doc/info/Constants.texi.m4

   1 @c -*- mode: texinfo -*-
   2 @c -----------------------------------------------------------------------------
   3 @page
   4 @node Constants, Lists, Strings, Data Types and Structures
   5 @section Constants
   6 @c -----------------------------------------------------------------------------
   7
   8 @menu
   9 * Functions and Variables for Constants::
  10 @end menu
  11
  12 @c -----------------------------------------------------------------------------
  13 @node Functions and Variables for Constants,  , Constants, Constants
  14 @subsection Functions and Variables for Constants
  15 @c -----------------------------------------------------------------------------
  16
  17 @c -----------------------------------------------------------------------------
  18 @anchor{%e}
  19 @defvr {Constant} %e
  20 @ifinfo
  21 @vrindex e
  22 @vrindex Euler's number
  23 @vrindex Base of natural logarithm
  24 @end ifinfo
  25
  26 @code{%e} represents the base of the natural logarithm, also known as Euler's
  27 number.  The numeric value of @code{%e} is the double-precision floating-point
  28 value 2.718281828459045d0.  (See @urlaands{eqn 4.1.16, 67}, @urlaands{4.1.17, 67}.)
  29
  30 @opencatbox{Categories:}
  31 @category{Constants}
  32 @closecatbox
  33 @end defvr
  34
  35 @c -----------------------------------------------------------------------------
  36 @anchor{%i}
  37 @defvr {Constant} %i
  38 @ifinfo
  39 @vrindex i
  40 @vrindex Imaginary unit
  41 @end ifinfo
  42
  43 @code{%i} represents the imaginary unit, m4_math(\sqrt{-1}, sqrt(- 1)).
  44
  45 @opencatbox{Categories:}
  46 @category{Constants}
  47 @closecatbox
  48 @end defvr
  49
  50 @c -----------------------------------------------------------------------------
  51 @anchor{false}
  52 @defvr {Constant} false
  53
  54 @code{false} represents the Boolean constant of the same name.
  55 Maxima implements @code{false} by the value @code{NIL} in Lisp.
  56
  57 @opencatbox{Categories:}
  58 @category{Constants}
  59 @closecatbox
  60 @end defvr
  61
  62 @c -----------------------------------------------------------------------------
  63 @anchor{%gamma}
  64 @defvr {Constant} %gamma
  65 @ifinfo
  66 @vrindex Euler-Mascheroni constant
  67 @end ifinfo
  68
  69 The Euler-Mascheroni constant, 0.5772156649015329.... It is defined by (@urlaands{eqn 6.1.3, 255} and @urldlmf{5.2.ii})
  70 m4_displaymath(
  71 <<<\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\sum_{k=1}^n {1\over k} - \log n\right)>>>,
  72 <<<
  73 @example
  74                                    n
  75                                   ====
  76                                   \     1
  77                %gamma = limit    ( >    - - log(n))
  78                         n -> inf  /     k
  79                                   ====
  80                                   k = 1
  81 @end example
  82 >>>)
  83
  84 @c DOUBTLESS THERE IS MORE TO SAY HERE.
  85
  86 @opencatbox{Categories:}
  87 @category{Constants}
  88 @closecatbox
  89 @end defvr
  90
  91 @c -----------------------------------------------------------------------------
  92 @anchor{ind}
  93 @defvr {Constant} ind
  94 @ifinfo
  95 @vrindex Indeterminate
  96 @end ifinfo
  97
  98 @code{ind} represents a bounded, indefinite result.
  99
 100 See also @mrefdot{limit}
 101
 102 Example:
 103
 104 @c ===beg===
 105 @c limit (sin(1/x), x, 0);
 106 @c ===end===
 107 @example
 108 (%i1) limit (sin(1/x), x, 0);
 109 (%o1)                          ind
 110 @end example
 111
 112 @opencatbox{Categories:}
 113 @category{Constants}
 114 @closecatbox
 115 @end defvr
 116
 117 @c -----------------------------------------------------------------------------
 118 @anchor{inf}
 119 @defvr {Constant} inf
 120 @ifinfo
 121 @vrindex Real infinity
 122 @end ifinfo
 123
 124 @code{inf} represents real positive infinity.
 125
 126 @opencatbox{Categories:}
 127 @category{Constants}
 128 @closecatbox
 129 @end defvr
 130
 131 @c -----------------------------------------------------------------------------
 132 @anchor{infinity}
 133 @defvr {Constant}  infinity
 134 @ifinfo
 135 @vrindex Complex infinity
 136 @end ifinfo
 137
 138 @code{infinity} represents complex infinity.
 139
 140 @opencatbox{Categories:}
 141 @category{Constants}
 142 @closecatbox
 143 @end defvr
 144
 145 @c -----------------------------------------------------------------------------
 146 @anchor{minf}
 147 @defvr {Constant} minf
 148 @ifinfo
 149 @vrindex Minus infinity
 150 @vrindex Negative infinity
 151 @end ifinfo
 152
 153 @code{minf} represents real minus (i.e., negative) infinity.
 154
 155 @opencatbox{Categories:}
 156 @category{Constants}
 157 @closecatbox
 158 @end defvr
 159
 160 @c -----------------------------------------------------------------------------
 161 @anchor{%phi}
 162 @defvr {Constant} %phi
 163 @ifinfo
 164 @vrindex phi
 165 @vrindex Golden mean
 166 @end ifinfo
 167
 168 @code{%phi} represents the so-called @i{golden mean}, m4_math((1+\sqrt{5})/2, (1 + sqrt(5))/2).
 169 The numeric value of @code{%phi} is the double-precision floating-point value
 170 1.618033988749895d0.
 171
 172 @mref{fibtophi} expresses Fibonacci numbers @code{fib(n)} in terms of
 173 @code{%phi}.
 174
 175 By default, Maxima does not know the algebraic properties of @code{%phi}.
 176 After evaluating @code{tellrat(%phi^2 - %phi - 1)} and @code{algebraic: true},
 177 @mref{ratsimp} can simplify some expressions containing @code{%phi}.
 178
 179 Examples:
 180
 181 @code{fibtophi} expresses Fibonacci numbers @code{fib(n)} in terms of @code{%phi}.
 182
 183 @c ===beg===
 184 @c fibtophi (fib (n));
 185 @c fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
 186 @c fibtophi (%);
 187 @c ratsimp (%);
 188 @c ===end===
 189 @example
 190 (%i1) fibtophi (fib (n));
 191                            n             n
 192                        %phi  - (1 - %phi)
 193 (%o1)                  -------------------
 194                            2 %phi - 1
 195 (%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
 196 (%o2)          - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
 197 (%i3) fibtophi (%);
 198             n + 1             n + 1       n             n
 199         %phi      - (1 - %phi)        %phi  - (1 - %phi)
 200 (%o3) - --------------------------- + -------------------
 201                 2 %phi - 1                2 %phi - 1
 202                                           n - 1             n - 1
 203                                       %phi      - (1 - %phi)
 204                                     + ---------------------------
 205                                               2 %phi - 1
 206 (%i4) ratsimp (%);
 207 (%o4)                           0
 208 @end example
 209
 210 By default, Maxima does not know the algebraic properties of @code{%phi}.
 211 After evaluating @code{tellrat (%phi^2 - %phi - 1)} and @code{algebraic: true},
 212 @code{ratsimp} can simplify some expressions containing @code{%phi}.
 213
 214 @c ===beg===
 215 @c e : expand ((%phi^2 - %phi - 1) * (A + 1));
 216 @c ratsimp (e);
 217 @c tellrat (%phi^2 - %phi - 1);
 218 @c algebraic : true;
 219 @c ratsimp (e);
 220 @c ===end===
 221 @example
 222 (%i1) e : expand ((%phi^2 - %phi - 1) * (A + 1));
 223                  2                      2
 224 (%o1)        %phi  A - %phi A - A + %phi  - %phi - 1
 225 (%i2) ratsimp (e);
 226                   2                     2
 227 (%o2)        (%phi  - %phi - 1) A + %phi  - %phi - 1
 228 (%i3) tellrat (%phi^2 - %phi - 1);
 229                             2
 230 (%o3)                  [%phi  - %phi - 1]
 231 (%i4) algebraic : true;
 232 (%o4)                         true
 233 (%i5) ratsimp (e);
 234 (%o5)                           0
 235 @end example
 236
 237 @opencatbox{Categories:}
 238 @category{Constants}
 239 @closecatbox
 240 @end defvr
 241
 242 @c -----------------------------------------------------------------------------
 243 @anchor{%pi}
 244 @defvr {Constant} %pi
 245 @ifinfo
 246 @vrindex pi
 247 @end ifinfo
 248
 249 @code{%pi} represents the ratio of the perimeter of a circle to its diameter.
 250 The numeric value of @code{%pi} is the double-precision floating-point value
 251 3.141592653589793d0.
 252
 253 @opencatbox{Categories:}
 254 @category{Constants}
 255 @closecatbox
 256 @end defvr
 257
 258 @c -----------------------------------------------------------------------------
 259 @anchor{true}
 260 @defvr {Constant} true
 261
 262 @code{true} represents the Boolean constant of the same name.
 263 Maxima implements @code{true} by the value @code{T} in Lisp.
 264
 265 @opencatbox{Categories:}
 266 @category{Constants}
 267 @closecatbox
 268 @end defvr
 269
 270 @c -----------------------------------------------------------------------------
 271 @anchor{und}
 272 @defvr {Constant} und
 273 @ifinfo
 274 @vrindex Undefined
 275 @end ifinfo
 276
 277 @code{und} represents an undefined result.
 278
 279 See also @mrefdot{limit}
 280
 281 Example:
 282
 283 @c ===beg===
 284 @c limit (x*sin(x), x, inf);
 285 @c ===end===
 286 @example
 287 (%i1) limit (x*sin(x), x, inf);
 288 (%o1)                          und
 289 @end example
 290
 291 @opencatbox{Categories:}
 292 @category{Constants}
 293 @closecatbox
 294 @end defvr
 295
 296 @c -----------------------------------------------------------------------------
 297 @anchor{zeroa}
 298 @defvr {Constant} zeroa
 299
 300 @code{zeroa} represents an infinitesimal above zero.  @code{zeroa} can be used
 301 in expressions.  @code{limit} simplifies expressions which contain
 302 infinitesimals.
 303
 304 See also @mref{zerob} and @mrefdot{limit}
 305
 306 Example:
 307
 308 @code{limit} simplifies expressions which contain infinitesimals:
 309
 310 @c ===beg===
 311 @c limit(zeroa);
 312 @c limit(zeroa+x);
 313 @c ===end===
 314 @example
 315 (%i1) limit(zeroa);
 316 (%o1)                           0
 317 (%i2) limit(x+zeroa);
 318 (%o2)                           x
 319 @end example
 320
 321 @opencatbox{Categories:}
 322 @category{Constants}
 323 @closecatbox
 324 @end defvr
 325
 326 @c -----------------------------------------------------------------------------
 327 @anchor{zerob}
 328 @defvr {Constant} zerob
 329
 330 @code{zerob} represents an infinitesimal below zero.  @code{zerob} can be used
 331 in expressions.  @code{limit} simplifies expressions which contain
 332 infinitesimals.
 333
 334 See also @mref{zeroa} and @mrefdot{limit}
 335
 336 @opencatbox{Categories:}
 337 @category{Constants}
 338 @closecatbox
 339 @end defvr
 340