tests/rtest_limit.mac

   1 /*
   2   A collection of tests to stress $limit and friends
   3 */
   4 (kill(all),0);
   5 0$
   6
   7 /*
   8   Tests to check how limit deals with weird combinations of
   9   infinitesimals and infinities. See bug 2563
  10 */
  11 limit(zeroa*inf);
  12 und$
  13 limit(zerob^zerob);
  14 und$
  15 limit(zerob^zeroa);
  16 und$
  17
  18 /* Tests from Bug 1036900 */
  19 /* These bugs were fixed in limit.lisp rev 1.7, 2004/10/04 */
  20 limit(7^n/8^n,n,inf);
  21 0$
  22 limit(7^(n^2)/8^n,n,inf);
  23 inf$
  24 limit((10^n+9^n+8^n)^(1/n),n,inf);
  25 10$
  26 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
  27 1$
  28
  29 /* Test from Bug 1052308 */
  30 /* Fixed in limit.lisp rev 1.11 */
  31 assume(equal(zz,0));
  32 [equal(zz,0)]$
  33 limit(erf(nn*zz), nn, inf);
  34 0$
  35 limit(tanh(nn*zz), nn, inf);
  36 0$
  37 limit(nn^zz, nn, 0);
  38 1$
  39
  40 /* Bug 1281737, fixed in limit.lisp rev 1.15 */
  41 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
  42 %e*%pi/2;
  43
  44 /* Bug 626697 */
  45 limit(atan2(y,x),y,minf);
  46 -%pi/2;
  47
  48 /* Bug 1548643 */
  49 limit(abs(sqrt(1-1/x)-1),x,0);
  50 inf;
  51
  52 /* Bug 671574 */
  53 limit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
  54 %pi/2;
  55 limit(x*atan(x)-log(x),x,inf);
  56 inf;
  57
  58 /* Bug 1152668 */
  59 numer:true;
  60 true;
  61 limit(sin(x)/x,x,0);
  62 1;
  63 limit(sin(x)/x,x,0,plus);
  64 1;
  65 limit(sin(x)/x,x,0,minus);
  66 1;
  67 numer:false;
  68 false;
  69
  70 /* #2504 wrong answer for simple limit, limit(sin(x)+1/x, x, inf)=0 */
  71 limit(1/x + sin(x), x, inf);
  72 ind;
  73
  74 /* Bug 593344 */
  75 limit(abs(infinity));
  76 inf;
  77
  78 /* Bug 1469411 */
  79 limit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
  80 0;
  81
  82 /*
  83  * From bug 535363, but this isn't really fixed.  The fix for 1469411
  84  * broke this test, so we're adding it to make sure we don't break it.
  85  *
  86 */
  87
  88 limit(exp(-1/x)/x^4,x,0,'plus);
  89 0;
  90
  91 /* Bug 1594330 */
  92 limit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
  93 -1;
  94
  95 limit((atan(x)-(%pi/2))/(sin(10/x)),x,inf);
  96 -1/10;
  97
  98 /* [ 1498047 ] limit(a/n,n,inf); */
  99 limit(a/n, n, inf);
 100 0;
 101
 102 /*
 103  * [ 1646761 ] limit atanh @ -1 / 1 all wrong...
 104  */
 105 /* Limit at 1 is (complex) infinity).  But one-sided limit can be inf (real infinity). */
 106 limit(atanh(x),x,1);
 107 infinity;
 108 limit(atanh(x),x,1,'minus);
 109 inf;
 110 limit(atanh(x),x,-1);
 111 infinity;
 112 limit(atanh(x),x,-1,'plus);
 113 minf;
 114
 115 /* There shouldn't be an error message printed out here.  Need to look at output to see. */
 116 limit(2*atanh(x),x,1);
 117 infinity;
 118 limit(2*atanh(x),x,1,'minus);
 119 inf;
 120
 121 limit(atanh(a-1)-log(a)/2,a,0,'plus),logarc:true;
 122 -log(2)/2;
 123
 124 /* [ 1606731 ] limit of algebraic when algebraic : true */
 125 limit(x*(sqrt(1+x^2)-x),x,inf), algebraic : true, gcd : subres;
 126 1/2;
 127
 128 /* [ 1097982 ] limit(x/(x^(log(x)))); returns wrong answer */
 129 limit(x/(x^log(x)), x, inf);
 130 0;
 131
 132 /* [ 1039965 ] limit(4^n/2^(2*n),n,inf) is wrong */
 133 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
 134 1;
 135
 136 /* [ 1731127 ] limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf) => 0 (not inf) */
 137 limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf);
 138 inf;
 139
 140 /* [ 1593083 ] tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf) gives error */
 141 tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
 142 0;
 143
 144 /* [ 1786774 ] tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf) => Error */
 145 tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf);
 146 5;
 147
 148 /* [ 1603900 ] taylor/tlimit (4^n+1)/2^(2*n) internal error */
 149 tlimit((4^n+1)/2^(2*n),n,inf);
 150 1;
 151
 152 /* [ 1281736 ] limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf) - wrong result */
 153 limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf);
 154 1;
 155
 156 /* [ 1036901 ] tlimit(7^(n^2)/8^n,n,inf); wrong result */
 157 tlimit(7^(n^2)/8^n, n, inf);
 158 inf;
 159
 160 /* [ 1665657 ] limit fails to find easy limit */
 161 limit(x/(x-1)-1/log(x),x,1,plus);
 162 1/2;
 163
 164 /* [ 611411 ] limit asks sign of IND */
 165 limit(abs(sin(x)),x,inf);
 166 ind;
 167
 168 /* [ 1629723 ] bug in limit, asks sign of IND, encountered in integrator */
 169 limit(abs(sin(x))/x, x, inf);
 170 0;
 171
 172 /* [ 782099 ] limit returns expression in IND */
 173 limit(sinh(exp(%i*x)),x,inf);
 174 ind;
 175
 176 /* #3866 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus) --> infinity */
 177 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus);
 178 minf;
 179
 180 /* [ 1528607 ] limit(a^x,x,inf) can't solve for a : abs(a) < 1 */
 181 limit((-2/3)^x,x,inf);
 182 0;
 183
 184 limit(signum(x), x, 0, plus);
 185 1;
 186
 187 limit(signum(x), x, 0, minus);
 188 -1;
 189
 190 limit((-1/%pi)^x,x,inf);
 191 0;
 192
 193 tlimit(exp(%i*t), t, inf);
 194 ind;
 195
 196 tlimit(exp(-t+%i*t),t,inf);
 197 0;
 198
 199 /* [ 1811503 ] computing a wrong result */
 200 limit((((1+1/x)^(x^2))+1)^(1/x),x,inf);
 201 %e;
 202
 203 /* [ 1760232 ] limit(1/n * n!^(1/n), n, inf); */
 204 limit(1/n * n!^(1/n), n, inf);
 205 %e^-1;
 206
 207 /* #3681 limit(n^n/(n^n+(n-1)^n),n,inf) wrong */
 208 limit(n^n/(n^n+(n-1)^n), n, inf);
 209 %e/(%e+1);
 210
 211 /* #3682 limit(n^(n-1)/(n^n+(n-1)^n),n,inf) gives Lisp error */
 212 limit(n^(n-1)/(n^n+(n-1)^n),n,inf);
 213 0;
 214
 215 /* Apparently wrong limit with factorial - ID: 3198530 */
 216 limit(1/(2+1/factorial(n)),n,inf);
 217 1/2;
 218
 219 limit(t*(erf((t))-1),t,inf);
 220 0;
 221
 222 /* #3153 Limits of erfc */
 223 limit(erfc(x*(1 + %i)), x, inf);
 224 0;
 225
 226 limit(erfc(x*(1 + %i)), x, minf);
 227 2;
 228
 229 limit(exp(x)*(sin(1/x+exp(-x))-sin(1/x+exp(-x^2))), x, inf);
 230 1;
 231
 232 /* it would be nice to handle this someday
 233   limit(n - exp(psi[0](n)), n, inf);
 234   1/2;
 235 */
 236
 237 limit(x*gamma(x), x, 0);
 238 1;
 239
 240 /* [ 744679 ] limit overflows memory? */
 241 (assume(a>1), limit((a^(1/n)+1)^n/2^n, n, inf));
 242 'sqrt(a);
 243
 244 /* [ 702512 ] limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf) =&gt; UND */
 245 limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf);
 246 1;
 247
 248 /* [ 923407 ] limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0) wrong */
 249 limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0);
 250 1;
 251
 252 /* [ 1102908 ] limit/atan/exp returns complex expr with wrong principal val */
 253 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
 254 %e*%pi/2;
 255
 256 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, minus);
 257 3;
 258
 259 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, plus);
 260 5;
 261
 262 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0);
 263 und;
 264
 265 /* [ 1852415 ] limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf) = 0 */
 266 limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf);
 267 1;
 268
 269 /* [ 1515712 ] tlimit (x*atan(x)/(x+1),x,inf) => 3 %pi/2, etc */
 270 tlimit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
 271 %pi/2;
 272
 273 tlimit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
 274 -1;
 275
 276 tlimit(atan(x^-1), x, 0, minus);
 277 -%pi/2;
 278
 279 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 280 (assume(c>0), limit(((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf));
 281 %e^(-1);
 282
 283 /* [ 1103515 ] limit(atan2(x,-1),x,0) wrong */
 284 limit(atan2(x,-1), x, 0, minus);
 285 -%pi;
 286
 287 limit(atan2(x,-1), x, 0, plus);
 288 %pi;
 289
 290 limit(atan2(x,-1), x, 0);
 291 und;
 292 /* ideally should be ind */
 293
 294 /* limit of atan2 - ID: 3539699 */
 295 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), minus);
 296 -%pi;
 297
 298 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), plus);
 299 %pi;
 300
 301 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 302 atan(1/sqrt(2))-%pi;
 303
 304 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 305 atan(1/sqrt(2));
 306
 307 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 308 %pi-atan(1/sqrt(2));
 309
 310 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 311 -atan(1/sqrt(2));
 312
 313 /* #3864 limit of atan2 expression */
 314 limit(atan2(0,1-3^x),x,0);
 315 und;
 316
 317 limit(floor(x), x, 5, minus);
 318 4;
 319
 320 limit(floor(x), x, 5, plus);
 321 5;
 322
 323 limit(ceiling(x), x, 5, minus);
 324 5;
 325
 326 limit(ceiling(x), x, 5, plus);
 327 6;
 328
 329 limit(round(x), x, 5/2, minus);
 330 2;
 331
 332 limit(round(x), x, 5/2, plus);
 333 3;
 334
 335 limit(floor(sin(x)), x, 0, minus);
 336 -1;
 337
 338 /* #3616 limit with floor problems */
 339 limit(floor(atan(x)),x,1);
 340 0;
 341
 342 limit(ceiling(cos(x)),x,0);
 343 1;
 344
 345 limit(floor(cos(x)),x,0);
 346 0;
 347
 348 limit(ceiling(cos(x)^2),x,0);
 349 1;
 350
 351 /* [ 2914296 ] Limit gets Maxima stuck */
 352 /* caused blow-up in behavior-by-diff with loop up to 5th derivative */
 353 limit( (log(1+x^2)-2+2*cos(x))/((sin(x))^2+2*sqrt(1-x^2)-2),x,0);
 354 5/7;
 355
 356 /* [ 1587235 ] limit(floor(x),x,1) wrong */
 357 limit(floor(x),x,0);
 358 und;
 359
 360 /* [ 1885377 ] wrong limit evaluation in 5.14.0 */
 361 limit((3/4)^(5*n+1), n, inf);
 362 0;
 363
 364 limit(-%e^x/x, x, inf);
 365 minf;
 366
 367 /* [ 2083561 ] Limit of the Wallis product */
 368 limit((%pi*4^N*N!^2)/(2*2^(2*N)*gamma(N+1/2)*gamma(N+3/2)), N, inf);
 369 %pi/2;
 370
 371 /* wrong limit(log(gamma(x+1))/x,x,0) - ID: 2727078 */
 372 limit(log(gamma(x+1))/x, x, 0);
 373 -%gamma;
 374
 375 /* log has a branch cut on negative real axis */
 376 limit(log(-1+x*%i), x, 0, plus);
 377 %i*%pi;
 378
 379 limit(log(-1+x*%i), x, 0, minus);
 380 -%i*%pi;
 381
 382 limit((log(y+h)-log(y))/h,h,0,plus);
 383 1/y;
 384
 385 /* Bug 3587 */
 386 limit(log(3-sqrt(x)),x,9,minus);
 387 minf;
 388
 389 /* Bug 3589 */
 390 limit((sqrt(x)-2)*log(1-sqrt(x)/2),x,4,minus);
 391 0;
 392
 393 /* Bug 3831 */
 394 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1);
 395 -log(2)/2;
 396
 397 /* limit of incomplete gamma */
 398 /* function simplim%gamma_incomplete in gamma.lisp */
 399
 400 /* sin(x^2)/(x^2) improper integral incorrect? - ID: 3397562 */
 401 limit( gamma_incomplete(-1/2, -%i*x^2), x, inf);
 402 0;
 403
 404 /* should be complex infinity */
 405 limit( gamma_incomplete(2, -%i*x), x, inf);
 406 'limit(gamma_incomplete(2,-%i*x),x,inf);
 407
 408 /* Error integrating exp(-x)*sinh(sqrt(x)) with domain: complex - ID: 3529144 */
 409 /* need taylor expansion of gamma_incomplete(1/2, x) at x=0 */
 410 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 411                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, minus),domain:complex;
 412 sqrt(%pi);
 413
 414 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 415                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, plus),domain:complex;
 416 -sqrt(%pi);
 417
 418 /* [ 635606 ] limit(abs(log(x))) internal error, UND */
 419 limit(abs(log(x)), x, 0);
 420 inf;
 421
 422 limit(exp(-x)*(x*sin(x)+cos(x)), x, inf);
 423 0;
 424
 425 /* tex(t[1]) shouldn't change t to true */
 426 tex (t[1], false);
 427 "$$t_{1}$$
 428 "; /* tex output contains embedded newline */
 429
 430 /* tex(x[1]^2) shouldn't get confused by debug info in expression CAR */
 431 (foo : x[1]^2, tex (foo, false));
 432 "$$x_{1}^2$$
 433 "; /* tex output contains embedded newline */
 434
 435 /* [ 2084910 ] limit bugs */
 436 limit((%pi*N^(2*N+1)*2^(2*N))/((2*N-1)^(2*N)*(2*%e*N+%e)), N, inf);
 437 %pi/2;
 438
 439 /* [ 1977992 ] no limit calculation */
 440 limit(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0);
 441 sqrt(2);
 442
 443 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 444 /* only works with taylor_logexpand:true */
 445 limit( ((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf);
 446 %e^-1;
 447
 448 /* limit(x*expintegral_ei(x),x,0) --> Error - ID: 2801821 */
 449 limit(x*expintegral_ei(x), x, 0);
 450 0;
 451
 452 /* #3865 crash from taking limit of factorial(x) + 1 */
 453 limit(factorial(x) + 1, x, 0);
 454 2;
 455
 456 limit(1/(1-factorial(x)), x, 0, minus);
 457 minf;
 458
 459 limit(1/(1-factorial(x)), x, 0, plus);
 460 inf;
 461
 462 /* Limit of the factorial function - 4 problems - ID: 2841504 */
 463 limit(factorial(x),x,-2,plus);
 464 minf;
 465
 466 /* Calculus mistake: wrong answer: limit - ID: 3534858 */
 467 limit((sin(x)-tan(x))/(x*(cos(x)-1)),x,0);
 468 1;
 469
 470 /* #2639 limit asks about internal variable */
 471 limit(tan(x)/sqrt(tan(x)^2+1),x,%pi/2,plus);
 472 -1;
 473
 474 limit(1/psi[1](x), x, inf);
 475 inf;
 476
 477 /* limit of psi[i] - ID: 2843705 */
 478 limit(psi[i](x),x,inf);
 479 'limit(psi[i](x),x,inf);
 480
 481 /* tests for gruntz limit algorithm */
 482 gruntz(exp(x), x, inf);
 483 inf;
 484
 485 gruntz(exp(-x), x, inf);
 486 0;
 487
 488 gruntz( (x + 2^x) / 3^x, x, inf);
 489 0;
 490
 491 gruntz( x^2/(x + 2*x^2), x, inf);
 492 1/2;
 493
 494 gruntz( x/x^log(x), x, inf);
 495 0;
 496
 497 gruntz( (2^x)/(x + exp(x)) , x, 0, plus);
 498 1;
 499
 500 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, minus);
 501 -2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 502
 503 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, plus);
 504 2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 505
 506 gruntz( x*(x^(1/x)-1)/log(x), x, inf);
 507 1;
 508
 509 gruntz( (x*x^(1/x)-x)/log(x), x, inf);
 510 1;
 511
 512 gruntz(exp(-1/x)/x^6,x,0,plus);
 513 0;
 514
 515 /* limit gives the wrong answer - ID: 3410704 */
 516 limit(sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2))
 517          /(sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)), t, inf);
 518 1;
 519
 520 /* Inaccurate Limit Evaluation - ID: 3276461 */
 521 radcan(limit((-4*x^2-10*x+24)/((4*x+8)^(1/3)+2), x, -4));
 522 66;
 523
 524 limit(-(3*n^2 + 1)*(-1)^n/sqrt(n^5 + 8*n^3 + 8),n,inf);
 525 0;
 526
 527 /*
 528  * Bug ID: 1315837 limit(?foo)
 529  * Bug ID: 1119228 limit(1/zeraoa)
 530  */
 531
 532 limit(?foo);
 533 ?foo;
 534 limit(true);
 535 true;
 536 limit(false);
 537 false;
 538 limit(1/zeroa);
 539 inf;
 540 limit(1/zerob);
 541 minf;
 542
 543 /*
 544  * Bug ID: 1797296 - Crazy results when doing limit of 'diff
 545  */
 546 limit('diff(x+1,x),x,2);
 547 1;
 548
 549 limit('integrate(x+1,x),x,2);
 550 'integrate(x+1,x);
 551
 552 /* #3767 incorrect limit (radius of convergence) */
 553 limit(diff(exp(n * x), x,n)/n,n,inf);
 554 'limit(diff(exp(n * x), x,n)/n,n,inf);
 555
 556 limit(integrate(f(t),t,0,x),x,0,plus);
 557 0$
 558
 559 limit(integrate(t,t,0,x)/x,x,inf);
 560 inf;
 561
 562 (assume(a>2), limit(integrate(t/log(t),t,2,a)/a,a,inf));
 563 inf;
 564
 565 /* limit(1/inf-1/minf) => 0+0 - ID: 903074 */
 566 limit(1/inf-1/minf);
 567 0;
 568
 569 /*
 570  1-arg limit: limit(a*inf-inf) => minf - ID: 1385306
 571
 572  The original fix for this bug sent it to inf, assuming that the two
 573  different "inf" occurrences were the same. I disagree: inf - inf
 574  probably shouldn't ever be simplified to zero, but we can avoid it
 575  here so we do.
 576 */
 577 limit(a*inf-inf);
 578 und$
 579
 580 /* limit(1 - (-1/2)^inf) --> inf - ID: 2853506 */
 581 limit(1 - (-1/2)^inf);
 582 1-(-1)^inf/2^inf;
 583 /* ideally should be 1 */
 584
 585 /* definition of derivative in terms of limit */
 586 limit((sin(3*(x+h)) - sin(3*(x)))/h, h, 0, plus);
 587 3*cos(3*x);
 588
 589 /* limit incorrect for -x/sqrt(1-x^2) - ID: 2869955 */
 590 limit(-x/sqrt(1-x^2), x, 1, minus);
 591 minf;
 592
 593 /* limit(%i*log(a),a,0) nounform (%i*und problem) - ID: 816797 */
 594 limit(%i*log(x),x,0);
 595 infinity;
 596
 597 /* limit(sqrt(x),x,minf) not fully evaluated - ID: 2901855 */
 598 limit(sqrt(x), x, minf);
 599 infinity;
 600
 601 /* #2847 limits of powers of constants */
 602 limit((5+%i)^n,n,inf);
 603 infinity;
 604
 605 /* limit bug - ID: 3101075 */
 606 limit((2+cos(x))/(x^3*sin(x))-3/x^4,x,0,plus);
 607 1/60;
 608
 609 /* #2527 exponent too big in limit */
 610 limit ((cosh(sqrt(x+1))-cosh(sqrt(x)))^(1/sqrt(x)),x,inf );
 611 %e;
 612
 613 /* #2561 limit(log(x^2),x,-20) gives 2*log(-20) */
 614 limit(log(x^2),x,-20),logexpand:false;
 615 log(400);
 616
 617 /* #2412 Problems with integral (x/(exp(x)+1),x,0,inf) */
 618 limit(-x*log(%e^x+1)-li[2](-%e^x)+x^2/2, x, inf);
 619 %pi^2/6;
 620
 621 /* The initial problem which triggers this bug */
 622 declare(n,integer);
 623 done;
 624 limit ((sin(n*x) - n*x*cos(n*x))/n^2, x, %pi);
 625 -%pi*(-1)^n/n;
 626
 627 /* #2503 Declaring x as an integer changes result of limit from 3 to inf */
 628 limit((2^n+3^n)^(1/n), n,inf);
 629 3;
 630
 631 /* #2624 Erroneous limit result */
 632 (assume(n>2), limit(x-x*(1-1/x)^n, x, inf));
 633 n;
 634
 635 (forget(n>2),0);
 636 0;
 637
 638 /* Bug ID: 593351 - limit/sin(inf)etc. should give 0, not IND
 639  */
 640 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x),x,inf);
 641 0;
 642 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x)+a,x,inf);
 643 a;
 644
 645 /* Bug ID: 1376392 - limit(x/(2+sin(1/x)), x, 0); wrong result
 646  */
 647 limit(x/(2+sin(1/x)),x,0);
 648 0;
 649
 650 /* #3680 limit(x/sin(1/x),x,0); wrong */
 651 limit(x/sin(1/x), x, 0, plus);
 652 und;
 653
 654 /* Bug ID: 1106912 - limit(x/sin(x)^2,x,inf)
 655    I think the limit is not defined because the func is not defined
 656    for all x > any constant.
 657  */
 658 limit(x/sin(x)^2,x,inf);
 659 und;
 660
 661 /* Bug ID: #3459 Wrong limit calculation */
 662 limit(x / (x+2^x+cos(x)),x,-inf);
 663 1;
 664
 665 /* Bug ID: 811522 - redundant question in limit
 666  * b is assumed to be zero. Maxima now can deduce from the database
 667  * that b-2 is an even number.
 668  */
 669 assume(equal(b,0));
 670 [equal(b,0)];
 671 limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 672 'limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 673 forget(equal(b,0));
 674 [equal(b,0)];
 675
 676 /* Bug ID: 221642 limit needs %piargs to be true
 677  * The implementation of simp-%atan and simpatan2 has been revised.
 678  * We get more limits independent of the value of %piargs.
 679  */
 680 %piargs:false;
 681 false;
 682 limit(atan2(0,y),y,0,plus);
 683 atan(0);
 684 limit(atan2(0,y),y,0,minus);
 685 %pi;
 686 limit(atan2(x,0),x,0,plus);
 687 %pi/2;
 688 limit(atan2(x,0),x,0,minus);
 689 -%pi/2;
 690 reset(%piargs);
 691 [%piargs];
 692
 693 /* Bug ID: 3002971 - limit fails where rat+subst works
 694  */
 695 limit(min(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 696 0;
 697 limit(max(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 698 2;
 699
 700 /* Bug ID: 1969790 - limits and subscripts
 701  */
 702 limit(mu[inf],x,inf);
 703 mu[inf];
 704
 705 /*
 706  * Bug 3509430: limit of tanh(x) at 0 makes no sense
 707  */
 708 limit(tanh(x), x, 0);
 709 0;
 710
 711 /* bug 2535: stack exhausted when computing limit(log(..)) */
 712
 713 limit(log(-1/3125*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) +
 714 1/2)^n)^9*sqrt(5))/log(-1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(8*n) - (1/2*sqrt(5) +
 715 1/2)^(8*n))*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) + 1/2)^n) -
 716 1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(9*n) - (1/2*sqrt(5) +
 717 1/2)^(9*n))*sqrt(5)),n,inf);
 718 1;
 719
 720 /* #2675 maxima will not do the simplest of definite integrals
 721    and will not factor otherwise */
 722 limit(x^2*exp(-%i*x - x), x, inf);
 723 0;
 724
 725 /* bug #2621 gamma limit error */
 726
 727 limit(gamma(x+1/2)/(sqrt(x)*gamma(x)), x, inf);
 728 1;
 729
 730 /* Triggered by #2849. This result isn't great, but it's better than
 731    an error. A more useful result would be und. */
 732 limit (ind * inf);
 733 ind * inf $
 734
 735 limit((a*exp(a*x)*sin(b*x))/(b^2+a^2)-(b*exp(a*x)*cos(b*x))/(b^2+a^2), x, 0, plus);
 736 -(b/(a^2 + b^2));
 737
 738 /* Bug #2898: limit of continuous --> und */
 739
 740 limit(log(x)^2+2*log(x)+q/2+1,x,1);
 741 q/2+1$
 742
 743 limit(log(x)^2+2*%gamma*log(x)-%pi^2/6+%gamma^2,x,1);
 744 %gamma^2-%pi^2/6$
 745
 746 /* #2972 Wrong limits involving logs */
 747 limit( 27^(log(n)/log(3))/n^3, n, inf);
 748 1;
 749
 750 limit( 27^(log(n)/log(3)+1)/n^3, n, inf);
 751 27;
 752
 753 limit( ((27^(log(n)/log(3)+1)-1)/26+n-log(n)/log(3)-1)/n^3,n,inf);
 754 27/26;
 755
 756 /* examples from mailing list 2014-10-10: "Re: bug in limit code" */
 757
 758 (newcontext (),
 759  kill (beta, hbar, omega, delta, n),
 760  assume (beta > 0, hbar > 0, omega > 0, delta > 0, 2*n - 1 > 0),
 761  0);
 762 0;
 763
 764 limit (%e^(beta*hbar*omega-beta*(hbar*(2*n+1)*omega+delta))
 765  /(1/(1-%e^-(beta*hbar*omega))^2
 766  +(%e^-(beta*delta)-1)/(1-%e^-(2*beta*hbar*omega))), beta, inf);
 767 0;
 768
 769 (kill (h, d, z),
 770  assume (h > 0, d > 0, z > 0, 2*h*z > d),
 771  0);
 772 0;
 773
 774 limit ((%e^-(b*d)-1)/(1-%e^-(2*b*h*z)), b, inf);
 775 -1;
 776
 777 (kill (a), assume (a < 0), 0);
 778 0;
 779
 780 limit (exp (b*a), b, inf);
 781 0;
 782
 783 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 784 -1;
 785
 786 (forget (a < 0), assume (a > 0), 0);
 787 0;
 788
 789 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 790 1;
 791
 792 (forget (a > 0), assume (equal (a, 0)), 0);
 793 0;
 794
 795 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 796 0;
 797
 798 (forget (equal (a, 0)), assume (a > 0), 0);
 799 0;
 800
 801 integrate(%e^(-a*r)*sin(k*r),r,0,inf);
 802 k/(k^2+a^2);
 803
 804 limit (a*x, x, inf);
 805 inf;
 806
 807 (forget (a > 0), assume (a < 0), limit (a*x, x, inf));
 808 minf;
 809
 810 (forget (a < 0), assume (equal (a, 0)), limit (a*x, x, inf));
 811 0;
 812
 813 killcontext (context);
 814 done;
 815
 816 /* SF bug #3104: "limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus), numer => stack overflow" */
 817
 818 limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus);
 819 infinity;
 820
 821 limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus), numer;
 822 infinity;
 823
 824 limit(log(1 + exp(x)), x, 0, plus);
 825 log(2);
 826
 827 limit(log(1 + exp(x)), x, 0, plus), numer;
 828 0.6931471805599453;
 829
 830 /* inspired by this example from #3103; for the present purpose,
 831  * it's not too important to get these specific results,
 832  * only that numer doesn't cause an error here.
 833  */
 834
 835 integrate(x^3/(exp(x)-1),x,0,inf);
 836 'limit(6*li[4](%e^x)-6*x*li[3](%e^x)+3*x^2*li[2](%e^x)+x^3*log(1-%e^x)-x^4/4,
 837        x,inf,minus) -%pi^4/15$
 838
 839 integrate(x^3/(exp(x)-1),x,0,inf), numer;
 840 'limit(6.0*li[4](%e^x)-6.0*x*li[3](%e^x)+3.0*x^2*li[2](%e^x)
 841                       +1.0*x^3*log(1-%e^x)-0.25*x^4,x,inf,minus)
 842  -6.49393940226683$
 843
 844 /* #3142 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf) => inf */
 845 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf);
 846 0;
 847
 848 /* #3143 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) => inf */
 849 /* should really be '$infinity */
 850 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 851 'limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 852
 853 /* SF bug #3185: "Error in sum with non-false modulus" */
 854
 855 block([modulus:7], sum(i^-2,i,1,inf));
 856 'sum(i^-2,i,1,inf);
 857
 858 block([modulus:7], limit(inf));
 859 inf;
 860
 861 /* SF bug #3235: "ECL lisp arithmetic error in definite integration with large limits"
 862  * the bug is actually in ECL (https://gitlab.com/embeddable-common-lisp/ecl/issues/299);
 863  * here we'll test a work around.
 864  */
 865
 866 block ([actual, expected],
 867   actual : limit(x*exp(x)*log(exp(x)+1),x,-1000,plus),
 868   expected : -1000*%e^-1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)),
 869   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 870 true;
 871
 872 /* accommodate different equivalent forms via 'equal' */
 873 block ([actual, expected],
 874   actual : integrate((x^2)*exp(x) / (1 + exp(x))^2,x,-1000,1000),
 875   expected : (-(2000*%e^1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)))/(%e^1000+1))
 876   -(2000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)))/(%e^1000+1)
 877    -((2000*%e^1000+2000)*log(%e^1000+1)
 878     +(2*%e^1000+2)*li[2](-%e^1000)-1000000*%e^1000)
 879      /(%e^1000+1)+(2*%e^1000*li[2](-%e^-1000))/(%e^1000+1)
 880      +(2*li[2](-%e^-1000))/(%e^1000+1)-1000000/(%e^1000+1),
 881   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 882 true;
 883
 884 /* SF bug #3244: "error trying to promote float infinity to bigfloat in sign comparison"
 885  * same as test under #3235 but ensure that bigfloat assume is present to trigger bug
 886  */
 887
 888 block ([actual, expected, ctxt:newcontext()],
 889   assume (xfoo > 200b0),
 890   actual : limit(xfoo*exp(xfoo)*log(exp(xfoo)+1),xfoo,-1000,plus),
 891   expected : -1000*%e^-1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)),
 892   killcontext (ctxt),
 893   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 894 true;
 895
 896 /* SF bug #3826: "limit returns temp variable expression" */
 897
 898 (kill (q, a, x),
 899  ctxt: newcontext (),
 900  assume (q > 0),
 901  limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf));
 902 'limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf);
 903
 904 tlimit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf);
 905 'limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf);
 906
 907 (assume (a > 0),
 908  declare (q, integer),
 909  limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf));
 910 1/a;
 911
 912 (remove (q, integer),
 913  declare (q, noninteger),
 914  limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf));
 915 1/a;
 916
 917 (remove (q, noninteger),
 918  killcontext (ctxt));
 919 done;