tests/rtest_limit_extra.mac

   1 /* limits of log expressions */
   2
   3 limit(log(x),x,minf);
   4 infinity$
   5
   6 limit(log(x),x,0);
   7 infinity$
   8
   9 limit(log(x),x,0,'minus);
  10 infinity$
  11
  12 limit(log(x),x,0,'plus);
  13 minf$
  14
  15 limit(log(x),x,inf);
  16 inf$
  17
  18 limit(log(-2+%i*x),x,0);
  19 ind$
  20
  21 limit(46*log(-2+%i*x),x,0);
  22 ind$
  23
  24 limit(107+log(-2+%i*x),x,0);
  25 ind$
  26
  27 limit(log(-2+%i*x),x,0,'minus);
  28 log(2)-%i*%pi$
  29
  30 limit(46*log(-2+%i*x),x,0,'minus);
  31 46*(log(2)-%i*%pi)$
  32
  33 limit(107+log(-2+%i*x),x,0,'minus);
  34 107 + log(2) - %i*%pi$
  35
  36 limit(log(-2+%i*x),x,0,'plus);
  37 log(2)+%i*%pi$
  38
  39 limit(46*log(-2+%i*x),x,0,'plus);
  40 46*(log(2)+%i*%pi)$
  41
  42 limit(107+log(-2+%i*x),x,0,'plus);
  43 107 + log(2) + %i*%pi$
  44
  45 /* #3831 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1) hangs  related bugs */
  46 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1,'minus);
  47 -(log(2)/2)$
  48
  49 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1,'plus);
  50 -(log(2)/2)$
  51
  52 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1);
  53 -(log(2)/2)$
  54
  55 limit(log((sqrt(x^4+1))/2),x,1,'minus);
  56 -(log(2)/2)$
  57
  58 limit(log((sqrt(x^4+1))/2),x,1,'plus);
  59 -(log(2)/2)$
  60
  61 limit(log((sqrt(x^4+1))/2),x,1);
  62 -(log(2)/2)$
  63
  64 block([logarc : true], integrate(1/sqrt(9+x^2),x,0,3));
  65 log((3*sqrt(2)+3)/3)$
  66
  67 block([logarc : false], integrate(1/sqrt(9+x^2),x,0,3));
  68 asinh(1)$
  69
  70 limit(log((sqrt(x^2+9)+x)/3),x,1,'minus);
  71 log((sqrt(10)+1)/3)$
  72
  73 limit(log((sqrt(x^2+9)+x)/3),x,1,'plus);
  74 log((sqrt(10)+1)/3)$
  75
  76 limit(log((sqrt(x^2+9)+x)/3),x,1);
  77 log((sqrt(10)+1)/3)$
  78
  79 /* Tests associated with the fix to bug 3831 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1) hangs */
  80 limit(log(x),x,1,'minus);
  81 0$
  82
  83 limit(log(x),x,1,'plus);
  84 0$
  85
  86 limit(log(x),x,1);
  87 0$
  88
  89 limit(log(x),x,minf);
  90 infinity$
  91
  92 limit(log(x),x,inf);
  93 inf$
  94
  95 limit(log(x),x,0,'minus);
  96 infinity$
  97
  98 limit(log(x),x,0,'plus);
  99 minf$
 100
 101 limit(log(signum(x)),x,0);
 102 ind$
 103
 104 limit(log(107+sin(x)),x,inf);
 105 und$
 106
 107 /* far too complex result, but it's not the fault of simplimln */
 108 limit(log((x-%i)/(x+%i)),x,2);
 109 log((5*%i+10)/(11*%i+2))$
 110
 111 limit(log(-46 + %i*x),x,0,'minus);
 112 log(46) - %i*%pi$
 113
 114 limit(log(-46 + %i*x),x,0,'plus);
 115 log(46) + %i*%pi$
 116
 117 limit(log(-46 + %i*exp(x)),x,0);
 118 log(%i - 46)$
 119
 120 limit(log(-46 + %i*(exp(x)-1)),x,0,'plus);
 121 log(46) + %i*%pi$
 122
 123 limit(log(-46 + %i*(exp(x)-1)),x,0,'minus);
 124 log(46) - %i*%pi$
 125
 126 limit(log(-46 + %i*(exp(x)-1)),x,0);
 127 ind$
 128
 129 limit(log(-1 + %i*x*sin(1/x)),x,0,'minus);
 130 'und$
 131
 132 limit(log(-1 + %i*signum(x)),x,0,'minus);
 133 log(-1-%i)$
 134
 135 limit(log(-1 + %i*signum(x)),x,0,'plus);
 136 log(-1+%i)$
 137
 138 limit(log(-1 + %i*signum(x)),x,0);
 139 ind$
 140
 141 limit(log(-51 + %i* sin(x)), x, 0, 'plus);
 142 log(51)+%i*%pi$
 143
 144 limit(log(-51 + %i* sin(x)), x, 0, 'minus);
 145 log(51)-%i*%pi$
 146
 147 /* End of tests associated with the fix to bug 3831 */
 148
 149 /* #3844 Wrong limit involving gamma function */
 150 limit(gamma(1/x) - x, x, 'inf);
 151 -%gamma$
 152
 153 limit(x*(gamma(1/x) - (x - %gamma)),x,inf);
 154 (%pi^2+6*%gamma^2)/12$
 155
 156 limit(x^(3/2)*(gamma(1/x) - (x - %gamma)),x,inf);
 157 inf$
 158
 159 limit(x^2*(gamma(1/x) - (x - %gamma + (6*%gamma^2+%pi^2)/(12*x))),x,inf);
 160 -((4*zeta(3)+%gamma*%pi^2+2*%gamma^3)/12)$
 161
 162 /* #3846 limit gives quotient by zero error */
 163 errcatch( limit(gamma(1/x)/gamma(x),x,0,plus));
 164 ['inf]$
 165
 166 errcatch( limit(gamma(x)/gamma(1/x),x,0,plus));
 167 [0]$
 168
 169 /* #3842 limit(atan(x),x,%i) --> error. That was determined to be a non-bug, but
 170 here are two related limit problems. */
 171  limit(atan(%i + x),x,0);
 172  'infinity$
 173
 174  limit(atan(%i - x),x,0);
 175  'infinity$
 176
 177  /* #3839 limits of asin expressions */
 178  limit(asin(3+%i*x),x,0,plus);
 179  %pi - asin(3)$
 180
 181  limit(asin(3+%i*x),x,0,minus);
 182  asin(3)$
 183
 184 /* With the default value of lhospitallim, the calculation takes about 7 seconds.
 185    Arguably, it's so slow, it's a bug. So we'll locally set lhospitallim to 1.*/
 186  block([lhospitallim : 1], limit(rectform(asin(3+%i*x)),x,0,'plus));
 187  -((%i*log(17-3*2^(5/2))-%pi)/2)$
 188
 189 block([lhospitallim : 1], limit(rectform(asin(3+%i*x)),x,0,'minus));
 190 %pi/2-%i*log(2^(3/2)+3)$
 191
 192 /* #3838 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus) --> atan(ind) */
 193 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus);
 194 ind$
 195
 196 /* #3836 limit of a log expression with essential singularity */
 197 limit(log(-2 + %i*x * sin(1/x)),x,0,plus);
 198 und$
 199
 200 /* #3824 limit of an antiderivative */
 201 (xxx : integrate((x-%i)/((x-2*%i)*(x^2+1)),x),0);
 202 0$
 203
 204 limit(rectform(xxx),x,minf);
 205 -%pi/2$
 206
 207 rectform(limit(xxx,x,minf));
 208 -%pi/2$
 209
 210 /* #3816 limit of difference of logs */
 211 (xxx : (%i*log(x^2+1))/6-(%i*log(x-2*%i))/3,0);
 212 0$
 213
 214 limit(rectform(xxx),x,minf,'plus);
 215 -%pi/3$
 216
 217 rectform(limit(xxx,x,minf,'plus));
 218 -%pi/3$
 219
 220 (remvalue(xxx),0);
 221 0$
 222
 223 /* #3592 Wrong limit */
 224 (declare(n,integer),assume(n > 0), 0);
 225 0$
 226
 227 limit((z^(2*n)-1)/(z^2-1),z,-1);
 228 n$
 229
 230 (remove(n,integer),forget(n > 0),0);
 231 0$
 232
 233 /* #3589 Stack overflow for a limit evaluation */
 234 limit((sqrt(x)-2)*log(1-sqrt(x)/2),x,4,minus);
 235 0$
 236
 237 /* #3587 Wrong limit for logarithmic function */
 238 limit(log(3-sqrt(x)),x,9,minus);
 239 minf$
 240
 241 /* #3562 integrate(1/(1+tan(x)), x, 0, %pi/2) gives complex result, should be %pi/4 */
 242 integrate(1/(1+tan(x)),x,0,%pi/2);
 243 %pi/4$
 244
 245 /* #3535 limit doesn't account for certain singularities in mexpt, log, gamma_incomplete, ... */
 246 limit(log(%i*x - 1),x,0,minus);
 247 -%i*%pi$
 248
 249 limit(log(%i*x - 1),x,0,plus);
 250 %i*%pi$
 251
 252 limit(rectform(log(%i*x - 1)),x,0,minus);
 253 -%i*%pi$
 254
 255 limit(rectform(log(%i*x - 1)),x,0,plus);
 256 %i*%pi$
 257
 258 limit(sqrt((%i-x)^2),x,0,'minus);
 259 %i$
 260
 261 limit(sqrt((%i-x)^2),x,0,'plus);
 262 -%i$
 263
 264 /* need tests for gamma_incomplete(1/2, %i*x - 1) */
 265
 266 /* #3534 integrate(x*exp(-x^2)*sin(x),x,minf,inf) gives zero */
 267 integrate(x*exp(-x^2)*sin(x),x,minf,inf);
 268 sqrt(%pi)/(2 * (%e)^(1/4))$
 269
 270 /* #3509 limits involving multiple non-finites sometimes give errors */
 271 limit(1/(zeroa+zerob));
 272 infinity$
 273
 274 limit(1/(1/inf+1/minf));
 275 infinity$
 276
 277 limit(signum(zeroa+zerob));
 278 ind$
 279
 280 /* #3483 limit apparently causes infinite loop
 281 (X : log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)/(t+1)-(t*(log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)-log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)))/(t+1)-log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)/(t+1)-(2*sqrt(t))/sqrt(t+1),0);
 282 0$
 283
 284 limit(ratsimp(X),t,1);
 285 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 286
 287 /* doesn't finish!
 288 limit(X,t,1);
 289 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 290 */
 291
 292 (remvalue(X),0);
 293 0$
 294 */
 295
 296 /* #3459 Wrong limit calculation */
 297  limit(x / (x+2^x+cos(x)),x,-inf);
 298  1$
 299
 300  /* #3415 limit doesn't check for zero coefficients in limit((a*x+1)/(a*x+2),x,inf) */
 301
 302  (assume(equal(a,0)),0);
 303  0$
 304
 305  limit((a*x+1)/(a*x+2),x,inf);
 306  1/2$
 307
 308  (forget(equal(a,0)),0);
 309  0$
 310
 311  /* #3393 limit/tlimit give wrong result */
 312  limit(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 313  1$
 314
 315 /* #3345 bug in limit -- hard to test--works OK with an assume on y*/
 316
 317 /* #3313 limit fails with domain complex --bad failure; commented out for now:
 318 block([domain : 'complex], limit((x*(4/log(x))^(2*log(x)/log(log(x)))),x,inf));
 319 */
 320
 321 /* #3279 limit incorrect with domain:complex */
 322 block([domain : 'real], limit((2^(2*x+1)+(2^x*x^100)^(3/2))/(4^x-100*2^x),x,inf));
 323 2$
 324
 325 block([domain : 'complex], limit((2^(2*x+1)+(2^x*x^100)^(3/2))/(4^x-100*2^x),x,inf));
 326 2$
 327
 328 /* #3203 limit(floor(n*x),x,0) for n > 10^8  */
 329  limit(floor((10^8 +1)*x),x,0,minus);
 330  -1$
 331
 332  /* #3153 Limits of erfc
 333  integrate(exp(-%i*ω^2*ρ^2-(%i*t^2)/(4*ρ^2)),ρ,0,inf);
 334  1/sqrt(%i/%pi)*1/(2*ω)*exp(-%i*ω*abs(t))$ */
 335
 336  limit(erfc(x*(1 + %i)), x, inf);
 337  0$
 338
 339 /* #3143 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) => inf */
 340  limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 341  infinity$
 342
 343  /* #3142 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf) => inf */
 344  limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf);
 345  0$
 346
 347 /* #3140 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) + domain:complex => stack overflow */
 348 block([domain : 'real], limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus));
 349 0$
 350
 351 /* bad failure!
 352 block([domain : 'complex], limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus));
 353 */
 354
 355 /* #3137 gruntz(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0, plus) => stack overflow */
 356 limit(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0, plus);
 357 sqrt(2)$
 358
 359 gruntz(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0, plus);
 360 sqrt(2)$
 361
 362 /* #3136 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 2*x), x, sqrt(2), minus) => atan2(0,0) undefined */
 363 limit(atan2(x^2 - 2, x^3 - 2*x), x, sqrt(2), minus);
 364 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 365
 366 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 2*x), x, sqrt(2), minus);
 367 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 368
 369 /* #3135 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 3*x), x, sqrt(2), minus) incorrect */
 370 limit(atan2(x^2 - 2, x^3 - 3*x), x, sqrt(2), minus);
 371 -%pi$
 372
 373 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 3*x), x, sqrt(2), minus);
 374 -%pi$
 375
 376 /* #3280 gruntz incorrect limit */
 377 gruntz((2^(2*x+1)+(2^x*x^100)^(3/2))/(4^x-100*2^x),x,inf);
 378 2$
 379
 380 /* #3055 limit(exp((log(log(x + exp(log(x)*log(log(x)))))) / (log(log(log(exp(x) + x + log(x)))))), x, inf) */
 381 limit(exp((log(log(x + exp(log(x)*log(log(x)))))) / (log(log(log(exp(x) + x + log(x)))))), x, inf);
 382 %e$
 383
 384 /* #3054 limit(exp(exp(2*log(x**5 + x)*log(log(x)))) / exp(exp(10*log(x)*log(log(x)))), x, inf) */
 385 /*
 386 limit(exp(exp(2*log(x**5 + x)*log(log(x)))) / exp(exp(10*log(x)*log(log(x)))), x, inf)$
 387 xxx$
 388 */
 389
 390 /* #3053 limit with branch cuts */
 391 block([domain : 'real], limit(sqrt(-1 + %i*x), x, 0,minus));
 392 %i$
 393
 394 block([domain : 'real], limit(sqrt(-1 - %i*x), x, 0,plus));
 395 -%i$
 396
 397 block([domain : 'complex], limit(sqrt(-1 + %i*x), x, 0,minus));
 398 %i$
 399
 400 block([domain : 'complex], limit(sqrt(-1 - %i*x), x, 0,plus));
 401 -%i$
 402
 403 /*#3051 limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf) with domain: complex */
 404 block([domain : 'real],limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf));
 405 4$
 406
 407 block([domain : 'complex],limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf));
 408 4$
 409
 410 /* #3041 limit(inf*(zeroa+inf)) => und, should be inf */
 411  limit(inf*(zeroa+inf));
 412  inf$
 413
 414  /* #2972 Wrong limits involving logs */
 415  limit( 27^(log(n)/log(3))/n^3, n, inf);
 416  1$
 417
 418  limit( 27^(log(n)/log(3)+1)/n^3, n, inf);
 419  27$
 420
 421  limit( ((27^(log(n)/log(3)+1)-1)/26+n-log(n)/log(3)-1)/n^3,n,inf);
 422  27/26$
 423
 424  /* #2953 limit loops endlessly */
 425  limit((a/x^b + (1-a)/y^b)^(-1/b),b,0);
 426  %e^((1-a)*log(y)+a*log(x))$
 427
 428  /* #2899 Limit that once worked is broken */
 429  limit((1+sqrt(n+1))^(-n-1)/(1+sqrt(n))^(-n),n,inf);
 430  0$
 431
 432  /* #2898 limit of continuous --> und */
 433  (e : log(x)^2+2*%gamma*log(x)-%pi^2/6+%gamma^2,0);
 434  0$
 435
 436  tlimit(e,x,1);
 437  -((%pi^2-6*%gamma^2)/6)$
 438
 439  limit(e,x,1);
 440  %gamma^2-%pi^2/6$
 441
 442 /* #2877 Limits behave incorrectly when applied to derivatives */
 443 (dg: diff(g(x), x),0);
 444 0$
 445
 446 (lim: limit(dg, x, 0),0);
 447 0$
 448
 449 (limit(lim, x, 0),0);
 450 0$
 451
 452 limit(lim, a, 0);
 453 limit('diff(g(x),x,1),x,0)$
 454
 455 /* #2849 limit(ind*XXX) and limit(ind/XXX) gives errors rather than results */
 456 map('limit, [ind*inf, inf/ind,ind*minf,minf/ind,ind*inf,ind/inf,ind*minf,ind/minf]);
 457 [und,und,und,und,und,und,und,und]$
 458
 459 limit(ind+1);
 460 ind$
 461
 462 limit(ind^2);
 463 ind$
 464
 465 limit(1/ind);
 466 und$
 467
 468 /* #2847 limits of powers of constants */
 469 limit((1+%i)^n,n,inf);
 470 infinity$
 471
 472 limit((5+%i)^n,n,inf);
 473 infinity$
 474
 475 /*#2653 Bug for limit */
 476 limit((atan(x)/x)^(1/(x^2)), x, 0);
 477 %e^(-1/3)$
 478
 479 /* #2388 wrong limit */
 480 limit(((9*x)^(1/3)-3)/(sqrt(3+x)-sqrt(2*x)),x,3);
 481 -(2*sqrt(6)/3)$
 482
 483 /* #2366 limit of gamma_incomplete */
 484  limit(gamma_incomplete(sin(x),cos(x)),x,inf);
 485  und$
 486
 487 /* #2187 Inaccurate limit evaluation */
 488 is(0 # limit(sin(x)/(x-a),x,0));
 489 true$
 490
 491 /* #1822 limit(inf+minf) should give und  */
 492 limit(inf+minf);
 493 und$
 494
 495 limit(x+minf,x,inf);
 496 und$
 497
 498 limit(x+inf,x,minf);
 499 und$
 500
 501 /* #1804 limit of x*floor(1/x) as x goes to 0 */
 502 limit(x*floor(1/x),x,0);
 503 1$
 504
 505 /* #1743 limit of trig expression */
 506  (e : (2*sin(x)*z+cos(x)*sin(2*x)-2*cos(x)^2*sin(x))/(z^2+(-sin(2*x)^2-4*sin(x)^2-cos(x)^2-1)*z+sin(2*x)^2-4*cos(x)*sin(x)*sin(2*x)+4*cos(x)^2*sin(x)^2),0);
 507  0$
 508
 509  limit(e,z,0);
 510  (4*sin(x))/(cos(4*x)+3*cos(2*x)-8)$
 511
 512  (remvalue(e,dg,lim),0);
 513  0$
 514
 515 limit(atan2(sin(x),cos(x)),x,0);
 516 0$
 517
 518 limit(atan2(cos(x),sin(x)),x,0);
 519 %pi/2$
 520
 521 limit(atan2(cos(x),cos(x)),x,0);
 522 %pi/4$
 523
 524 limit(atan2(1/x^2,sin(1/x)),x,0);
 525 %pi/2$
 526
 527 limit(atan2(sin(x) + x, cos(x) + x),x,inf);
 528 %pi/4$
 529
 530 limit(atan2(sin(x) - x, cos(x) + x),x,inf);
 531 -(%pi/4)$
 532
 533 limit(atan2(sin(x) - x, cos(x) - x),x,inf);
 534 -3*%pi/4$
 535
 536 limit(atan2(sin(x) - x, cos(x) + x),x,inf);
 537 -%pi/4$
 538
 539 limit(atan2(cos(x),x),x,inf);
 540 0$
 541
 542 limit(atan2(sin(x),x),x,minf);
 543 ind$
 544
 545 limit(atan2(sin(x)/x,x),x,minf);
 546 ind$
 547
 548 limit(atan2(exp(x),x),x,minf);
 549 %pi$
 550
 551 limit(atan2(-exp(x),x),x,minf);
 552 -%pi$
 553
 554 /* #3794 assuming zerob < 0 & zeroa > 0 gives bugs for some limits */
 555 limit(atan2(x^2-2,x^3-2*x),x,sqrt(2),minus);
 556 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 557
 558 (assume(zeroa > 0, zerob < 0),0);
 559 0$
 560
 561 limit(atan2(x^2-2,x^3-2*x),x,sqrt(2),minus);
 562 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 563
 564 (forget(zeroa > 0, zerob < 0),0);
 565 0$
 566
 567 /* #3866 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus) --> infinity */
 568
 569 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus);
 570 minf$
 571
 572 limit(log(sinh(x)),x,0,'minus);
 573 infinity$
 574
 575 limit(log(sinh(x)),x,0);
 576 infinity$
 577
 578 /* unit_step expressions */
 579
 580 limit(unit_step(x),x,minf);
 581 0$
 582
 583 limit(unit_step(x),x,-%pi);
 584 0$
 585
 586 limit(unit_step(x),x,%pi);
 587 1$
 588
 589 limit(unit_step(x),x,0,'minus);
 590 0$
 591
 592 limit(unit_step(x),x,0,'plus);
 593 1$
 594
 595 limit(23*unit_step(x),x,0,'minus);
 596 0$
 597
 598 limit(23*unit_step(x),x,0,'plus);
 599 23$
 600
 601 limit(23*unit_step(x) + 107,x,0,'minus);
 602 107$
 603
 604 limit(23*unit_step(x) + 107,x,0,'plus);
 605 130$
 606
 607 limit(unit_step(sin(x)),x,0);
 608 ind$
 609
 610 /* limits of conjugate expressions */
 611 limit(conjugate(sqrt(-1+%i*sin(x))),x,0,'minus);
 612 conjugate(sqrt(-1))$
 613
 614 limit(conjugate(sqrt(-1+%i*sin(x))),x,0,'plus);
 615 conjugate(sqrt(-1))$
 616
 617 limit(conjugate(sqrt(-1+%i*sin(x))),x,0);
 618 conjugate(sqrt(-1))$
 619
 620 (assume(a > 0), limit(conjugate(sqrt(a+%i*sin(x))),x,0));
 621 conjugate(sqrt(a))$
 622
 623 limit(conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'minus);
 624 conjugate(sqrt(-a))$
 625
 626 limit(conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'plus);
 627 -%i*sqrt(a)$
 628
 629 limit(107+93*conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'minus);
 630 107 + 93*conjugate(sqrt(-a))$
 631
 632 limit(107+93*conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'plus);
 633 107 + 93*conjugate(sqrt(-a))$
 634
 635 (forget(a>0),0);
 636 0$
 637 /* #3865 crash from taking limit of factorial(x) + 1 */
 638 limit(factorial(x) + 1, x, 0);
 639 2$
 640
 641 limit(atan2(0,1-3^x),x,0,'plus);
 642 %pi$
 643
 644 limit(atan2(0,1-3^x),x,0);
 645 ind$
 646
 647 /* additional atan tests */
 648 limit(atan(x),x,-4);
 649 -atan(4)$
 650
 651 limit(atan(x),x,0,minus);
 652 0$
 653
 654 limit(atan(x),x,0,plus);
 655 0$
 656
 657 limit(atan(x),x,-2.0);
 658 -1.10714871779409$
 659
 660 block([fpprec : 32], float_approx_equal(limit(atan(x),x,bfloat(sqrt(2))), atan(bfloat(sqrt(2)))));
 661 true$
 662
 663 is(limit(atan(x),x,float(sqrt(2))) = atan(float(sqrt(2))));
 664 true$
 665
 666 limit(atan(sin(x)),x,inf);
 667 ind$
 668
 669 limit(atan(x),x,minf);
 670 -(%pi/2)$
 671
 672 limit(atan(x),x,inf);
 673 %pi/2$
 674
 675 limit(atan(x^2),x,inf);
 676 %pi/2$
 677
 678 limit(atan(1/x),x,0);
 679 ind$
 680
 681 /* #3864 limit of atan2 expression */
 682 limit(atan2(0,1-3^x),x,0,'minus);
 683 0$
 684
 685 /* #3895 limit */
 686 limit((x^x-a^a)/(x-a), x, a);
 687 a^a*(log(a)+1)$
 688
 689 limit((x^x-2^2)/(x-2), x, 2);
 690 4*log(2)+4$
 691
 692 tlimit((x^x-a^a)/(x-a), x, a);
 693 a^a*log(a)+a^a$
 694
 695 /* #3844 Wrong limit involving gamma function */
 696 limit(gamma(1/x) - x, x, inf);
 697 -%gamma$
 698
 699 /* #3838 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus) --> atan(ind) */
 700 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus);
 701 ind$
 702
 703 /* #3483 limit apparently causes infinite loop  */
 704 (X : log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)/(t+1)-(t*(log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)-log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)))/(t+1)-log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)/(t+1)-(2*sqrt(t))/sqrt(t+1),0);
 705 0$
 706
 707 limit(X,t,1,'minus);
 708 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 709
 710 limit(X,t,1,'plus);
 711 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 712
 713 limit(X,t,1);
 714 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 715
 716 tlimit(X,t,1);
 717 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 718
 719 block([algebraic : true], limit(ratsimp(X),t,1));
 720 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 721
 722 (remvalue(X),0);
 723 0$
 724
 725 /* #2953 limit loops endlessly */
 726 limit((a/x^b + (1-a)/y^b)^(-1/b),b,0);
 727 %e^((1-a)*log(y)+a*log(x))$
 728
 729 /* #2706 Limit runs forever, never returning (simplified bug) */
 730 block([ans1,ans2, ans3],
 731   assume(w3 < 0),
 732   ans1 : limit((%e^(-sqrt(-zzz))*(w3*sqrt(-zzz)*%e^(2*sqrt(-zzz))-w3*sqrt(-zzz)))/(2*zzz),zzz,0),
 733   forget(w3 < 0),
 734   assume(equal(w3,0)),
 735   ans2 : limit((%e^(-sqrt(-zzz))*(w3*sqrt(-zzz)*%e^(2*sqrt(-zzz))-w3*sqrt(-zzz)))/(2*zzz),zzz,0),
 736   forget(equal(w3,0)),
 737   assume(w3>0),
 738   ans3 : limit((%e^(-sqrt(-zzz))*(w3*sqrt(-zzz)*%e^(2*sqrt(-zzz))-w3*sqrt(-zzz)))/(2*zzz),zzz,0),
 739   forget(w3>0),
 740   [ans1,ans2, ans3]);
 741   [-w3,0,-w3]$
 742
 743 /* #2388 wrong limit */
 744 X : limit(((9*x)^(1/3)-3)/(sqrt(3+x)-sqrt(2*x)),x,3);
 745 -(2*sqrt(6))/3$
 746
 747 radcan(X);
 748 -(2^(3/2)/sqrt(3))$
 749 /* #3861 function simplimsubst problems */
 750 limit(log(-1+%i*x) * ceiling(a),x,0,minus);
 751 -%i*%pi*ceiling(a)$
 752
 753 limit(log(-1+%i*x) * a,x,0,minus);
 754 -%i*%pi*a$
 755
 756 /* #484 limit(x=0,x,0) wrong */
 757 is(equal(0=0, limit(x=0,x,0)));
 758 false$
 759
 760 is(equal(0<0, limit(x<0,x,0)));
 761 false$
 762
 763 is(equal(0#0, limit(x#0,x,0)));
 764 false$
 765
 766 limit(atan(x),x,a);
 767 atan(a)$
 768
 769 block([ans],declare(z,complex), ans : limit(atan(x),x,z), remove(z,complex),ans);
 770 atan(z)$
 771
 772 limit(fib(x+1)/fib(x),x,inf);
 773 %phi$
 774
 775 limit(fib(x+2)/fib(x),x,inf);
 776 %phi+1$
 777
 778 /* #4029 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0) --> ind */
 779 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2,x,0);
 780 1$
 781
 782 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0);
 783 2$
 784
 785 block([ans], assume(a > 0),ans : limit(sin(x)^(a),x,inf),forget(a > 0), ans);
 786 ind$
 787
 788 block([ans], assume(a > 0),ans : limit(sin(x)^(-a),x,inf),forget(a > 0), ans);
 789 und$
 790
 791 limit((2+sin(x))^(-9),x,inf);
 792 ind$
 793
 794 limit((2+sin(x))^(9),x,inf);
 795 ind$
 796
 797 /* #4099 gruntz called on algebraic */
 798 gruntz(((9*x)^(1/3)-3)/(sqrt(3+x)-sqrt(2*x)),x,3,plus);
 799 (-2^(3/2)/sqrt(3))$
 800
 801 /* This bug is mentioned in the tlimit source code, but I don't think it's reported.*/
 802 tlimit(2^n/n^5,n,inf);
 803 inf$
 804
 805 /* #3927 tlimit(exp(x)/x^5,x,inf) = 0 */
 806 tlimit(exp(x)/x^5,x,inf);
 807 inf$
 808
 809 block([lhospitallim : 8], tlimit(exp(x)/x^5,x,inf));
 810 inf$
 811
 812 block([lhospitallim : 1], tlimit(exp(x)/x^5,x,inf));
 813 inf$
 814
 815 block([lhospitallim : 1], tlimit(exp(x)/x^46,x,inf));
 816 inf$
 817
 818 block([lhospitallim : 1], tlimit(exp(x)/x^107,x,inf));
 819 inf$
 820
 821 /* See #3932 inconsistent limit results with trig */
 822 (QQ: (-rr*csc(rr)^2)+%pi*csc(rr)^2+cot(rr)-%pi/rr^2,0);
 823 0$
 824
 825 limit(QQ,rr,0);
 826 %pi/3$
 827
 828 limit(trigsimp(QQ),rr,0);
 829 %pi/3$
 830
 831 limit(map('trigsimp,QQ),rr,0);
 832 %pi/3$
 833
 834 (remvalue(QQ),0);
 835 0$
 836
 837 /* #3903 A limit toward infinity gives a nounform */
 838 limit((sin(x)+x)/sqrt(x*(2*sin(x)+2*cos(x))+2*x^2+1),x,inf);
 839 1/sqrt(2)$
 840
 841 tlimit((sin(x)+x)/sqrt(x*(2*sin(x)+2*cos(x))+2*x^2+1),x,inf);
 842 1/sqrt(2)$
 843
 844 gruntz((sin(x)+x)/sqrt(x*(2*sin(x)+2*cos(x))+2*x^2+1),x,inf);
 845 1/sqrt(2)$
 846
 847 /* #3826 limit returns temp variable expression */
 848
 849 block([ans], assume(q > 0), ans : limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf), forget(q > 0),ans);
 850 1/a$
 851
 852 block([ans], assume(q > 0), ans : tlimit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf), forget(q > 0),ans);
 853 1/a$
 854
 855 block([ans], assume(q > 0), ans : gruntz(x^q/(a*x^q- 1),x,inf), forget(q > 0),ans);
 856 1/a$
 857
 858 /* #3393 limit/tlimit give wrong result */
 859 limit(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 860 1$
 861
 862 tlimit(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 863 1$
 864
 865 gruntz(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 866 1$
 867
 868 /* #2561 limit(log(x^2),x,-20) gives 2*log(-20) */
 869 block([logexpand : false], limit(log(x^2),x,-20));
 870 log(400)$
 871
 872 block([logexpand : false], tlimit(log(x^2),x,-20));
 873 log(400)$
 874
 875 block([logexpand : false], gruntz(log(x^2),x,-20,minus));
 876 log(400)$
 877
 878 /* #2389 incorect limit
 879 Commented out for now becuase it calls asksign when it should not
 880 block([ans],
 881   assume(k>2),
 882   declare(k,integer),
 883   ans : limit(((t+1)^k-t^k-k*t^(k-1)-(k*(k-1)/2)*t^(k-2))/t^(k-3),t,inf),
 884   forget(k>2),
 885   forget(k,integer),
 886   ans);
 887   */
 888
 889 /* #2273 limit gives the wrong answer
 890   (This bug was fixed long ago, but I'm not sure there was a rtest for it.) */
 891  limit((sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2)))/
 892     (sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)),t,inf);
 893  1$
 894
 895  tlimit((sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2)))/
 896     (sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)),t,inf);
 897  1$
 898
 899  gruntz((sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2)))/
 900     (sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)),t,inf);
 901  1$
 902
 903 /* #4109 Limits of polylogarithms */
 904 limit(li[2](x)/log(-x)^2,x,inf);
 905 -(1/2)$
 906
 907 limit(li[3](x)/log(-x)^3,x,inf);
 908 -(1/6)$
 909
 910  limit(li[2](x),x,%e/2);
 911  li[2](%e/2)$
 912
 913  /* #4108 limit code & nondefault value of taylor_logexpand */
 914  block([taylor_logexpand : false], limit((1/%pi*(atan(n/%pi)+%pi/2))^n,n,inf));
 915  %e^-1$
 916
 917  block([taylor_logexpand : true], limit((1/%pi*(atan(n/%pi)+%pi/2))^n,n,inf));
 918  %e^-1$
 919
 920  /* #4103 limit(acot(x),x,0) should be IND (not UND) */
 921  limit(acot(x),x,0);
 922  ind$
 923
 924  /* #4087 limit((%i+1)^a/(2^(a/2)),a,inf) => 0 (wrong) */
 925  limit((%i+1)^a*2^(-a/2),a,inf);
 926  ind$
 927
 928  limit((%i+1)^(2*a)*2^-a,a,inf);
 929  ind$
 930
 931 /* #4085 limit((2-%i)^a/a!,a,inf) */
 932  errcatch(limit((2-%i)^a/a!,a,inf));
 933  [0]$
 934
 935  /* #4081 limit((2+sin(x))^(-2),x,inf) --> und */
 936  limit((2+sin(x))^(-2),x,inf);
 937  ind$
 938
 939  /* #4073 limit(log(sin(x)+9),x,inf) --> und could be ind */
 940  limit(log(sin(x)+9),x,inf);
 941  ind$
 942
 943  /*#4029 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0) --> ind */
 944  limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2,x,0);
 945  1$
 946
 947  limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0);
 948  2$
 949
 950  /* #4024 integrate(x*sin(x)*exp(-x^2),x,0, inf) */
 951   integrate(x*sin(x)*exp(-x^2),x,minf, inf);
 952   (%e^(-1/4)*sqrt(%pi))/2$
 953
 954 /* #4021 limit(inf^(2+1/inf)) should be inf */
 955 limit(inf^(2+1/inf));
 956 inf$
 957
 958 /* #4020 various limit bugs with exp(%i*x) */
 959 limit(x*exp(%i*x),x,inf);
 960 infinity$
 961
 962 limit(x+x*exp(%i*x),x,inf);
 963 infinity$
 964
 965 limit(1+x*exp(%i*x),x,inf);
 966 infinity$
 967
 968 limit(sin(x) + x*cos(x),x,inf);
 969 und$
 970
 971 /* #4004 a cosine of arcsin limit that is evaluated incorrectly */
 972 block([ans],
 973    declare(m, integer),
 974    assume(equal(cos((4 * %pi * m + %pi)/2), 0)),
 975    ans : limit(cos((4*m + 1) * asin(1/sqrt(x^2 + 1)))/abs(x), x, 0),
 976    remove(m,integer),
 977    forget(equal(cos((4 * %pi * m + %pi)/2), 0)),
 978    ans);
 979 4*m + 1$
 980
 981 /* Also mentioned in #4004 */
 982 block([ans],
 983   assume(equal(a,0)),
 984   ans : limit(a/x + 1, x, 0),
 985   forget(equal(a,0)),
 986   ans);
 987 1$
 988
 989 block([ans],
 990   assume(equal(a,0)),
 991   ans : limit(a*x + 1, x, inf),
 992   forget(equal(a,0)),
 993   ans);
 994 1$
 995
 996 block([ans],
 997   assume(equal(a,0)),
 998   ans : limit((2*x + a)/(x + a), x, 0),
 999   forget(equal(a,0)),
1000   ans);
1001 2$
1002
1003 /* #4003 limit bug with on-default values for ratsimpexpons and ratfac */
1004 block([ratsimpexpons : true, ratfac : true],
1005   limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf));
1006 4$
1007
1008 /* #4001 limit(sin(x)/x + sin(x) + cos(x),x,inf) = 0 */
1009 limit(sin(x)/x + sin(x) + cos(x),x,inf);
1010 ind$
1011
1012 /* Did any facts or contexts leak?*/
1013 facts();
1014 []$
1015
1016 contexts;
1017 [initial,global]$
1018