demo/manual.demo

   1  /*
   2    This file is to be run by the EXAMPLE command, and may not
   3    otherwise work.
   4    The following are either acceptable lines to Maxima, or they are
   5    two successive '&' characters
   6    and then followed by the name of the section of examples, and then followed by
   7    a sequence of Maxima forms, e.g.
   8
   9    '&'& topic               (without the quotes)
  10
  11       /* This is a comment */
  12       <Maxima form 1>;
  13       <Maxima form 2>;
  14       ...
  15 */
  16
  17 && additive
  18
  19    declare(f,additive);
  20    f(2*a+3*b);
  21
  22 && algsys
  23
  24    f1:2*x*(1-l1)-2*(x-1)*l2$
  25    f2:l2-l1$
  26    f3:l1*(1-x**2-y)$
  27    f4:l2*(y-(x-1)**2)$
  28    algsys([f1,f2,f3,f4],[x,y,l1,l2]);
  29    f1:x**2-y**2$
  30    f2:x**2-x+2*y**2-y-1$
  31    algsys([f1,f2],[x,y]);
  32
  33 && allroots
  34
  35    (2*x+1)^3=13.5*(x^5+1);
  36    allroots(%);
  37
  38 && antisymmetric
  39
  40    declare(h,antisymmetric);
  41    h(x,z,y);
  42
  43 && append
  44
  45    append([y+x,0,-3.2],[2.5e20,x]);
  46
  47 && arrayinfo
  48
  49    b[1,x]:1$
  50    array(f,2,3);
  51    arrayinfo(b);
  52    arrayinfo(f);
  53
  54 && arrays
  55
  56    a[n]:=n*a[n-1];
  57    a[0]:1$
  58    a[5];
  59    a[n]:=n$
  60    a[6];
  61    a[4];
  62
  63 && at
  64
  65    atvalue(f(x,y),[x=0,y=1],a^2);
  66    atvalue('diff(f(x,y),x),x=0,y+1);
  67    printprops(all,atvalue);
  68    diff(4*f(x,y)^2-u(x,y)^2,x);
  69    at(%,[x=0,y=1]);
  70
  71 && atvalue
  72
  73    kill(f,x,a,u,g);
  74    atvalue(f(x,y),[x=0,y=1],a^2)$
  75    atvalue('diff(f(x,y),x),x=0,y+1);
  76    printprops(all,atvalue);
  77    diff(4*f(x,y)^2-u(x,y)^2,x);
  78    at(%,[x=0,y=1]);
  79
  80 && augcoefmatrix
  81
  82    [2*x-(a-1)*y=5*b,a*x+b*y+c=0]$
  83    augcoefmatrix(%,[x,y]);
  84
  85 && bezout
  86
  87    bezout(a*y+x^2+1,y^2+x*y+b,x);
  88    expand(determinant(%));
  89    %-expand(resultant(a*y+x^2+1,y^2+x*y+b,x));
  90
  91 && block
  92
  93    kill(f);
  94    hessian(f):=block([dfxx,dfxy,dfxz,dfyy,dfyz,dfzz],
  95          dfxx:diff(f,x,2),dfxy:diff(f,x,1,y,1),
  96          dfxz:diff(f,x,1,z,1),dfyy:diff(f,y,2),
  97          dfyz:diff(f,y,1,z,1),dfzz:diff(f,z,2),
  98          determinant(matrix([dfxx,dfxy,dfxz],[dfxy,dfyy,dfyz],
  99                  [dfxz,dfyz,dfzz])))$
 100    kill(x,y,z);
 101    hessian(x^3-3*a*x*y*z+y^3);
 102    subst(1,z,quotient(%,-54*a^2));
 103    f(x):=block([y,use_fast_arrays:false], local(a), y:4, a[y]:x, display(a[y]))$
 104    y:2$
 105    a[y+2]:0$
 106    f(9);
 107    ff(x):=block([y,a,use_fast_arrays:true], y:4, a[y]:x, display(a[y]))$
 108    ff(10);
 109    a[y+2];
 110
 111 && bothcoeff
 112
 113    islinear(exp,var):=block([c],
 114                c:bothcoef(rat(exp,var),var),
 115                is(freeof(var,c) and c[1]#0))$
 116    islinear((r^2-(x-r)^2)/x,x);
 117
 118 && catch
 119
 120    g(l):=catch(map(lambda([x],if x<0 then throw(x) else f(x)),l))$
 121    g([1,2,3,7]);
 122    g([1,2,-3,7]);
 123
 124 && cf
 125
 126    cf([1,2,-3]+[1,-2,1]);
 127    cfdisrep(%);
 128    cflength:4$
 129    cf(sqrt(3));
 130    cfexpand(%);
 131    ev(%[1,2]/%[2,2],numer);
 132
 133 && cfdisrep
 134
 135    cf([1,2,-3]+[1,-2,1]);
 136    cfdisrep(%);
 137
 138 && cfexpand
 139
 140    cflength:4$
 141    cf(sqrt(3));
 142    cfexpand(%);
 143    ev(%[1,2]/%[2,2],numer);
 144
 145 && changevar
 146
 147    'integrate(%e^(sqrt(a)*sqrt(y)),y,0,4);
 148    changevar(%,y-z^2/a,z,y);
 149
 150    sum(a[k]*x^(N-1-k), k, 0, N - 1);
 151    changevar(%, m = N - 1 - k, m, k);
 152 && charpoly
 153
 154    a:matrix([3,1],[2,4]);
 155    expand(charpoly(a,lambda));
 156    (programmode:true,solve(%));
 157    matrix([x1],[x2]);
 158    ev(a.%-lambda*%,%th(2)[1]);
 159    %[1,1]=0;
 160    x1^2+x2^2=1;
 161    solve([%th(2),%],[x1,x2]);
 162
 163 && coeff
 164
 165    coeff(2*a*tan(x)+tan(x)+b=5*tan(x)+3,tan(x));
 166    coeff(y+x*%e^x+1,x,0);
 167
 168 && combine
 169
 170    combine(a/x+b/x+a/y+b/y);
 171
 172 && commutative
 173
 174    declare(h,commutative);
 175    h(x,z,y);
 176
 177 && complex
 178
 179    (sqrt(-4)+sqrt(2.25))^2;
 180    expand(%);
 181    expand(sqrt(2*%i));
 182
 183 && content
 184
 185    content(2*x*y+4*x^2*y^2,y);
 186
 187 && defmatch
 188
 189    nonzeroandfreeof(x,e):=is(e#0 and freeof(x,e));
 190    matchdeclare(a,nonzeroandfreeof(x),b,freeof(x));
 191    defmatch(linear,a*x+b,x);
 192    linear(3*z+(y+1)*z+y**2,z);
 193    matchdeclare([a,f],true);
 194    constinterval(l,h):=constantp(h-l)$
 195    matchdeclare(b,constinterval(a))$
 196    matchdeclare(x,atom)$
 197    block(remove(integrate,outative),
 198          defmatch(checklimits,'integrate(f,x,a,b)),
 199          declare(integrate,outative))$
 200    'integrate(sin(t),t,x+%pi,x+2*%pi)$
 201    checklimits(%);
 202    'integrate(sin(t),t,0,x)$
 203    checklimits(%);
 204    remvalue(a,b,f,x)$
 205
 206 && deftaylor
 207
 208    deftaylor(f(x),x^2+sum(x^i/(2^i*i!^2),i,4,inf));
 209    taylor(%e^sqrt(f(x)),x,0,4);
 210
 211 && delete
 212
 213    delete(sin(x),x+sin(x)+y);
 214
 215 && depends
 216
 217    kill(a,x,f,y,t);
 218    depends(a,x);
 219    diff(a.a,x);
 220    depends(f,[x,y],[x,y],t);
 221    diff(f,t);
 222
 223 && derivdegree
 224
 225    'diff(y,x,2)+'diff(y,z,3)*2+'diff(y,x)*x^2;
 226    derivdegree(%,y,x);
 227
 228 && desolve
 229
 230    eqn1:'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
 231    eqn2:'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
 232    atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
 233    atvalue(f(x),x=0,1);
 234    desolve([eqn1,eqn2],[f(x),g(x)]);
 235    /* verification */
 236    [eqn1,eqn2],%,diff;
 237
 238 && diff
 239
 240    kill(f,g,h,x,y);
 241    diff(sin(x)+x^3+2*x^2,x);
 242    diff(sin(x)*cos(x),x);
 243    diff(sin(x)*cos(x),x,2);
 244    derivabbrev:true$
 245    diff(exp(f(x)),x,2);
 246    'integrate(f(x,y),y,g(x),h(x));
 247    diff(%,x);
 248
 249 && display
 250
 251    display(b[1,2]);
 252
 253 && divide
 254
 255    divide(x+y,x-y,x);
 256    divide(x+y,x-y);
 257
 258 && do
 259
 260    for a:-3 thru 26 step 7 do ldisplay(a)$
 261    s:0$
 262    for i:1 while i<=10 do s:s+i;
 263    s;
 264    series:1$
 265    term:exp(sin(x))$
 266    for p:1 unless p>7 do
 267              (term:diff(term,x)/p,
 268              series:series+subst(x=0,term)*x^p)$
 269    series;
 270    poly:0$
 271    for i:1 thru 5 do
 272            for j:i step -1 thru 1 do
 273               poly:poly+i*x^j$
 274    poly;
 275    guess:-3.0$
 276    for i thru 10 do (guess:subst(guess,x,0.5*(x+10/x)),
 277             if abs(guess^2-10)<0.00005 then return(guess));
 278    for count:2 next 3*count thru 20
 279             do ldisplay(count)$
 280    x:1000;
 281    thru 10 while x#0 do x:0.5*(x+5/x)$
 282    x;
 283    remvalue(x);
 284    newton(f,guess):=block([numer,y],local(f,df,x,guess),
 285          numer:true,
 286            define(df(x),diff(f(x),x)),
 287         do (y:df(guess), if y=0 then error(
 288              "derivative at",guess,"is zero"),
 289             guess:guess-f(guess)/y,
 290             if abs(f(guess))<5.0e-6 then return(guess)))$
 291    sqr(x):=x^2-5.0$
 292    newton(sqr,1000);
 293    for f in [log, rho, atan] do ldisp(f(1.0))$
 294    ev(concat(e,linenum-1),numer);
 295
 296 && dotscrules
 297
 298    declare(l,scalar,[m1,m2,m3],nonscalar);
 299    expand((1-l*m1).(1-l*m2).(1-l*m3));
 300    %,dotscrules;
 301    rat(%,l);
 302
 303 && dpart
 304
 305    dpart(x+y/z^2,1,2,1);
 306    expand((b+a)^4);
 307    (b+a)^2*(y+x)^2;
 308    expand(%);
 309    %th(3)/%;
 310    factor(%);
 311    dpart(%th(2),2,4);
 312    part(%th(3),2,4);
 313
 314 && echelon
 315
 316    matrix([2,1-a,-5*b],[a,b,c]);
 317    echelon(%);
 318
 319 && eliminate
 320
 321    exp1:2*x^2+y*x+z;
 322    exp2:3*x+5*y-z-1;
 323    exp3:z^2+x-y^2+5;
 324    eliminate([exp3,exp2,exp1],[y,z]);
 325
 326 && entermatrix
 327
 328    entermatrix(2,1);
 329
 330 && equations
 331
 332    x+1=y^2;
 333    x-1=2*y+1$
 334    %th(2)+%;
 335    %th(3)/y;
 336    1/%;
 337
 338 && ev
 339
 340    kill(y,x,w);
 341    sin(x)+cos(y)+(w+1)^2+'diff(sin(w),w);
 342    ev(%,sin,expand,diff,x=2,y=1);
 343    ev(x+y,x:a+y,y:2);
 344    'diff(y^2+x*y+x^2,x,2,y,1);
 345
 346    ev(%,diff);
 347    2*x-3*y=3$
 348    -3*x+2*y=-4$
 349    solve([%th(2),%]);
 350    ev(%th(3),%);
 351    x+1/x>gamma(1/2);
 352    ev(%,numer,x=1/2);
 353    ev(%,pred);
 354
 355 && evaluation
 356
 357    diff(x*f(x),x);
 358    f(x):=sin(x)$
 359    ev(%th(2),diff);
 360    x;
 361    x:3$
 362    x;
 363    'x;
 364    f(x):=x^2;
 365    'f(2);
 366    ev(%,f);
 367    '(f(2));
 368    ''%;
 369    sum(i!,i,1,4);
 370    'sum(i!,i,1,4);
 371    remvalue(x);
 372    'integrate(f(x),x,a,b);
 373    for i thru 5 do s:s+i^2;
 374    s;
 375    ev(%,s:0);
 376    ev(%th(2));
 377    'sum(g(i),i,0,n);
 378    z*%e^z;
 379    ev(%,z:x^2);
 380    subst(x^2,z,%th(3));
 381    a:%;
 382    a+1;
 383    kill(a,y);
 384    a;
 385    /* declare(integrate,noun)$ */
 386    integrate(y^2,y);
 387    ''integrate(y^2,y);
 388    f(y):=diff(y*log(y),y,2);
 389    f(y):=''(diff(y*log(y),y,2));
 390    ''(concat(c,linenum-1));
 391    (x+y)^3$
 392    diff(%,x);
 393    y:x^2+1$
 394    ''(concat(c,linenum-2));
 395
 396 && evenfun
 397
 398    declare(g,evenfun);
 399    g(-x);
 400
 401 && exp
 402
 403    ev(%e^x*sin(x)^2,exponentialize);
 404    kill(x);
 405    integrate(%,x);
 406    ev(%,demoivre);
 407    ans:ev(%,ratexpand);
 408    ev(%,x:1,numer)-ev(%,x:0,numer);
 409    integrate(%e^x*sin(x)^2,x);
 410    trigreduce(%);
 411    %-ans;
 412    ev(sin(x),%emode);
 413
 414 && expand
 415
 416    (1/(x+y)^4-3/(y+z)^3)^2;
 417    expand(%,2,0);
 418    expand(a.(b+c.(d+e)+f));
 419    expand((x+1)^3);
 420    (x+1)^7;
 421    expand(%);
 422    expand(%th(2),7,7);
 423    ev(a*(b+c)+a*(b+c)^2,expop:1);
 424
 425 && factcomb
 426
 427    (n+1)^2*n!^2;
 428    factcomb(%);
 429
 430 && factor
 431
 432    factor(2^63-1);
 433    factor(z^2*(x+2*y)-4*x-8*y);
 434    x^2*y^2+2*x*y^2+y^2-x^2-2*x-1;
 435    block([dontfactor:[x]],factor(%/36/(y^2+2*y+1)));
 436    factor(%e^(3*x)+1);
 437    factor(x^4+1,a^2-2);
 438    factor(x^3+x^2*y^2-x*z^2-y^2*z^2);
 439    (x+2)/(x+3)/(x+b)/(x+c)^2;
 440    ratsimp(%);
 441    partfrac(%,x);
 442    map('factor,%);
 443    ratsimp((x^5-1)/(x-1));
 444    subst(a,x,%);
 445    factor(%th(2),%);
 446    factor(x^12+1);
 447    factor(x^99+1);
 448
 449 && factorsum
 450
 451    ev((x+1)*((u+v)^2+a*(w+z)^2),expand);
 452    factorsum(%);
 453
 454 && featurep
 455
 456    declare(j,even)$
 457    featurep(j,integer);
 458
 459 && freeof
 460
 461    freeof(y,sin(x+2*y));
 462    freeof(cos(y),"*",sin(y)+cos(x));
 463
 464 && fullmap
 465
 466    fullmap(g,a+b*c);
 467    map(g,a+b*c);
 468
 469 && fullmapl
 470
 471    fullmapl("+",[3,[4,5]],[[a,1],[0,-1.5]]);
 472
 473 && funcsolve
 474
 475    funcsolve((n+1)*f(n)-(n+3)*f(n+1)/(n+1)=(n-1)/(n+2),f(n));
 476
 477 && functions
 478
 479    kill(x,y,f,g,h);
 480    f(x):=x^2+y;
 481    f(2);
 482    ev(f(2),y:7);
 483    f(x):=sin(x)^2+1;
 484    f(x+1);
 485    g(y,z):=f(z)+3*y;
 486    ev(g(2*y+z,-0.5),y:7);
 487    h(n):=sum(i*x^i,i,0,n);
 488    functions;
 489    t[n](x):=ratexpand(2*x*t[n-1](x)-t[n-2](x));
 490    t[0](x):=1$
 491    t[1](x):=x$
 492    t[4](y);
 493    g[n](x):=sum(ev(x),i,n,n+2);
 494    h(n,x):=sum(ev(x),i,n,n+2);
 495    g[2](i^2);
 496    h(2,i^2);
 497    p[n](x):=ratsimp(1/(2^n*n!)*diff((x^2-1)^n,x,n));
 498    q(n,x):=ratsimp(1/(2^n*n!)*diff((x^2-1)^n,x,n));
 499    p[2];
 500    p[2](y+1);
 501    q(2,y);
 502    p[2](5);
 503    f[i,j](x,y):=x^i+y^j;
 504    g(fun,a,b):=print(fun," applied to ",a," and ",b," is ",fun(a,b))$
 505    g(f[2,1],sin(%pi),2*c);
 506
 507 && genmatrix
 508
 509    h[i,j]:=1/(i+j-1)$
 510    genmatrix(h,3,3);
 511
 512 && get
 513
 514    put(%e,transcendental,type);
 515    put(%pi,transcendental,type)$
 516    put(%i,algebraic,type)$
 517    typeof(x):=block([q], if numberp(x)
 518                then return(algebraic),
 519                if not atom(x)
 520                then return(maplist(typeof,x)),
 521                q:get(x,type), if q=false then
 522                error("not numeric") else q)$
 523    errcatch(typeof(2*%e+x*%pi));
 524    typeof(2*%e+%pi);
 525
 526 && gfactor
 527
 528    gfactor(x^4-1);
 529
 530 && gradef
 531
 532    depends(y,x);
 533    kill(f,g,j);
 534    gradef(f(x,y),x^2,g(x,y));
 535    diff(f(x,y),x);
 536    gradef(j(n,z),'diff(j(n,z),n),
 537         j(n-1,z)-n/z*j(n,z))$
 538    ratsimp(diff(j(2,x),x,2));
 539
 540 && horner
 541
 542    poly:1.0e-20*x^2-5.5*x+5.2e20;
 543    errcatch(ev(%,x=1.0e20));
 544    horner(poly,x),keepfloat;
 545    ev(%,x=1.0e20);
 546
 547 && if
 548
 549    fib[n]:=if n=1 or n=2 then 1 else fib[n-1]+fib[n-2];
 550    fib[1]+fib[2];
 551    fib[3];
 552    fib[5];
 553    eta(mu,nu):=if mu=nu then mu else if mu>nu then mu-nu else mu+nu;
 554    eta(5,6);
 555    eta(eta(7,7),eta(1,2));
 556    if not 5>=2 and 6<=5 or 4+1>3 then a else b;
 557
 558 && ilt
 559
 560    'integrate(sinh(a*x)*f(t-x),x,0,t)+b*f(t)=t^2;
 561    laplace(%,t,s);
 562    linsolve([%],['laplace(f(t),t,s)]);
 563    ilt(ev(%[1]),s,t);
 564
 565 && inpart
 566
 567    x+y+w*z;
 568    inpart(%,3,2);
 569    'limit(f(x)^g(x+1),x,0,minus);
 570    inpart(%,1,2);
 571
 572 && integrate
 573
 574    test(f):=block([u],u:integrate(f,x),ratsimp(f-diff(u,x)));
 575    test(sin(x));
 576    test(1/(1+x));
 577    test(1/(1+x^2));
 578    integrate(sin(x)^3,x);
 579    kill(q)$
 580    integrate(%e^x/(%e^x+2),x);
 581    integrate(1/(x*log(x)),x);
 582    integrate(sin(2*x+3),x);
 583    integrate(%e^x*erf(x),x);
 584    integrate(x/(x^3+1),x);
 585    diff(%,x);
 586    ratsimp(%);
 587    integrate(x^(5/4)/(x+1)^(5/2),x,0,inf);
 588    gradef(q(x),sin(x^2));
 589    diff(log(q(r(x))),x);
 590    integrate(%,x);
 591
 592 && is
 593
 594    is(x^2>=2*x-1);
 595    assume(a>1);
 596    is(log(log(a+1)+1)>0 and a^2+1>2*a);
 597
 598 && isolate
 599
 600    (a+b)^4*(1+x*(2*x+(c+d)^2));
 601    isolate(%,x);
 602    ratexpand(%)$
 603    ev(%);
 604    (a+b)*(x+a+b)^2*%e^(x^2+a*x+b);
 605    isolate(%,x),exptisolate:true;
 606
 607 && lambda
 608
 609    lambda([x,y,z],x^2+y^2+z^2);
 610    %(1,2,a);
 611    "+"(1,2,a);
 612
 613 && laplace
 614
 615    laplace(%e^(2*t+a)*sin(t)*t,t,s);
 616
 617 && lassociative
 618
 619    declare(g,lassociative);
 620    g(g(a,b),g(c,d));
 621    g(g(a,b),g(c,d))-g(a,g(b,g(c,d)));
 622
 623 && let
 624
 625    matchdeclare([a,a1,a2],true);
 626    oneless(x,y):=is(x=y-1)$
 627    let(a1*a2!,a1!,oneless,a2,a1);
 628    let(a1!/a1,(a1-1)!),letrat;
 629    letsimp(n*m!*(n-1)!/m),letrat;
 630    let(sin(a)^2,1-cos(a)^2);
 631    sin(x)^4;
 632    letsimp(%);
 633
 634 && letrules
 635
 636    matchdeclare([a,a1,a2],true);
 637    oneless(x,y):=is(x=y-1)$
 638    let(a1*a2!,a1!,oneless,a2,a1);
 639    let(a1!/a1,(a1-1)!),letrat;
 640    letsimp(n*m!*(n-1)!/m),letrat;
 641    let(sin(a)^2,1-cos(a)^2);
 642    sin(x)^4;
 643    letsimp(%);
 644
 645 && limit
 646
 647    limit(x*log(x),x,0,plus);
 648    limit((1+x)^(1/x),x,0);
 649    limit(%e^x/x,x,inf);
 650    limit(sin(1/x),x,0);
 651
 652 && linear
 653
 654    declare(f,linear);
 655    f(2*a+3*b);
 656    f(2*x+y,x);
 657
 658 && linsolve
 659
 660    x+z=y$
 661    2*a*x-y=2*a^2$
 662    y-2*z=2$
 663    linsolve([%th(3),%th(2),%],[x,y,z]),globalsolve;
 664
 665 && listofvars
 666
 667    listofvars(f(x[1]+y)/g^(2+a));
 668
 669 && lists
 670
 671    [x^2,y/3,-2];
 672    %[1]*x;
 673    [a,%th(2),%];
 674
 675 && logcontract
 676
 677    2*(a*log(x) + 2*a*log(y));
 678    logcontract(%);
 679    logcontract(log(sqrt(x+1)+sqrt(x)) + log(sqrt(x+1)-sqrt(x)));
 680
 681 && map
 682
 683    map(f,x+a*y+b*z);
 684    map(lambda([u],partfrac(u,x)),x+1/(x^3+4*x^2+5*x+2));
 685    map(ratsimp, x/(x^2+x)+(y^2+y)/y);
 686    map("=",[a,b],[-0.5,3]);
 687
 688 && matchdeclare
 689
 690    matchdeclare(a,true)$
 691    tellsimp(sin(a)^2,1-cos(a)^2)$
 692    sin(y)^2;
 693    kill(rules);
 694    nonzeroandfreeof(x,e):=is(e#0 and freeof(x,e));
 695    matchdeclare(a,nonzeroandfreeof(x),b,freeof(x));
 696    defmatch(linear,a*x+b,x);
 697    linear(3*z+(y+1)*z+y**2,z);
 698    matchdeclare([a,f],true);
 699    constinterval(l,h):=constantp(h-l)$
 700    matchdeclare(b,constinterval(a))$
 701    matchdeclare(x,atom)$
 702    block(remove(integrate,outative),
 703          defmatch(checklimits,'integrate(f,x,a,b)),
 704          declare(integrate,outative))$
 705    'integrate(sin(t),t,x+%pi,x+2*%pi)$
 706    checklimits(%);
 707    'integrate(sin(t),t,0,x)$
 708    checklimits(%);
 709
 710 && matrices
 711
 712    m:matrix([a,0],[b,1]);
 713    m^2;
 714    m.m;
 715    m[1,1]*m;
 716    %-%th(2)+1;
 717    m^^-1;
 718    [x,y].m;
 719    matrix([a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]);
 720    %^^2;
 721
 722 && minfactorial
 723
 724    n!/(n+1)!;
 725    minfactorial(%);
 726
 727 && multiplicative
 728
 729    declare(f,multiplicative);
 730    f(2*a*b);
 731
 732 && multthru
 733
 734    x/(x-y)^2-1/(x-y)-f(x)/(x-y)^3;
 735    multthru((x-y)^3,%);
 736    ratexpand(%);
 737    ((a+b)^10*s^2+2*a*b*s+(a*b)^2)/(a*b*s^2);
 738    multthru(%);
 739    multthru(a.(b+c.(d+e)+f));
 740
 741 && nary
 742
 743    declare(j,nary);
 744    j(j(a,b),j(c,d));
 745
 746 && nounify
 747    'limit(f(x)^g(x+1),x,0,minus);
 748    is(inpart(%,0)=nounify(limit));
 749
 750 && nroots
 751
 752    x^10-2*x^4+1/2;
 753    nroots(%,-6,9.1);
 754
 755 && numfactor
 756
 757    gamma(7/2);
 758    numfactor(%);
 759
 760 && nusum
 761
 762    nusum(n*n!,n,0,n);
 763    nusum(n^4*4^n/binomial(2*n,n),n,0,n);
 764    unsum(%,n);
 765    unsum(prod(i^2,i,1,n),n);
 766    nusum(%,n,1,n);
 767
 768 && oddfun
 769
 770    declare(f,oddfun);
 771    f(-x);
 772
 773 && ode2
 774
 775    x^2*'diff(y,x) + 3*x*y = sin(x)/x;
 776    soln1:ode2(%,y,x);
 777    ic1(soln1,x=%pi,y=0);
 778    'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
 779    soln2:ode2(%,y,x);
 780    ratsimp(ic2(soln2,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
 781    bc2(soln2,x=0,y=1,x=1,y=3);
 782
 783 && optimize
 784
 785    diff(exp(x^2+y)/(x+y),x,2);
 786    optimize(%);
 787
 788 && ordergreat
 789
 790    a^2+b*x;
 791    ordergreat(a);
 792    a^2+b*x;
 793    %-%th(3);
 794    unorder();
 795
 796 && orderless
 797
 798    y^2+b*x;
 799    orderless(y);
 800    y^2+b*x;
 801    %-%th(3);
 802    unorder();
 803
 804 && outative
 805
 806    declare(f,outative);
 807    f(2*a);
 808
 809 && part
 810
 811    x+y/z^2;
 812    part(%,1,2,2);
 813    remvalue(x);
 814    'integrate(f(x),x,a,b)+x;
 815    part(%,1,1);
 816    x^2+2*x=y^2;
 817    %+1;
 818    lhs(%);
 819    part(%th(2),2);
 820    part(%,1);
 821    27*y^3+54*x*y^2+36*x^2*y+y+8*x^3+x+1;
 822    part(%,2,[1,3]);
 823    sqrt(piece/54);
 824
 825 && partfrac
 826
 827    2/(x+2)-2/(x+1)+1/(x+1)^2;
 828    ratsimp(%);
 829    partfrac(%,x);
 830
 831 && partition
 832
 833    partition(2*a*x*f(x),x);
 834    partition(a+b,x);
 835
 836 && pickapart
 837
 838    integrate(1/(x^3+2),x)$
 839    pickapart(%,1);
 840
 841 && poissimp
 842
 843    pfeformat:true$
 844    poissimp(sin(x)^2);
 845    (2*a^2-b)*cos(x+2*y)-(a*b+5)*sin(u-4*x);
 846    poisexpt(%,2)$
 847    printpois(%);
 848    poisint(%th(2),y)$
 849    poissimp(%);
 850    poissimp(sin(x)^5+cos(x)^5);
 851    pfeformat:false$
 852
 853 && polarform
 854
 855    rectform(sin(2*%i+x));
 856    polarform(%);
 857    rectform(log(3+4*%i));
 858    polarform(%);
 859    rectform((2+3.5*%i)^0.25),numer;
 860    polarform(%);
 861
 862 && poly_discriminant
 863
 864    factor(poly_discriminant((x-a)*(x-b)*(x-c),x));
 865
 866 && posfun
 867
 868    declare(f,posfun);
 869    is(f(x)>0);
 870
 871 && powerseries
 872
 873    powerseries(log(sin(x)/x),x,0);
 874
 875 && printprops
 876
 877    gradef(r,x,x/r)$
 878    gradef(r,y,y/r)$
 879    printprops(r,atomgrad);
 880    propvars(atomgrad);
 881
 882 && product
 883
 884    product(x+i*(i+1)/2,i,1,4);
 885
 886 && properties
 887
 888    properties(cons);
 889    assume(var1>0);
 890    properties(var1);
 891    var2:2$
 892    properties(var2);
 893
 894 && propvars
 895
 896    gradef(r,x,x/r)$
 897    gradef(r,y,y/r)$
 898    printprops(r,atomgrad);
 899    propvars(atomgrad);
 900
 901 && qunit
 902
 903    qunit(17);
 904    expand(%*(sqrt(17)-4));
 905
 906 && radcan
 907
 908    (log(x^2+x)-log(x))^a/log(x+1)^(a/2);
 909    radcan(%);
 910    log(a^(2*x)+2*a^x+1)/log(a^x+1);
 911    radcan(%);
 912    (%e^x-1)/(%e^(x/2)+1);
 913    radcan(%);
 914
 915 && rank
 916
 917    matrix([2,1-a,-5*b],[a,b,c]);
 918    rank(%);
 919
 920 && rassociative
 921
 922    declare(g,rassociative);
 923    g(g(a,b),g(c,d));
 924    g(g(a,b),g(c,d))-g(a,g(b,g(c,d)));
 925
 926 && rat
 927
 928    rat(x^2);
 929    diff(f(%),x);
 930    ((x-2*y)^4/(x^2-4*y^2)^2+1)*(y+a)*(2*y+x)/(4*y^2+x^2);
 931    rat(%,y,a,x);
 932    (x+3)^20;
 933    rat(%);
 934    diff(%,x);
 935    factor(%);
 936
 937 && ratcoeff
 938
 939    a*x+b*x+5$
 940    ratcoef(%,a+b);
 941
 942 && ratdiff
 943
 944    (4*x^3+10*x-11)/(x^5+5);
 945    polymod(%),modulus:3;
 946    ratdiff(%th(2),x);
 947
 948 && ratexpand
 949
 950    ratexpand((2*x-3*y)^3);
 951    (x-1)/(x+1)^2+1/(x-1);
 952    expand(%);
 953    ratexpand(%th(2));
 954
 955 && ratsimp
 956
 957    sin(x/(x^2+x))=%e^((log(x)+1)^2-log(x)^2);
 958    ratsimp(%);
 959    b*(a/b-x)+b*x+a;
 960    ratsimp(%);
 961    ((x-1)^(3/2)-(x+1)*sqrt(x-1))/sqrt(x-1)/sqrt(x+1);
 962    ratsimp(%);
 963    x^(a+1/a),ratsimpexpons;
 964
 965 && ratsubst
 966
 967    ratsubst(a,x*y^2,x^4*y^8+x^4*y^3);
 968    1 + cos(x) + cos(x)^2 + cos(x)^3 + cos(x)^4;
 969    ratsubst(1-sin(x)^2,cos(x)^2,%);
 970    ratsubst(1-cos(x)^2,sin(x)^2,sin(x)^4);
 971
 972 && ratweight
 973
 974    ratweight(a,1,b,1);
 975    rat(a+b+1);
 976    %^2;
 977    ev(%th(2)^2,ratwtlvl:1);
 978
 979 && realpart
 980
 981    (%i*v+u)/(f+%i*e)+%e^(%i*alpha);
 982    realpart(%);
 983
 984 && realroots
 985
 986    realroots(x^5-x-1,5.0e-6);
 987    %[1],float;
 988    x^5-x-1,%;
 989
 990 && residue
 991
 992    residue(s/(s^2+a^2),s,a*%i);
 993    residue(sin(a*x)/x^4,x,0);
 994
 995 && resultant
 996
 997    resultant(a*y+x^2+1,y^2+x*y+b,x);
 998
 999 && reveal
1000
1001    integrate(1/(x^3+2),x)$
1002    reveal(%,2);
1003    reveal(%th(2),3);
1004
1005 && reverse
1006
1007    union({a,b,1,1/2,x^2},{-x^2,a,y,1/2});
1008    bernpoly(x,5);
1009    maplist(numfactor,%);
1010    apply(min,%);
1011
1012 && risch
1013
1014    risch(x^2*erf(x),x);
1015    diff(%,x),ratsimp;
1016
1017 && rootscontract
1018
1019    rootsconmode:false$
1020    rootscontract(x^(1/2)*y^(3/2));
1021    rootscontract(x^(1/2)*y^(1/4));
1022    rootsconmode:true$
1023    rootscontract(x^(1/2)*y^(1/4));
1024    rootscontract(x^(1/2)*y^(1/3));
1025    rootsconmode:all$
1026    rootscontract(x^(1/2)*y^(1/4));
1027    rootscontract(x^(1/2)*y^(1/3));
1028    rootsconmode:false$
1029    rootscontract(sqrt(sqrt(x+1)+sqrt(x))*sqrt(sqrt(x+1)-sqrt(x)));
1030    rootsconmode:true$
1031    rootscontract(sqrt(sqrt(5)+5)-5^(1/4)*sqrt(sqrt(5)+1));
1032
1033 && scanmap
1034
1035    (a^2+2*a+1)*y+x^2;
1036    scanmap(factor,%);
1037    scanmap(factor,expand(%th(2)));
1038    u*v^(a*x+b)+c;
1039    scanmap('f,%);
1040
1041 && scsimp
1042
1043    exp:k^2*n^2+k^2*m^2*n^2-k^2*l^2*n^2-k^2*l^2*m^2*n^2;
1044    eq1:k^2+l^2=1;
1045    eq2:n^2-m^2=1;
1046    scsimp(exp,eq1,eq2);
1047    exq:(k1*k4-k1*k2-k2*k3)/k3^2;
1048    eq3:k1*k4-k2*k3=0;
1049    eq4:k1*k2+k3*k4=0;
1050    scsimp(exq,eq3,eq4);
1051
1052 && solve
1053
1054    solve(asin(cos(3*x))*(f(x)-1),x);
1055    solve(5^f(x)=125,f(x)),solveradcan;
1056    [4*x^2-y^2=12,x*y-x=2];
1057    solve(%,[x,y]);
1058    solve(x^3+a*x+1,x);
1059    solve(x^3-1);
1060    solve(x^6-1);
1061    ev(x^6-1,%[1]);
1062    expand(%);
1063    x^2-1;
1064    solve(%,x);
1065    %th(2),%[1];
1066
1067 && specint
1068
1069    assume(p>0,a>0)$
1070    /* a laplace transform */
1071    t^(1/2)*%e^(-a*t/4)*%e^(-p*t);
1072    specint(%,t);
1073    /* a bessel function */
1074    t^(1/2)*%j[1](2*a^(1/2)*t^(1/2))*%e^(-p*t);
1075    specint(%,t);
1076    forget(p>0,a>0)$
1077
1078 && sqfr
1079
1080    sqfr(4*x^4+4*x^3-3*x^2-4*x-1);
1081
1082 && substinpart
1083
1084    x.'diff(f(x),x,2);
1085    substinpart(d^2,%,2);
1086    substinpart(f1,f[1](x+1),0);
1087
1088 && substitute
1089
1090    subst(a,x+y,x+(x+y)^2+y);
1091    subst(-%i,%i,a+b*%i);
1092    subst(x,y,x+y);
1093    subst(x=0,diff(sin(x),x));
1094    errcatch(ev(diff(sin(x),x),x=0));
1095    integrate(x^i,x),i=-1;
1096    errcatch(subst(-1,i,integrate(x^i,x)));
1097    matrix([a,b],[c,d]);
1098    subst("[",matrix,%);
1099
1100 && substpart
1101
1102    1/(x^2+2);
1103    substpart(3/2,%,2,1,2);
1104    27*y^3+54*x*y^2+36*x^2*y+y+8*x^3+x+1;
1105    substpart(factor(piece),%,[1,2,3,5]);
1106    1/x+y/x-1/z;
1107    substpart(xthru(piece),%,[2,3]);
1108    substpart("+",%,1,0);
1109    ratsimp((k^2*x^2-1)*(cos(x)+eps)/(3*k+n[1])/(5*k-n[2]));
1110    factor(%);
1111    substpart(ratsimp(piece),%,1,[1,2]);
1112    -substpart(-piece,%,1,1);
1113    a+b/(x*(y+(a+b)*x)+1);
1114    substpart(multthru(piece),%,1,2,1);
1115
1116 && sum
1117
1118    sum(i^2+2^i,i,0,n),simpsum;
1119    sum(3^(-i),i,1,inf),simpsum;
1120    sum(i^2,i,1,4)*sum(1/i^2,i,1,inf),simpsum;
1121    sum(i^2,i,1,5);
1122
1123 && symmetric
1124
1125    declare(h,symmetric);
1126    h(x,z,y);
1127
1128 && syntax
1129
1130    matchfix("@{","@}");
1131    infix("|");
1132    @{x|x>0@};
1133    @{x|x<2@};
1134    infix(".u.")$
1135    infix(".i.")$
1136    %th(4).u.%th(3);
1137    %th(5).u.%th(4);
1138    @{1,2,3@}$
1139    @{3,4,5@}$
1140    %th(2).u.%th(2).u.%;
1141    infix(".u.",100,100)$
1142    infix(".i.",120,120)$
1143    %th(5).u.%th(5).u.%;
1144    remove(".u.",operator)$
1145    errcatch(%th(7).u.%th(3));
1146    remove(["@{","@}",".i.",".u."],operator)$
1147
1148 && taylor
1149
1150    taylor(sqrt(1+a*x+sin(x)),x,0,3);
1151    %^2;
1152    taylor(sqrt(1+x),x,0,5);
1153    %^2;
1154    product((x^i+1)^2.5,i,1,inf)/(x^2+1);
1155    taylor(%,x,0,3),keepfloat;
1156    taylor(1/log(1+x),x,0,3);
1157    taylor(cos(x)-sec(x),x,0,5);
1158    taylor((cos(x)-sec(x))^3,x,0,5);
1159    taylor((cos(x)-sec(x))^-3,x,0,5);
1160    taylor(sqrt(1-k^2*sin(x)^2),x,0,6);
1161    taylor((1+x)^n,x,0,4);
1162    taylor(sin(x+y),x,0,3,y,0,3);
1163    taylor(sin(x+y),[x,y],0,3);
1164    taylor(1/sin(x+y),x,0,3,y,0,3);
1165    taylor(1/sin(x+y),[x,y],0,3);
1166
1167 && taytorat
1168
1169    taylor(1+x,[x,0,3]);
1170    1/%;
1171    taylor(1+x+y+z,[x,0,3],[y,1,2],[z,2,1]);
1172    1/%;
1173    taylor(1+x+y+z,[x,0,3],[y,0,3],[z,0,3]);
1174    1/%;
1175
1176 && tellrat
1177
1178    10*(1+%i)/(3^(1/3)+%i);
1179    ratdisrep(rat(%)),algebraic;
1180    tellrat(a^2+a+1);
1181    a/(sqrt(2)+sqrt(3))+1/(a*sqrt(2)-1);
1182    ratdisrep(rat(%)),algebraic;
1183    tellrat(y^2=x^2);
1184
1185 && tellsimp
1186
1187    matchdeclare(x,freeof(%i))$
1188    %iargs:false$
1189    tellsimp(sin(%i*x),%i*sinh(x));
1190    trigexpand(sin(x+%i*y));
1191    %iargs:true$
1192    errcatch(0^0);
1193    tellsimp(0^0,1),simp:false;
1194    0^0;
1195    remrule("^",%th(2)[1]);
1196    tellsimp(sin(x)^2,1-cos(x)^2)$
1197    (sin(x)+1)^2;
1198    expand(%);
1199    sin(x)^2;
1200    kill(rules);
1201    matchdeclare(a,true)$
1202    tellsimp(sin(a)^2,1-cos(a)^2)$
1203    sin(y)^2;
1204    kill(rules);
1205
1206 && triangularize
1207
1208    matrix([2,1-a,-5*b],[a,b,c]);
1209    triangularize(%);
1210
1211 && trig
1212
1213    sin(%pi/12)+tan(%pi/6);
1214    ev(%,numer);
1215    sin(1);
1216    sin(1),numer;
1217    beta(1/2,2/5);
1218    ev(%,numer);
1219    diff(atanh(sqrt(x)),x);
1220    fpprec:25$
1221    sin(0.5b0);
1222    cos(x)^2-sin(x)^2;
1223    ev(%,x:%pi/3);
1224    diff(%th(2),x);
1225    integrate(%th(3),x);
1226    expand(%);
1227    trigexpand(%);
1228    trigreduce(%);
1229    sech(x)^2*sinh(x)*tanh(x)/coth(x)^2 + cosh(x)^2*sech(x)^2*tanh(x)/coth(x)^2
1230         + sech(x)^2*tanh(x)/coth(x)^2;
1231    trigsimp(%);
1232    ev(sin(x),exponentialize);
1233    taylor(sin(x)/x,x,0,4);
1234    ev(cos(x)^2-sin(x)^2,sin(x)^2=1-cos(x)^2);
1235
1236 && trigexpand
1237
1238    x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand,expand;
1239    trigexpand(sin(10*x+y));
1240
1241 && trigreduce
1242
1243    -sin(x)^2+3*cos(x)^2+x;
1244    expand(trigreduce(%));
1245    declare(j,integer,e,even,o,odd);
1246    sin(x+(e+1/2)*%pi);
1247    sin(x+(o+1/2)*%pi);
1248
1249 && unorder
1250
1251    a^2+b*x;
1252    ordergreat(a);
1253    a^2+b*x;
1254    %-%th(3);
1255    unorder();
1256
1257 && xthru
1258
1259    ((x+2)^20-2*y)/(x+y)^20+(x+y)^-19-x/(x+y)^20;
1260    xthru(%);
1261
1262 && zeroequiv
1263
1264    zeroequiv(sin(2*x)-2*sin(x)*cos(x),x);
1265    zeroequiv(%e^x+x,x);
1266    zeroequiv(log(a*b)-log(a)-log(b),a);