Functions and Variables for Noncentral Student's t Random Variable
 742
 743 @anchor{pdf_noncentral_student_t}
 744 @deffn {Function} pdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 745 Returns the value at @var{x} of the density function of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 746
 747 The pdf is
 748 m4_displaymath(
 749 <<<f(x; n, \mu) = \left[\sqrt{n} B\left({1\over 2}, {n\over
 750 2}\right)\right]^{-1}\left(1+{x^2\over n}\right)^{-{(n+1)/2}}
 751 e^{-\mu^2/ 2}
 752 \bigg[A_n(x; \mu) + B_n(x; \mu)\bigg]>>>,
 753 <<<
 754 @example
 755                            2
 756                          mu          (- n) - 1
 757                        - ---         ---------
 758                           2    2         2
 759                      %e      (x  + 1)          (B(x, n, mu) + An(x, n, mu))
 760 f(x;n,mu) =          -------------------------------------------------
 761                                          1  n
 762                                     beta(-, -) sqrt(n)
 763                                          2  2
 764
 765 @end example
 766 >>>)
 767 where
 768 m4_displaymath(
 769 <<<\eqalign{
 770 A_n(x;\mu) &= {}_1F_1\left({n+1\over 2}; {1\over 2}; {\mu^2 x^2\over
 771 2\left(x^2+n\right)}\right) \cr
 772 B_n(x;\mu) &= {\sqrt{2}\mu x \over \sqrt{x^2+n}} {\Gamma\left({n\over
 773 2} + 1\right)\over \Gamma\left({n+1\over 2}\right)}\;
 774 {}_1F_1\left({n\over 2} + 1; {3\over 2}; {\mu^2 x^2\over
 775 2\left(x^2+n\right)}\right)
 776 }>>>,
 777 <<<
 778 @example
 779                                         2  2
 780                        n + 1    1     mu  x
 781  A(x, n, mu) = %f    ([-----], [-], ----------)
 782                  1, 1    2      2       2
 783                                     2 (x  + n)
 784
 785                                                    2  2
 786                                   n        3     mu  x           n
 787                sqrt(2) mu %f    ([- + 1], [-], ----------) gamma(- + 1) x
 788                             1, 1  2        2       2             2
 789                                                2 (x  + n)
 790  B(x, n, mu) = ----------------------------------------------------------
 791                                      n + 1        2
 792                                gamma(-----) sqrt(x  + n)
 793                                        2
 794 @end example
 795 >>>)
 796 and m4_math(\mu, mu) is the non-centrality parameter @math{ncp}.
 797
 798 Sometimes an extra work is necessary to get the final result.
 799
 800 @c ===beg===
 801 @c load ("distrib")$
 802 @c expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 803 @c float(%);
 804 @c ===end===
 805 @example
 806 (%i1) load ("distrib")$
 807 (%i2) expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 808 @group
 809                            7/2                         7/2
 810       0.04296414417400905 5      1.323650307289301e-6 5
 811 (%o2) ------------------------ + -------------------------
 812          3/2   5/2                       sqrt(%pi)
 813         2    14    sqrt(%pi)
 814                                                         7/2
 815                                    1.94793720435093e-4 5
 816                                  + ------------------------
 817                                              %pi
 818 @end group
 819 (%i3) float(%);
 820 (%o3)          .02080593159405669
 821 @end example
 822
 823 @opencatbox{Categories:}
 824 @category{Package distrib}
 825 @closecatbox
 826
 827 @end deffn
 828
 829
 830 @anchor{cdf_noncentral_student_t}
 831 @deffn {Function} cdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 832 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. This function has no closed form and it is numerically computed.
 833
 834 @c ===beg===
 835 @c load ("distrib")$
 836 @c cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 837 @c ===end===
 838 @example
 839 (%i1) load ("distrib")$
 840 (%i2) cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 841 (%o2)          .9952030093319743
 842 @end example
 843
 844 @opencatbox{Categories:}
 845 @category{Package distrib}
 846 @closecatbox
 847
 848 @end deffn
 849
 850
 851 @anchor{quantile_noncentral_student_t}
 852 @deffn {Function} quantile_noncentral_student_t (@var{q},@var{n},@var{ncp})
 853 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 854
 855 @opencatbox{Categories:}
 856 @category{Package distrib}
 857 @closecatbox
 858
 859 @end deffn
 860
 861
 862 @anchor{mean_noncentral_student_t}
 863 @deffn {Function} mean_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 864 Returns the mean of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>1} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 865
 866 The mean is
 867 m4_displaymath(
 868 <<<\mu \sqrt{n}\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right) \over
 869 \sqrt{2}\;\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)>>>,
 870 <<<
 871 @example
 872                                 n - 1
 873                        mu gamma(-----) sqrt(n)
 874                                   2
 875                        -----------------------
 876                                         n
 877                           sqrt(2) gamma(-)
 878                                         2
 879 @end example
 880 >>>)
 881
 882 where m4_math(\mu, mu) is the noncentrality parameter @math{ncp}.
 883
 884 @c ===beg===
 885 @c load ("distrib")$
 886 @c mean_noncentral_student_t(df,k);
 887 @c ===end===
 888 @example
 889 (%i1) load ("distrib")$
 890 (%i2) mean_noncentral_student_t(df,k);
 891                    df - 1
 892              gamma(------) sqrt(df) k
 893                      2
 894 (%o2)        ------------------------
 895                               df
 896                 sqrt(2) gamma(--)
 897                               2
 898 @end example
 899
 900 @opencatbox{Categories:}
 901 @category{Package distrib}
 902 @closecatbox
 903
 904 @end deffn
 905
 906
 907 @anchor{var_noncentral_student_t}
 908 @deffn {Function} var_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 909 Returns the variance of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 910
 911 The variance is
 912 m4_displaymath(
 913 <<<{n(\mu^2+1)\over n-2} - {n\mu^2\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right)^2
 914 \over 2\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)^2}>>>,
 915 <<<
 916 @example
 917                                      2 n - 1       2
 918                        2        gamma (-----) n ncp
 919                  n (ncp  + 1)            2
 920                  ------------ - --------------------
 921                     n - 2                  2 n
 922                                     2 gamma (-)
 923                                              2
 924 @end example
 925 >>>)
 926
 927 where m4_math(\mu, mu) is the noncentrality parameter @math{ncp}.
 928
 929 @opencatbox{Categories:}
 930 @category{Package distrib}
 931 @closecatbox
 932
 933 @end deffn
 934
 935
 936 @anchor{std_noncentral_student_t}
 937 @deffn {Function} std_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 938 Returns the standard deviation of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 939
 940 @opencatbox{Categories:}
 941 @category{Package distrib}
 942 @closecatbox
 943
 944 @end deffn
 945
 946
 947 @anchor{skewness_noncentral_student_t}
 948 @deffn {Function} skewness_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 949 Returns the skewness coefficient of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>3} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 950
 951 @c The TeX form is obtained from
 952 @c tex(skewness_noncentral_student_t(n,mu)).  Likewise the info form
 953 @c is just cut-n-pasted from maxima's terminal output.
 954 If @math{U} is a non-central Student's @math{t} random variable with
 955 @math{n} degrees of freedom and a noncentrality parameter m4_math(\mu,
 956 @math{mu}), the skewness is
 957 m4_displaymath(
 958 <<<\eqalign{
 959 SK[U] &=
 960 {\mu\sqrt{n}\,\Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)
 961 \over{\sqrt{2}\Gamma\left({{n
 962  }\over{2}}\right)\sigma^{3}}}\left({{n
 963  \left(2n+\mu^2-3\right)}\over{\left(n-3\right)\left(n-2\right)}}
 964  -2\sigma^2\right) \cr
 965  \sigma^2 &= {{n\left(\mu^2+1\right)}\over{n-2}}-{{n \mu^2\,
 966  \Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)^2}\over{2\Gamma\left({{n
 967  }\over{2}}\right)^2}}
 968 }
 969 >>>,
 970 <<<
 971 @example
 972 skewness_noncentral_student_t(n, mu) =
 973                                      2
 974           n - 1           n (2 n + mu  - 3)
 975 (mu gamma(-----) sqrt(n) (-----------------
 976             2              (n - 3) (n - 2)
 977                       2      2 n - 1
 978          2          mu  gamma (-----) n
 979       (mu  + 1) n                2
 980  - 2 (----------- - -------------------)))
 981          n - 2                 2 n
 982                         2 gamma (-)
 983                                  2
 984                                     2      2 n - 1
 985                        2          mu  gamma (-----) n
 986                 n   (mu  + 1) n                2      3/2
 987 /(sqrt(2) gamma(-) (----------- - -------------------)   )
 988                 2      n - 2                 2 n
 989                                       2 gamma (-)
 990                                                2
 991 @end example
 992 >>>)
 993
 994 @opencatbox{Categories:}
 995 @category{Package distrib}
 996 @closecatbox
 997
 998 @end deffn
 999
1000
1001 @anchor{kurtosis_noncentral_student_t}
1002 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
1003 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>4} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1004
1005 If @math{U} is a non-central Student's @math{t} random variable with
1006 @math{n} degrees of freedom and a noncentrality parameter m4_math(\mu,
1007 @math{mu}), the kurtosis is
1008
1009 @c The formula we see can be basically derived by computing
1010 @c (kurtosis_noncentral_student_t(n,mu)+3)*var_noncentral_student_t(n,mu)^2,
1011 @c which comes from the definition of kurtosis.  The rest is then
1012 @c obtained by replacing a constant by F.
1013 m4_displaymath(
1014 <<<\eqalign{
1015 KU[U] &=
1016 {\mu_4\over \sigma^4} - 3\cr
1017   \mu_4 &= {{\left(\mu^4+6\mu^2+3\right)n^2}\over{(n-4)(n-2)}}
1018  -\left({{n\left(3(3n-5)+\mu^2(n+1)\right)
1019  }\over{(n-3)(n-2)}}-3\sigma^2\right) F \cr
1020  \sigma^2 &= {{n\left(\mu^2+1\right)}\over{n-2}}-{{n \mu^2
1021  \Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)^2}\over{2\Gamma\left({{n
1022  }\over{2}}\right)^2}} \cr
1023  F &= {n\mu^2\Gamma\left({n-1\over 2}\right)^2 \over
1024  2\sigma^4\Gamma\left({n\over 2}\right)^2}
1025 }>>>,
1026 <<<
1027 @example
1028 kurtosis_noncentral_student_t(n, mu) =
1029     4       2       2
1030  (mu  + 6 mu  + 3) n       2      2 n - 1
1031 (-------------------- - (mu  gamma (-----) n
1032    (n - 4) (n - 2)                    2
1033                                                      2      2 n - 1
1034                      2                  2          mu  gamma (-----) n
1035   n (3 (3 n - 5) + mu  (n + 1))      (mu  + 1) n                2
1036  (----------------------------- - 3 (----------- - -------------------)))
1037          (n - 3) (n - 2)                n - 2                 2 n
1038                                                        2 gamma (-)
1039                                                                 2
1040                                  2      2 n - 1
1041                     2          mu  gamma (-----) n
1042          2 n     (mu  + 1) n                2      2
1043 /(2 gamma (-)))/(----------- - -------------------)  - 3
1044            2        n - 2                 2 n
1045                                    2 gamma (-)
1046                                             2
1047 @end example
1048 >>>)
1049
1050 @opencatbox{Categories:}
1051 @category{Package distrib}
1052 @closecatbox
1053
1054 @end deffn
1055
1056
1057 @anchor{random_noncentral_student_t}
1058 @deffn {Function} random_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp}) @
1059 @fname{random_noncentral_student_t} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
1060
1061 Returns a noncentral Student random variate m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0}. Calling @code{random_noncentral_student_t} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1062
1063 The implemented algorithm is based on the fact that if @var{X} is a
1064 normal random variable m4_Normal_RV(ncp,1) and @math{S^2} is
1065 a m4_math(\chi^2, chi square) random variable with @var{n} degrees of freedom, m4_Chi2_RV(n), then
1066 m4_displaymath(
1067 <<<U={{X}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}>>>,
1068 <<<
1069 @example
1070                            X
1071                  U = -------------
1072                      /   2  \ 1/2
1073                      |  S   |
1074                      | ---  |
1075                      \  n   /
1076 @end example
1077 >>>)
1078 is a noncentral Student random variable with @math{n} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}, m4_Noncentral_T_RV(n,ncp).
1079
1080 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1081
1082 @opencatbox{Categories:}
1083 @category{Package distrib}
1084 @category{Random numbers}
1085 @closecatbox
1086
1087 @end deffn
1088
1089
1090 @node Chi-squared Random Variable, Noncentral Chi-squared Random Variable, Noncentral Student's t Random Variable, Normal Random Variable
1091 @subsection Chi-squared Random Variable
1092
1093 @menu
1094 * Introduction to Chi-squared Random Variable::
1095 * Functions and Variables for Chi-squared Random Variable::
1096 @end menu
1097
1098 @node Introduction to Chi-squared Random Variable
1099 @subsubsection Introduction to Chi-squared Random Variable
1100
1101 Let m4_math(<<<X_1, X_2, \ldots, X_n>>>, <<<@math{X_1, X_2, ...,
1102 X_k}>>>) be independent and identically distributed m4_Normal_RV(0,1) variables.  Then
1103 m4_displaymath(
1104 <<<X^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2>>>,
1105 <<<@math{X^2 = sum(X_i^2, i, 1, n)}>>>)
1106
1107 is said to follow a chi-square distribution with @math{n} degrees of
1108 freedom.
1109
1110 @node Functions and Variables for Chi-squared Random Variable
1111 @subsubsection Functions and Variables for Chi-squared Random Variable
1112
1113 @anchor{pdf_chi2}
1114 @deffn {Function} pdf_chi2 (@var{x},@var{n})
1115 Returns the value at @var{x} of the density function of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1116 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1117
1118 The pdf is
1119
1120 m4_displaymath(
1121 <<<f(x; n) =
1122 \cases{
1123  \displaystyle{x^{n/2-1} e^{-x/2} \over 2^{n/2}
1124  \Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)} & for $x
1125  > 0$ \cr
1126 \cr
1127  0 & otherwise
1128 }>>>,
1129 <<<
1130 @example
1131              [  n/2 - 1   - x/2
1132              [ x        %e      unit_step(x)
1133              [ -----------------------------     for x >= 0
1134              [               n   n/2
1135    f(x, n) = [         gamma(-) 2
1136              [               2
1137              [
1138              [ 0                                 otherwise
1139 @end example
1140 >>>)
1141
1142 @c ===beg===
1143 @c load ("distrib")$
1144 @c pdf_chi2(x,n);
1145 @c ===end===
1146 @example
1147 (%i1) load ("distrib")$
1148 (%i2) pdf_chi2(x,n);
1149                          n/2 - 1   - x/2
1150                         x        %e
1151 (%o2)                   ----------------
1152                           n/2       n
1153                          2    gamma(-)
1154                                     2
1155 @end example
1156
1157 @opencatbox{Categories:}
1158 @category{Package distrib}
1159 @closecatbox
1160
1161 @end deffn
1162
1163
1164 @anchor{cdf_chi2}
1165 @deffn {Function} cdf_chi2 (@var{x},@var{n})
1166 Returns the value at @math{x} of the distribution function of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1167
1168 The cdf is
1169 m4_displaymath(
1170 <<<F(x; n) =
1171 \cases{
1172 1 - Q\left(\displaystyle{n\over 2}, {x\over 2}\right) & $x > 0$ \cr
1173 0 & otherwise
1174 }>>>,
1175 <<<
1176 @example
1177           [        n  x
1178           [ (1 - Q(-, -))     for x >= 0
1179           [        2  2
1180 F(x, n) = [
1181           [ 0                 otherwise
1182 @end example
1183 >>>)
1184 where @math{Q(a,z)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized} function.
1185
1186 @c ===beg===
1187 @c load ("distrib")$
1188 @c cdf_chi2(3,4);
1189 @c float(%);
1190 @c ===end===
1191 @example
1192 (%i1) load ("distrib")$
1193 (%i2) cdf_chi2(3,4);
1194                                                3
1195 (%o2)      1 - gamma_incomplete_regularized(2, -)
1196                                                2
1197 (%i3) float(%);
1198 (%o3)               .4421745996289256
1199 @end example
1200
1201 @opencatbox{Categories:}
1202 @category{Package distrib}
1203 @closecatbox
1204
1205 @end deffn
1206
1207
1208 @anchor{quantile_chi2}
1209 @deffn {Function} quantile_chi2 (@var{q},@var{n})
1210 Returns the @var{q}-quantile of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1211
1212 This function has no closed form and it is numerically computed.
1213
1214 @c ===beg===
1215 @c load ("distrib")$
1216 @c quantile_chi2(0.99,9);
1217 @c ===end===
1218 @example
1219 (%i1) load ("distrib")$
1220 (%i2) quantile_chi2(0.99,9);
1221 (%o2)                   21.66599433346194
1222 @end example
1223
1224 @opencatbox{Categories:}
1225 @category{Package distrib}
1226 @closecatbox
1227
1228 @end deffn
1229
1230
1231 @anchor{mean_chi2}
1232 @deffn {Function} mean_chi2 (@var{n})
1233 Returns the mean of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1234
1235 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1236
1237 @c ===beg===
1238 @c load ("distrib")$
1239 @c mean_chi2(n);
1240 @c ===end===
1241 @example
1242 (%i1) load ("distrib")$
1243 (%i2) mean_chi2(n);
1244 (%o2)                           n
1245 @end example
1246
1247 @opencatbox{Categories:}
1248 @category{Package distrib}
1249 @closecatbox
1250
1251 @end deffn
1252
1253
1254 @anchor{var_chi2}
1255 @deffn {Function} var_chi2 (@var{n})
1256 Returns the variance of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1257
1258 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1259
1260 @c ===beg===
1261 @c load ("distrib")$
1262 @c var_chi2(n);
1263 @c ===end===
1264 @example
1265 (%i1) load ("distrib")$
1266 (%i2) var_chi2(n);
1267 (%o2)                          2 n
1268 @end example
1269
1270 @opencatbox{Categories:}
1271 @category{Package distrib}
1272 @closecatbox
1273
1274 @end deffn
1275
1276
1277 @anchor{std_chi2}
1278 @deffn {Function} std_chi2 (@var{n})
1279 Returns the standard deviation of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1280
1281 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1282
1283 @c ===beg===
1284 @c load ("distrib")$
1285 @c std_chi2(n);
1286 @c ===end===
1287 @example
1288 (%i1) load ("distrib")$
1289 (%i2) std_chi2(n);
1290 (%o2)                    sqrt(2) sqrt(n)
1291 @end example
1292
1293 @opencatbox{Categories:}
1294 @category{Package distrib}
1295 @closecatbox
1296
1297 @end deffn
1298
1299
1300 @anchor{skewness_chi2}
1301 @deffn {Function} skewness_chi2 (@var{n})
1302 Returns the skewness coefficient of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1303
1304 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1305
1306 @c ===beg===
1307 @c load ("distrib")$
1308 @c skewness_chi2(n);
1309 @c ===end===
1310 @example
1311 (%i1) load ("distrib")$
1312 (%i2) skewness_chi2(n);
1313                                      3/2
1314                                     2
1315 (%o2)                              -------
1316                                    sqrt(n)
1317 @end example
1318
1319 @opencatbox{Categories:}
1320 @category{Package distrib}
1321 @closecatbox
1322
1323 @end deffn
1324
1325
1326 @anchor{kurtosis_chi2}
1327 @deffn {Function} kurtosis_chi2 (@var{n})
1328 Returns the kurtosis coefficient of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1329
1330 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1331
1332 @c ===beg===
1333 @c load ("distrib")$
1334 @c kurtosis_chi2(n);
1335 @c ===end===
1336 @example
1337 (%i1) load ("distrib")$
1338 (%i2) kurtosis_chi2(n);
1339                                12
1340 (%o2)                          --
1341                                n
1342 @end example
1343
1344 @opencatbox{Categories:}
1345 @category{Package distrib}
1346 @closecatbox
1347
1348 @end deffn
1349
1350
1351 @anchor{random_chi2}
1352 @deffn {Function} random_chi2 (@var{n}) @
1353 @fname{random_chi2} (@var{n},@var{m})
1354
1355 Returns a Chi-square random variate m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}. Calling @code{random_chi2} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1356
1357 The simulation is based on the Ahrens-Cheng algorithm. See @code{random_gamma} for details.
1358
1359 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1360
1361 @opencatbox{Categories:}
1362 @category{Package distrib}
1363 @category{Random numbers}
1364 @closecatbox
1365
1366 @end deffn
1367
1368
1369 @node Noncentral Chi-squared Random Variable, F Random Variable, Chi-squared Random Variable, Normal Random Variable
1370 @subsection Noncentral Chi-squared Random Variable
1371 @menu
1372 * Introduction to Noncentral Chi-squared Random Variable::
1373 * Functions and Variables for Noncentral Chi-squared Random Variable::
1374 @end menu
1375
1376 @node Introduction to Noncentral Chi-squared Random Variable
1377 @subsubsection Introduction to Noncentral Chi-squared Random Variable
1378
1379 Let m4_math(<<<X_1, X_2, ..., X_n>>>, <<<@math{X[1], X[2], ..., X[n]}>>>) be @math{n}
1380 independent normally distributed random variables with
1381 means m4_math(\mu_k, mu[k]) and unit variances.  Then the random variable
1382
1383 m4_displaymath(
1384 <<<\sum_{k=1}^n X_k^2>>>,
1385 <<<@math{sum(X[k]^2, k, 1, n)}>>>)
1386
1387 has a noncentral m4_math(\chi^2, chi-squared) distribution.  The
1388 number of degrees of freedom is @math{n}, and the noncentrality
1389 parameter is defined by
1390
1391 m4_displaymath(
1392 <<<\sum_{k=1}^n \mu_k^2>>>,
1393 <<<@math{sum(mu[k]^2, k, 1, n)}>>>)
1394
1395
1396 @node Functions and Variables for Noncentral Chi-squared Random Variable
1397 @subsubsection Functions and Variables for Noncentral Chi-squared Random Variable
1398 @anchor{pdf_noncentral_chi2}
1399 @deffn {Function} pdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
1400 Returns the value at @math{x} of the density function of a
1401 noncentral m4_math(\chi^2, Chi-square) random
1402 variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To
1403 make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1404
1405 For @math{x < 0}, the pdf is 0, and for m4_math(x \ge 0, @math{x >= 0}) the pdf is
1406 m4_displaymath(
1407 <<<f(x; n, \lambda) =
1408 {1\over 2}e^{-(x+\lambda)/2} \left(x\over
1409 \lambda\right)^{n/4-1/2}I_{{n\over 2} - 1}\left(\sqrt{n \lambda}\right)
1410 >>>,
1411 <<<
1412 @example
1413  f(x, n, ncp) =
1414                                                        (- x) - ncp
1415                                                        -----------
1416                   n                     x  n/4 - 1/2        2
1417          bessel_i(- - 1, sqrt(ncp x)) (---)          %e            unit_step(x)
1418                   2                    ncp
1419          ----------------------------------------------------------------------
1420                                            2
1421 @end example
1422 >>>)
1423
1424 @opencatbox{Categories:}
1425 @category{Package distrib}
1426 @closecatbox
1427
1428 @end deffn
1429
1430
1431 @anchor{cdf_noncentral_chi2}
1432 @deffn {Function} cdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
1433 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1434
1435 @opencatbox{Categories:}
1436 @category{Package distrib}
1437 @closecatbox
1438
1439 @end deffn
1440
1441
1442 @anchor{quantile_noncentral_chi2}
1443 @deffn {Function} quantile_noncentral_chi2 (@var{q},@var{n},@var{ncp})
1444 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1445
1446 This function has no closed form and it is numerically computed.
1447
1448 @opencatbox{Categories:}
1449 @category{Package distrib}
1450 @closecatbox
1451
1452 @end deffn
1453
1454
1455 @anchor{mean_noncentral_chi2}
1456 @deffn {Function} mean_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1457 Returns the mean of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1458
1459 @opencatbox{Categories:}
1460 @category{Package distrib}
1461 @closecatbox
1462
1463 @end deffn
1464
1465
1466 @anchor{var_noncentral_chi2}
1467 @deffn {Function} var_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1468 Returns the variance of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1469
1470 @opencatbox{Categories:}
1471 @category{Package distrib}
1472 @closecatbox
1473
1474 @end deffn
1475
1476
1477 @anchor{std_noncentral_chi2}
1478 @deffn {Function} std_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1479 Returns the standard deviation of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1480
1481 @opencatbox{Categories:}
1482 @category{Package distrib}
1483 @closecatbox
1484
1485 @end deffn
1486
1487
1488 @anchor{skewness_noncentral_chi2}
1489 @deffn {Function} skewness_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1490 Returns the skewness coefficient of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1491
1492 @opencatbox{Categories:}
1493 @category{Package distrib}
1494 @closecatbox
1495
1496 @end deffn
1497
1498
1499 @anchor{kurtosis_noncentral_chi2}
1500 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1501 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1502
1503 @opencatbox{Categories:}
1504 @category{Package distrib}
1505 @closecatbox
1506
1507 @end deffn
1508
1509
1510 @anchor{random_noncentral_chi2}
1511 @deffn {Function} random_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp}) @
1512 @fname{random_noncentral_chi2} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
1513
1514 Returns a noncentral Chi-square random variate m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. Calling @code{random_noncentral_chi2} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1515
1516 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1517
1518 @opencatbox{Categories:}
1519 @category{Package distrib}
1520 @category{Random numbers}
1521 @closecatbox
1522
1523 @end deffn
1524
1525
1526
1527 @node F Random Variable, Exponential Random Variable, Noncentral Chi-squared Random Variable, Normal Random Variable
1528 @subsection F Random Variable
1529 @menu
1530 * Introduction to F Random Variable::
1531 * Functions and Variables for F Random Variable::
1532 @end menu
1533
1534 @node Introduction to F Random Variable
1535 @subsubsection Introduction to F Random Variable
1536 Let @math{S_1} and @math{S_2} be independent random variables with
1537 a m4_math(\chi^2, chi-squared) distribution with degrees of freedom
1538 @math{n} and @math{m}, respectively.  Then
1539 m4_displaymath(
1540 <<<F = {S_1/n \over S_2/m}>>>,
1541 <<<@math{F = (S_1/n)/(S_2/m)}>>>) has an @math{F} distribution with @math{n} and @math{m} degrees of
1542 freedom.
1543
1544 @node Functions and Variables for F Random Variable
1545 @subsubsection Functions and Variables for F Random Variable
1546 @anchor{pdf_f}
1547 @deffn {Function} pdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1548 Returns the value at @var{x} of the density function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1549
1550 The pdf is
1551 m4_displaymath(
1552 <<<f(x; m, n) =
1553 \cases{
1554 B\left(\displaystyle{n\over 2}, \displaystyle{m\over 2}\right)^{-1}
1555 \left(\displaystyle{n\over m}\right)^{n/ 2}
1556 x^{n/2-1}
1557 \left(1 + \displaystyle{n\over m}x\right)^{-\left(n+m\right)/2} & $x >
1558 0$ \cr
1559 \cr
1560 0 & otherwise
1561 }>>>,
1562 <<<
1563 @example
1564  f(x, m, n) =
1565                                                          (- n) - m
1566                                                          ---------
1567                     n n/2       n + m   n/2 - 1  n x         2
1568                    (-)    gamma(-----) x        (--- + 1)          unit_step(x)
1569                     m             2               m
1570                    ------------------------------------------------------------
1571                                               m        n
1572                                         gamma(-) gamma(-)
1573                                               2        2
1574
1575 @end example>>>)
1576
1577 @opencatbox{Categories:}
1578 @category{Package distrib}
1579 @closecatbox
1580
1581 @end deffn
1582
1583
1584 @anchor{cdf_f}
1585 @deffn {Function} cdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1586 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}.
1587
1588 The cdf is
1589 m4_displaymath(
1590 <<<F(x; m, n) =
1591 \cases{
1592 1 - I_z\left(\displaystyle{n\over 2}, {m\over 2}\right) & $x > 0$ \cr
1593 0 & otherwise
1594 }>>>,
1595 <<<
1596 @example
1597                                                    m  n     m
1598      F(x, n, m) = (1 - beta_incomplete_regularized(-, -, -------))
1599                                                    2  2  n x + m
1600                                                              unit_step(x)
1601 @end example
1602 >>>)
1603
1604 @ifnotinfo
1605 where
1606 m4_displaymath(
1607 <<<z = {m\over nx+m}>>>,
1608 <<<>>>)
1609
1610 and m4_math(I_z(a,b)) is the @ref{beta_incomplete_regularized}
1611 function.
1612 @end ifnotinfo
1613 @c ===beg===
1614 @c load ("distrib")$
1615 @c cdf_f(2,3,9/4);
1616 @c float(%);
1617 @c ===end===
1618 @example
1619 (%i1) load ("distrib")$
1620 (%i2) cdf_f(2,3,9/4);
1621                                          9  3  3
1622 (%o2)    1 - beta_incomplete_regularized(-, -, --)
1623                                          8  2  11
1624 (%i3) float(%);
1625 (%o3)                 0.66756728179008
1626 @end example
1627
1628 @opencatbox{Categories:}
1629 @category{Package distrib}
1630 @closecatbox
1631
1632 @end deffn
1633
1634
1635 @anchor{quantile_f}
1636 @deffn {Function} quantile_f (@var{q},@var{m},@var{n})
1637 Returns the @var{q}-quantile of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_f}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1638
1639 @c ===beg===
1640 @c load ("distrib")$
1641 @c quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1642 @c ===end===
1643 @example
1644 (%i1) load ("distrib")$
1645 (%i2) quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1646 (%o2)                   0.518947838573693
1647 @end example
1648
1649 @opencatbox{Categories:}
1650 @category{Package distrib}
1651 @closecatbox
1652
1653 @end deffn
1654
1655
1656 @anchor{mean_f}
1657 @deffn {Function} mean_f (@var{m},@var{n})
1658 Returns the mean of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1659
1660 @opencatbox{Categories:}
1661 @category{Package distrib}
1662 @closecatbox
1663
1664 @end deffn
1665
1666
1667 @anchor{var_f}
1668 @deffn {Function} var_f (@var{m},@var{n})
1669 Returns the variance of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1670
1671 @opencatbox{Categories:}
1672 @category{Package distrib}
1673 @closecatbox
1674
1675 @end deffn
1676
1677
1678 @anchor{std_f}
1679 @deffn {Function} std_f (@var{m},@var{n})
1680 Returns the standard deviation of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1681
1682 @opencatbox{Categories:}
1683 @category{Package distrib}
1684 @closecatbox
1685
1686 @end deffn
1687
1688
1689 @anchor{skewness_f}
1690 @deffn {Function} skewness_f (@var{m},@var{n})
1691 Returns the skewness coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>6}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1692
1693 @opencatbox{Categories:}
1694 @category{Package distrib}
1695 @closecatbox
1696
1697 @end deffn
1698
1699
1700 @anchor{kurtosis_f}
1701 @deffn {Function} kurtosis_f (@var{m},@var{n})
1702 Returns the kurtosis coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>8}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1703
1704 @opencatbox{Categories:}
1705 @category{Package distrib}
1706 @closecatbox
1707
1708 @end deffn
1709
1710
1711 @anchor{random_f}
1712 @deffn {Function} random_f (@var{m},@var{n}) @
1713 @fname{random_f} (@var{m},@var{n},@var{k})
1714
1715 Returns a F random variate @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. Calling @code{random_f} with a third argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
1716
1717 The simulation algorithm is based on the fact that if @var{X} is a @math{Chi^2(m)} random variable and @math{Y} is a m4_Chi2_RV(n) random variable, then
1718 m4_displaymath(
1719 <<<F={{n X}\over{m Y}}>>>,
1720 <<<
1721 @example
1722                         n X
1723                     F = ---
1724                         m Y
1725 @end example
1726 >>>)
1727 is a F random variable with @var{m} and @var{n} degrees of freedom, @math{F(m,n)}.
1728
1729 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1730
1731 @opencatbox{Categories:}
1732 @category{Package distrib}
1733 @category{Random numbers}
1734 @closecatbox
1735
1736 @end deffn
1737
1738
1739 @node Exponential Random Variable, Lognormal Random Variable, F Random Variable, Normal Random Variable
1740 @subsection Exponential Random Variable
1741 @menu
1742 * Introduction to Exponential Random Variable::
1743 * Functions and Variables for Exponential Random Variable::
1744 @end menu
1745
1746 @node Introduction to Exponential Random Variable
1747 @subsubsection Introduction to Exponential Random Variable
1748 The @emph{exponential distribution} is the probablity distribution of
1749 the time between events in a process where the events occur
1750 continuously and independently at a constant average rate.
1751
1752 @node Functions and Variables for Exponential Random Variable
1753 @subsubsection Functions and Variables for Exponential Random Variable
1754 @anchor{pdf_exp}
1755 @deffn {Function} pdf_exp (@var{x},@var{m})
1756 Returns the value at @var{x} of the density function of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1757
1758 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1759
1760 The pdf is
1761 m4_displaymath(
1762 <<<f(x; m) =
1763 \cases{
1764 me^{-mx} & for $x \ge 0$ \cr
1765 0 & otherwise
1766 }>>>,
1767 <<<
1768           [ m*exp(-m*x) for x >= 0
1769 f(x, m) = [
1770           [ 0           otherwise
1771 >>>)
1772
1773 @c ===beg===
1774 @c load ("distrib")$
1775 @c pdf_exp(x,m);
1776 @c ===end===
1777 @example
1778 (%i1) load ("distrib")$
1779 (%i2) pdf_exp(x,m);
1780                                 - m x
1781 (%o2)                       m %e
1782 @end example
1783
1784 @opencatbox{Categories:}
1785 @category{Package distrib}
1786 @closecatbox
1787
1788 @end deffn
1789
1790
1791 @anchor{cdf_exp}
1792 @deffn {Function} cdf_exp (@var{x},@var{m})
1793 Returns the value at @var{x} of the distribution function of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1794
1795 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1796
1797 The cdf is
1798 m4_displaymath(
1799 <<<F(x; m) =
1800 \cases{
1801 1 - e^{-mx} & $x \ge 0$ \cr
1802 0 & otherwise
1803 }>>>,
1804 <<<
1805 @example
1806          [ 1 - exp(-m*x)  for x >= 0
1807 F(x,n) = [
1808          [ 0              otherwise
1809 @end example
1810 >>>)
1811 @c ===beg===
1812 @c load ("distrib")$
1813 @c cdf_exp(x,m);
1814 @c ===end===
1815 @example
1816 (%i1) load ("distrib")$
1817 (%i2) cdf_exp(x,m);
1818                                  - m x
1819 (%o2)                      1 - %e
1820 @end example
1821
1822 @opencatbox{Categories:}
1823 @category{Package distrib}
1824 @closecatbox
1825
1826 @end deffn
1827
1828
1829 @anchor{quantile_exp}
1830 @deffn {Function} quantile_exp (@var{q},@var{m})
1831 Returns the @var{q}-quantile of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_exp}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1832
1833 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1834
1835 @c ===beg===
1836 @c load ("distrib")$
1837 @c quantile_exp(0.56,5);
1838 @c quantile_exp(0.56,m);
1839 @c ===end===
1840 @example
1841 (%i1) load ("distrib")$
1842 (%i2) quantile_exp(0.56,5);
1843 (%o2)                   .1641961104139661
1844 (%i3) quantile_exp(0.56,m);
1845                              0.8209805520698303
1846 (%o3)                        ------------------
1847                                      m
1848 @end example
1849
1850 @opencatbox{Categories:}
1851 @category{Package distrib}
1852 @closecatbox
1853
1854 @end deffn
1855
1856
1857 @anchor{mean_exp}
1858 @deffn {Function} mean_exp (@var{m})
1859 Returns the mean of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1860
1861 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1862
1863 @c ===beg===
1864 @c load ("distrib")$
1865 @c mean_exp(m);
1866 @c ===end===
1867 @example
1868 (%i1) load ("distrib")$
1869 (%i2) mean_exp(m);
1870                                 1
1871 (%o2)                           -
1872                                 m
1873 @end example
1874
1875 @opencatbox{Categories:}
1876 @category{Package distrib}
1877 @closecatbox
1878
1879 @end deffn
1880
1881
1882 @anchor{var_exp}
1883 @deffn {Function} var_exp (@var{m})
1884 Returns the variance of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1885
1886 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1887
1888 @c ===beg===
1889 @c load ("distrib")$
1890 @c var_exp(m);
1891 @c ===end===
1892 @example
1893 (%i1) load ("distrib")$
1894 (%i2) var_exp(m);
1895                                1
1896 (%o2)                          --
1897                                 2
1898                                m
1899 @end example
1900
1901 @opencatbox{Categories:}
1902 @category{Package distrib}
1903 @closecatbox
1904
1905 @end deffn
1906
1907
1908 @anchor{std_exp}
1909 @deffn {Function} std_exp (@var{m})
1910 Returns the standard deviation of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1911
1912 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1913
1914 @c ===beg===
1915 @c load ("distrib")$
1916 @c std_exp(m);
1917 @c ===end===
1918 @example
1919 (%i1) load ("distrib")$
1920 (%i2) std_exp(m);
1921                                 1
1922 (%o2)                           -
1923                                 m
1924 @end example
1925
1926 @opencatbox{Categories:}
1927 @category{Package distrib}
1928 @closecatbox
1929
1930 @end deffn
1931
1932
1933 @anchor{skewness_exp}
1934 @deffn {Function} skewness_exp (@var{m})
1935 Returns the skewness coefficient of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1936
1937 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1938
1939 @c ===beg===
1940 @c load ("distrib")$
1941 @c skewness_exp(m);
1942 @c ===end===
1943 @example
1944 (%i1) load ("distrib")$
1945 (%i2) skewness_exp(m);
1946 (%o2)                           2
1947 @end example
1948
1949 @opencatbox{Categories:}
1950 @category{Package distrib}
1951 @closecatbox
1952
1953 @end deffn
1954
1955
1956 @anchor{kurtosis_exp}
1957 @deffn {Function} kurtosis_exp (@var{m})
1958 Returns the kurtosis coefficient of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
1959
1960 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
1961
1962 @c ===beg===
1963 @c load ("distrib")$
1964 @c kurtosis_exp(m);
1965 @c ===end===
1966 @example
1967 (%i1) load ("distrib")$
1968 (%i2) kurtosis_exp(m);
1969 (%o3)                           6
1970 @end example
1971
1972 @opencatbox{Categories:}
1973 @category{Package distrib}
1974 @closecatbox
1975
1976 @end deffn
1977
1978
1979 @anchor{random_exp}
1980 @deffn {Function} random_exp (@var{m}) @
1981 @fname{random_exp} (@var{m},@var{k})
1982
1983 Returns an m4_Exponential_RV(m) random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_exp} with a second argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
1984
1985 The simulation algorithm is based on the general inverse method.
1986
1987 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1988
1989 @opencatbox{Categories:}
1990 @category{Package distrib}
1991 @category{Random numbers}
1992 @closecatbox
1993
1994 @end deffn
1995
1996
1997 @node Lognormal Random Variable, Gamma Random Variable, Exponential Random Variable, Normal Random Variable
1998 @subsection Lognormal Random Variable
1999 @menu
2000 * Introduction to Lognormal Random Variable::
2001 * Functions and Variables for Lognormal Random Variable::
2002 @end menu
2003
2004 @node Introduction to Lognormal Random Variable
2005 @subsubsection Introduction to Lognormal Random Variable
2006 The @emph{lognormal} distribution is distribution for a random
2007 variable whose logarithm is normally distributed.
2008
2009 @node Functions and Variables for Lognormal Random Variable
2010 @subsubsection Functions and Variables for Lognormal Random Variable
2011 @anchor{pdf_lognormal}
2012 @deffn {Function} pdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
2013 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2014
2015 The pdf is
2016 m4_displaymath(
2017 <<<f(x; m, s) =
2018 \cases{
2019 \displaystyle{1\over x s \sqrt{2\pi}}
2020 \exp\left(-\displaystyle{\left(\log x - m\right)^2\over 2s^2}\right) & for $x \ge
2021 0$ \cr
2022 \cr
2023 0 & for $x < 0$
2024 }>>>,
2025 <<<
2026 @example
2027                    [                   2
2028                    [       (log(x) - m)
2029                    [     - -------------
2030                    [              2
2031                    [           2 s
2032                    [   %e
2033       f(x, m, s) = [ ---------------------      for x >= 0
2034                    [ sqrt(2) sqrt(%pi) s x
2035                    [
2036                    [ 0                          for x < 0
2037 @end example
2038 >>>)
2039 @opencatbox{Categories:}
2040 @category{Package distrib}
2041 @closecatbox
2042
2043 @end deffn
2044
2045
2046 @anchor{cdf_lognormal}
2047 @deffn {Function} cdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
2048 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
2049
2050 @c ===beg===
2051 @c load ("distrib")$
2052 @c cdf_lognormal(x,m,s);
2053 @c ===end===
2054 @example
2055 (%i1) load ("distrib")$
2056 (%i2) cdf_lognormal(x,m,s);
2057 @group
2058                            log(x) - m
2059                        erf(----------)
2060                            sqrt(2) s     1
2061 (%o2)                  --------------- + -
2062                               2          2
2063 @end group
2064 @end example
2065
2066 See also @mrefdot{erf}
2067
2068 @opencatbox{Categories:}
2069 @category{Package distrib}
2070 @closecatbox
2071
2072 @end deffn
2073
2074
2075 @anchor{quantile_lognormal}
2076 @deffn {Function} quantile_lognormal (@var{q},@var{m},@var{s})
2077 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_lognormal}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2078
2079 @c ===beg===
2080 @c load ("distrib")$
2081 @c quantile_lognormal(95/100,0,1);
2082 @c float(%);
2083 @c ===end===
2084 @example
2085 (%i1) load ("distrib")$
2086 (%i2) quantile_lognormal(95/100,0,1);
2087                   sqrt(2) inverse_erf(9/10)
2088 (%o2)           %e
2089 (%i3) float(%);
2090 (%o3)               5.180251602233015
2091 @end example
2092
2093 @opencatbox{Categories:}
2094 @category{Package distrib}
2095 @closecatbox
2096
2097 @end deffn
2098
2099
2100 @anchor{mean_lognormal}
2101 @deffn {Function} mean_lognormal (@var{m},@var{s})
2102 Returns the mean of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2103
2104 @opencatbox{Categories:}
2105 @category{Package distrib}
2106 @closecatbox
2107
2108 @end deffn
2109
2110
2111 @anchor{var_lognormal}
2112 @deffn {Function} var_lognormal (@var{m},@var{s})
2113 Returns the variance of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2114
2115 @opencatbox{Categories:}
2116 @category{Package distrib}
2117 @closecatbox
2118
2119 @end deffn
2120
2121 @anchor{std_lognormal}
2122 @deffn {Function} std_lognormal (@var{m},@var{s})
2123 Returns the standard deviation of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2124
2125 @opencatbox{Categories:}
2126 @category{Package distrib}
2127 @closecatbox
2128
2129 @end deffn
2130
2131
2132 @anchor{skewness_lognormal}
2133 @deffn {Function} skewness_lognormal (@var{m},@var{s})
2134 Returns the skewness coefficient of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2135
2136 @opencatbox{Categories:}
2137 @category{Package distrib}
2138 @closecatbox
2139
2140 @end deffn
2141
2142
2143 @anchor{kurtosis_lognormal}
2144 @deffn {Function} kurtosis_lognormal (@var{m},@var{s})
2145 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2146
2147 @opencatbox{Categories:}
2148 @category{Package distrib}
2149 @closecatbox
2150
2151 @end deffn
2152
2153
2154 @anchor{random_lognormal}
2155 @deffn {Function} random_lognormal (@var{m},@var{s}) @
2156 @fname{random_lognormal} (@var{m},@var{s},@var{n})
2157
2158 Returns a m4_Lognormal_RV(m,s) random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_lognormal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2159
2160 Log-normal variates are simulated by means of random normal variates. See @code{random_normal} for details.
2161
2162 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2163
2164 @opencatbox{Categories:}
2165 @category{Package distrib}
2166 @category{Random numbers}
2167 @closecatbox
2168
2169 @end deffn
2170
2171
2172 @node Gamma Random Variable, Beta Random Variable, Lognormal Random Variable, Normal Random Variable
2173 @subsection Gamma Random Variable
2174 @menu
2175 * Introduction to Gamma Random Variable::
2176 * Functions and Variables for Gamma Random Variable::
2177 @end menu
2178
2179 @node Introduction to Gamma Random Variable
2180 @subsubsection Introduction to Gamma Random Variable
2181 The @emph{gamma distribution} is a two-parameter family of probability
2182 distributions.  Maxima uses the parameterization using the shape and
2183 scale for the first and second parameters of the distribution.
2184
2185 @node Functions and Variables for Gamma Random Variable
2186 @subsubsection Functions and Variables for Gamma Random Variable
2187 @anchor{pdf_gamma}
2188 @deffn {Function} pdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
2189 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2190
2191 The shape parameter is @math{a}, and the scale parameter is @math{b}.
2192
2193 The pdf is
2194 m4_displaymath(
2195 <<<f(x; a, b) = {x^{a-1}e^{-x/b}\over b^a \Gamma(a)}>>>,
2196 <<<
2197 @example
2198                     a - 1   - x/b
2199                    x      %e      unit_step(x)
2200       f(x, a, b) = ---------------------------
2201                                      a
2202                            gamma(a) b
2203 @end example
2204 >>>)
2205
2206 @opencatbox{Categories:}
2207 @category{Package distrib}
2208 @closecatbox
2209
2210 @end deffn
2211
2212
2213 @anchor{cdf_gamma}
2214 @deffn {Function} cdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
2215 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}.
2216
2217 The cdf is
2218 m4_displaymath(
2219 <<<F(x; a, b) =
2220 \cases{
2221 1-Q(a,{x\over b}) & for $x \ge 0$ \cr
2222 \cr
2223 0 & for $x < 0$
2224 }>>>,
2225 <<<
2226 @example
2227              [ 1 - Q(a,x/b) for x>= 0
2228 F(x, a, b) = [
2229              [ 0            for x < 0
2230 @end example
2231 >>>)
2232 where @math{Q(a,z)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized} function.
2233 @c ===beg===
2234 @c load ("distrib")$
2235 @c cdf_gamma(3,5,21);
2236 @c float(%);
2237 @c ===end===
2238 @example
2239 (%i1) load ("distrib")$
2240 (%i2) cdf_gamma(3,5,21);
2241                                               1
2242 (%o2)     1 - gamma_incomplete_regularized(5, -)
2243                                               7
2244 (%i3) float(%);
2245 (%o3)              4.402663157376807E-7
2246 @end example
2247
2248 @opencatbox{Categories:}
2249 @category{Package distrib}
2250 @closecatbox
2251
2252 @end deffn
2253
2254
2255 @anchor{quantile_gamma}
2256 @deffn {Function} quantile_gamma (@var{q},@var{a},@var{b})
2257 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gamma}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2258
2259 @opencatbox{Categories:}
2260 @category{Package distrib}
2261 @closecatbox
2262
2263 @end deffn
2264
2265
2266 @anchor{mean_gamma}
2267 @deffn {Function} mean_gamma (@var{a},@var{b})
2268 Returns the mean of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2269
2270 @opencatbox{Categories:}
2271 @category{Package distrib}
2272 @closecatbox
2273
2274 @end deffn
2275
2276
2277 @anchor{var_gamma}
2278 @deffn {Function} var_gamma (@var{a},@var{b})
2279 Returns the variance of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2280
2281 @opencatbox{Categories:}
2282 @category{Package distrib}
2283 @closecatbox
2284
2285 @end deffn
2286
2287 @anchor{std_gamma}
2288 @deffn {Function} std_gamma (@var{a},@var{b})
2289 Returns the standard deviation of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2290
2291 @opencatbox{Categories:}
2292 @category{Package distrib}
2293 @closecatbox
2294
2295 @end deffn
2296
2297
2298 @anchor{skewness_gamma}
2299 @deffn {Function} skewness_gamma (@var{a},@var{b})
2300 Returns the skewness coefficient of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2301
2302 @opencatbox{Categories:}
2303 @category{Package distrib}
2304 @closecatbox
2305
2306 @end deffn
2307
2308
2309 @anchor{kurtosis_gamma}
2310 @deffn {Function} kurtosis_gamma (@var{a},@var{b})
2311 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2312
2313 @opencatbox{Categories:}
2314 @category{Package distrib}
2315 @closecatbox
2316
2317 @end deffn
2318
2319
2320 @anchor{random_gamma}
2321 @deffn {Function} random_gamma (@var{a},@var{b}) @
2322 @fname{random_gamma} (@var{a},@var{b},@var{n})
2323
2324 Returns a m4_Gamma_RV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_gamma} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2325
2326 The implemented algorithm is a combination of two procedures, depending on the value of parameter @var{a}:
2327
2328 For @math{a>=1}, Cheng, R.C.H. and Feast, G.M. (1979). @var{Some simple gamma variate generators}. Appl. Stat., 28, 3, 290-295.
2329
2330 For @math{0<a<1}, Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1974). @var{Computer methods for sampling from gamma, , poisson and binomial cdf_tributions}. Computing, 12, 223-246.
2331
2332 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2333
2334 @opencatbox{Categories:}
2335 @category{Package distrib}
2336 @category{Random numbers}
2337 @closecatbox
2338
2339 @end deffn
2340
2341
2342 @node Beta Random Variable, Continuous Uniform Random Variable, Gamma Random Variable, Normal Random Variable
2343 @subsection Beta Random Variable
2344 @menu
2345 * Introduction to Beta Random Variable::
2346 * Functions and Variables for Beta Random Variable::
2347 @end menu
2348
2349 @node Introduction to Beta Random Variable
2350 @subsubsection Introduction to Beta Random Variable
2351 The @emph{beta} distribution is a family of distributions defined over
2352 @math{[0,1]} parameterized by two positive shape parameters @math{a},
2353 and @math{b}.
2354
2355 @node Functions and Variables for Beta Random Variable
2356 @subsubsection Functions and Variables for Beta Random Variable
2357 @anchor{pdf_beta}
2358 @deffn {Function} pdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
2359 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2360
2361 For m4_math(<<<0 \le x \le 1>>>, <<<@math{0 <= x <= 1}>>>), the pdf is
2362 m4_displaymath(
2363 <<<f(x; a, b) =
2364 \cases{
2365 {1\over B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} & for $0 \le x \le 1$ \cr
2366 0 & otherwise
2367 }>>>,
2368 <<<
2369 @example
2370               [        b - 1  a - 1
2371               [ (1 - x)      x
2372  f(x, a, b) = [ -------------------   for 0 <= x <= 1
2373               [     beta(a, b)
2374               [
2375               [ 0                     otherwise
2376 @end example
2377 >>>)
2378 Otherwise, the pdf is 0.
2379
2380 @opencatbox{Categories:}
2381 @category{Package distrib}
2382 @closecatbox
2383
2384 @end deffn
2385
2386
2387
2388 @anchor{cdf_beta}
2389 @deffn {Function} cdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
2390 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}.
2391
2392 The cdf is
2393 m4_displaymath(
2394 <<<F(x; a, b) =
2395 \cases{
2396 0 & $x < 0$ \cr
2397 I_x(a,b) & $0 \le x \le 1$ \cr
2398 1 & $x > 1$
2399 }>>>,
2400 <<<
2401 @example
2402              [ 0                                     for x < 0
2403              [
2404 F(x, a, b) = [ beta_incomplete_regularized(a, b, x)  for 0 <= x <= 1
2405              [
2406              [ 1                                     for x > 1
2407 @end example
2408 >>>)
2409 @c ===beg===
2410 @c load ("distrib")$
2411 @c cdf_beta(1/3,15,2);
2412 @c float(%);
2413 @c ===end===
2414 @example
2415 (%i1) load ("distrib")$
2416 (%i2) cdf_beta(1/3,15,2);
2417                              11
2418 (%o2)                     --------
2419                           14348907
2420 (%i3) float(%);
2421 (%o3)              7.666089131388195E-7
2422 @end example
2423
2424 @opencatbox{Categories:}
2425 @category{Package distrib}
2426 @closecatbox
2427
2428 @end deffn
2429
2430
2431 @anchor{quantile_beta}
2432 @deffn {Function} quantile_beta (@var{q},@var{a},@var{b})
2433 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_beta}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2434
2435 @opencatbox{Categories:}
2436 @category{Package distrib}
2437 @closecatbox
2438
2439 @end deffn
2440
2441
2442 @anchor{mean_beta}
2443 @deffn {Function} mean_beta (@var{a},@var{b})
2444 Returns the mean of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2445
2446 @opencatbox{Categories:}
2447 @category{Package distrib}
2448 @closecatbox
2449
2450 @end deffn
2451
2452
2453 @anchor{var_beta}
2454 @deffn {Function} var_beta (@var{a},@var{b})
2455 Returns the variance of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2456
2457 @opencatbox{Categories:}
2458 @category{Package distrib}
2459 @closecatbox
2460
2461 @end deffn
2462
2463 @anchor{std_beta}
2464 @deffn {Function} std_beta (@var{a},@var{b})
2465 Returns the standard deviation of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2466
2467 @opencatbox{Categories:}
2468 @category{Package distrib}
2469 @closecatbox
2470
2471 @end deffn
2472
2473
2474 @anchor{skewness_beta}
2475 @deffn {Function} skewness_beta (@var{a},@var{b})
2476 Returns the skewness coefficient of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2477
2478 @opencatbox{Categories:}
2479 @category{Package distrib}
2480 @closecatbox
2481
2482 @end deffn
2483
2484
2485 @anchor{kurtosis_beta}
2486 @deffn {Function} kurtosis_beta (@var{a},@var{b})
2487 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2488
2489 @opencatbox{Categories:}
2490 @category{Package distrib}
2491 @closecatbox
2492
2493 @end deffn
2494
2495
2496 @anchor{random_beta}
2497 @deffn {Function} random_beta (@var{a},@var{b}) @
2498 @fname{random_beta} (@var{a},@var{b},@var{n})
2499
2500 Returns a m4_Beta_RV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_beta} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2501
2502 The implemented algorithm is defined in Cheng, R.C.H.  (1978). @var{Generating Beta Variates with Nonintegral Shape Parameters}. Communications of the ACM, 21:317-322
2503
2504 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2505
2506 @opencatbox{Categories:}
2507 @category{Package distrib}
2508 @category{Random numbers}
2509 @closecatbox
2510
2511 @end deffn
2512
2513 @node Continuous Uniform Random Variable, Logistic Random Variable, Beta Random Variable, Normal Random Variable
2514 @subsection Continuous Uniform Random Variable
2515 @menu
2516 * Introduction to Continuous Uniform Random Variable::
2517 * Functions and Variables for Continuous Uniform Random Variable::
2518 @end menu
2519
2520 @node Introduction to Continuous Uniform Random Variable
2521 @subsubsection Introduction to Continuous Uniform Random Variable
2522 The @emph{continuous uniform} distribution is constant over the
2523 interval @math{[a,b]} and is zero elsewhere.
2524 @node Functions and Variables for Continuous Uniform Random Variable
2525 @subsubsection Functions and Variables for Continuous Uniform Random Variable
2526 @anchor{pdf_continuous_uniform}
2527 @deffn {Function} pdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
2528 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2529
2530 The pdf for m4_math(<<<x \in [0,1]>>>, <<<@math{x in [0,1]}>>>) is
2531 m4_displaymath(
2532 <<<f(x; a, b) =
2533 \cases{
2534 \displaystyle{1\over b-a} & for $0 \le x \le 1$ \cr
2535 \cr
2536 0 & otherwise
2537 }>>>,
2538 <<<
2539 @example
2540              [ 1/(b-a) for 0 <= x <= 1
2541 f(x, a, b) = [
2542              [ 0       otherwise
2543 @end example
2544 @math{f(x,a,b) = 1/(b-a)}>>>)
2545 and is 0 otherwise.
2546
2547 @opencatbox{Categories:}
2548 @category{Package distrib}
2549 @closecatbox
2550
2551 @end deffn
2552
2553
2554 @anchor{cdf_continuous_uniform}
2555 @deffn {Function} cdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
2556 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2557
2558 The cdf is
2559 m4_displaymath(
2560 <<<F(x; a, b) =
2561 \cases{
2562 0 & for $x < a$ \cr
2563 \cr
2564 \displaystyle{x-a\over b-a} & for $a \le x \le b$ \cr
2565 \cr
2566 1 & for $x > b$
2567 }>>>,
2568 <<<
2569 @example
2570            [ 0              for x < a
2571 F(x,a,b) = [ (x-a)/(b-a)    for a <= x <= b
2572            [ 1              for x > b
2573 @end example
2574 >>>)
2575 @opencatbox{Categories:}
2576 @category{Package distrib}
2577 @closecatbox
2578
2579 @end deffn
2580
2581
2582 @anchor{quantile_continuous_uniform}
2583 @deffn {Function} quantile_continuous_uniform (@var{q},@var{a},@var{b})
2584 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_continuous_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2585
2586 @opencatbox{Categories:}
2587 @category{Package distrib}
2588 @closecatbox
2589
2590 @end deffn
2591
2592
2593 @anchor{mean_continuous_uniform}
2594 @deffn {Function} mean_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2595 Returns the mean of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2596
2597 @opencatbox{Categories:}
2598 @category{Package distrib}
2599 @closecatbox
2600
2601 @end deffn
2602
2603
2604 @anchor{var_continuous_uniform}
2605 @deffn {Function} var_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2606 Returns the variance of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2607
2608 @opencatbox{Categories:}
2609 @category{Package distrib}
2610 @closecatbox
2611
2612 @end deffn
2613
2614 @anchor{std_continuous_uniform}
2615 @deffn {Function} std_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2616 Returns the standard deviation of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2617
2618 @opencatbox{Categories:}
2619 @category{Package distrib}
2620 @closecatbox
2621
2622 @end deffn
2623
2624
2625 @anchor{skewness_continuous_uniform}
2626 @deffn {Function} skewness_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2627 Returns the skewness coefficient of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2628
2629 @opencatbox{Categories:}
2630 @category{Package distrib}
2631 @closecatbox
2632
2633 @end deffn
2634
2635
2636 @anchor{kurtosis_continuous_uniform}
2637 @deffn {Function} kurtosis_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2638 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2639
2640 @opencatbox{Categories:}
2641 @category{Package distrib}
2642 @closecatbox
2643
2644 @end deffn
2645
2646
2647 @anchor{random_continuous_uniform}
2648 @deffn {Function} random_continuous_uniform (@var{a},@var{b}) @
2649 @fname{random_continuous_uniform} (@var{a},@var{b},@var{n})
2650
2651 Returns a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variate, with @math{a<b}. Calling @code{random_continuous_uniform} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2652
2653 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
2654
2655 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2656
2657 @opencatbox{Categories:}
2658 @category{Package distrib}
2659 @category{Random numbers}
2660 @closecatbox
2661
2662 @end deffn
2663
2664
2665 @node Logistic Random Variable, Pareto Random Variable, Continuous Uniform Random Variable, Normal Random Variable
2666 @subsection Logistic Random Variable
2667 @menu
2668 * Introduction to Logistic Random Variable::
2669 * Functions and Variables for Logistic Random Variable::
2670 @end menu
2671
2672 @node Introduction to Logistic Random Variable
2673 @subsubsection Introduction to Logistic Random Variable
2674 The @emph{logistic} distribution is a continuous distribution where
2675 it's cumulative distribution function is the logistic function.
2676
2677 @node Functions and Variables for Logistic Random Variable
2678 @subsubsection Functions and Variables for Logistic Random Variable
2679 @anchor{pdf_logistic}
2680 @deffn {Function} pdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
2681 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2682
2683 @math{a} is the location parameter and @math{b} is the scale
2684 parameter.
2685
2686 The pdf is
2687 m4_displaymath(
2688 <<<f(x; a, b) = {e^{-(x-a)/b} \over b\left(1 + e^{-(x-a)/b}\right)^2}>>>,
2689 <<<
2690 @example
2691                                       a - x
2692                                       -----
2693                                         b
2694                                     %e
2695                    f(x, a, b) = ----------------
2696                                      a - x
2697                                      -----
2698                                        b       2
2699                                 b (%e      + 1)
2700 @end example
2701 >>>)
2702 @opencatbox{Categories:}
2703 @category{Package distrib}
2704 @closecatbox
2705
2706 @end deffn
2707
2708
2709 @anchor{cdf_logistic}
2710 @deffn {Function} cdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
2711 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2712
2713 The cdf is
2714 m4_displaymath(
2715 <<<F(x; a, b) = {1\over 1+e^{-(x-a)/b}}>>>,
2716 <<<@math{1/(1+exp(-(x-a)/b))}>>>)
2717
2718 @opencatbox{Categories:}
2719 @category{Package distrib}
2720 @closecatbox
2721
2722 @end deffn
2723
2724
2725 @anchor{quantile_logistic}
2726 @deffn {Function} quantile_logistic (@var{q},@var{a},@var{b})
2727 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_logistic}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2728
2729 @opencatbox{Categories:}
2730 @category{Package distrib}
2731 @closecatbox
2732
2733 @end deffn
2734
2735
2736 @anchor{mean_logistic}
2737 @deffn {Function} mean_logistic (@var{a},@var{b})
2738 Returns the mean of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2739
2740 @opencatbox{Categories:}
2741 @category{Package distrib}
2742 @closecatbox
2743
2744 @end deffn
2745
2746
2747 @anchor{var_logistic}
2748 @deffn {Function} var_logistic (@var{a},@var{b})
2749 Returns the variance of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2750
2751 @opencatbox{Categories:}
2752 @category{Package distrib}
2753 @closecatbox
2754
2755 @end deffn
2756
2757
2758 @anchor{std_logistic}
2759 @deffn {Function} std_logistic (@var{a},@var{b})
2760 Returns the standard deviation of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2761
2762 @opencatbox{Categories:}
2763 @category{Package distrib}
2764 @closecatbox
2765
2766 @end deffn
2767
2768
2769 @anchor{skewness_logistic}
2770 @deffn {Function} skewness_logistic (@var{a},@var{b})
2771 Returns the skewness coefficient of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2772
2773 @opencatbox{Categories:}
2774 @category{Package distrib}
2775 @closecatbox
2776
2777 @end deffn
2778
2779
2780 @anchor{kurtosis_logistic}
2781 @deffn {Function} kurtosis_logistic (@var{a},@var{b})
2782 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2783
2784 @opencatbox{Categories:}
2785 @category{Package distrib}
2786 @closecatbox
2787
2788 @end deffn
2789
2790
2791 @anchor{random_logistic}
2792 @deffn {Function} random_logistic (@var{a},@var{b}) @
2793 @fname{random_logistic} (@var{a},@var{b},@var{n})
2794
2795 Returns a m4_Logistic_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_logistic} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2796
2797 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2798
2799 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2800
2801 @opencatbox{Categories:}
2802 @category{Package distrib}
2803 @category{Random numbers}
2804 @closecatbox
2805
2806 @end deffn
2807
2808
2809 @node Pareto Random Variable, Weibull Random Variable, Logistic Random Variable, Normal Random Variable
2810 @subsection Pareto Random Variable
2811 @menu
2812 * Introduction to Pareto Random Variable::
2813 * Functions and Variables for Pareto Random Variable::
2814 @end menu
2815
2816 @node Introduction to Pareto Random Variable
2817 @subsubsection Introduction to Pareto Random Variable
2818 @node Functions and Variables for Pareto Random Variable
2819 @subsubsection Functions and Variables for Pareto Random Variable
2820 @anchor{pdf_pareto}
2821 @deffn {Function} pdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
2822 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2823
2824 The pdf is
2825 m4_displaymath(
2826 <<<f(x; a, b) =
2827 \cases{
2828 \displaystyle{a b^a \over x^{a+1}} & for $x \ge b$ \cr
2829 \cr
2830 0 & for $x < b$
2831 }>>>,
2832 <<<
2833 @example
2834              [ a*b^a/x^(a+1)   for x >= b
2835 f(x, a, b) = [
2836              [ 0               for x < b
2837 @end example
2838 >>>)
2839
2840 @opencatbox{Categories:}
2841 @category{Package distrib}
2842 @closecatbox
2843
2844 @end deffn
2845
2846
2847 @anchor{cdf_pareto}
2848 @deffn {Function} cdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
2849 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2850
2851 The cdf is
2852 m4_displaymath(
2853 <<<F(x; a, b) =
2854 \cases{
2855 1-\left(\displaystyle{b\over x}\right)^a & for $x \ge b$\cr
2856 0 & for $x < b$
2857 }>>>,
2858 <<<
2859 @example
2860              [ 1 - (b/x)^a     for x >= 0
2861 F(x, a, b) = [
2862              [ 0               for x < 0
2863 @end example
2864 >>>)
2865 @opencatbox{Categories:}
2866 @category{Package distrib}
2867 @closecatbox
2868
2869 @end deffn
2870
2871
2872 @anchor{quantile_pareto}
2873 @deffn {Function} quantile_pareto (@var{q},@var{a},@var{b})
2874 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_pareto}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2875
2876 @opencatbox{Categories:}
2877 @category{Package distrib}
2878 @closecatbox
2879
2880 @end deffn
2881
2882
2883 @anchor{mean_pareto}
2884 @deffn {Function} mean_pareto (@var{a},@var{b})
2885 Returns the mean of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>1,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2886
2887 @opencatbox{Categories:}
2888 @category{Package distrib}
2889 @closecatbox
2890
2891 @end deffn
2892
2893
2894 @anchor{var_pareto}
2895 @deffn {Function} var_pareto (@var{a},@var{b})
2896 Returns the variance of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2897
2898 @opencatbox{Categories:}
2899 @category{Package distrib}
2900 @closecatbox
2901
2902 @end deffn
2903
2904 @anchor{std_pareto}
2905 @deffn {Function} std_pareto (@var{a},@var{b})
2906 Returns the standard deviation of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2907
2908 @opencatbox{Categories:}
2909 @category{Package distrib}
2910 @closecatbox
2911
2912 @end deffn
2913
2914
2915
2916 @anchor{skewness_pareto}
2917 @deffn {Function} skewness_pareto (@var{a},@var{b})
2918 Returns the skewness coefficient of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>3,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2919
2920 @opencatbox{Categories:}
2921 @category{Package distrib}
2922 @closecatbox
2923
2924 @end deffn
2925
2926
2927 @anchor{kurtosis_pareto}
2928 @deffn {Function} kurtosis_pareto (@var{a},@var{b})
2929 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>4,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2930
2931 @opencatbox{Categories:}
2932 @category{Package distrib}
2933 @closecatbox
2934
2935 @end deffn
2936
2937
2938 @anchor{random_pareto}
2939 @deffn {Function} random_pareto (@var{a},@var{b}) @
2940 @fname{random_pareto} (@var{a},@var{b},@var{n})
2941
2942 Returns a m4_Pareto_RV(a,b) random variate, with @math{a>0,b>0}. Calling @code{random_pareto} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2943
2944 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2945
2946 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2947
2948 @opencatbox{Categories:}
2949 @category{Package distrib}
2950 @category{Random numbers}
2951 @closecatbox
2952
2953 @end deffn
2954
2955
2956 @node Weibull Random Variable, Rayleigh Random Variable, Pareto Random Variable, Normal Random Variable
2957 @subsection Weibull Random Variable
2958 @menu
2959 * Introduction to Weibull Random Variable::
2960 * Functions and Variables for Weibull Random Variable::
2961 @end menu
2962
2963 @node Introduction to Weibull Random Variable
2964 @subsubsection Introduction to Weibull Random Variable
2965 @node Functions and Variables for Weibull Random Variable
2966 @subsubsection Functions and Variables for Weibull Random Variable
2967 @anchor{pdf_weibull}
2968 @deffn {Function} pdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
2969 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2970
2971 The pdf is
2972 m4_displaymath(
2973 <<<f(x; a, b) =
2974 \cases{
2975 \displaystyle{1\over b} \left({x\over b}\right)^{a-1} e^{-(x/b)^a} &
2976 for $x \ge 0$ \cr
2977 \cr
2978 0 & for $x < 0$
2979 }>>>,
2980 <<<
2981 @example
2982              [                       a
2983              [      x a - 1   - (x/b)
2984              [   a (-)      %e         unit_step(x)
2985              [      b
2986              [   ----------------------------------   for x >= 0
2987              [                   b
2988 f(x, a, b) = [
2989              [ 0                                      for x < 0
2990 @end example
2991 >>>)
2992 @opencatbox{Categories:}
2993 @category{Package distrib}
2994 @closecatbox
2995
2996 @end deffn
2997
2998
2999 @anchor{cdf_weibull}
3000 @deffn {Function} cdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
3001 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3002
3003 The cdf is
3004 m4_displaymath(
3005 <<<F(x; a, b) =
3006 \cases{
3007 1 - e^{-(x/b)^a} & for $x \ge 0$ \cr
3008 0 & for $x < 0$
3009 }>>>,
3010 <<<
3011 @example
3012              [ 1 - exp(-(x/b)^a)      for x >= 0
3013 F(x, a, b) = [
3014              [ 0                      for x < 0
3015 @end example
3016 >>>)
3017 @opencatbox{Categories:}
3018 @category{Package distrib}
3019 @closecatbox
3020
3021 @end deffn
3022
3023
3024 @anchor{quantile_weibull}
3025 @deffn {Function} quantile_weibull (@var{q},@var{a},@var{b})
3026 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_weibull}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3027
3028 @opencatbox{Categories:}
3029 @category{Package distrib}
3030 @closecatbox
3031
3032 @end deffn
3033
3034
3035 @anchor{mean_weibull}
3036 @deffn {Function} mean_weibull (@var{a},@var{b})
3037 Returns the mean of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3038
3039 @opencatbox{Categories:}
3040 @category{Package distrib}
3041 @closecatbox
3042
3043 @end deffn
3044
3045
3046 @anchor{var_weibull}
3047 @deffn {Function} var_weibull (@var{a},@var{b})
3048 Returns the variance of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3049
3050 @opencatbox{Categories:}
3051 @category{Package distrib}
3052 @closecatbox
3053
3054 @end deffn
3055
3056 @anchor{std_weibull}
3057 @deffn {Function} std_weibull (@var{a},@var{b})
3058 Returns the standard deviation of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3059
3060 @opencatbox{Categories:}
3061 @category{Package distrib}
3062 @closecatbox
3063
3064 @end deffn
3065
3066
3067
3068 @anchor{skewness_weibull}
3069 @deffn {Function} skewness_weibull (@var{a},@var{b})
3070 Returns the skewness coefficient of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3071
3072 @opencatbox{Categories:}
3073 @category{Package distrib}
3074 @closecatbox
3075
3076 @end deffn
3077
3078
3079 @anchor{kurtosis_weibull}
3080 @deffn {Function} kurtosis_weibull (@var{a},@var{b})
3081 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3082
3083 @opencatbox{Categories:}
3084 @category{Package distrib}
3085 @closecatbox
3086
3087 @end deffn
3088
3089
3090 @anchor{random_weibull}
3091 @deffn {Function} random_weibull (@var{a},@var{b}) @
3092 @fname{random_weibull} (@var{a},@var{b},@var{n})
3093
3094 Returns a m4_Weibull_RV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_weibull} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3095
3096 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3097
3098 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3099
3100 @opencatbox{Categories:}
3101 @category{Package distrib}
3102 @category{Random numbers}
3103 @closecatbox
3104
3105 @end deffn
3106
3107
3108
3109 @node Rayleigh Random Variable, Laplace Random Variable, Weibull Random Variable, Normal Random Variable
3110 @subsection Rayleigh Random Variable
3111 @menu
3112 * Introduction to Rayleigh Random Variable::
3113 * Functions and Variables for Rayleigh Random Variable::
3114 @end menu
3115
3116 @node Introduction to Rayleigh Random Variable
3117 @subsubsection Introduction to Rayleigh Random Variable
3118 The @emph{Rayleigh} distribution coincides with the m4_math(\chi^2,
3119 chi-squared) distribution with two degrees of freedom.
3120
3121 @node Functions and Variables for Rayleigh Random Variable
3122 @subsubsection Functions and Variables for Rayleigh Random Variable
3123 @anchor{pdf_rayleigh}
3124 @deffn {Function} pdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
3125 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3126
3127 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3128
3129 The pdf is
3130 m4_displaymath(
3131 <<<f(x; b) =
3132 \cases{
3133 2b^2 x e^{-b^2 x^2} & for $x \ge 0$ \cr
3134 0 & for $x < 0$
3135 }>>>,
3136 <<<
3137 @example
3138           [ 2*b^2*x*exp(-b^2*x^2)    for x>= 0
3139 f(x, b) = [
3140           [ 0                        otherwise
3141 @end example
3142 >>>)
3143 @c ===beg===
3144 @c load ("distrib")$
3145 @c pdf_rayleigh(x,b);
3146 @c ===end===
3147 @example
3148 (%i1) load ("distrib")$
3149 (%i2) pdf_rayleigh(x,b);
3150                                     2  2
3151                            2     - b  x
3152 (%o2)                   2 b  x %e
3153 @end example
3154
3155 @opencatbox{Categories:}
3156 @category{Package distrib}
3157 @closecatbox
3158
3159 @end deffn
3160
3161
3162 @anchor{cdf_rayleigh}
3163 @deffn {Function} cdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
3164 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3165
3166 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3167
3168 The cdf is
3169 m4_displaymath(
3170 <<<F(x; b) =
3171 \cases{
3172 1 - e^{-b^2 x^2} & for $x \ge 0$\cr
3173 0 & for $x < 0$
3174 }>>>,
3175 <<<
3176 @example
3177           [ 1 - exp(-b^2*x^2)    for x >= 0
3178 F(x, b) = [
3179           [ 0                    for x < 0
3180 @end example
3181 >>>)
3182 @c ===beg===
3183 @c load ("distrib")$
3184 @c cdf_rayleigh(x,b);
3185 @c ===end===
3186 @example
3187 (%i1) load ("distrib")$
3188 (%i2) cdf_rayleigh(x,b);
3189                                    2  2
3190                                 - b  x
3191 (%o2)                     1 - %e
3192 @end example
3193
3194 @opencatbox{Categories:}
3195 @category{Package distrib}
3196 @closecatbox
3197
3198 @end deffn
3199
3200
3201 @anchor{quantile_rayleigh}
3202 @deffn {Function} quantile_rayleigh (@var{q},@var{b})
3203 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_rayleigh}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
3204
3205 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3206
3207 @c ===beg===
3208 @c load ("distrib")$
3209 @c quantile_rayleigh(0.99,b);
3210 @c ===end===
3211 @example
3212 (%i1) load ("distrib")$
3213 (%i2) quantile_rayleigh(0.99,b);
3214                         2.145966026289347
3215 (%o2)                   -----------------
3216                                 b
3217 @end example
3218
3219 @opencatbox{Categories:}
3220 @category{Package distrib}
3221 @closecatbox
3222
3223 @end deffn
3224
3225
3226 @anchor{mean_rayleigh}
3227 @deffn {Function} mean_rayleigh (@var{b})
3228 Returns the mean of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3229
3230 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3231
3232 @c ===beg===
3233 @c load ("distrib")$
3234 @c mean_rayleigh(b);
3235 @c ===end===
3236 @example
3237 (%i1) load ("distrib")$
3238 (%i2) mean_rayleigh(b);
3239                             sqrt(%pi)
3240 (%o2)                       ---------
3241                                2 b
3242 @end example
3243
3244 @opencatbox{Categories:}
3245 @category{Package distrib}
3246 @closecatbox
3247
3248 @end deffn
3249
3250
3251 @anchor{var_rayleigh}
3252 @deffn {Function} var_rayleigh (@var{b})
3253 Returns the variance of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3254
3255 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3256
3257 @c ===beg===
3258 @c load ("distrib")$
3259 @c var_rayleigh(b);
3260 @c ===end===
3261 @example
3262 (%i1) load ("distrib")$
3263 (%i2) var_rayleigh(b);
3264                                  %pi
3265                              1 - ---
3266                                   4
3267 (%o2)                        -------
3268                                 2
3269                                b
3270 @end example
3271
3272 @opencatbox{Categories:}
3273 @category{Package distrib}
3274 @closecatbox
3275
3276 @end deffn
3277
3278
3279 @anchor{std_rayleigh}
3280 @deffn {Function} std_rayleigh (@var{b})
3281 Returns the standard deviation of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3282
3283 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3284
3285 @c ===beg===
3286 @c load ("distrib")$
3287 @c std_rayleigh(b);
3288 @c ===end===
3289 @example
3290 (%i1) load ("distrib")$
3291 (%i2) std_rayleigh(b);
3292                                    %pi
3293                           sqrt(1 - ---)
3294                                     4
3295 (%o2)                     -------------
3296                                 b
3297 @end example
3298
3299 @opencatbox{Categories:}
3300 @category{Package distrib}
3301 @closecatbox
3302
3303 @end deffn
3304
3305
3306 @anchor{skewness_rayleigh}
3307 @deffn {Function} skewness_rayleigh (@var{b})
3308 Returns the skewness coefficient of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3309
3310 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3311
3312 @c ===beg===
3313 @c load ("distrib")$
3314 @c skewness_rayleigh(b);
3315 @c ===end===
3316 @example
3317 (%i1) load ("distrib")$
3318 (%i2) skewness_rayleigh(b);
3319                          3/2
3320                       %pi      3 sqrt(%pi)
3321                       ------ - -----------
3322                         4           4
3323 (%o2)                 --------------------
3324                                %pi 3/2
3325                           (1 - ---)
3326                                 4
3327 @end example
3328
3329 @opencatbox{Categories:}
3330 @category{Package distrib}
3331 @closecatbox
3332
3333 @end deffn
3334
3335
3336 @anchor{kurtosis_rayleigh}
3337 @deffn {Function} kurtosis_rayleigh (@var{b})
3338 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3339
3340 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3341
3342 @c ===beg===
3343 @c load ("distrib")$
3344 @c kurtosis_rayleigh(b);
3345 @c ===end===
3346 @example
3347 (%i1) load ("distrib")$
3348 (%i2) kurtosis_rayleigh(b);
3349                                   2
3350                              3 %pi
3351                          2 - ------
3352                                16
3353 (%o2)                    ---------- - 3
3354                               %pi 2
3355                          (1 - ---)
3356                                4
3357 @end example
3358
3359 @opencatbox{Categories:}
3360 @category{Package distrib}
3361 @closecatbox
3362
3363 @end deffn
3364
3365
3366 @anchor{random_rayleigh}
3367 @deffn {Function} random_rayleigh (@var{b}) @
3368 @fname{random_rayleigh} (@var{b},@var{n})
3369
3370 Returns a m4_Rayleigh_RV(b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_rayleigh} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3371
3372 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3373
3374 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3375
3376 @opencatbox{Categories:}
3377 @category{Package distrib}
3378 @category{Random numbers}
3379 @closecatbox
3380
3381 @end deffn
3382
3383
3384
3385 @node Laplace Random Variable, Cauchy Random Variable, Rayleigh Random Variable, Normal Random Variable
3386 @subsection Laplace Random Variable
3387 @menu
3388 * Introduction to Laplace Random Variable::
3389 * Functions and Variables for Laplace Random Variable::
3390 @end menu
3391
3392 @node Introduction to Laplace Random Variable
3393 @subsubsection Introduction to Laplace Random Variable
3394 The @emph{Laplace} distribution is a continuous probability
3395 distribution that is sometimes called the double exponential
3396 distribution because it can be thought of as two exponential
3397 distributions spliced back to back.
3398
3399 @node Functions and Variables for Laplace Random Variable
3400 @subsubsection Functions and Variables for Laplace Random Variable
3401 @anchor{pdf_laplace}
3402 @deffn {Function} pdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
3403 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3404
3405 Here, @math{a} is the location parameter (or mean), and @math{b} is
3406 the scale parameter, related to the variance.
3407
3408 The pdf is
3409 m4_displaymath(
3410 <<<f(x; a, b) = {1\over 2b}\exp\left(-{|x-a|\over b}\right)>>>,
3411 <<<
3412 @example
3413                            abs(x - a)
3414                          - ----------
3415                                b
3416                        %e
3417           f(x, a, b) = --------------
3418                             2 b
3419 @end example
3420 @math{1/(2*b)*exp(-abs(x-a)/b)}>>>)
3421
3422 @opencatbox{Categories:}
3423 @category{Package distrib}
3424 @closecatbox
3425
3426 @end deffn
3427
3428
3429 @anchor{cdf_laplace}
3430 @deffn {Function} cdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
3431 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3432
3433 The cdf is
3434 m4_displaymath(
3435 <<<F(x; a, b) =
3436 \cases{
3437 \displaystyle{1\over 2} \exp\left({x-a\over b}\right) & for $x < a$\cr
3438 \cr
3439 1-\displaystyle{1\over 2} \exp\left({x-a\over b}\right) & for $x \ge a$
3440 }>>>,
3441 <<<
3442 @example
3443              [ 1/2*exp((x-a)/b)     for x < a
3444 F(x, a, b) = [
3445              [ 1-1/2*exp((x-a)/b)   for x >= a
3446 @end example
3447 >>>)
3448 @opencatbox{Categories:}
3449 @category{Package distrib}
3450 @closecatbox
3451
3452 @end deffn
3453
3454
3455 @anchor{quantile_laplace}
3456 @deffn {Function} quantile_laplace (@var{q},@var{a},@var{b})
3457 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_laplace}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3458
3459 @opencatbox{Categories:}
3460 @category{Package distrib}
3461 @closecatbox
3462
3463 @end deffn
3464
3465
3466 @anchor{mean_laplace}
3467 @deffn {Function} mean_laplace (@var{a},@var{b})
3468 Returns the mean of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3469
3470 @opencatbox{Categories:}
3471 @category{Package distrib}
3472 @closecatbox
3473
3474 @end deffn
3475
3476
3477 @anchor{var_laplace}
3478 @deffn {Function} var_laplace (@var{a},@var{b})
3479 Returns the variance of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3480
3481 @opencatbox{Categories:}
3482 @category{Package distrib}
3483 @closecatbox
3484
3485 @end deffn
3486
3487
3488 @anchor{std_laplace}
3489 @deffn {Function} std_laplace (@var{a},@var{b})
3490 Returns the standard deviation of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3491
3492 @opencatbox{Categories:}
3493 @category{Package distrib}
3494 @closecatbox
3495
3496 @end deffn
3497
3498
3499 @anchor{skewness_laplace}
3500 @deffn {Function} skewness_laplace (@var{a},@var{b})
3501 Returns the skewness coefficient of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3502
3503 @opencatbox{Categories:}
3504 @category{Package distrib}
3505 @closecatbox
3506
3507 @end deffn
3508
3509
3510 @anchor{kurtosis_laplace}
3511 @deffn {Function} kurtosis_laplace (@var{a},@var{b})
3512 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3513
3514 @opencatbox{Categories:}
3515 @category{Package distrib}
3516 @closecatbox
3517
3518 @end deffn
3519
3520
3521 @anchor{random_laplace}
3522 @deffn {Function} random_laplace (@var{a},@var{b}) @
3523 @fname{random_laplace} (@var{a},@var{b},@var{n})
3524
3525 Returns a m4_Laplace_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_laplace} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3526
3527 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3528
3529 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3530
3531 @opencatbox{Categories:}
3532 @category{Package distrib}
3533 @category{Random numbers}
3534 @closecatbox
3535
3536 @end deffn
3537
3538
3539
3540 @node Cauchy Random Variable, Gumbel Random Variable, Laplace Random Variable, Normal Random Variable
3541 @subsection Cauchy Random Variable
3542 @menu
3543 * Introduction to Cauchy Random Variable::
3544 * Functions and Variables for Cauchy Random Variable::
3545 @end menu
3546
3547 @node Introduction to Cauchy Random Variable
3548 @subsubsection Introduction to Cauchy Random Variable
3549 The @emph{Cauchy} distribution (also known as the Lorentz
3550 distribution) is the distribution of of the ratio of two independent
3551 normally distributed random variables with mean zero.
3552
3553 @node Functions and Variables for Cauchy Random Variable
3554 @subsubsection Functions and Variables for Cauchy Random Variable
3555 @anchor{pdf_cauchy}
3556 @deffn {Function} pdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
3557 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Cauchy_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3558
3559 The pdf is
3560 m4_displaymath(
3561 <<<f(x; a, b) = {b\over \pi\left((x-a)^2+b^2\right)}>>>,
3562 <<<
3563 @example
3564                             b
3565       f(x, a, b) = -------------------
3566                                2    2
3567                    %pi ((x - a)  + b )
3568 @end example
3569 >>>)
3570 @opencatbox{Categories:}
3571 @category{Package distrib}
3572 @closecatbox
3573
3574 @end deffn
3575
3576
3577 @anchor{cdf_cauchy}
3578 @deffn {Function} cdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
3579 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Cauchy_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3580
3581 The cdf is
3582 m4_displaymath(
3583 <<<F(x; a, b) = {1\over 2} + {1\over \pi} \tan^{-1} {x-a\over b}>>>,
3584 <<<@math{1/2 + 1/%pi*atan((x-a)/b)}>>>)
3585 @opencatbox{Categories:}
3586 @category{Package distrib}
3587 @closecatbox
3588
3589 @end deffn
3590
3591
3592 @anchor{quantile_cauchy}
3593 @deffn {Function} quantile_cauchy (@var{q},@var{a},@var{b})
3594 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Cauchy_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_cauchy}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3595
3596 @opencatbox{Categories:}
3597 @category{Package distrib}
3598 @closecatbox
3599
3600 @end deffn
3601
3602
3603 @anchor{random_cauchy}
3604 @deffn {Function} random_cauchy (@var{a},@var{b}) @
3605 @fname{random_cauchy} (@var{a},@var{b},@var{n})
3606
3607 Returns a m4_Cauchy_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_cauchy} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3608
3609 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3610
3611 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3612
3613 @opencatbox{Categories:}
3614 @category{Package distrib}
3615 @category{Random numbers}
3616 @closecatbox
3617
3618 @end deffn
3619
3620
3621
3622 @node Gumbel Random Variable,  , Cauchy Random Variable, Normal Random Variable
3623 @subsection Gumbel Random Variable
3624 @menu
3625 * Introduction to Gumbel Random Variable::
3626 * Functions and Variables for Gumbel Random Variable::
3627 @end menu
3628
3629 @node Introduction to Gumbel Random Variable
3630 @subsubsection Introduction to Gumbel Random Variable
3631 @node Functions and Variables for Gumbel Random Variable
3632 @subsubsection Functions and Variables for Gumbel Random Variable
3633 @anchor{pdf_gumbel}
3634 @deffn {Function} pdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
3635 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3636
3637 The pdf is
3638 m4_displaymath(
3639 <<<f(x; a, b) = {1\over b} \exp\left[{a-x\over b} - \exp\left({a-x\over b}\right)\right]>>>,
3640 <<<
3641 @example
3642                              a - x
3643                              -----
3644                    a - x       b
3645                    ----- - %e
3646                      b
3647                  %e
3648     f(x, a, b) = -----------------
3649                          b
3650 @end example
3651 >>>)
3652
3653 @opencatbox{Categories:}
3654 @category{Package distrib}
3655 @closecatbox
3656
3657 @end deffn
3658
3659
3660 @anchor{cdf_gumbel}
3661 @deffn {Function} cdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
3662 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3663
3664 The cdf is
3665 m4_displaymath(
3666 <<<F(x; a, b) = \exp\left[-\exp\left({a-x\over b}\right)\right]>>>,
3667 <<<
3668 @example
3669                        a - x
3670                        -----
3671                          b
3672                    - %e
3673     F(x, a, b) = %e
3674 @end example
3675 >>>)
3676 @opencatbox{Categories:}
3677 @category{Package distrib}
3678 @closecatbox
3679
3680 @end deffn
3681
3682
3683 @anchor{quantile_gumbel}
3684 @deffn {Function} quantile_gumbel (@var{q},@var{a},@var{b})
3685 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gumbel}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3686
3687 @opencatbox{Categories:}
3688 @category{Package distrib}
3689 @closecatbox
3690
3691 @end deffn
3692
3693
3694 @anchor{mean_gumbel}
3695 @deffn {Function} mean_gumbel (@var{a},@var{b})
3696 Returns the mean of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}.
3697
3698 @c ===beg===
3699 @c load ("distrib")$
3700 @c mean_gumbel(a,b);
3701 @c ===end===
3702 @example
3703 (%i1) load ("distrib")$
3704 (%i2) mean_gumbel(a,b);
3705 (%o2)                     %gamma b + a
3706 @end example
3707 where symbol @code{%gamma} stands for the Euler-Mascheroni constant. See also @mrefdot{%gamma}
3708
3709 @opencatbox{Categories:}
3710 @category{Package distrib}
3711 @closecatbox
3712
3713 @end deffn
3714
3715
3716 @anchor{var_gumbel}
3717 @deffn {Function} var_gumbel (@var{a},@var{b})
3718 Returns the variance of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3719
3720 @opencatbox{Categories:}
3721 @category{Package distrib}
3722 @closecatbox
3723
3724 @end deffn
3725
3726
3727 @anchor{std_gumbel}
3728 @deffn {Function} std_gumbel (@var{a},@var{b})
3729 Returns the standard deviation of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3730
3731 @opencatbox{Categories:}
3732 @category{Package distrib}
3733 @closecatbox
3734
3735 @end deffn
3736
3737
3738 @anchor{skewness_gumbel}
3739 @deffn {Function} skewness_gumbel (@var{a},@var{b})
3740 Returns the skewness coefficient of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}.
3741
3742 @c ===beg===
3743 @c load ("distrib")$
3744 @c skewness_gumbel(a,b);
3745 @c ===end===
3746 @example
3747 (%i1) load ("distrib")$
3748 (%i2) skewness_gumbel(a,b);
3749                                   3/2
3750                                2 6    zeta(3)
3751 (%o2)                          --------------
3752                                        3
3753                                     %pi
3754 @end example
3755 where @code{zeta} stands for the Riemann's zeta function.
3756
3757 @opencatbox{Categories:}
3758 @category{Package distrib}
3759 @closecatbox
3760
3761 @end deffn
3762
3763
3764 @anchor{kurtosis_gumbel}
3765 @deffn {Function} kurtosis_gumbel (@var{a},@var{b})
3766 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3767
3768 @opencatbox{Categories:}
3769 @category{Package distrib}
3770 @category{Package distrib}
3771 @closecatbox
3772
3773 @end deffn
3774
3775
3776 @anchor{random_gumbel}
3777 @deffn {Function} random_gumbel (@var{a},@var{b}) @
3778 @fname{random_gumbel} (@var{a},@var{b},@var{n})
3779
3780 Returns a m4_Gumbel_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_gumbel} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3781
3782 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3783
3784 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3785
3786 @opencatbox{Categories:}
3787 @category{Package distrib}
3788 @category{Random numbers}
3789 @closecatbox
3790
3791 @end deffn
3792
3793
3794 @node Functions and Variables for discrete distributions,  , Normal Random Variable
3795 @section Functions and Variables for discrete distributions
3796
3797
3798 @anchor{pdf_general_finite_discrete}
3799 @deffn {Function} pdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
3800 Returns the value at @var{x} of the probability function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}, such that @code{Pr(X=i) = v_i}. Vector @math{v} can be a list of nonnegative expressions, whose components will be normalized to get a vector of probabilities. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3801
3802 @c ===beg===
3803 @c load ("distrib")$
3804 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3805 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3806 @c ===end===
3807 @example
3808 (%i1) load ("distrib")$
3809 (%i2) pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3810                                 4
3811 (%o2)                           -
3812                                 7
3813 (%i3) pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3814                                 4
3815 (%o3)                           -
3816                                 7
3817 @end example
3818
3819 @opencatbox{Categories:}
3820 @category{Package distrib}
3821 @closecatbox
3822
3823 @end deffn
3824
3825
3826 @anchor{cdf_general_finite_discrete}
3827 @deffn {Function} cdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
3828 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3829
3830 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3831
3832 @c ===beg===
3833 @c load ("distrib")$
3834 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3835 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3836 @c cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
3837 @c ===end===
3838 @example
3839 (%i1) load ("distrib")$
3840 (%i2) cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3841                                 5
3842 (%o2)                           -
3843                                 7
3844 (%i3) cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3845                                 5
3846 (%o3)                           -
3847                                 7
3848 (%i4) cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
3849                                 5
3850 (%o4)                           -
3851                                 7
3852 @end example
3853
3854 @opencatbox{Categories:}
3855 @category{Package distrib}
3856 @closecatbox
3857
3858 @end deffn
3859
3860
3861 @anchor{quantile_general_finite_discrete}
3862 @deffn {Function} quantile_general_finite_discrete (@var{q},@var{v})
3863 Returns the @var{q}-quantile of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3864
3865 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3866
3867 @opencatbox{Categories:}
3868 @category{Package distrib}
3869 @closecatbox
3870
3871 @end deffn
3872
3873
3874 @anchor{mean_general_finite_discrete}
3875 @deffn {Function} mean_general_finite_discrete (@var{v})
3876 Returns the mean of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3877
3878 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3879
3880 @opencatbox{Categories:}
3881 @category{Package distrib}
3882 @closecatbox
3883
3884 @end deffn
3885
3886
3887 @anchor{var_general_finite_discrete}
3888 @deffn {Function} var_general_finite_discrete (@var{v})
3889 Returns the variance of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3890
3891 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3892
3893 @opencatbox{Categories:}
3894 @category{Package distrib}
3895 @closecatbox
3896
3897 @end deffn
3898
3899
3900 @anchor{std_general_finite_discrete}
3901 @deffn {Function} std_general_finite_discrete (@var{v})
3902 Returns the standard deviation of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3903
3904 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3905
3906 @opencatbox{Categories:}
3907 @category{Package distrib}
3908 @closecatbox
3909
3910 @end deffn
3911
3912
3913 @anchor{skewness_general_finite_discrete}
3914 @deffn {Function} skewness_general_finite_discrete (@var{v})
3915 Returns the skewness coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3916
3917 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3918
3919 @opencatbox{Categories:}
3920 @category{Package distrib}
3921 @closecatbox
3922
3923 @end deffn
3924
3925
3926 @anchor{kurtosis_general_finite_discrete}
3927 @deffn {Function} kurtosis_general_finite_discrete (@var{v})
3928 Returns the kurtosis coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3929
3930 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3931
3932 @opencatbox{Categories:}
3933 @category{Package distrib}
3934 @closecatbox
3935
3936 @end deffn
3937
3938
3939 @anchor{random_general_finite_discrete}
3940 @deffn {Function} random_general_finite_discrete (@var{v}) @
3941 @fname{random_general_finite_discrete} (@var{v},@var{m})
3942
3943 Returns a general finite discrete random variate, with vector probabilities @math{v}. Calling @code{random_general_finite_discrete} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3944
3945 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3946
3947 @c ===beg===
3948 @c load ("distrib")$
3949 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
3950 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
3951 @c ===end===
3952 @example
3953 (%i1) load ("distrib")$
3954 (%i2) random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
3955 (%o2)                          4
3956 (%i3) random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
3957 (%o3)           [4, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 2]
3958 @end example
3959
3960 @opencatbox{Categories:}
3961 @category{Package distrib}
3962 @category{Random numbers}
3963 @closecatbox
3964
3965 @end deffn
3966
3967
3968 @anchor{pdf_binomial}
3969 @deffn {Function} pdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
3970 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3971
3972 @opencatbox{Categories:}
3973 @category{Package distrib}
3974 @closecatbox
3975
3976 @end deffn
3977
3978
3979 @anchor{cdf_binomial}
3980 @deffn {Function} cdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
3981 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer.
3982
3983 @c ===beg===
3984 @c load ("distrib")$
3985 @c cdf_binomial(5,7,1/6);
3986 @c float(%);
3987 @c ===end===
3988 @example
3989 (%i1) load ("distrib")$
3990 (%i2) cdf_binomial(5,7,1/6);
3991                             7775
3992 (%o2)                       ----
3993                             7776
3994 (%i3) float(%);
3995 (%o3)               .9998713991769548
3996 @end example
3997
3998 @opencatbox{Categories:}
3999 @category{Package distrib}
4000 @closecatbox
4001
4002 @end deffn
4003
4004
4005 @anchor{quantile_binomial}
4006 @deffn {Function} quantile_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
4007 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4008
4009 @opencatbox{Categories:}
4010 @category{Package distrib}
4011 @closecatbox
4012
4013 @end deffn
4014
4015
4016 @anchor{mean_binomial}
4017 @deffn {Function} mean_binomial (@var{n},@var{p})
4018 Returns the mean of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4019
4020 @opencatbox{Categories:}
4021 @category{Package distrib}
4022 @closecatbox
4023
4024 @end deffn
4025
4026
4027 @anchor{var_binomial}
4028 @deffn {Function} var_binomial (@var{n},@var{p})
4029 Returns the variance of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4030
4031 @opencatbox{Categories:}
4032 @category{Package distrib}
4033 @closecatbox
4034
4035 @end deffn
4036
4037
4038 @anchor{std_binomial}
4039 @deffn {Function} std_binomial (@var{n},@var{p})
4040 Returns the standard deviation of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4041
4042 @opencatbox{Categories:}
4043 @category{Package distrib}
4044 @closecatbox
4045
4046 @end deffn
4047
4048
4049 @anchor{skewness_binomial}
4050 @deffn {Function} skewness_binomial (@var{n},@var{p})
4051 Returns the skewness coefficient of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4052
4053 @opencatbox{Categories:}
4054 @category{Package distrib}
4055 @closecatbox
4056
4057 @end deffn
4058
4059
4060 @anchor{kurtosis_binomial}
4061 @deffn {Function} kurtosis_binomial (@var{n},@var{p})
4062 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4063
4064 @opencatbox{Categories:}
4065 @category{Package distrib}
4066 @closecatbox
4067
4068 @end deffn
4069
4070
4071 @anchor{random_binomial}
4072 @deffn {Function} random_binomial (@var{n},@var{p}) @
4073 @fname{random_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
4074
4075 Returns a @math{Binomial(n,p)} random variate, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. Calling @code{random_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4076
4077 The implemented algorithm is based on the one described in Kachitvichyanukul, V. and Schmeiser, B.W. (1988) @var{Binomial Random Variate Generation}. Communications of the ACM, 31, Feb., 216.
4078
4079 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4080
4081 @opencatbox{Categories:}
4082 @category{Package distrib}
4083 @category{Random numbers}
4084 @closecatbox
4085
4086 @end deffn
4087
4088
4089 @anchor{pdf_poisson}
4090 @deffn {Function} pdf_poisson (@var{x},@var{m})
4091 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4092
4093 @opencatbox{Categories:}
4094 @category{Package distrib}
4095 @closecatbox
4096
4097 @end deffn
4098
4099
4100 @anchor{cdf_poisson}
4101 @deffn {Function} cdf_poisson (@var{x},@var{m})
4102 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}.
4103
4104 @c ===beg===
4105 @c load ("distrib")$
4106 @c cdf_poisson(3,5);
4107 @c float(%);
4108 @c ===end===
4109 @example
4110 (%i1) load ("distrib")$
4111 (%i2) cdf_poisson(3,5);
4112 (%o2)       gamma_incomplete_regularized(4, 5)
4113 (%i3) float(%);
4114 (%o3)               .2650259152973623
4115 @end example
4116
4117 @opencatbox{Categories:}
4118 @category{Package distrib}
4119 @closecatbox
4120
4121 @end deffn
4122
4123
4124 @anchor{quantile_poisson}
4125 @deffn {Function} quantile_poisson (@var{q},@var{m})
4126 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_poisson}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4127
4128 @opencatbox{Categories:}
4129 @category{Package distrib}
4130 @closecatbox
4131
4132 @end deffn
4133
4134
4135 @anchor{mean_poisson}
4136 @deffn {Function} mean_poisson (@var{m})
4137 Returns the mean of a @math{Poisson(m)} random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4138
4139 @opencatbox{Categories:}
4140 @category{Package distrib}
4141 @closecatbox
4142
4143 @end deffn
4144
4145
4146 @anchor{var_poisson}
4147 @deffn {Function} var_poisson (@var{m})
4148 Returns the variance of a @math{Poisson(m)} random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4149
4150 @opencatbox{Categories:}
4151 @category{Package distrib}
4152 @closecatbox
4153
4154 @end deffn
4155
4156
4157 @anchor{std_poisson}
4158 @deffn {Function} std_poisson (@var{m})
4159 Returns the standard deviation of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4160
4161 @opencatbox{Categories:}
4162 @category{Package distrib}
4163 @closecatbox
4164
4165 @end deffn
4166
4167
4168 @anchor{skewness_poisson}
4169 @deffn {Function} skewness_poisson (@var{m})
4170 Returns the skewness coefficient of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4171
4172 @opencatbox{Categories:}
4173 @category{Package distrib}
4174 @closecatbox
4175
4176 @end deffn
4177
4178
4179 @anchor{kurtosis_poisson}
4180 @deffn {Function} kurtosis_poisson (@var{m})
4181 Returns the kurtosis coefficient of a Poisson random variable  @math{Poi(m)}, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4182
4183 @opencatbox{Categories:}
4184 @category{Package distrib}
4185 @closecatbox
4186
4187 @end deffn
4188
4189
4190 @anchor{random_poisson}
4191 @deffn {Function} random_poisson (@var{m}) @
4192 @fname{random_poisson} (@var{m},@var{n})
4193
4194 Returns a @math{Poisson(m)} random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_poisson} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4195
4196 The implemented algorithm is the one described in Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1982) @var{Computer Generation of Poisson Deviates From Modified Normal Distributions}. ACM Trans. Math. Software, 8, 2, June,163-179.
4197
4198 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4199
4200 @opencatbox{Categories:}
4201 @category{Package distrib}
4202 @category{Random numbers}
4203 @closecatbox
4204
4205 @end deffn
4206
4207
4208 @anchor{pdf_bernoulli}
4209 @deffn {Function} pdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
4210 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
4211
4212 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
4213
4214 @c ===beg===
4215 @c load ("distrib")$
4216 @c pdf_bernoulli(1,p);
4217 @c ===end===
4218 @example
4219 (%i1) load ("distrib")$
4220 (%i2) pdf_bernoulli(1,p);
4221 (%o2)                           p
4222 @end example
4223
4224 @opencatbox{Categories:}
4225 @category{Package distrib}
4226 @closecatbox
4227
4228 @end deffn
4229
4230
4231 @anchor{cdf_bernoulli}
4232 @deffn {Function} cdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
4233 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4234
4235 @opencatbox{Categories:}
4236 @category{Package distrib}
4237 @closecatbox
4238
4239 @end deffn
4240
4241
4242 @anchor{quantile_bernoulli}
4243 @deffn {Function} quantile_bernoulli (@var{q},@var{p})
4244 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_bernoulli}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4245
4246 @opencatbox{Categories:}
4247 @category{Package distrib}
4248 @closecatbox
4249
4250 @end deffn
4251
4252
4253 @anchor{mean_bernoulli}
4254 @deffn {Function} mean_bernoulli (@var{p})
4255 Returns the mean of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
4256
4257 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
4258
4259 @c ===beg===
4260 @c load ("distrib")$
4261 @c mean_bernoulli(p);
4262 @c ===end===
4263 @example
4264 (%i1) load ("distrib")$
4265 (%i2) mean_bernoulli(p);
4266 (%o2)                           p
4267 @end example
4268
4269 @opencatbox{Categories:}
4270 @category{Package distrib}
4271 @closecatbox
4272
4273 @end deffn
4274
4275
4276 @anchor{var_bernoulli}
4277 @deffn {Function} var_bernoulli (@var{p})
4278 Returns the variance of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
4279
4280 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
4281
4282 @c ===beg===
4283 @c load ("distrib")$
4284 @c var_bernoulli(p);
4285 @c ===end===
4286 @example
4287 (%i1) load ("distrib")$
4288 (%i2) var_bernoulli(p);
4289 (%o2)                       (1 - p) p
4290 @end example
4291
4292 @opencatbox{Categories:}
4293 @category{Package distrib}
4294 @closecatbox
4295
4296 @end deffn
4297
4298
4299 @anchor{std_bernoulli}
4300 @deffn {Function} std_bernoulli (@var{p})
4301 Returns the standard deviation of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
4302
4303 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
4304
4305 @c ===beg===
4306 @c load ("distrib")$
4307 @c std_bernoulli(p);
4308 @c ===end===
4309 @example
4310 (%i1) load ("distrib")$
4311 (%i2) std_bernoulli(p);
4312 (%o2)                           sqrt((1 - p) p)
4313 @end example
4314
4315 @opencatbox{Categories:}
4316 @category{Package distrib}
4317 @closecatbox
4318
4319 @end deffn
4320
4321
4322 @anchor{skewness_bernoulli}
4323 @deffn {Function} skewness_bernoulli (@var{p})
4324 Returns the skewness coefficient of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
4325
4326 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
4327
4328 @c ===beg===
4329 @c load ("distrib")$
4330 @c skewness_bernoulli(p);
4331 @c ===end===
4332 @example
4333 (%i1) load ("distrib")$
4334 (%i2) skewness_bernoulli(p);
4335                                     1 - 2 p
4336 (%o2)                           ---------------
4337                                 sqrt((1 - p) p)
4338 @end example
4339
4340 @opencatbox{Categories:}
4341 @category{Package distrib}
4342 @closecatbox
4343
4344 @end deffn
4345
4346
4347 @anchor{kurtosis_bernoulli}
4348 @deffn {Function} kurtosis_bernoulli (@var{p})
4349 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
4350
4351 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
4352
4353 @c ===beg===
4354 @c load ("distrib")$
4355 @c kurtosis_bernoulli(p);
4356 @c ===end===
4357 @example
4358 (%i1) load ("distrib")$
4359 (%i2) kurtosis_bernoulli(p);
4360                          1 - 6 (1 - p) p
4361 (%o2)                    ---------------
4362                             (1 - p) p
4363 @end example
4364
4365 @opencatbox{Categories:}
4366 @category{Package distrib}
4367 @closecatbox
4368
4369 @end deffn
4370
4371
4372 @anchor{random_bernoulli}
4373 @deffn {Function} random_bernoulli (@var{p}) @
4374 @fname{random_bernoulli} (@var{p},@var{n})
4375
4376 Returns a @math{Bernoulli(p)} random variate, with @math{0 \leq p \leq 1}. Calling @code{random_bernoulli} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4377
4378 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
4379
4380 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4381
4382 @opencatbox{Categories:}
4383 @category{Package distrib}
4384 @category{Random numbers}
4385 @closecatbox
4386
4387 @end deffn
4388
4389 @anchor{pdf_geometric}
4390 @deffn {Function} pdf_geometric (@var{x},@var{p})
4391 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4392 @ifnottex
4393 @math{0 < p <= 1}.
4394 @end ifnottex
4395 @tex
4396 @math{0 < p \leq 1}.
4397 @end tex
4398
4399 The probability function is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4400 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4401
4402 @code{load("distrib")} loads this function.
4403
4404 @opencatbox{Categories:}
4405 @category{Package distrib}
4406 @closecatbox
4407
4408 @end deffn
4409
4410
4411 @anchor{cdf_geometric}
4412 @deffn {Function} cdf_geometric (@var{x},@var{p})
4413 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4414 @ifnottex
4415 @math{0 < p <= 1}.
4416 @end ifnottex
4417 @tex
4418 @math{0 < p \leq 1}.
4419 @end tex
4420
4421 The probability from which the distribution function is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4422 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4423
4424 @code{load("distrib")} loads this function.
4425
4426 @opencatbox{Categories:}
4427 @category{Package distrib}
4428 @closecatbox
4429
4430 @end deffn
4431
4432
4433 @anchor{quantile_geometric}
4434 @deffn {Function} quantile_geometric (@var{q},@var{p})
4435 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4436 @ifnottex
4437 @math{0 < p <= 1};
4438 @end ifnottex
4439 @tex
4440 @math{0 < p \leq 1};
4441 @end tex
4442 in other words, this is the inverse of @code{cdf_geometric}.
4443 Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
4444
4445 The probability from which the quantile is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4446 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4447
4448 @code{load("distrib")} loads this function.
4449
4450 @opencatbox{Categories:}
4451 @category{Package distrib}
4452 @closecatbox
4453
4454 @end deffn
4455
4456
4457 @anchor{mean_geometric}
4458 @deffn {Function} mean_geometric (@var{p})
4459 Returns the mean of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4460 @ifnottex
4461 @math{0 < p <= 1}.
4462 @end ifnottex
4463 @tex
4464 @math{0 < p \leq 1}.
4465 @end tex
4466
4467 The probability from which the mean is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4468 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4469
4470 @code{load("distrib")} loads this function.
4471
4472 @opencatbox{Categories:}
4473 @category{Package distrib}
4474 @closecatbox
4475
4476 @end deffn
4477
4478
4479 @anchor{var_geometric}
4480 @deffn {Function} var_geometric (@var{p})
4481 Returns the variance of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4482 @ifnottex
4483 @math{0 < p <= 1}.
4484 @end ifnottex
4485 @tex
4486 @math{0 < p \leq 1}.
4487 @end tex
4488
4489 The probability from which the variance is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4490 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4491
4492 @code{load("distrib")} loads this function.
4493
4494 @opencatbox{Categories:}
4495 @category{Package distrib}
4496 @closecatbox
4497
4498 @end deffn
4499
4500
4501 @anchor{std_geometric}
4502 @deffn {Function} std_geometric (@var{p})
4503 Returns the standard deviation of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4504 @ifnottex
4505 @math{0 < p <= 1}.
4506 @end ifnottex
4507 @tex
4508 @math{0 < p \leq 1}.
4509 @end tex
4510
4511 The probability from which the standard deviation is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4512 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4513
4514 @code{load("distrib")} loads this function.
4515
4516 @opencatbox{Categories:}
4517 @category{Package distrib}
4518 @closecatbox
4519
4520 @end deffn
4521
4522
4523 @anchor{skewness_geometric}
4524 @deffn {Function} skewness_geometric (@var{p})
4525 Returns the skewness coefficient of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4526 @ifnottex
4527 @math{0 < p <= 1}.
4528 @end ifnottex
4529 @tex
4530 @math{0 < p \leq 1}.
4531 @end tex
4532
4533 The probability from which the skewness is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4534 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4535
4536 @code{load("distrib")} loads this function.
4537
4538 @opencatbox{Categories:}
4539 @category{Package distrib}
4540 @closecatbox
4541
4542 @end deffn
4543
4544
4545 @anchor{kurtosis_geometric}
4546 @deffn {Function} kurtosis_geometric (@var{p})
4547 Returns the kurtosis coefficient of a geometric random variable  @math{Geometric(p)}, with
4548 @ifnottex
4549 @math{0 < p <= 1}.
4550 @end ifnottex
4551 @tex
4552 @math{0 < p \leq 1}.
4553 @end tex
4554
4555 The probability from which the kurtosis is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4556 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4557
4558 @code{load("distrib")} loads this function.
4559
4560 @opencatbox{Categories:}
4561 @category{Package distrib}
4562 @closecatbox
4563
4564 @end deffn
4565
4566
4567 @anchor{random_geometric}
4568 @deffn {Function} random_geometric (@var{p}) @
4569 @fname{random_geometric} (@var{p},@var{n})
4570
4571 @code{random_geometric(@var{p})} returns one random sample from a @math{Geometric(p)} distribution, with
4572 @ifnottex
4573 @math{0 < p <= 1}.
4574 @end ifnottex
4575 @tex
4576 @math{0 < p \leq 1}.
4577 @end tex
4578
4579 @code{random_geometric(@var{p}, @var{n})} returns a list of @var{n} random samples.
4580
4581 The algorithm is based on simulation of Bernoulli trials.
4582
4583 The probability from which the random sample is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4584 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4585
4586 @code{load("distrib")} loads this function.
4587
4588
4589 @opencatbox{Categories:}
4590 @category{Package distrib}
4591 @category{Random numbers}
4592 @closecatbox
4593
4594 @end deffn
4595
4596
4597 @anchor{pdf_discrete_uniform}
4598 @deffn {Function} pdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
4599 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4600
4601 @opencatbox{Categories:}
4602 @category{Package distrib}
4603 @closecatbox
4604
4605 @end deffn
4606
4607
4608 @anchor{cdf_discrete_uniform}
4609 @deffn {Function} cdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
4610 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4611
4612 @opencatbox{Categories:}
4613 @category{Package distrib}
4614 @closecatbox
4615
4616 @end deffn
4617
4618
4619 @anchor{quantile_discrete_uniform}
4620 @deffn {Function} quantile_discrete_uniform (@var{q},@var{n})
4621 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_discrete_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4622
4623 @opencatbox{Categories:}
4624 @category{Package distrib}
4625 @closecatbox
4626
4627 @end deffn
4628
4629
4630 @anchor{mean_discrete_uniform}
4631 @deffn {Function} mean_discrete_uniform (@var{n})
4632 Returns the mean of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4633
4634 @opencatbox{Categories:}
4635 @category{Package distrib}
4636 @closecatbox
4637
4638 @end deffn
4639
4640
4641 @anchor{var_discrete_uniform}
4642 @deffn {Function} var_discrete_uniform (@var{n})
4643 Returns the variance of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4644
4645 @opencatbox{Categories:}
4646 @category{Package distrib}
4647 @closecatbox
4648
4649 @end deffn
4650
4651
4652 @anchor{std_discrete_uniform}
4653 @deffn {Function} std_discrete_uniform (@var{n})
4654 Returns the standard deviation of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4655
4656 @opencatbox{Categories:}
4657 @category{Package distrib}
4658 @closecatbox
4659
4660 @end deffn
4661
4662
4663 @anchor{skewness_discrete_uniform}
4664 @deffn {Function} skewness_discrete_uniform (@var{n})
4665 Returns the skewness coefficient of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4666
4667 @opencatbox{Categories:}
4668 @category{Package distrib}
4669 @closecatbox
4670
4671 @end deffn
4672
4673
4674 @anchor{kurtosis_discrete_uniform}
4675 @deffn {Function} kurtosis_discrete_uniform (@var{n})
4676 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4677
4678 @opencatbox{Categories:}
4679 @category{Package distrib}
4680 @closecatbox
4681
4682 @end deffn
4683
4684
4685 @anchor{random_discrete_uniform}
4686 @deffn {Function} random_discrete_uniform (@var{n}) @
4687 @fname{random_discrete_uniform} (@var{n},@var{m})
4688
4689 Returns a @math{Discrete Uniform(n)} random variate, with @math{n} a strictly positive integer. Calling @code{random_discrete_uniform} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4690
4691 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
4692
4693 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4694
4695 @opencatbox{Categories:}
4696 @category{Package distrib}
4697 @category{Random numbers}
4698 @closecatbox
4699
4700 @end deffn
4701
4702
4703 @anchor{pdf_hypergeometric}
4704 @deffn {Function} pdf_hypergeometric (@var{x},@var{n1},@var{n2},@var{n})
4705 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)}
4706 random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}.
4707 Being @var{n1} the number of objects of class A, @var{n2} the number of objects of class B, and
4708 @var{n} the size of the sample without replacement, this function returns the probability of
4709 event "exactly @var{x} objects are of class A".
4710
4711 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4712
4713 @opencatbox{Categories:}
4714 @category{Package distrib}
4715 @closecatbox
4716
4717 @end deffn
4718
4719
4720 @anchor{cdf_hypergeometric}
4721 @deffn {Function} cdf_hypergeometric (@var{x},@var{n1},@var{n2},@var{n})
4722 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)}
4723 random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}.
4724 See @code{pdf_hypergeometric} for a more complete description.
4725
4726 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4727
4728 @opencatbox{Categories:}
4729 @category{Package distrib}
4730 @closecatbox
4731
4732 @end deffn
4733
4734
4735 @anchor{quantile_hypergeometric}
4736 @deffn {Function} quantile_hypergeometric (@var{q},@var{n1},@var{n2},@var{n})
4737 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_hypergeometric}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4738
4739 @opencatbox{Categories:}
4740 @category{Package distrib}
4741 @closecatbox
4742
4743 @end deffn
4744
4745
4746 @anchor{mean_hypergeometric}
4747 @deffn {Function} mean_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4748 Returns the mean of a discrete uniform random variable @math{Hyp(n1,n2,n)}, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4749
4750 @opencatbox{Categories:}
4751 @category{Package distrib}
4752 @closecatbox
4753
4754 @end deffn
4755
4756
4757 @anchor{var_hypergeometric}
4758 @deffn {Function} var_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4759 Returns the variance of a hypergeometric  random variable @math{Hyp(n1,n2,n)}, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4760
4761 @opencatbox{Categories:}
4762 @category{Package distrib}
4763 @closecatbox
4764
4765 @end deffn
4766
4767
4768 @anchor{std_hypergeometric}
4769 @deffn {Function} std_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4770 Returns the standard deviation of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4771
4772 @opencatbox{Categories:}
4773 @category{Package distrib}
4774 @closecatbox
4775
4776 @end deffn
4777
4778
4779 @anchor{skewness_hypergeometric}
4780 @deffn {Function} skewness_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4781 Returns the skewness coefficient of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4782
4783 @opencatbox{Categories:}
4784 @category{Package distrib}
4785 @closecatbox
4786
4787 @end deffn
4788
4789
4790 @anchor{kurtosis_hypergeometric}
4791 @deffn {Function} kurtosis_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4792 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4793
4794 @opencatbox{Categories:}
4795 @category{Package distrib}
4796 @closecatbox
4797
4798 @end deffn
4799
4800
4801 @anchor{random_hypergeometric}
4802 @deffn {Function} random_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n}) @
4803 @fname{random_hypergeometric} (@var{n1},@var{n2},@var{n},@var{m})
4804
4805 Returns a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variate, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. Calling @code{random_hypergeometric} with a fourth argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4806
4807 Algorithm described in Kachitvichyanukul, V., Schmeiser, B.W. (1985) @var{Computer generation of hypergeometric random variates.} Journal of Statistical Computation and Simulation 22, 127-145.
4808
4809 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4810
4811 @opencatbox{Categories:}
4812 @category{Package distrib}
4813 @category{Random numbers}
4814 @closecatbox
4815
4816 @end deffn
4817
4818
4819 @anchor{pdf_negative_binomial}
4820 @deffn {Function} pdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
4821 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4822
4823 @opencatbox{Categories:}
4824 @category{Package distrib}
4825 @closecatbox
4826
4827 @end deffn
4828
4829
4830 @anchor{cdf_negative_binomial}
4831 @deffn {Function} cdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
4832 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number.
4833
4834 @c ===beg===
4835 @c load ("distrib")$
4836 @c cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
4837 @c ===end===
4838 @example
4839 (%i1) load ("distrib")$
4840 (%i2) cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
4841                             3271
4842 (%o2)                      ------
4843                            524288
4844 @end example
4845
4846 @opencatbox{Categories:}
4847 @category{Package distrib}
4848 @closecatbox
4849
4850 @end deffn
4851
4852
4853 @anchor{quantile_negative_binomial}
4854 @deffn {Function} quantile_negative_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
4855 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number; in other words, this is the inverse of @code{cdf_negative_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4856
4857 @opencatbox{Categories:}
4858 @category{Package distrib}
4859 @closecatbox
4860
4861 @end deffn
4862
4863
4864 @anchor{mean_negative_binomial}
4865 @deffn {Function} mean_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4866 Returns the mean of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4867
4868 @opencatbox{Categories:}
4869 @category{Package distrib}
4870 @closecatbox
4871
4872 @end deffn
4873
4874
4875 @anchor{var_negative_binomial}
4876 @deffn {Function} var_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4877 Returns the variance of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4878
4879 @opencatbox{Categories:}
4880 @category{Package distrib}
4881 @closecatbox
4882
4883 @end deffn
4884
4885
4886 @anchor{std_negative_binomial}
4887 @deffn {Function} std_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4888 Returns the standard deviation of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4889
4890 @opencatbox{Categories:}
4891 @category{Package distrib}
4892 @closecatbox
4893
4894 @end deffn
4895
4896
4897 @anchor{skewness_negative_binomial}
4898 @deffn {Function} skewness_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4899 Returns the skewness coefficient of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4900
4901 @opencatbox{Categories:}
4902 @category{Package distrib}
4903 @closecatbox
4904
4905 @end deffn
4906
4907
4908 @anchor{kurtosis_negative_binomial}
4909 @deffn {Function} kurtosis_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4910 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4911
4912 @opencatbox{Categories:}
4913 @category{Package distrib}
4914 @closecatbox
4915
4916 @end deffn
4917
4918
4919 @anchor{random_negative_binomial}
4920 @deffn {Function} random_negative_binomial (@var{n},@var{p}) @
4921 @fname{random_negative_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
4922
4923 Returns a @math{Negative Binomial(n,p)} random variate, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. Calling @code{random_negative_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4924
4925 Algorithm described in Devroye, L. (1986) @var{Non-Uniform Random Variate Generation}. Springer Verlag, p. 480.
4926
4927 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4928
4929 @opencatbox{Categories:}
4930 @category{Package distrib}
4931 @category{Random numbers}
4932 @closecatbox
4933
4934 @end deffn
4935 @c Undefine all the m4 macros we defined in this file.
4936 m4_undefine(<<<m4_Normal_RV>>>)