doc/info/distrib.texi.m4

   1 @c -*- mode: texinfo -*-
   2 @menu
   3 * Introduction to distrib::
   4 * Functions and Variables for continuous distributions::
   5 * Functions and Variables for discrete distributions::
   6 @end menu
   7
   8 @c Define an m4 macro for the NormalRV function that is used below.
   9 @c Can't use @macro because m4 is processed too late for this to work.
  10 m4_define(<<<m4_Normal_RV>>>,
  11 m4_math(<<<{\it Normal}($1, $2)>>>, <<<Normal($1, $2)>>>))
  12
  13 @c Define the function student t to denote Student's t random variable
  14 m4_define(<<<m4_Student_T_RV>>>,
  15 @math{t($1)})
  16
  17 @c Define noncentral Student's t RV
  18 m4_define(<<<m4_Noncentral_T_RV>>>,
  19 m4_math(<<<{\it nc\_t}($1, $2)>>>,<<<nc_t($1, $2)>>>))
  20
  21 @c Define Chi^2(n), the chi-squared random variate function.
  22 m4_define(<<<m4_Chi2_RV>>>,
  23 m4_math(<<<\chi^2($1)>>>, <<<Chi^2($2)>>>))
  24
  25 @c Define the Gamma RV
  26 m4_define(<<<m4_Gamma_RV>>>,
  27 m4_math(<<<\Gamma\left($1,$2\right)>>>, <<<Gamma($1,$2)>>>))
  28
  29 @c Define the noncentral chi-squared RV
  30 m4_define(<<<m4_noncentral_chi2_RV>>>,
  31 m4_math(<<<{\it nc\_Chi}^2($1,$2)>>>, <<<nc_Chi^2($1,$2)>>>))
  32
  33 @c Define the exponential RV
  34 m4_define(<<<m4_Exponential_RV>>>,
  35 m4_math(<<<{\it Exponential}($1)>>>, <<<Exponential($1)>>>))
  36
  37 @c Define the Weibull RV
  38 m4_define(<<<m4_Weibull_RV>>>,
  39 m4_math(<<<{\it Weibull}($1,$2)>>>, <<<Weibull($1,$2)>>>))
  40
  41 @c Define lognormal RV
  42 m4_define(<<<m4_Lognormal_RV>>>,
  43 m4_math(<<<{\it Lognormal}($1,$2)>>>,<<<Lognormal($1,$2)>>>))
  44
  45 @c Define beta RV
  46 m4_define(<<<m4_Beta_RV>>>,
  47 m4_math(<<<{\it Beta}($1,$2)>>>,<<<Beta($1,$2)>>>))
  48
  49 @c Define continuous uniform RV
  50 m4_define(<<<m4_Continuous_Uniform_RV>>>,
  51 m4_math(<<<{\it
  52 ContinuousUniform}($1,$2)>>>,<<<ContinuousUniform($1,$2)>>>))
  53
  54 @c Define logistic RV
  55 m4_define(<<<m4_Logistic_RV>>>,
  56 m4_math(<<<{\it Logistic}($1,$2)>>>,<<<<Logistice($1,$2)>>>))
  57
  58 @c Define pareto RV
  59 m4_define(<<<m4_Pareto_RV>>>,
  60 m4_math(<<<{\it Pareto}($1,$2)>>>,<<<Pareto($1,$2)>>>))
  61
  62 @c Define Rayleigh RV
  63 m4_define(<<<m4_Rayleigh_RV>>>,
  64 m4_math(<<<{\it Rayleigh}($1)>>>,<<<Rayleigh($1)>>>))
  65
  66 @c Define Laplace RV
  67 m4_define(<<<m4_Laplace_RV>>>,
  68 m4_math(<<<{\it Laplace}($1,$2)>>>,<<<Laplace($1,$2)>>>))
  69
  70 @c Define Cauchy RV
  71 m4_define(<<<m4_Cauchy_RV>>>,
  72 m4_math(<<<{\it Cauchy}($1,$2)>>>,<<<Cauchy($1,$2)>>>))
  73
  74 @c Define Gumbel RV
  75 m4_define(<<<m4_Gumbel_RV>>>,
  76 m4_math(<<<{\it Gumbel}($1,$2)>>>,<<<Gumbel($1,$2)>>>))
  77
  78 @c Define Binomial RV
  79 m4_define(<<<m4_Binomial_RV>>>,
  80 m4_math(<<<{\it Binomial}($1,$2)>>>,<<<Binomial($1,$2)>>>))
  81
  82 @c Define Poisson RV
  83 m4_define(<<<m4_Poisson_RV>>>,
  84 m4_math(<<<{\it Poisson}($1)>>>,<<<Poisson($1)>>>))
  85
  86 @c Define Bernoulli RV
  87 m4_define(<<<m4_Bernoulli_RV>>>,
  88 m4_math(<<<{\it Bernoulli}($1)>>>,<<<Bernoulli($1)>>>))
  89
  90 @c Define Geometric RV
  91 m4_define(<<<m4_Geometric_RV>>>,
  92 m4_math(<<<{\it Geometric}($1)>>>,<<<Geometric($1)>>>))
  93
  94 @c Define Discrete Uniform RV
  95 m4_define(<<<m4_DiscreteUniform_RV>>>,
  96 m4_math(<<<{\it DiscreteUniform}($1)>>>,<<<DiscreteUniform($1)>>>))
  97
  98 @c Define Hypergeometric RV
  99 m4_define(<<<m4_Hypergeometric_RV>>>,
 100 m4_math(<<<{\it Hypergeometric}($1,$2,$3)>>>,<<<Hypergeometric($1,$2,$3)>>>))
 101
 102 @c Define Negative Binomial RV
 103 m4_define(<<<m4_NegativeBinomial_RV>>>,
 104 m4_math(<<<{\it NegativeBinomial}($1,$2)>>>,<<<NegativeBinomial($1,$2)>>>))
 105
 106
 107 @node Introduction to distrib, Functions and Variables for continuous distributions
 108 @section Introduction to distrib
 109
 110
 111 Package @code{distrib} contains a set of functions for making probability computations on both discrete and continuous univariate models.
 112
 113 What follows is a short reminder of basic probabilistic related definitions.
 114
 115 Let @math{f(x)} be the @var{density function} of an absolute continuous random variable @math{X}. The @var{distribution function} is defined as
 116 m4_displaymath(
 117 <<<F\left(x\right)=\int_{ -\infty }^{x}{f\left(u\right)\;du}>>>,
 118 <<<
 119 @example
 120                        x
 121                       /
 122                       [
 123                F(x) = I     f(u) du
 124                       ]
 125                       /
 126                        minf
 127 @end example
 128 >>>)
 129 which equals the probability m4_math(<<<{\rm Pr}(X \le x)>>>, <<<Pr(X <= x)>>>).
 130
 131 The @var{mean} value is a localization parameter and is defined as
 132 m4_displaymath(
 133 <<<E\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{x\,f\left(x\right)\;dx}>>>,
 134 <<<
 135 @example
 136                      inf
 137                     /
 138                     [
 139            E[X]  =  I   x f(x) dx
 140                     ]
 141                     /
 142                      minf
 143 @end example
 144 >>>)
 145
 146 The @var{variance} is a measure of variation,
 147 m4_displaymath(
 148 <<<V\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,\left(x
 149  -E\left[X\right]\right)^2\;dx}>>>,
 150 <<<
 151 @example
 152                  inf
 153                 /
 154                 [                    2
 155          V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
 156                 ]
 157                 /
 158                  minf
 159 @end example
 160 >>>)
 161 which is a positive real number. The square root of the variance is
 162 the @var{standard deviation}, m4_math(<<<D[x]=\sqrt{V[X]}>>>, <<<D[X]=sqrt(V[X])>>>), and it is another measure of variation.
 163
 164 The @var{skewness coefficient} is a measure of non-symmetry,
 165 m4_displaymath(
 166 <<<SK\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
 167  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}>>>,
 168 <<<
 169 @example
 170                  inf
 171                 /
 172             1   [                    3
 173   SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
 174               3 ]
 175           D[X]  /
 176                  minf
 177 @end example
 178 >>>)
 179
 180 And the @var{kurtosis coefficient} measures the peakedness of the distribution,
 181 m4_displaymath(
 182 <<<KU\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
 183  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3>>>,
 184 <<<
 185 @example
 186                  inf
 187                 /
 188             1   [                    4
 189   KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
 190               4 ]
 191           D[X]  /
 192                  minf
 193 @end example
 194 >>>)
 195 If @math{X} is gaussian, @math{KU[X]=0}. In fact, both skewness and kurtosis are shape parameters used to measure the non--gaussianity of a distribution.
 196
 197 If the random variable @math{X} is discrete, the density, or @var{probability}, function @math{f(x)} takes positive values within certain countable set of numbers @math{x_i}, and zero elsewhere. In this case, the distribution function is
 198 m4_displaymath(
 199 <<< F\left(x\right)=\sum_{x_{i}\leq x}{f\left(x_{i}\right)} >>>,
 200 <<<
 201 @example
 202                        ====
 203                        \
 204                 F(x) =  >    f(x )
 205                        /        i
 206                        ====
 207                       x <= x
 208                        i
 209 @end example
 210 >>>)
 211
 212 The mean, variance, standard deviation, skewness coefficient and kurtosis coefficient take the form
 213 m4_displaymath(
 214 <<<\eqalign{
 215 E\left[X\right]&=\sum_{x_{i}}{x_{i}f\left(x_{i}\right)}, \cr
 216 V\left[X\right]&=\sum_{x_{i}}{f\left(x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left[X\right]\right)^2},\cr
 217 D\left[X\right]&=\sqrt{V\left[X\right]},\cr
 218 SK\left[X\right]&={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 219  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}, \cr
 220 KU\left[X\right]&={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 221  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3,
 222 }>>>,
 223 <<<
 224 @example
 225           ====
 226           \
 227    E[X] =  >  x  f(x ) ,
 228           /    i    i
 229           ====
 230            x
 231             i
 232
 233            ====
 234            \                     2
 235    V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
 236            /        i    i
 237            ====
 238             x
 239              i
 240
 241           D[X] = sqrt(V[X]),
 242
 243                      ====
 244               1      \                     3
 245   SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])
 246            D[X]^3    /        i    i
 247                      ====
 248                       x
 249                        i
 250
 251                      ====
 252               1      \                     4
 253   KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
 254            D[X]^4    /        i    i
 255                      ====
 256                       x
 257                        i
 258 @end example
 259 >>>)
 260 respectively.
 261
 262 There is a naming convention in package @code{distrib}. Every function name has two parts, the first one makes reference to the function or parameter we want to calculate,
 263 @example
 264 Functions:
 265    Density function            (pdf_*)
 266    Distribution function       (cdf_*)
 267    Quantile                    (quantile_*)
 268    Mean                        (mean_*)
 269    Variance                    (var_*)
 270    Standard deviation          (std_*)
 271    Skewness coefficient        (skewness_*)
 272    Kurtosis coefficient        (kurtosis_*)
 273    Random variate              (random_*)
 274 @end example
 275
 276 The second part is an explicit reference to the probabilistic model,
 277 @example
 278 Continuous distributions:
 279    Normal              (*normal)
 280    Student             (*student_t)
 281    Chi^2               (*chi2)
 282    Noncentral Chi^2    (*noncentral_chi2)
 283    F                   (*f)
 284    Exponential         (*exp)
 285    Lognormal           (*lognormal)
 286    Gamma               (*gamma)
 287    Beta                (*beta)
 288    Continuous uniform  (*continuous_uniform)
 289    Logistic            (*logistic)
 290    Pareto              (*pareto)
 291    Weibull             (*weibull)
 292    Rayleigh            (*rayleigh)
 293    Laplace             (*laplace)
 294    Cauchy              (*cauchy)
 295    Gumbel              (*gumbel)
 296
 297 Discrete distributions:
 298    Binomial             (*binomial)
 299    Poisson              (*poisson)
 300    Bernoulli            (*bernoulli)
 301    Geometric            (*geometric)
 302    Discrete uniform     (*discrete_uniform)
 303    hypergeometric       (*hypergeometric)
 304    Negative binomial    (*negative_binomial)
 305    Finite discrete      (*general_finite_discrete)
 306 @end example
 307
 308 For example, @code{pdf_student_t(x,n)} is the density function of the Student distribution with @var{n} degrees of freedom, @code{std_pareto(a,b)} is the standard deviation of the Pareto distribution with parameters @var{a} and @var{b} and @code{kurtosis_poisson(m)} is the kurtosis coefficient of the Poisson distribution with mean @var{m}.
 309
 310
 311 In order to make use of package @code{distrib} you need first to load it by typing
 312 @example
 313 (%i1) load("distrib")$
 314 @end example
 315
 316 For comments, bugs or suggestions, please contact the author at @var{'riotorto AT yahoo DOT com'}.
 317
 318 @opencatbox{Categories:}
 319 @category{Statistical functions}
 320 @category{Share packages}
 321 @category{Package distrib}
 322 @closecatbox
 323
 324
 325
 326
 327 @node Functions and Variables for continuous distributions, Functions and Variables for discrete distributions, Introduction to distrib
 328 @section Functions and Variables for continuous distributions
 329 Maxima knows the following kinds of continuous distributions.
 330
 331 @menu
 332 * Normal Random Variable::
 333 * Student's t Random Variable::
 334 * Noncentral Student's t Random Variable::
 335 * Chi-squared Random Variable::
 336 * Noncentral Chi-squared Random Variable::
 337 * F Random Variable::
 338 * Exponential Random Variable::
 339 * Lognormal Random Variable::
 340 * Gamma Random Variable::
 341 * Beta Random Variable::
 342 * Continuous Uniform Random Variable::
 343 * Logistic Random Variable::
 344 * Pareto Random Variable::
 345 * Weibull Random Variable::
 346 * Rayleigh Random Variable::
 347 * Laplace Random Variable::
 348 * Cauchy Random Variable::
 349 * Gumbel Random Variable::
 350 @end menu
 351
 352 @node Normal Random Variable, Student's t Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions, Functions and Variables for continuous distributions
 353 @subsection Normal Random Variable
 354
 355 Normal random variables (also called Gaussian) is denoted
 356 by m4_Normal_RV(m, s) where
 357 @math{m} is the mean and @math{s > 0} is the standard deviation.
 358
 359 @anchor{pdf_normal}
 360 @deffn {Function} pdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 361 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 362
 363 The pdf is
 364 m4_displaymath(
 365 <<<f(x; m, s) = {1\over s\sqrt{2\pi}} e^{\displaystyle -{(x-m)^2\over 2s^2}}>>>,
 366 <<<
 367 @example
 368                                  2
 369                           (x - m)
 370                         - --------
 371                                2
 372                             2 s
 373                       %e
 374       f(x, m, s) = -------------------
 375                    sqrt(2) sqrt(%pi) s
 376 @end example
 377 >>>)
 378
 379 @opencatbox{Categories:}
 380 @category{Package distrib}
 381 @closecatbox
 382
 383 @end deffn
 384
 385
 386 @anchor{cdf_normal}
 387 @deffn {Function} cdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 388 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
 389
 390 The cdf can be written analytically:
 391 m4_displaymath(
 392 <<<F(x; m, s) = {1\over 2} + {1\over 2} {\rm erf}\left(x-m\over s\sqrt{2}\right)>>>,
 393 <<<
 394 @example
 395                         x - m
 396                   erf(---------)
 397                       sqrt(2) s    1
 398      F(x, m, s) = -------------- + -
 399                         2          2
 400 @end example
 401 >>>)
 402
 403 @c ===beg===
 404 @c load ("distrib")$
 405 @c cdf_normal(x,m,s);
 406 @c ===end===
 407 @example
 408 (%i1) load ("distrib")$
 409 @group
 410 (%i2) cdf_normal(x,m,s);
 411                              x - m
 412                        erf(---------)
 413                            sqrt(2) s    1
 414 (%o2)                  -------------- + -
 415                              2          2
 416 @end group
 417 @end example
 418
 419 See also @mrefdot{erf}
 420
 421 @opencatbox{Categories:}
 422 @category{Package distrib}
 423 @closecatbox
 424
 425 @end deffn
 426
 427
 428 @anchor{quantile_normal}
 429 @deffn {Function} quantile_normal (@var{q},@var{m},@var{s})
 430 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @mrefdot{cdf_normal} Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 431
 432 @c ===beg===
 433 @c load ("distrib")$
 434 @c quantile_normal(95/100,0,1);
 435 @c float(%);
 436 @c ===end===
 437 @example
 438 (%i1) load ("distrib")$
 439 @group
 440 (%i2) quantile_normal(95/100,0,1);
 441                                          9
 442 (%o2)                sqrt(2) inverse_erf(--)
 443                                          10
 444 @end group
 445 @group
 446 (%i3) float(%);
 447 (%o3)                   1.644853626951472
 448 @end group
 449 @end example
 450
 451 @opencatbox{Categories:}
 452 @category{Package distrib}
 453 @closecatbox
 454
 455 @end deffn
 456
 457
 458 @anchor{mean_normal}
 459 @deffn {Function} mean_normal (@var{m},@var{s})
 460 Returns the mean of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 461
 462 The mean is
 463 m4_displaymath(
 464 <<<E[X] = m>>>,
 465 <<<
 466 @example
 467                              E[X] = m
 468 @end example
 469 >>>)
 470
 471 @opencatbox{Categories:}
 472 @category{Package distrib}
 473 @closecatbox
 474
 475 @end deffn
 476
 477
 478 @anchor{var_normal}
 479 @deffn {Function} var_normal (@var{m},@var{s})
 480 Returns the variance of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 481
 482 The variance is
 483 m4_displaymath(
 484 <<<V[X] = s^2>>>,
 485 <<<
 486 @example
 487                                      2
 488                              V[X] = s
 489 @end example
 490 >>>)
 491
 492 @opencatbox{Categories:}
 493 @category{Package distrib}
 494 @closecatbox
 495
 496 @end deffn
 497
 498 @anchor{std_normal}
 499 @deffn {Function} std_normal (@var{m},@var{s})
 500 Returns the standard deviation of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @var{s}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 501
 502 The standard deviation is
 503 m4_displaymath(
 504 <<<D[X] = s>>>,
 505 <<<
 506 @example
 507                              D[X] = s
 508 @end example
 509
 510 >>>)
 511 @opencatbox{Categories:}
 512 @category{Package distrib}
 513 @closecatbox
 514
 515 @end deffn
 516
 517
 518 @anchor{skewness_normal}
 519 @deffn {Function} skewness_normal (@var{m},@var{s})
 520 Returns the skewness coefficient of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 521
 522 The skewness coefficient is
 523 m4_displaymath(
 524 <<<SK[X] = 0>>>,
 525 <<<
 526 @example
 527                              SK[X] = 0
 528 @end example
 529 >>>)
 530 @opencatbox{Categories:}
 531 @category{Package distrib}
 532 @closecatbox
 533
 534 @end deffn
 535
 536
 537 @anchor{kurtosis_normal}
 538 @deffn {Function} kurtosis_normal (@var{m},@var{s})
 539 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Normal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 540
 541 The kurtosis coefficient is
 542 m4_displaymath(
 543 <<<KU[X] = 0>>>,
 544 <<<
 545 @example
 546                              SK[X] = 0
 547 @end example
 548
 549 >>>)
 550
 551 @opencatbox{Categories:}
 552 @category{Package distrib}
 553 @closecatbox
 554
 555 @end deffn
 556
 557
 558 @anchor{random_normal}
 559 @deffn {Function} random_normal (@var{m},@var{s}) @
 560 @fname{random_normal} (@var{m},@var{s},@var{n})
 561
 562 Returns a m4_Normal_RV(m,s) random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_normal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
 563
 564 This is an implementation of the Box-Mueller algorithm, as described in Knuth, D.E. (1981) @var{Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming.} Addison-Wesley.
 565
 566 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 567
 568 @opencatbox{Categories:}
 569 @category{Package distrib}
 570 @category{Random numbers}
 571 @closecatbox
 572
 573 @end deffn
 574
 575 @node Student's t Random Variable, Noncentral Student's t Random Variable, Normal Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
 576 @subsection Student's t Random Variable
 577
 578
 579 Student's t random variable is denoted by m4_Student_T_RV(n) where
 580 @math{n} is the degrees of freedom with @math{n > 0}.  If @math{Z} is
 581 a m4_Normal_RV(0,1) variable and @math{V} is an
 582 independent m4_math(\chi^2, chi^2) random variable with @math{n} degress of
 583 freedom, then
 584
 585 m4_displaymath(
 586 <<<Z \over \sqrt{V/n}>>>,
 587 <<<@math{Z/sqrt(V/n)}>>>)
 588
 589 has a Student's @math{t}-distribution with @math{n} degrees of freedom.
 590
 591 @anchor{pdf_student_t}
 592 @deffn {Function} pdf_student_t (@var{x},@var{n})
 593 Returns the value at @var{x} of the density function of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0} degrees of freedom. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 594
 595 The pdf is
 596 m4_displaymath(
 597 <<<f(x; n) = \left[\sqrt{n} B\left({1\over 2}, {n\over 2}\right)\right]^{-1}
 598 \left(1+{x^2\over n}\right)^{\displaystyle -{n+1\over 2}}>>>,
 599 <<<
 600 @example
 601                                      (- n) - 1
 602                                2     ---------
 603                       n + 1   x          2
 604                 gamma(-----) (-- + 1)
 605                         2     n
 606       f(x, n) = ------------------------------
 607                                   n
 608                   sqrt(%pi) gamma(-) sqrt(n)
 609                                   2
 610 @end example
 611 @math{(sqrt(n)*beta(1/2,n/2))^(-1) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2)}>>>)
 612
 613 @opencatbox{Categories:}
 614 @category{Package distrib}
 615 @closecatbox
 616
 617 @end deffn
 618
 619
 620 @anchor{cdf_student_t}
 621 @deffn {Function} cdf_student_t (@var{x},@var{n})
 622 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0} degrees of freedom.
 623
 624 The cdf is
 625 m4_displaymath(
 626 <<<F(x; n) =
 627 \cases{
 628 1-\displaystyle{1\over 2} I_t\left({n\over 2}, {1\over 2}\right) & $x \ge 0$ \cr
 629 \cr
 630 \displaystyle{1\over 2} I_t\left({n\over 2}, {1\over 2}\right) & $x < 0$
 631 }>>>,
 632 <<<
 633 @example
 634          [ 1-1/2*I_t(n/2, 1/2)  x >= 0
 635 F(x,n) = [
 636          [ 1/2*I_t(n/2, 1/2)    x < 0
 637 @end example
 638 >>>)
 639
 640 where m4_math(<<<t = n/(n+x^2)>>>, <<<t = n/(n+x^2)>>>) and m4_math(<<<I_t(a,b)>>>, <<<I_t(a,b)>>>) is the
 641 @ref{beta_incomplete_regularized} function.
 642
 643 @c ===beg===
 644 @c load ("distrib")$
 645 @c cdf_student_t(1/2, 7/3);
 646 @c float(%);
 647 @c ===end===
 648 @example
 649 (%i1) load ("distrib")$
 650 @group
 651 (%i2) cdf_student_t(1/2, 7/3);
 652                                             7  1  28
 653                 beta_incomplete_regularized(-, -, --)
 654                                             6  2  31
 655 (%o2)       1 - -------------------------------------
 656                                   2
 657 @end group
 658 @group
 659 (%i3) float(%);
 660 (%o3)                  0.6698450596140415
 661 @end group
 662 @end example
 663
 664 @opencatbox{Categories:}
 665 @category{Package distrib}
 666 @closecatbox
 667
 668 @end deffn
 669
 670
 671 @anchor{quantile_student_t}
 672 @deffn {Function} quantile_student_t (@var{q},@var{n})
 673 Returns the @var{q}-quantile of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 674
 675 @opencatbox{Categories:}
 676 @category{Package distrib}
 677 @closecatbox
 678
 679 @end deffn
 680
 681
 682 @anchor{mean_student_t}
 683 @deffn {Function} mean_student_t (@var{n})
 684 Returns the mean of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 685
 686 The mean is
 687 m4_displaymath(
 688 <<<E[X] = 0>>>,
 689 <<<
 690 @example
 691                              E[X] = 0
 692 @end example
 693 >>>)
 694 @opencatbox{Categories:}
 695 @category{Package distrib}
 696 @closecatbox
 697
 698 @end deffn
 699
 700
 701 @anchor{var_student_t}
 702 @deffn {Function} var_student_t (@var{n})
 703 Returns the variance of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>2}.
 704
 705 The variance is
 706 m4_displaymath(
 707 <<<V[X] = {n\over n-2}>>>,
 708 <<<
 709 @example
 710                                     n
 711                            V[X] = -----
 712                                   n - 2
 713 @end example
 714
 715 >>>)
 716 @c ===beg===
 717 @c load ("distrib")$
 718 @c var_student_t(n);
 719 @c ===end===
 720 @example
 721 (%i1) load ("distrib")$
 722 @group
 723 (%i2) var_student_t(n);
 724                                 n
 725 (%o2)                         -----
 726                               n - 2
 727 @end group
 728 @end example
 729
 730 @opencatbox{Categories:}
 731 @category{Package distrib}
 732 @closecatbox
 733
 734 @end deffn
 735
 736
 737 @anchor{std_student_t}
 738 @deffn {Function} std_student_t (@var{n})
 739 Returns the standard deviation of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 740
 741 The standard deviation is
 742 m4_displaymath(
 743 <<<D[X] = \sqrt{\displaystyle{n\over n-2}}>>>,
 744 <<<
 745 @example
 746                                      n
 747                        D[X] = sqrt(-----)
 748                                    n - 2
 749 @end example
 750
 751 >>>)
 752
 753 @opencatbox{Categories:}
 754 @category{Package distrib}
 755 @closecatbox
 756
 757 @end deffn
 758
 759
 760 @anchor{skewness_student_t}
 761 @deffn {Function} skewness_student_t (@var{n})
 762 Returns the skewness coefficient of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>3}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 763
 764 The skewness coefficient is
 765 m4_displaymath(
 766 <<<SK[X] = 0>>>,
 767 <<<
 768 @example
 769                              SK[X] = 0
 770 @end example
 771 >>>)
 772
 773 @opencatbox{Categories:}
 774 @category{Package distrib}
 775 @closecatbox
 776
 777 @end deffn
 778
 779
 780 @anchor{kurtosis_student_t}
 781 @deffn {Function} kurtosis_student_t (@var{n})
 782 Returns the kurtosis coefficient of a Student random variable m4_Student_T_RV(n), with @math{n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 783
 784 The kurtosis coefficient is
 785 m4_displaymath(
 786 <<<KU[X] = {6\over n-4}>>>,
 787 <<<
 788 @example
 789                                     6
 790                           KU[X] = -----
 791                                   n - 4
 792 @end example
 793 >>>)
 794
 795 @opencatbox{Categories:}
 796 @category{Package distrib}
 797 @closecatbox
 798
 799 @end deffn
 800
 801
 802 @anchor{random_student_t}
 803 @deffn {Function} random_student_t (@var{n}) @
 804 @fname{random_student_t} (@var{n},@var{m})
 805
 806 Returns a Student random variate m4_Student_T_RV(n), with @math{n>0}. Calling @code{random_student_t} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 807
 808 The implemented algorithm is based on the fact that if @math{Z} is a
 809 normal random variable m4_Normal_RV(0,1) and @math{S^2} is
 810 a m4_math(\chi^2, chi squared) random variable with @math{n} degrees of
 811 freedom, m4_Chi2_RV(n), then
 812
 813 m4_displaymath(
 814 <<<X={{Z}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}>>>,
 815 <<<
 816 @example
 817                            Z
 818                  X = -------------
 819                      /   2  \ 1/2
 820                      |  S   |
 821                      | ---  |
 822                      \  n   /
 823 @end example
 824 >>>)
 825 is a Student random variable with @math{n} degrees of freedom, m4_Student_T_RV(n).
 826
 827 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 828
 829 @opencatbox{Categories:}
 830 @category{Package distrib}
 831 @category{Random numbers}
 832 @closecatbox
 833
 834 @end deffn
 835
 836 @node Noncentral Student's t Random Variable, Chi-squared Random Variable, Student's t Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
 837 @subsection Noncentral Student's t Random Variable
 838
 839 Let @math{ncp} be the non-centrality parameter, @math{n} be the
 840 degrees of freedom for the non-central Student's @math{t} random
 841 variable.
 842
 843 Then let @math{X} be a m4_Normal_RV(n,ncp) and @math{S^2} be an independent m4_math(\chi^2,
 844 chi squared) random variable with @math{n} degrees of freedom, the
 845 random variable
 846 m4_displaymath(
 847 <<<U = {X \over \sqrt{S^2\over n}}>>>,
 848 <<<@math{U = X/sqrt(S^2/n)}>>>)
 849
 850 has a non-central Student's @math{t} distribution with non-centrality
 851 parameter @math{ncp}.
 852
 853 @anchor{pdf_noncentral_student_t}
 854 @deffn {Function} pdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 855 Returns the value at @var{x} of the density function of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 856
 857 The pdf is
 858 m4_displaymath(
 859 <<<f(x; n, \mu) = \left[\sqrt{n} B\left({1\over 2}, {n\over
 860 2}\right)\right]^{-1}\left(1+{x^2\over n}\right)^{-{(n+1)/2}}
 861 e^{-\mu^2/ 2}
 862 \bigg[A_n(x; \mu) + B_n(x; \mu)\bigg]>>>,
 863 <<<
 864 @example
 865                            2
 866                          mu          (- n) - 1
 867                        - ---         ---------
 868                           2    2         2
 869                      %e      (x  + 1)          (B(x, n, mu) + An(x, n, mu))
 870 f(x;n,mu) =          -------------------------------------------------
 871                                          1  n
 872                                     beta(-, -) sqrt(n)
 873                                          2  2
 874
 875 @end example
 876 >>>)
 877 where
 878 m4_displaymath(
 879 <<<\eqalign{
 880 A_n(x;\mu) &= {}_1F_1\left({n+1\over 2}; {1\over 2}; {\mu^2 x^2\over
 881 2\left(x^2+n\right)}\right) \cr
 882 B_n(x;\mu) &= {\sqrt{2}\mu x \over \sqrt{x^2+n}} {\Gamma\left({n\over
 883 2} + 1\right)\over \Gamma\left({n+1\over 2}\right)}\;
 884 {}_1F_1\left({n\over 2} + 1; {3\over 2}; {\mu^2 x^2\over
 885 2\left(x^2+n\right)}\right)
 886 }>>>,
 887 <<<
 888 @example
 889                                         2  2
 890                        n + 1    1     mu  x
 891  A(x, n, mu) = %f    ([-----], [-], ----------)
 892                  1, 1    2      2       2
 893                                     2 (x  + n)
 894
 895                                                    2  2
 896                                   n        3     mu  x           n
 897                sqrt(2) mu %f    ([- + 1], [-], ----------) gamma(- + 1) x
 898                             1, 1  2        2       2             2
 899                                                2 (x  + n)
 900  B(x, n, mu) = ----------------------------------------------------------
 901                                      n + 1        2
 902                                gamma(-----) sqrt(x  + n)
 903                                        2
 904 @end example
 905 >>>)
 906 and m4_math(\mu, mu) is the non-centrality parameter @math{ncp}.
 907
 908 Sometimes an extra work is necessary to get the final result.
 909
 910 @c ===beg===
 911 @c load ("distrib")$
 912 @c expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 913 @c float(%);
 914 @c ===end===
 915 @example
 916 (%i1) load ("distrib")$
 917 @group
 918 (%i2) expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 919 rat: replaced 0.01889822365046136 by 15934951/843198350 = 0.01889822365046136
 920
 921 rat: replaced -8.734356480209641 by -294697965/33740089 = -8.734356480209641
 922
 923 rat: replaced 4.136255165816327 by 51033443/12338079 = 4.136255165816332
 924
 925 rat: replaced 1.08061432164203 by 56754827/52520891 = 1.08061432164203
 926
 927 rat: replaced 0.0565127306411839 by 5608717/99246965 = 0.05651273064118384
 928
 929 rat: replaced -300.8069396896258 by -79782423/265228 = -300.8069396896256
 930
 931 rat: replaced 160.6269176184973 by 178374907/1110492 = 160.626917618497
 932                            7/2                         7/2
 933       0.04296414417400905 5      1.323650307289301e-6 5
 934 (%o2) ------------------------ + -------------------------
 935          3/2   5/2                       sqrt(%pi)
 936         2    14    sqrt(%pi)
 937                                                               7/2
 938                                          1.94793720435093e-4 5
 939                                        + ------------------------
 940                                                    %pi
 941 @end group
 942 @group
 943 (%i3) float(%);
 944 (%o3)                  0.02080593159405671
 945 @end group
 946 @end example
 947
 948 @opencatbox{Categories:}
 949 @category{Package distrib}
 950 @closecatbox
 951
 952 @end deffn
 953
 954
 955 @anchor{cdf_noncentral_student_t}
 956 @deffn {Function} cdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 957 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. This function has no closed form and it is numerically computed.
 958
 959 @c ===beg===
 960 @c load ("distrib")$
 961 @c cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 962 @c ===end===
 963 @example
 964 (%i1) load ("distrib")$
 965 @group
 966 (%i2) cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 967 (%o2)                   0.995203009331975
 968 @end group
 969 @end example
 970
 971 @opencatbox{Categories:}
 972 @category{Package distrib}
 973 @closecatbox
 974
 975 @end deffn
 976
 977
 978 @anchor{quantile_noncentral_student_t}
 979 @deffn {Function} quantile_noncentral_student_t (@var{q},@var{n},@var{ncp})
 980 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 981
 982 @opencatbox{Categories:}
 983 @category{Package distrib}
 984 @closecatbox
 985
 986 @end deffn
 987
 988
 989 @anchor{mean_noncentral_student_t}
 990 @deffn {Function} mean_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 991 Returns the mean of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>1} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 992
 993 The mean is
 994 m4_displaymath(
 995 <<<E[X] = {\mu \sqrt{n}\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right) \over
 996 \sqrt{2}\;\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)}>>>,
 997 <<<
 998 @example
 999                    n - 1
1000           mu gamma(-----) sqrt(n)
1001                      2
1002 E[X] =    -----------------------
1003                            n
1004              sqrt(2) gamma(-)
1005                            2
1006 @end example
1007 >>>)
1008
1009 where m4_math(\mu, mu) is the noncentrality parameter @math{ncp}.
1010
1011 @c ===beg===
1012 @c load ("distrib")$
1013 @c mean_noncentral_student_t(df,k);
1014 @c ===end===
1015 @example
1016 (%i1) load ("distrib")$
1017 @group
1018 (%i2) mean_noncentral_student_t(df,k);
1019                           df - 1
1020                     gamma(------) sqrt(df) k
1021                             2
1022 (%o2)               ------------------------
1023                                      df
1024                        sqrt(2) gamma(--)
1025                                      2
1026 @end group
1027 @end example
1028
1029 @opencatbox{Categories:}
1030 @category{Package distrib}
1031 @closecatbox
1032
1033 @end deffn
1034
1035
1036 @anchor{var_noncentral_student_t}
1037 @deffn {Function} var_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
1038 Returns the variance of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1039
1040 The variance is
1041 m4_displaymath(
1042 <<<V[X] = {n(\mu^2+1)\over n-2} - {n\mu^2\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right)^2
1043 \over 2\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)^2}>>>,
1044 <<<
1045 @example
1046                              2 n - 1       2
1047                2        gamma (-----) n ncp
1048          n (ncp  + 1)            2
1049 V[X] =   ------------ - --------------------
1050             n - 2                  2 n
1051                             2 gamma (-)
1052                                      2
1053 @end example
1054 >>>)
1055
1056 where m4_math(\mu, mu) is the noncentrality parameter @math{ncp}.
1057
1058 @opencatbox{Categories:}
1059 @category{Package distrib}
1060 @closecatbox
1061
1062 @end deffn
1063
1064
1065 @anchor{std_noncentral_student_t}
1066 @deffn {Function} std_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
1067 Returns the standard deviation of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1068
1069 The standard deviation is
1070 m4_displaymath(
1071 <<<D[X] = \sqrt{{n(\mu^2+1)\over n-2} - {n\mu^2\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right)^2
1072 \over 2\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)^2}}>>>,
1073 <<<
1074 @example
1075                              2 n - 1       2
1076                     2        gamma (-----) n ncp
1077               n (ncp  + 1)            2
1078 D[X] =   sqrt(------------ - --------------------)
1079                  n - 2                  2 n
1080                                  2 gamma (-)
1081                                           2
1082 @end example
1083 >>>,
1084 <<<>>>)
1085
1086 @opencatbox{Categories:}
1087 @category{Package distrib}
1088 @closecatbox
1089
1090 @end deffn
1091
1092
1093 @anchor{skewness_noncentral_student_t}
1094 @deffn {Function} skewness_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
1095 Returns the skewness coefficient of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>3} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1096
1097 @c The TeX form is obtained from
1098 @c tex(skewness_noncentral_student_t(n,mu)).  Likewise the info form
1099 @c is just cut-n-pasted from maxima's terminal output.
1100 If @math{U} is a non-central Student's @math{t} random variable with
1101 @math{n} degrees of freedom and a noncentrality parameter m4_math(\mu,
1102 mu), the skewness is
1103 m4_displaymath(
1104 <<<\eqalign{
1105 SK[U] &=
1106 {\mu\sqrt{n}\,\Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)
1107 \over{\sqrt{2}\Gamma\left({{n
1108  }\over{2}}\right)\sigma^{3}}}\left({{n
1109  \left(2n+\mu^2-3\right)}\over{\left(n-3\right)\left(n-2\right)}}
1110  -2\sigma^2\right) \cr
1111  \sigma^2 &= {{n\left(\mu^2+1\right)}\over{n-2}}-{{n \mu^2\,
1112  \Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)^2}\over{2\Gamma\left({{n
1113  }\over{2}}\right)^2}}
1114 }
1115 >>>,
1116 <<<
1117 @example
1118 SK[U] =
1119                                      2
1120           n - 1           n (2 n + mu  - 3)
1121 (mu gamma(-----) sqrt(n) (-----------------
1122             2              (n - 3) (n - 2)
1123                       2      2 n - 1
1124          2          mu  gamma (-----) n
1125       (mu  + 1) n                2
1126  - 2 (----------- - -------------------)))
1127          n - 2                 2 n
1128                         2 gamma (-)
1129                                  2
1130                                     2      2 n - 1
1131                        2          mu  gamma (-----) n
1132                 n   (mu  + 1) n                2      3/2
1133 /(sqrt(2) gamma(-) (----------- - -------------------)   )
1134                 2      n - 2                 2 n
1135                                       2 gamma (-)
1136                                                2
1137 @end example
1138 >>>)
1139
1140 @opencatbox{Categories:}
1141 @category{Package distrib}
1142 @closecatbox
1143
1144 @end deffn
1145
1146
1147 @anchor{kurtosis_noncentral_student_t}
1148 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
1149 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Student random variable m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>4} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1150
1151 If @math{U} is a non-central Student's @math{t} random variable with
1152 @math{n} degrees of freedom and a noncentrality parameter m4_math(\mu,
1153 mu), the kurtosis is
1154
1155 @c The formula we see can be basically derived by computing
1156 @c (kurtosis_noncentral_student_t(n,mu)+3)*var_noncentral_student_t(n,mu)^2,
1157 @c which comes from the definition of kurtosis.  The rest is then
1158 @c obtained by replacing a constant by F.
1159 m4_displaymath(
1160 <<<\eqalign{
1161 KU[U] &=
1162 {\mu_4\over \sigma^4} - 3\cr
1163   \mu_4 &= {{\left(\mu^4+6\mu^2+3\right)n^2}\over{(n-4)(n-2)}}
1164  -\left({{n\left(3(3n-5)+\mu^2(n+1)\right)
1165  }\over{(n-3)(n-2)}}-3\sigma^2\right) F \cr
1166  \sigma^2 &= {{n\left(\mu^2+1\right)}\over{n-2}}-{{n \mu^2
1167  \Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)^2}\over{2\Gamma\left({{n
1168  }\over{2}}\right)^2}} \cr
1169  F &= {n\mu^2\Gamma\left({n-1\over 2}\right)^2 \over
1170  2\sigma^4\Gamma\left({n\over 2}\right)^2}
1171 }>>>,
1172 <<<
1173 @example
1174 KU[U] =
1175     4       2       2
1176  (mu  + 6 mu  + 3) n       2      2 n - 1
1177 (-------------------- - (mu  gamma (-----) n
1178    (n - 4) (n - 2)                    2
1179                                                      2      2 n - 1
1180                      2                  2          mu  gamma (-----) n
1181   n (3 (3 n - 5) + mu  (n + 1))      (mu  + 1) n                2
1182  (----------------------------- - 3 (----------- - -------------------)))
1183          (n - 3) (n - 2)                n - 2                 2 n
1184                                                        2 gamma (-)
1185                                                                 2
1186                                  2      2 n - 1
1187                     2          mu  gamma (-----) n
1188          2 n     (mu  + 1) n                2      2
1189 /(2 gamma (-)))/(----------- - -------------------)  - 3
1190            2        n - 2                 2 n
1191                                    2 gamma (-)
1192                                             2
1193 @end example
1194 >>>)
1195
1196 @opencatbox{Categories:}
1197 @category{Package distrib}
1198 @closecatbox
1199
1200 @end deffn
1201
1202
1203 @anchor{random_noncentral_student_t}
1204 @deffn {Function} random_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp}) @
1205 @fname{random_noncentral_student_t} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
1206
1207 Returns a noncentral Student random variate m4_Noncentral_T_RV(n,ncp), with @math{n>0}. Calling @code{random_noncentral_student_t} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1208
1209 The implemented algorithm is based on the fact that if @var{X} is a
1210 normal random variable m4_Normal_RV(ncp,1) and @math{S^2} is
1211 a m4_math(\chi^2, chi square) random variable with @var{n} degrees of freedom, m4_Chi2_RV(n), then
1212 m4_displaymath(
1213 <<<U={{X}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}>>>,
1214 <<<
1215 @example
1216                            X
1217                  U = -------------
1218                      /   2  \ 1/2
1219                      |  S   |
1220                      | ---  |
1221                      \  n   /
1222 @end example
1223 >>>)
1224 is a noncentral Student random variable with @math{n} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}, m4_Noncentral_T_RV(n,ncp).
1225
1226 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1227
1228 @opencatbox{Categories:}
1229 @category{Package distrib}
1230 @category{Random numbers}
1231 @closecatbox
1232
1233 @end deffn
1234
1235
1236 @node Chi-squared Random Variable, Noncentral Chi-squared Random Variable, Noncentral Student's t Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
1237 @subsection Chi-squared Random Variable
1238
1239 Let m4_math(<<<X_1, X_2, \ldots, X_n>>>, <<<X_1, X_2, ...,
1240 X_k>>>) be independent and identically distributed m4_Normal_RV(0,1) variables.  Then
1241 m4_displaymath(
1242 <<<X^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2>>>,
1243 <<<@math{X^2 = sum(X_i^2, i, 1, n)}>>>)
1244
1245 is said to follow a chi-square distribution with @math{n} degrees of
1246 freedom.
1247
1248 @anchor{pdf_chi2}
1249 @deffn {Function} pdf_chi2 (@var{x},@var{n})
1250 Returns the value at @var{x} of the density function of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1251 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1252
1253 The pdf is
1254
1255 m4_displaymath(
1256 <<<f(x; n) =
1257 \cases{
1258  \displaystyle{x^{n/2-1} e^{-x/2} \over 2^{n/2}
1259  \Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)} & for $x
1260  > 0$ \cr
1261 \cr
1262  0 & otherwise
1263 }>>>,
1264 <<<
1265 @example
1266              [  n/2 - 1   - x/2
1267              [ x        %e      unit_step(x)
1268              [ -----------------------------     for x >= 0
1269              [               n   n/2
1270    f(x, n) = [         gamma(-) 2
1271              [               2
1272              [
1273              [ 0                                 otherwise
1274 @end example
1275 >>>)
1276
1277 @c ===beg===
1278 @c load ("distrib")$
1279 @c pdf_chi2(x,n);
1280 @c ===end===
1281 @example
1282 (%i1) load ("distrib")$
1283 @group
1284 (%i2) pdf_chi2(x,n);
1285                    n/2 - 1   - x/2
1286                   x        %e      unit_step(x)
1287 (%o2)             -----------------------------
1288                                 n   n/2
1289                           gamma(-) 2
1290                                 2
1291 @end group
1292 @end example
1293
1294 @opencatbox{Categories:}
1295 @category{Package distrib}
1296 @closecatbox
1297
1298 @end deffn
1299
1300
1301 @anchor{cdf_chi2}
1302 @deffn {Function} cdf_chi2 (@var{x},@var{n})
1303 Returns the value at @math{x} of the distribution function of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1304
1305 The cdf is
1306 m4_displaymath(
1307 <<<F(x; n) =
1308 \cases{
1309 1 - Q\left(\displaystyle{n\over 2}, {x\over 2}\right) & $x > 0$ \cr
1310 0 & otherwise
1311 }>>>,
1312 <<<
1313 @example
1314           [        n  x
1315           [ (1 - Q(-, -))     for x >= 0
1316           [        2  2
1317 F(x, n) = [
1318           [ 0                 otherwise
1319 @end example
1320 >>>)
1321 where @math{Q(a,z)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized} function.
1322
1323 @c ===beg===
1324 @c load ("distrib")$
1325 @c cdf_chi2(3,4);
1326 @c float(%);
1327 @c ===end===
1328 @example
1329 (%i1) load ("distrib")$
1330 @group
1331 (%i2) cdf_chi2(3,4);
1332                                                  3
1333 (%o2)        1 - gamma_incomplete_regularized(2, -)
1334                                                  2
1335 @end group
1336 @group
1337 (%i3) float(%);
1338 (%o3)                  0.4421745996289252
1339 @end group
1340 @end example
1341
1342 @opencatbox{Categories:}
1343 @category{Package distrib}
1344 @closecatbox
1345
1346 @end deffn
1347
1348
1349 @anchor{quantile_chi2}
1350 @deffn {Function} quantile_chi2 (@var{q},@var{n})
1351 Returns the @var{q}-quantile of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1352
1353 This function has no closed form and it is numerically computed.
1354
1355 @c ===beg===
1356 @c load ("distrib")$
1357 @c quantile_chi2(0.99,9);
1358 @c ===end===
1359 @example
1360 (%i1) load ("distrib")$
1361 @group
1362 (%i2) quantile_chi2(0.99,9);
1363 (%o2)                   21.66599433346194
1364 @end group
1365 @end example
1366
1367 @opencatbox{Categories:}
1368 @category{Package distrib}
1369 @closecatbox
1370
1371 @end deffn
1372
1373
1374 @anchor{mean_chi2}
1375 @deffn {Function} mean_chi2 (@var{n})
1376 Returns the mean of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1377
1378 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1379
1380 The mean is
1381 m4_displaymath(
1382 <<<E[X] = n>>>,
1383 <<<
1384 @example
1385                             E[X] = n
1386 @end example
1387 >>>)
1388
1389 @c ===beg===
1390 @c load ("distrib")$
1391 @c mean_chi2(n);
1392 @c ===end===
1393 @example
1394 (%i1) load ("distrib")$
1395 @group
1396 (%i2) mean_chi2(n);
1397 (%o2)                           n
1398 @end group
1399 @end example
1400
1401 @opencatbox{Categories:}
1402 @category{Package distrib}
1403 @closecatbox
1404
1405 @end deffn
1406
1407
1408 @anchor{var_chi2}
1409 @deffn {Function} var_chi2 (@var{n})
1410 Returns the variance of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1411
1412 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1413
1414 The variance is
1415 m4_displaymath(
1416 <<<V[X] = 2n>>>,
1417 <<<
1418 @example
1419                            V[X] = 2 n
1420 @end example
1421 >>>)
1422
1423 @c ===beg===
1424 @c load ("distrib")$
1425 @c var_chi2(n);
1426 @c ===end===
1427 @example
1428 (%i1) load ("distrib")$
1429 @group
1430 (%i2) var_chi2(n);
1431 (%o2)                          2 n
1432 @end group
1433 @end example
1434
1435 @opencatbox{Categories:}
1436 @category{Package distrib}
1437 @closecatbox
1438
1439 @end deffn
1440
1441
1442 @anchor{std_chi2}
1443 @deffn {Function} std_chi2 (@var{n})
1444 Returns the standard deviation of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1445
1446 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1447
1448 The standard deviation is
1449 m4_displaymath(
1450 <<<D[X] = \sqrt{2n}>>>,
1451 <<<
1452 @example
1453                      D[X] = sqrt(2) sqrt(n)
1454 @end example
1455 >>>)
1456
1457 @c ===beg===
1458 @c load ("distrib")$
1459 @c std_chi2(n);
1460 @c ===end===
1461 @example
1462 (%i1) load ("distrib")$
1463 @group
1464 (%i2) std_chi2(n);
1465 (%o2)                    sqrt(2) sqrt(n)
1466 @end group
1467 @end example
1468
1469 @opencatbox{Categories:}
1470 @category{Package distrib}
1471 @closecatbox
1472
1473 @end deffn
1474
1475
1476 @anchor{skewness_chi2}
1477 @deffn {Function} skewness_chi2 (@var{n})
1478 Returns the skewness coefficient of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1479
1480 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1481
1482 The skewness coefficient is
1483 m4_displaymath(
1484 <<<SK[X] = \sqrt{8\over n}>>>,
1485 <<<
1486 @example
1487                                    3/2
1488                                   2
1489                          SK[X] = -------
1490                                  sqrt(n)
1491 @end example
1492 >>>)
1493
1494 @c ===beg===
1495 @c load ("distrib")$
1496 @c skewness_chi2(n);
1497 @c ===end===
1498 @example
1499 (%i1) load ("distrib")$
1500 @group
1501 (%i2) skewness_chi2(n);
1502                                3/2
1503                               2
1504 (%o2)                        -------
1505                              sqrt(n)
1506 @end group
1507 @end example
1508
1509 @opencatbox{Categories:}
1510 @category{Package distrib}
1511 @closecatbox
1512
1513 @end deffn
1514
1515
1516 @anchor{kurtosis_chi2}
1517 @deffn {Function} kurtosis_chi2 (@var{n})
1518 Returns the kurtosis coefficient of a Chi-square random variable m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}.
1519
1520 The m4_Chi2_RV(n) random variable is equivalent to the m4_Gamma_RV(n/2,2).
1521
1522 The kurtosis coefficient is
1523 m4_displaymath(
1524 <<<KU[X] = {12\over n}>>>,
1525 <<<
1526 @example
1527                                    12
1528                            KU[X] = --
1529                                    n
1530 @end example
1531 >>>)
1532
1533 @c ===beg===
1534 @c load ("distrib")$
1535 @c kurtosis_chi2(n);
1536 @c ===end===
1537 @example
1538 (%i1) load ("distrib")$
1539 @group
1540 (%i2) kurtosis_chi2(n);
1541                                12
1542 (%o2)                          --
1543                                n
1544 @end group
1545 @end example
1546
1547 @opencatbox{Categories:}
1548 @category{Package distrib}
1549 @closecatbox
1550
1551 @end deffn
1552
1553
1554 @anchor{random_chi2}
1555 @deffn {Function} random_chi2 (@var{n}) @
1556 @fname{random_chi2} (@var{n},@var{m})
1557
1558 Returns a Chi-square random variate m4_Chi2_RV(n), with @math{n>0}. Calling @code{random_chi2} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1559
1560 The simulation is based on the Ahrens-Cheng algorithm. See @code{random_gamma} for details.
1561
1562 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1563
1564 @opencatbox{Categories:}
1565 @category{Package distrib}
1566 @category{Random numbers}
1567 @closecatbox
1568
1569 @end deffn
1570
1571
1572 @node Noncentral Chi-squared Random Variable, F Random Variable, Chi-squared Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
1573 @subsection Noncentral Chi-squared Random Variable
1574
1575 Let m4_math(<<<X_1, X_2, ..., X_n>>>, <<<X[1], X[2], ..., X[n]>>>) be @math{n}
1576 independent normally distributed random variables with
1577 means m4_math(\mu_k, mu[k]) and unit variances.  Then the random variable
1578
1579 m4_displaymath(
1580 <<<\sum_{k=1}^n X_k^2>>>,
1581 <<<@math{sum(X[k]^2, k, 1, n)}>>>)
1582
1583 has a noncentral m4_math(\chi^2, chi-squared) distribution.  The
1584 number of degrees of freedom is @math{n}, and the noncentrality
1585 parameter is defined by
1586
1587 m4_displaymath(
1588 <<<\sum_{k=1}^n \mu_k^2>>>,
1589 <<<@math{sum(mu[k]^2, k, 1, n)}>>>)
1590
1591 @anchor{pdf_noncentral_chi2}
1592 @deffn {Function} pdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
1593 Returns the value at @math{x} of the density function of a
1594 noncentral m4_math(\chi^2, Chi-square) random
1595 variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To
1596 make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1597
1598 For @math{x < 0}, the pdf is 0, and for m4_math(x \ge 0, x >= 0) the pdf is
1599 m4_displaymath(
1600 <<<f(x; n, \lambda) =
1601 {1\over 2}e^{-(x+\lambda)/2} \left(x\over
1602 \lambda\right)^{n/4-1/2}I_{{n\over 2} - 1}\left(\sqrt{n \lambda}\right)
1603 >>>,
1604 <<<
1605 @example
1606  f(x, n, ncp) =
1607                                                        (- x) - ncp
1608                                                        -----------
1609                   n                     x  n/4 - 1/2        2
1610          bessel_i(- - 1, sqrt(ncp x)) (---)          %e            unit_step(x)
1611                   2                    ncp
1612          ----------------------------------------------------------------------
1613                                            2
1614 @end example
1615 >>>)
1616
1617 @opencatbox{Categories:}
1618 @category{Package distrib}
1619 @closecatbox
1620
1621 @end deffn
1622
1623
1624 @anchor{cdf_noncentral_chi2}
1625 @deffn {Function} cdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
1626 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1627
1628 @opencatbox{Categories:}
1629 @category{Package distrib}
1630 @closecatbox
1631
1632 @end deffn
1633
1634
1635 @anchor{quantile_noncentral_chi2}
1636 @deffn {Function} quantile_noncentral_chi2 (@var{q},@var{n},@var{ncp})
1637 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1638
1639 This function has no closed form and it is numerically computed.
1640
1641 @opencatbox{Categories:}
1642 @category{Package distrib}
1643 @closecatbox
1644
1645 @end deffn
1646
1647
1648 @anchor{mean_noncentral_chi2}
1649 @deffn {Function} mean_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1650 Returns the mean of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1651
1652 The mean is
1653 m4_displaymath(
1654 <<<E[X] = n + \mu>>>,
1655 <<<
1656 @example
1657                          E[X] = ncp + n
1658 @end example
1659 >>>)
1660 @ifnotinfo
1661 where m4_math(\mu) is the noncentrality parameter @var{ncp}.
1662 @end ifnotinfo
1663
1664
1665 @opencatbox{Categories:}
1666 @category{Package distrib}
1667 @closecatbox
1668
1669 @end deffn
1670
1671
1672 @anchor{var_noncentral_chi2}
1673 @deffn {Function} var_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1674 Returns the variance of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1675
1676 The variance is
1677 m4_displaymath(
1678 <<<V[X] = 2(n+2\mu)>>>,
1679 <<<
1680 @example
1681                       V[X] = 2 (2 ncp + n)
1682 @end example
1683 >>>)
1684 @ifnotinfo
1685 where m4_math(\mu) is the noncentrality parameter @var{ncp}.
1686 @end ifnotinfo
1687
1688 @opencatbox{Categories:}
1689 @category{Package distrib}
1690 @closecatbox
1691
1692 @end deffn
1693
1694
1695 @anchor{std_noncentral_chi2}
1696 @deffn {Function} std_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1697 Returns the standard deviation of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1698
1699 The standard deviation is
1700 m4_displaymath(
1701 <<<D[X] = \sqrt{2(n+2\mu)}>>>,
1702 <<<
1703 @example
1704                  D[X] = sqrt(2) sqrt(2 ncp + n)
1705 @end example
1706 >>>)
1707 @ifnotinfo
1708 where m4_math(\mu) is the noncentrality parameter @var{ncp}.
1709 @end ifnotinfo
1710 @opencatbox{Categories:}
1711 @category{Package distrib}
1712 @closecatbox
1713
1714 @end deffn
1715
1716
1717 @anchor{skewness_noncentral_chi2}
1718 @deffn {Function} skewness_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1719 Returns the skewness coefficient of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1720
1721 The skewness coefficient is
1722 m4_displaymath(
1723 <<<SK[X] = {2^{3/2}(n+3\mu) \over (n+2\mu)^{3/2}}>>>,
1724 <<<
1725 @example
1726           3/2
1727          2    (n + 3 mu)
1728  SK[X] = ---------------
1729                     3/2
1730           (n + 2 mu)
1731
1732 @end example
1733 >>>)
1734 @ifnotinfo
1735 where m4_math(\mu) is the noncentrality parameter @var{ncp}.
1736 @end ifnotinfo
1737
1738
1739 @opencatbox{Categories:}
1740 @category{Package distrib}
1741 @closecatbox
1742
1743 @end deffn
1744
1745
1746 @anchor{kurtosis_noncentral_chi2}
1747 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1748 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1749
1750 The kurtosis coefficient is
1751 m4_displaymath(
1752 <<<KU[X] = {12(n+4\mu)\over (2+2\mu)^2}>>>,
1753 <<<
1754 @example
1755            12 (n + 4 mu)
1756    KU[X] = -------------
1757                       2
1758             (n + 2 mu)
1759 @end example
1760 >>>)
1761 @ifnotinfo
1762 where m4_math(\mu) is the noncentrality parameter @var{ncp}.
1763 @end ifnotinfo
1764
1765 @opencatbox{Categories:}
1766 @category{Package distrib}
1767 @closecatbox
1768
1769 @end deffn
1770
1771
1772 @anchor{random_noncentral_chi2}
1773 @deffn {Function} random_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp}) @
1774 @fname{random_noncentral_chi2} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
1775
1776 Returns a noncentral Chi-square random variate m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. Calling @code{random_noncentral_chi2} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1777
1778 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1779
1780 @opencatbox{Categories:}
1781 @category{Package distrib}
1782 @category{Random numbers}
1783 @closecatbox
1784
1785 @end deffn
1786
1787
1788
1789 @node F Random Variable, Exponential Random Variable, Noncentral Chi-squared Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
1790 @subsection F Random Variable
1791
1792 Let @math{S_1} and @math{S_2} be independent random variables with
1793 a m4_math(\chi^2, chi-squared) distribution with degrees of freedom
1794 @math{n} and @math{m}, respectively.  Then
1795 m4_displaymath(
1796 <<<F = {S_1/n \over S_2/m}>>>,
1797 <<<@math{F = (S_1/n)/(S_2/m)}>>>) has an @math{F} distribution with @math{n} and @math{m} degrees of
1798 freedom.
1799
1800 @anchor{pdf_f}
1801 @deffn {Function} pdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1802 Returns the value at @var{x} of the density function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1803
1804 The pdf is
1805 m4_displaymath(
1806 <<<f(x; m, n) =
1807 \cases{
1808 B\left(\displaystyle{m\over 2}, \displaystyle{n\over 2}\right)^{-1}
1809 \left(\displaystyle{m\over n}\right)^{m/ 2}
1810 x^{m/2-1}
1811 \left(1 + \displaystyle{m\over n}x\right)^{-\left(n+m\right)/2} & $x >
1812 0$ \cr
1813 \cr
1814 0 & otherwise
1815 }>>>,
1816 <<<
1817 @example
1818  f(x, m, n) =
1819                                                          (- n) - m
1820                                                          ---------
1821                     n n/2       n + m   n/2 - 1  n x         2
1822                    (-)    gamma(-----) x        (--- + 1)          unit_step(x)
1823                     m             2               m
1824                    ------------------------------------------------------------
1825                                               m        n
1826                                         gamma(-) gamma(-)
1827                                               2        2
1828
1829 @end example>>>)
1830
1831 @opencatbox{Categories:}
1832 @category{Package distrib}
1833 @closecatbox
1834
1835 @end deffn
1836
1837
1838 @anchor{cdf_f}
1839 @deffn {Function} cdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1840 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}.
1841
1842 The cdf is
1843 m4_displaymath(
1844 <<<F(x; m, n) =
1845 \cases{
1846 1 - I_z\left(\displaystyle{m\over 2}, {n\over 2}\right) & $x > 0$ \cr
1847 0 & otherwise
1848 }>>>,
1849 <<<
1850 @example
1851                                                n  m     n
1852  F(x, m, n) = (1 - beta_incomplete_regularized(-, -, -------))
1853                                                2  2  m x + n
1854                                                              unit_step(x)
1855 @end example
1856 >>>)
1857
1858 @ifnotinfo
1859 where
1860 m4_displaymath(
1861 <<<z = {n\over mx+n}>>>,
1862 <<<>>>)
1863
1864 and m4_math(I_z(a,b)) is the @ref{beta_incomplete_regularized}
1865 function.
1866 @end ifnotinfo
1867 @c ===beg===
1868 @c load ("distrib")$
1869 @c cdf_f(2,3,9/4);
1870 @c float(%);
1871 @c ===end===
1872 @example
1873 (%i1) load ("distrib")$
1874 @group
1875 (%i2) cdf_f(2,3,9/4);
1876                                             9  3  3
1877 (%o2)       1 - beta_incomplete_regularized(-, -, --)
1878                                             8  2  11
1879 @end group
1880 @group
1881 (%i3) float(%);
1882 (%o3)                  0.6675672817900802
1883 @end group
1884 @end example
1885
1886 @opencatbox{Categories:}
1887 @category{Package distrib}
1888 @closecatbox
1889
1890 @end deffn
1891
1892
1893 @anchor{quantile_f}
1894 @deffn {Function} quantile_f (@var{q},@var{m},@var{n})
1895 Returns the @var{q}-quantile of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_f}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1896
1897 @c ===beg===
1898 @c load ("distrib")$
1899 @c quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1900 @c ===end===
1901 @example
1902 (%i1) load ("distrib")$
1903 @group
1904 (%i2) quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1905 (%o2)                  0.5189478385736904
1906 @end group
1907 @end example
1908
1909 @opencatbox{Categories:}
1910 @category{Package distrib}
1911 @closecatbox
1912
1913 @end deffn
1914
1915
1916 @anchor{mean_f}
1917 @deffn {Function} mean_f (@var{m},@var{n})
1918 Returns the mean of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1919
1920 The mean is
1921 m4_displaymath(
1922 <<<E[X] = {n\over n-2}>>>,
1923 <<<
1924 @example
1925                                    n
1926                           E[X] = -----
1927                                  n - 2
1928 @end example
1929 >>>)
1930
1931 @opencatbox{Categories:}
1932 @category{Package distrib}
1933 @closecatbox
1934
1935 @end deffn
1936
1937
1938 @anchor{var_f}
1939 @deffn {Function} var_f (@var{m},@var{n})
1940 Returns the variance of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1941
1942 The variance is
1943 m4_displaymath(
1944 <<<V[X] = {2n^2(n+m-2) \over m(n-4)(n-2)^2}>>>,
1945 <<<
1946 @example
1947                2
1948             2 n  (n + m - 2)
1949     V[X] = ------------------
1950                             2
1951            m (n - 4) (n - 2)
1952 @end example
1953 >>>)
1954 @opencatbox{Categories:}
1955 @category{Package distrib}
1956 @closecatbox
1957
1958 @end deffn
1959
1960
1961 @anchor{std_f}
1962 @deffn {Function} std_f (@var{m},@var{n})
1963 Returns the standard deviation of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1964
1965 The standard deviation is
1966 m4_displaymath(
1967 <<<D[X] = {\sqrt{2}\, n \over n-2} \sqrt{n+m-2\over m(n-4)}>>>,
1968 <<<
1969 @example
1970                         n         n + m - 2
1971   D[X] = sqrt(2) sqrt(-----) sqrt(---------)
1972                       n - 2       m (n - 4)
1973 @end example
1974 >>>)
1975 @opencatbox{Categories:}
1976 @category{Package distrib}
1977 @closecatbox
1978
1979 @end deffn
1980
1981
1982 @anchor{skewness_f}
1983 @deffn {Function} skewness_f (@var{m},@var{n})
1984 Returns the skewness coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>6}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1985
1986 The skewness coefficient is
1987 m4_displaymath(
1988 <<<SK[X] = {(n+2m-2)\sqrt{8(n-4)} \over (n-6)\sqrt{m(n+m-2)}}>>>,
1989 <<<
1990 @example
1991           3/2
1992          2    sqrt(n - 4) (n + 2 m - 2)
1993  SK[X] = ------------------------------
1994           (n - 6) sqrt(m (n + m - 2))
1995
1996 @end example
1997 >>>)
1998 @opencatbox{Categories:}
1999 @category{Package distrib}
2000 @closecatbox
2001
2002 @end deffn
2003
2004
2005 @anchor{kurtosis_f}
2006 @deffn {Function} kurtosis_f (@var{m},@var{n})
2007 Returns the kurtosis coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>8}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2008
2009 The kurtosis coefficient is
2010 m4_displaymath(
2011 <<<KU[X] = 12{m(n+m-2)(5n-22) + (n-4)(n-2)^2 \over m(n-8)(n-6)(n+m-2)}>>>,
2012 <<<
2013 @example
2014                                                         2
2015           12 (m (n + m - 2) (5 n - 22) + (n - 4) (n - 2) )
2016   KU[X] = ------------------------------------------------
2017                    m (n - 8) (n - 6) (n + m - 2)
2018 @end example
2019 >>>)
2020
2021 @opencatbox{Categories:}
2022 @category{Package distrib}
2023 @closecatbox
2024
2025 @end deffn
2026
2027
2028 @anchor{random_f}
2029 @deffn {Function} random_f (@var{m},@var{n}) @
2030 @fname{random_f} (@var{m},@var{n},@var{k})
2031
2032 Returns a F random variate @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. Calling @code{random_f} with a third argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
2033
2034 The simulation algorithm is based on the fact that if @var{X} is a @math{Chi^2(m)} random variable and @math{Y} is a m4_Chi2_RV(n) random variable, then
2035 m4_displaymath(
2036 <<<F={{n X}\over{m Y}}>>>,
2037 <<<
2038 @example
2039                         n X
2040                     F = ---
2041                         m Y
2042 @end example
2043 >>>)
2044 is a F random variable with @var{m} and @var{n} degrees of freedom, @math{F(m,n)}.
2045
2046 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2047
2048 @opencatbox{Categories:}
2049 @category{Package distrib}
2050 @category{Random numbers}
2051 @closecatbox
2052
2053 @end deffn
2054
2055
2056 @node Exponential Random Variable, Lognormal Random Variable, F Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
2057 @subsection Exponential Random Variable
2058
2059 The @emph{exponential distribution} is the probablity distribution of
2060 the time between events in a process where the events occur
2061 continuously and independently at a constant average rate.
2062
2063 @anchor{pdf_exp}
2064 @deffn {Function} pdf_exp (@var{x},@var{m})
2065 Returns the value at @var{x} of the density function of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2066
2067 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2068
2069 The pdf is
2070 m4_displaymath(
2071 <<<f(x; m) =
2072 \cases{
2073 me^{-mx} & for $x \ge 0$ \cr
2074 0 & otherwise
2075 }>>>,
2076 <<<
2077 @example
2078           [ m*exp(-m*x) for x >= 0
2079 f(x, m) = [
2080           [ 0           otherwise
2081 @end example
2082 >>>)
2083
2084 @c ===beg===
2085 @c load ("distrib")$
2086 @c pdf_exp(x,m);
2087 @c ===end===
2088 @example
2089 (%i1) load ("distrib")$
2090 @group
2091 (%i2) pdf_exp(x,m);
2092                          - m x
2093 (%o2)                m %e      unit_step(x)
2094 @end group
2095 @end example
2096
2097 @opencatbox{Categories:}
2098 @category{Package distrib}
2099 @closecatbox
2100
2101 @end deffn
2102
2103
2104 @anchor{cdf_exp}
2105 @deffn {Function} cdf_exp (@var{x},@var{m})
2106 Returns the value at @var{x} of the distribution function of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2107
2108 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2109
2110 The cdf is
2111 m4_displaymath(
2112 <<<F(x; m) =
2113 \cases{
2114 1 - e^{-mx} & $x \ge 0$ \cr
2115 0 & otherwise
2116 }>>>,
2117 <<<
2118 @example
2119          [ 1 - exp(-m*x)  for x >= 0
2120 F(x,n) = [
2121          [ 0              otherwise
2122 @end example
2123 >>>)
2124 @c ===beg===
2125 @c load ("distrib")$
2126 @c cdf_exp(x,m);
2127 @c ===end===
2128 @example
2129 (%i1) load ("distrib")$
2130 @group
2131 (%i2) cdf_exp(x,m);
2132                           - m x
2133 (%o2)              (1 - %e     ) unit_step(x)
2134 @end group
2135 @end example
2136
2137 @opencatbox{Categories:}
2138 @category{Package distrib}
2139 @closecatbox
2140
2141 @end deffn
2142
2143
2144 @anchor{quantile_exp}
2145 @deffn {Function} quantile_exp (@var{q},@var{m})
2146 Returns the @var{q}-quantile of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_exp}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
2147
2148 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2149
2150 @c ===beg===
2151 @c load ("distrib")$
2152 @c quantile_exp(0.56,5);
2153 @c quantile_exp(0.56,m);
2154 @c ===end===
2155 @example
2156 (%i1) load ("distrib")$
2157 @group
2158 (%i2) quantile_exp(0.56,5);
2159 (%o2)                  0.1641961104139661
2160 @end group
2161 @group
2162 (%i3) quantile_exp(0.56,m);
2163                        0.8209805520698303
2164 (%o3)                  ------------------
2165                                m
2166 @end group
2167 @end example
2168
2169 @opencatbox{Categories:}
2170 @category{Package distrib}
2171 @closecatbox
2172
2173 @end deffn
2174
2175
2176 @anchor{mean_exp}
2177 @deffn {Function} mean_exp (@var{m})
2178 Returns the mean of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2179
2180 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2181
2182 The mean is
2183 m4_displaymath(
2184 <<<E[X] = {1\over m}>>>,
2185 <<<
2186 @example
2187                                    1
2188                             E[X] = -
2189                                    m
2190 @end example
2191 >>>)
2192
2193 @c ===beg===
2194 @c load ("distrib")$
2195 @c mean_exp(m);
2196 @c ===end===
2197 @example
2198 (%i1) load ("distrib")$
2199 @group
2200 (%i2) mean_exp(m);
2201                                 1
2202 (%o2)                           -
2203                                 m
2204 @end group
2205 @end example
2206
2207 @opencatbox{Categories:}
2208 @category{Package distrib}
2209 @closecatbox
2210
2211 @end deffn
2212
2213
2214 @anchor{var_exp}
2215 @deffn {Function} var_exp (@var{m})
2216 Returns the variance of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2217
2218 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2219
2220 The variance is
2221 m4_displaymath(
2222 <<<V[X] = {1\over m^2}>>>,
2223 <<<
2224 @example
2225                                    1
2226                               VX = --
2227                                     2
2228                                    m
2229 @end example
2230
2231 >>>)
2232 @c ===beg===
2233 @c load ("distrib")$
2234 @c var_exp(m);
2235 @c ===end===
2236 @example
2237 (%i1) load ("distrib")$
2238 @group
2239 (%i2) var_exp(m);
2240                                1
2241 (%o2)                          --
2242                                 2
2243                                m
2244 @end group
2245 @end example
2246
2247 @opencatbox{Categories:}
2248 @category{Package distrib}
2249 @closecatbox
2250
2251 @end deffn
2252
2253
2254 @anchor{std_exp}
2255 @deffn {Function} std_exp (@var{m})
2256 Returns the standard deviation of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2257
2258 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2259
2260 The standard deviation is
2261 m4_displaymath(
2262 <<<D[X] = {1\over m}>>>,
2263 <<<
2264 @example
2265                                    1
2266                             D[X] = -
2267                                    m
2268 @end example
2269 >>>)
2270
2271 @c ===beg===
2272 @c load ("distrib")$
2273 @c std_exp(m);
2274 @c ===end===
2275 @example
2276 (%i1) load ("distrib")$
2277 @group
2278 (%i2) std_exp(m);
2279                                 1
2280 (%o2)                           -
2281                                 m
2282 @end group
2283 @end example
2284
2285 @opencatbox{Categories:}
2286 @category{Package distrib}
2287 @closecatbox
2288
2289 @end deffn
2290
2291
2292 @anchor{skewness_exp}
2293 @deffn {Function} skewness_exp (@var{m})
2294 Returns the skewness coefficient of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2295
2296 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2297
2298 The skewness coefficient is
2299 m4_displaymath(
2300 <<<SK[X] = 2>>>,
2301 <<<
2302 @example
2303                             SK[X] = 2
2304 @end example
2305 >>>)
2306
2307 @c ===beg===
2308 @c load ("distrib")$
2309 @c skewness_exp(m);
2310 @c ===end===
2311 @example
2312 (%i1) load ("distrib")$
2313 @group
2314 (%i2) skewness_exp(m);
2315 (%o2)                           2
2316 @end group
2317 @end example
2318
2319 @opencatbox{Categories:}
2320 @category{Package distrib}
2321 @closecatbox
2322
2323 @end deffn
2324
2325
2326 @anchor{kurtosis_exp}
2327 @deffn {Function} kurtosis_exp (@var{m})
2328 Returns the kurtosis coefficient of an m4_Exponential_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
2329
2330 The m4_Exponential_RV(m) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(1,1/m).
2331
2332 The kurtosis coefficient is
2333 m4_displaymath(
2334 <<<KU[X] = 6>>>,
2335 <<<
2336 @example
2337                             KU[X] = 6
2338 @end example
2339 >>>)
2340
2341 @c ===beg===
2342 @c load ("distrib")$
2343 @c kurtosis_exp(m);
2344 @c ===end===
2345 @example
2346 (%i1) load ("distrib")$
2347 @group
2348 (%i2) kurtosis_exp(m);
2349 (%o2)                           6
2350 @end group
2351 @end example
2352
2353 @opencatbox{Categories:}
2354 @category{Package distrib}
2355 @closecatbox
2356
2357 @end deffn
2358
2359
2360 @anchor{random_exp}
2361 @deffn {Function} random_exp (@var{m}) @
2362 @fname{random_exp} (@var{m},@var{k})
2363
2364 Returns an m4_Exponential_RV(m) random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_exp} with a second argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
2365
2366 The simulation algorithm is based on the general inverse method.
2367
2368 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2369
2370 @opencatbox{Categories:}
2371 @category{Package distrib}
2372 @category{Random numbers}
2373 @closecatbox
2374
2375 @end deffn
2376
2377
2378 @node Lognormal Random Variable, Gamma Random Variable, Exponential Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
2379 @subsection Lognormal Random Variable
2380
2381 The @emph{lognormal} distribution is distribution for a random
2382 variable whose logarithm is normally distributed.
2383
2384 @anchor{pdf_lognormal}
2385 @deffn {Function} pdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
2386 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2387
2388 The pdf is
2389 m4_displaymath(
2390 <<<f(x; m, s) =
2391 \cases{
2392 \displaystyle{1\over x s \sqrt{2\pi}}
2393 \exp\left(-\displaystyle{\left(\log x - m\right)^2\over 2s^2}\right) & for $x \ge
2394 0$ \cr
2395 \cr
2396 0 & for $x < 0$
2397 }>>>,
2398 <<<
2399 @example
2400                    [                   2
2401                    [       (log(x) - m)
2402                    [     - -------------
2403                    [              2
2404                    [           2 s
2405                    [   %e
2406       f(x, m, s) = [ ---------------------      for x >= 0
2407                    [ sqrt(2) sqrt(%pi) s x
2408                    [
2409                    [ 0                          for x < 0
2410 @end example
2411 >>>)
2412 @opencatbox{Categories:}
2413 @category{Package distrib}
2414 @closecatbox
2415
2416 @end deffn
2417
2418
2419 @anchor{cdf_lognormal}
2420 @deffn {Function} cdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
2421 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
2422
2423 The cdf is
2424 m4_displaymath(
2425 <<<F(x; m, s) =
2426 \cases{
2427 \displaystyle{1\over 2}\left[1+{\rm erf}\left({\log x - m\over s\sqrt{2}}\right)\right] &
2428 for $x > 0$ \cr
2429 \cr
2430 0 & for $x \le 0$
2431 }>>>,
2432 <<<
2433 @example
2434                                          log(x) - m
2435                                      erf(----------)
2436                                          sqrt(2) s     1
2437           F(x, m, s) = unit_step(x) (--------------- + -)
2438                                             2          2
2439 @end example
2440 >>>)
2441
2442 @c ===beg===
2443 @c load ("distrib")$
2444 @c cdf_lognormal(x,m,s);
2445 @c ===end===
2446 @example
2447 (%i1) load ("distrib")$
2448 @group
2449 (%i2) cdf_lognormal(x,m,s);
2450                                  log(x) - m
2451                              erf(----------)
2452                                  sqrt(2) s     1
2453 (%o2)          unit_step(x) (--------------- + -)
2454                                     2          2
2455 @end group
2456 @end example
2457
2458 See also @mrefdot{erf}
2459
2460 @opencatbox{Categories:}
2461 @category{Package distrib}
2462 @closecatbox
2463
2464 @end deffn
2465
2466
2467 @anchor{quantile_lognormal}
2468 @deffn {Function} quantile_lognormal (@var{q},@var{m},@var{s})
2469 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_lognormal}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2470
2471 @c ===beg===
2472 @c load ("distrib")$
2473 @c quantile_lognormal(95/100,0,1);
2474 @c float(%);
2475 @c ===end===
2476 @example
2477 (%i1) load ("distrib")$
2478 @group
2479 (%i2) quantile_lognormal(95/100,0,1);
2480                      sqrt(2) inverse_erf(9/10)
2481 (%o2)              %e
2482 @end group
2483 @group
2484 (%i3) float(%);
2485 (%o3)                   5.180251602233015
2486 @end group
2487 @end example
2488
2489 @opencatbox{Categories:}
2490 @category{Package distrib}
2491 @closecatbox
2492
2493 @end deffn
2494
2495
2496 @anchor{mean_lognormal}
2497 @deffn {Function} mean_lognormal (@var{m},@var{s})
2498 Returns the mean of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2499
2500 The mean is
2501 m4_displaymath(
2502 <<<E[X] = \exp\left(m+{s^2\over 2}\right)>>>,
2503 <<<
2504 @example
2505                                    2
2506                                   s
2507                                   -- + m
2508                                   2
2509                          E[X] = %e
2510 @end example
2511
2512 >>>)
2513
2514 @opencatbox{Categories:}
2515 @category{Package distrib}
2516 @closecatbox
2517
2518 @end deffn
2519
2520
2521 @anchor{var_lognormal}
2522 @deffn {Function} var_lognormal (@var{m},@var{s})
2523 Returns the variance of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2524
2525 The variance is
2526 m4_displaymath(
2527 <<<V[X] = \left(\exp\left(s^2\right) - 1\right) \exp\left(2m+s^2\right)>>>,
2528 <<<
2529 @example
2530                              2         2
2531                             s         s  + 2 m
2532                   V[X] = (%e   - 1) %e
2533
2534 @end example
2535 >>>)
2536
2537 @opencatbox{Categories:}
2538 @category{Package distrib}
2539 @closecatbox
2540
2541 @end deffn
2542
2543 @anchor{std_lognormal}
2544 @deffn {Function} std_lognormal (@var{m},@var{s})
2545 Returns the standard deviation of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2546
2547 The standard deviation is
2548 m4_displaymath(
2549 <<<D[X] = \sqrt{\left(\exp\left(s^2\right) - 1\right)}
2550 \exp\left(m+{s^2\over 2}\right)>>>,
2551 <<<
2552 @example
2553                                          2
2554                                         s  + 2 m
2555                                2        --------
2556                               s            2
2557                 D[X] = sqrt(%e   - 1) %e
2558
2559 @end example
2560
2561 >>>)
2562 @opencatbox{Categories:}
2563 @category{Package distrib}
2564 @closecatbox
2565
2566 @end deffn
2567
2568
2569 @anchor{skewness_lognormal}
2570 @deffn {Function} skewness_lognormal (@var{m},@var{s})
2571 Returns the skewness coefficient of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2572
2573 The skewness coefficient is
2574 m4_displaymath(
2575 <<<SK[X] = \left(\exp\left(s^2\right)+2\right)\sqrt{\exp\left(s^2\right)-1}>>>,
2576 <<<
2577 @example
2578                                 2          2
2579                                s          s
2580                 SK[X] = sqrt(%e   - 1) (%e   + 2)
2581 @end example
2582 >>>)
2583
2584 @opencatbox{Categories:}
2585 @category{Package distrib}
2586 @closecatbox
2587
2588 @end deffn
2589
2590
2591 @anchor{kurtosis_lognormal}
2592 @deffn {Function} kurtosis_lognormal (@var{m},@var{s})
2593 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Lognormal_RV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2594
2595 The kurtosis coefficient is
2596 m4_displaymath(
2597 <<<KU[X] = \exp\left(4s^2\right)+2\exp\left(3s^2\right)+3\exp\left(2s^2\right)-3>>>,
2598 <<<
2599 @example
2600                          2          2          2
2601                       4 s        3 s        2 s
2602             KU[X] = %e     + 2 %e     + 3 %e     - 3
2603
2604 @end example
2605
2606 >>>)
2607
2608 @opencatbox{Categories:}
2609 @category{Package distrib}
2610 @closecatbox
2611
2612 @end deffn
2613
2614
2615 @anchor{random_lognormal}
2616 @deffn {Function} random_lognormal (@var{m},@var{s}) @
2617 @fname{random_lognormal} (@var{m},@var{s},@var{n})
2618
2619 Returns a m4_Lognormal_RV(m,s) random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_lognormal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2620
2621 Log-normal variates are simulated by means of random normal variates. See @code{random_normal} for details.
2622
2623 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2624
2625 @opencatbox{Categories:}
2626 @category{Package distrib}
2627 @category{Random numbers}
2628 @closecatbox
2629
2630 @end deffn
2631
2632
2633 @node Gamma Random Variable, Beta Random Variable, Lognormal Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
2634 @subsection Gamma Random Variable
2635
2636 The @emph{gamma distribution} is a two-parameter family of probability
2637 distributions.  Maxima uses the parameterization using the shape and
2638 scale for the first and second parameters of the distribution.
2639
2640 @anchor{pdf_gamma}
2641 @deffn {Function} pdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
2642 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2643
2644 The shape parameter is @math{a}, and the scale parameter is @math{b}.
2645
2646 The pdf is
2647 m4_displaymath(
2648 <<<f(x; a, b) = {x^{a-1}e^{-x/b}\over b^a \Gamma(a)}>>>,
2649 <<<
2650 @example
2651                     a - 1   - x/b
2652                    x      %e      unit_step(x)
2653       f(x, a, b) = ---------------------------
2654                                      a
2655                            gamma(a) b
2656 @end example
2657 >>>)
2658
2659 @opencatbox{Categories:}
2660 @category{Package distrib}
2661 @closecatbox
2662
2663 @end deffn
2664
2665
2666 @anchor{cdf_gamma}
2667 @deffn {Function} cdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
2668 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}.
2669
2670 The cdf is
2671 m4_displaymath(
2672 <<<F(x; a, b) =
2673 \cases{
2674 1-Q(a,{x\over b}) & for $x \ge 0$ \cr
2675 \cr
2676 0 & for $x < 0$
2677 }>>>,
2678 <<<
2679 @example
2680              [ 1 - Q(a,x/b) for x>= 0
2681 F(x, a, b) = [
2682              [ 0            for x < 0
2683 @end example
2684 >>>)
2685 where @math{Q(a,z)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized} function.
2686 @c ===beg===
2687 @c load ("distrib")$
2688 @c cdf_gamma(3,5,21);
2689 @c float(%);
2690 @c ===end===
2691 @example
2692 (%i1) load ("distrib")$
2693 @group
2694 (%i2) cdf_gamma(3,5,21);
2695                                                  1
2696 (%o2)        1 - gamma_incomplete_regularized(5, -)
2697                                                  7
2698 @end group
2699 @group
2700 (%i3) float(%);
2701 (%o3)                 4.402663157376807e-7
2702 @end group
2703 @end example
2704
2705 @opencatbox{Categories:}
2706 @category{Package distrib}
2707 @closecatbox
2708
2709 @end deffn
2710
2711
2712 @anchor{quantile_gamma}
2713 @deffn {Function} quantile_gamma (@var{q},@var{a},@var{b})
2714 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gamma}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2715
2716 @opencatbox{Categories:}
2717 @category{Package distrib}
2718 @closecatbox
2719
2720 @end deffn
2721
2722
2723 @anchor{mean_gamma}
2724 @deffn {Function} mean_gamma (@var{a},@var{b})
2725 Returns the mean of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2726
2727 The mean is
2728 m4_displaymath(
2729 <<<E[X] = ab>>>,
2730 <<<
2731 @example
2732                            E[X] = a b
2733 @end example
2734 >>>)
2735
2736 @opencatbox{Categories:}
2737 @category{Package distrib}
2738 @closecatbox
2739
2740 @end deffn
2741
2742
2743 @anchor{var_gamma}
2744 @deffn {Function} var_gamma (@var{a},@var{b})
2745 Returns the variance of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2746
2747 The variance is
2748 m4_displaymath(
2749 <<<V[X] = ab^2>>>,
2750 <<<
2751 @example
2752                                      2
2753                            V[X] = a b
2754 @end example
2755
2756 >>>)
2757 @opencatbox{Categories:}
2758 @category{Package distrib}
2759 @closecatbox
2760
2761 @end deffn
2762
2763 @anchor{std_gamma}
2764 @deffn {Function} std_gamma (@var{a},@var{b})
2765 Returns the standard deviation of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2766
2767 The standard deviation is
2768 m4_displaymath(
2769 <<<D[X] = b\sqrt{a}>>>,
2770 <<<
2771 @example
2772                        D[X] = sqrt(a) b
2773 @end example
2774 >>>)
2775
2776 @opencatbox{Categories:}
2777 @category{Package distrib}
2778 @closecatbox
2779
2780 @end deffn
2781
2782
2783 @anchor{skewness_gamma}
2784 @deffn {Function} skewness_gamma (@var{a},@var{b})
2785 Returns the skewness coefficient of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2786
2787 The skewness coefficient is
2788 m4_displaymath(
2789 <<<SK[X] = {2\over \sqrt{a}}>>>,
2790 <<<
2791 @example
2792                                      2
2793                           SK[X] = -------
2794                                   sqrt(a)
2795 @end example
2796 >>>)
2797
2798 @opencatbox{Categories:}
2799 @category{Package distrib}
2800 @closecatbox
2801
2802 @end deffn
2803
2804
2805 @anchor{kurtosis_gamma}
2806 @deffn {Function} kurtosis_gamma (@var{a},@var{b})
2807 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Gamma_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2808
2809 The kurtosis coefficient is
2810 m4_displaymath(
2811 <<<KU[X] = {6\over a}>>>,
2812 <<<
2813 @example
2814                                      6
2815                              KU[X] = -
2816                                      a
2817
2818 @end example
2819 >>>)
2820
2821 @opencatbox{Categories:}
2822 @category{Package distrib}
2823 @closecatbox
2824
2825 @end deffn
2826
2827
2828 @anchor{random_gamma}
2829 @deffn {Function} random_gamma (@var{a},@var{b}) @
2830 @fname{random_gamma} (@var{a},@var{b},@var{n})
2831
2832 Returns a m4_Gamma_RV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_gamma} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2833
2834 The implemented algorithm is a combination of two procedures, depending on the value of parameter @var{a}:
2835
2836 For @math{a>=1}, Cheng, R.C.H. and Feast, G.M. (1979). @var{Some simple gamma variate generators}. Appl. Stat., 28, 3, 290-295.
2837
2838 For @math{0<a<1}, Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1974). @var{Computer methods for sampling from gamma, , poisson and binomial cdf_tributions}. Computing, 12, 223-246.
2839
2840 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2841
2842 @opencatbox{Categories:}
2843 @category{Package distrib}
2844 @category{Random numbers}
2845 @closecatbox
2846
2847 @end deffn
2848
2849
2850 @node Beta Random Variable, Continuous Uniform Random Variable, Gamma Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
2851 @subsection Beta Random Variable
2852
2853 The @emph{beta} distribution is a family of distributions defined over
2854 @math{[0,1]} parameterized by two positive shape parameters @math{a},
2855 and @math{b}.
2856
2857 @anchor{pdf_beta}
2858 @deffn {Function} pdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
2859 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2860
2861 The pdf is
2862 m4_displaymath(
2863 <<<f(x; a, b) =
2864 \cases{
2865 \displaystyle{x^{a-1}(1-x)^{b-1} \over B(a,b)} & for $0 \le x \le 1$
2866 \cr
2867 \cr
2868 0 & otherwise
2869 }>>>,
2870 <<<
2871 @example
2872               [        b - 1  a - 1
2873               [ (1 - x)      x
2874  f(x, a, b) = [ -------------------   for 0 <= x <= 1
2875               [     beta(a, b)
2876               [
2877               [ 0                     otherwise
2878 @end example
2879 >>>)
2880
2881 @opencatbox{Categories:}
2882 @category{Package distrib}
2883 @closecatbox
2884
2885 @end deffn
2886
2887
2888
2889 @anchor{cdf_beta}
2890 @deffn {Function} cdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
2891 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}.
2892
2893 The cdf is
2894 m4_displaymath(
2895 <<<F(x; a, b) =
2896 \cases{
2897 0 & $x < 0$ \cr
2898 I_x(a,b) & $0 \le x \le 1$ \cr
2899 1 & $x > 1$
2900 }>>>,
2901 <<<
2902 @example
2903              [ 0                                     for x < 0
2904              [
2905 F(x, a, b) = [ beta_incomplete_regularized(a, b, x)  for 0 <= x <= 1
2906              [
2907              [ 1                                     for x > 1
2908 @end example
2909 >>>)
2910 @c ===beg===
2911 @c load ("distrib")$
2912 @c cdf_beta(1/3,15,2);
2913 @c float(%);
2914 @c ===end===
2915 @example
2916 (%i1) load ("distrib")$
2917 @group
2918 (%i2) cdf_beta(1/3,15,2);
2919                                11
2920 (%o2)                       --------
2921                             14348907
2922 @end group
2923 @group
2924 (%i3) float(%);
2925 (%o3)                 7.666089131388195e-7
2926 @end group
2927 @end example
2928
2929 @opencatbox{Categories:}
2930 @category{Package distrib}
2931 @closecatbox
2932
2933 @end deffn
2934
2935
2936 @anchor{quantile_beta}
2937 @deffn {Function} quantile_beta (@var{q},@var{a},@var{b})
2938 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_beta}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2939
2940 @opencatbox{Categories:}
2941 @category{Package distrib}
2942 @closecatbox
2943
2944 @end deffn
2945
2946
2947 @anchor{mean_beta}
2948 @deffn {Function} mean_beta (@var{a},@var{b})
2949 Returns the mean of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2950
2951 The mean is
2952 m4_displaymath(
2953 <<<E[X] = {a\over a+b}>>>,
2954 <<<
2955 @example
2956                                     a
2957                            E[X] = -----
2958                                   b + a
2959 @end example
2960 >>>)
2961
2962 @opencatbox{Categories:}
2963 @category{Package distrib}
2964 @closecatbox
2965
2966 @end deffn
2967
2968
2969 @anchor{var_beta}
2970 @deffn {Function} var_beta (@var{a},@var{b})
2971 Returns the variance of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2972
2973 The variance is
2974 m4_displaymath(
2975 <<<V[X] = {ab \over (a+b)^2(a+b+1)}>>>,
2976 <<<
2977 @example
2978                    a b
2979     V[X] = --------------------
2980                   2
2981            (b + a)  (b + a + 1)
2982 @end example
2983 >>>)
2984
2985 @opencatbox{Categories:}
2986 @category{Package distrib}
2987 @closecatbox
2988
2989 @end deffn
2990
2991 @anchor{std_beta}
2992 @deffn {Function} std_beta (@var{a},@var{b})
2993 Returns the standard deviation of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2994
2995 The standard deviation is
2996 m4_displaymath(
2997 <<<D[X] = {1\over a+b}\sqrt{ab\over a+b+1}>>>,
2998 <<<
2999 @example
3000                    a b
3001            sqrt(---------)
3002                 b + a + 1
3003     D[X] = ---------------
3004              abs(b + a)
3005 @end example
3006 >>>)
3007
3008 @opencatbox{Categories:}
3009 @category{Package distrib}
3010 @closecatbox
3011
3012 @end deffn
3013
3014
3015 @anchor{skewness_beta}
3016 @deffn {Function} skewness_beta (@var{a},@var{b})
3017 Returns the skewness coefficient of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3018
3019 The skewness coefficient is
3020 m4_displaymath(
3021 <<<SK[X] = {2(b-a)\sqrt{a+b+1} \over (a+b+2)\sqrt{ab}}>>>,
3022 <<<
3023 @example
3024            2 (b - a) sqrt(b + a + 1)
3025    SK[X] = -------------------------
3026              sqrt(a b) (b + a + 2)
3027 @end example
3028 >>>)
3029 @opencatbox{Categories:}
3030 @category{Package distrib}
3031 @closecatbox
3032
3033 @end deffn
3034
3035
3036 @anchor{kurtosis_beta}
3037 @deffn {Function} kurtosis_beta (@var{a},@var{b})
3038 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Beta_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3039
3040 The kurtosis coefficient is
3041 m4_displaymath(
3042 <<<KU[X] = {3(a+b+1)\left(2(a+b)^2+ab(a+b-6)\right) \over
3043 ab(a+b+2)(a+b+3)} - 3>>>,
3044 <<<
3045 @example
3046                                   2
3047           3 (b + a + 1) (2 (b + a)  + a b (b + a - 6))
3048   KU[X] = -------------------------------------------- - 3
3049                   a b (b + a + 2) (b + a + 3)
3050 @end example
3051 >>>)
3052
3053 @opencatbox{Categories:}
3054 @category{Package distrib}
3055 @closecatbox
3056
3057 @end deffn
3058
3059
3060 @anchor{random_beta}
3061 @deffn {Function} random_beta (@var{a},@var{b}) @
3062 @fname{random_beta} (@var{a},@var{b},@var{n})
3063
3064 Returns a m4_Beta_RV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_beta} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3065
3066 The implemented algorithm is defined in Cheng, R.C.H.  (1978). @var{Generating Beta Variates with Nonintegral Shape Parameters}. Communications of the ACM, 21:317-322
3067
3068 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3069
3070 @opencatbox{Categories:}
3071 @category{Package distrib}
3072 @category{Random numbers}
3073 @closecatbox
3074
3075 @end deffn
3076
3077 @node Continuous Uniform Random Variable, Logistic Random Variable, Beta Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
3078 @subsection Continuous Uniform Random Variable
3079
3080 The @emph{continuous uniform} distribution is constant over the
3081 interval @math{[a,b]} and is zero elsewhere.
3082
3083 @anchor{pdf_continuous_uniform}
3084 @deffn {Function} pdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
3085 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3086
3087 The pdf
3088 m4_displaymath(
3089 <<<f(x; a, b) =
3090 \cases{
3091 \displaystyle{1\over b-a} & for $0 \le x \le 1$ \cr
3092 \cr
3093 0 & otherwise
3094 }>>>,
3095 <<<
3096 @example
3097              [ 1/(b-a) for 0 <= x <= 1
3098 f(x, a, b) = [
3099              [ 0       otherwise
3100 @end example
3101 >>>)
3102 and is 0 otherwise.
3103
3104 @opencatbox{Categories:}
3105 @category{Package distrib}
3106 @closecatbox
3107
3108 @end deffn
3109
3110
3111 @anchor{cdf_continuous_uniform}
3112 @deffn {Function} cdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
3113 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3114
3115 The cdf is
3116 m4_displaymath(
3117 <<<F(x; a, b) =
3118 \cases{
3119 0 & for $x < a$ \cr
3120 \cr
3121 \displaystyle{x-a\over b-a} & for $a \le x \le b$ \cr
3122 \cr
3123 1 & for $x > b$
3124 }>>>,
3125 <<<
3126 @example
3127            [ 0              for x < a
3128 F(x,a,b) = [ (x-a)/(b-a)    for a <= x <= b
3129            [ 1              for x > b
3130 @end example
3131 >>>)
3132 @opencatbox{Categories:}
3133 @category{Package distrib}
3134 @closecatbox
3135
3136 @end deffn
3137
3138
3139 @anchor{quantile_continuous_uniform}
3140 @deffn {Function} quantile_continuous_uniform (@var{q},@var{a},@var{b})
3141 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_continuous_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3142
3143 @opencatbox{Categories:}
3144 @category{Package distrib}
3145 @closecatbox
3146
3147 @end deffn
3148
3149
3150 @anchor{mean_continuous_uniform}
3151 @deffn {Function} mean_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
3152 Returns the mean of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3153
3154 The mean is
3155 m4_displaymath(
3156 <<<E[X] = {a+b\over 2}>>>,
3157 <<<
3158 @example
3159                                   b + a
3160                            E[X] = -----
3161                                     2
3162
3163 @end example
3164 >>>)
3165 @opencatbox{Categories:}
3166 @category{Package distrib}
3167 @closecatbox
3168
3169 @end deffn
3170
3171
3172 @anchor{var_continuous_uniform}
3173 @deffn {Function} var_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
3174 Returns the variance of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3175
3176 The variance is
3177 m4_displaymath(
3178 <<<V[X] = {(b-a)^2\over 12}>>>,
3179 <<<
3180 @example
3181                                         2
3182                                  (b - a)
3183                           V[X] = --------
3184                                     12
3185 @end example
3186 >>>)
3187
3188 @opencatbox{Categories:}
3189 @category{Package distrib}
3190 @closecatbox
3191
3192 @end deffn
3193
3194 @anchor{std_continuous_uniform}
3195 @deffn {Function} std_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
3196 Returns the standard deviation of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3197
3198 The standard deviation is
3199 m4_displaymath(
3200 <<<D[X] = {b-a \over 2\sqrt{3}}>>>,
3201 <<<
3202 @example
3203                                 abs(b - a)
3204                          D[X] = ----------
3205                                 2 sqrt(3)
3206
3207 @end example
3208 >>>)
3209
3210 @opencatbox{Categories:}
3211 @category{Package distrib}
3212 @closecatbox
3213
3214 @end deffn
3215
3216
3217 @anchor{skewness_continuous_uniform}
3218 @deffn {Function} skewness_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
3219 Returns the skewness coefficient of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3220
3221 The skewness coefficient is
3222 m4_displaymath(
3223 <<<SK[X] = 0>>>,
3224 <<<
3225 @example
3226                             SK[X] = 0
3227 @end example
3228 >>>)
3229
3230 @opencatbox{Categories:}
3231 @category{Package distrib}
3232 @closecatbox
3233
3234 @end deffn
3235
3236
3237 @anchor{kurtosis_continuous_uniform}
3238 @deffn {Function} kurtosis_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
3239 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3240
3241 The kurtosis coefficient is
3242 m4_displaymath(
3243 <<<KU[X] = -{6\over5}>>>,
3244 <<<
3245                                      6
3246                            KU[X] = - -
3247                                      5
3248 >>>)
3249
3250 @opencatbox{Categories:}
3251 @category{Package distrib}
3252 @closecatbox
3253
3254 @end deffn
3255
3256
3257 @anchor{random_continuous_uniform}
3258 @deffn {Function} random_continuous_uniform (@var{a},@var{b}) @
3259 @fname{random_continuous_uniform} (@var{a},@var{b},@var{n})
3260
3261 Returns a m4_Continuous_Uniform_RV(a,b) random variate, with @math{a<b}. Calling @code{random_continuous_uniform} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3262
3263 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
3264
3265 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3266
3267 @opencatbox{Categories:}
3268 @category{Package distrib}
3269 @category{Random numbers}
3270 @closecatbox
3271
3272 @end deffn
3273
3274
3275 @node Logistic Random Variable, Pareto Random Variable, Continuous Uniform Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
3276 @subsection Logistic Random Variable
3277
3278 The @emph{logistic} distribution is a continuous distribution where
3279 it's cumulative distribution function is the logistic function.
3280
3281 @anchor{pdf_logistic}
3282 @deffn {Function} pdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
3283 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3284
3285 @math{a} is the location parameter and @math{b} is the scale
3286 parameter.
3287
3288 The pdf is
3289 m4_displaymath(
3290 <<<f(x; a, b) = {e^{-(x-a)/b} \over b\left(1 + e^{-(x-a)/b}\right)^2}>>>,
3291 <<<
3292 @example
3293                                       a - x
3294                                       -----
3295                                         b
3296                                     %e
3297                    f(x, a, b) = ----------------
3298                                      a - x
3299                                      -----
3300                                        b       2
3301                                 b (%e      + 1)
3302 @end example
3303 >>>)
3304 @opencatbox{Categories:}
3305 @category{Package distrib}
3306 @closecatbox
3307
3308 @end deffn
3309
3310
3311 @anchor{cdf_logistic}
3312 @deffn {Function} cdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
3313 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3314
3315 The cdf is
3316 m4_displaymath(
3317 <<<F(x; a, b) = {1\over 1+e^{-(x-a)/b}}>>>,
3318 <<<
3319 @example
3320                                        1
3321                      F(x, a, b) = -----------
3322                                     a - x
3323                                     -----
3324                                       b
3325                                   %e      + 1
3326 @end example
3327 >>>)
3328
3329 @opencatbox{Categories:}
3330 @category{Package distrib}
3331 @closecatbox
3332
3333 @end deffn
3334
3335
3336 @anchor{quantile_logistic}
3337 @deffn {Function} quantile_logistic (@var{q},@var{a},@var{b})
3338 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_logistic}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3339
3340 @opencatbox{Categories:}
3341 @category{Package distrib}
3342 @closecatbox
3343
3344 @end deffn
3345
3346
3347 @anchor{mean_logistic}
3348 @deffn {Function} mean_logistic (@var{a},@var{b})
3349 Returns the mean of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3350
3351 The mean is
3352 m4_displaymath(
3353 <<<E[X] = a>>>,
3354 <<<
3355 @example
3356                             E[X] = a
3357 @end example
3358 >>>)
3359
3360 @opencatbox{Categories:}
3361 @category{Package distrib}
3362 @closecatbox
3363
3364 @end deffn
3365
3366
3367 @anchor{var_logistic}
3368 @deffn {Function} var_logistic (@var{a},@var{b})
3369 Returns the variance of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3370
3371 The variance is
3372 m4_displaymath(
3373 <<<V[X] = {\pi^2 b^2 \over 3}>>>,
3374 <<<
3375 @example
3376                                    2  2
3377                                 %pi  b
3378                          V[X] = -------
3379                                    3
3380
3381 @end example
3382 >>>)
3383
3384 @opencatbox{Categories:}
3385 @category{Package distrib}
3386 @closecatbox
3387
3388 @end deffn
3389
3390
3391 @anchor{std_logistic}
3392 @deffn {Function} std_logistic (@var{a},@var{b})
3393 Returns the standard deviation of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3394
3395 The standard deviation is
3396 m4_displaymath(
3397 <<<D[X] = {\pi b\over \sqrt{3}}>>>,
3398 <<<
3399 @example
3400                                %pi abs(b)
3401                         D[X] = ----------
3402                                 sqrt(3)
3403 @end example
3404 >>>)
3405
3406 @opencatbox{Categories:}
3407 @category{Package distrib}
3408 @closecatbox
3409
3410 @end deffn
3411
3412
3413 @anchor{skewness_logistic}
3414 @deffn {Function} skewness_logistic (@var{a},@var{b})
3415 Returns the skewness coefficient of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3416
3417 The skewness coefficient is
3418 m4_displaymath(
3419 <<<SK[X] = 0>>>,
3420 <<<
3421 @example
3422                             SK[X] = 0
3423 @end example
3424 >>>)
3425
3426 @opencatbox{Categories:}
3427 @category{Package distrib}
3428 @closecatbox
3429
3430 @end deffn
3431
3432
3433 @anchor{kurtosis_logistic}
3434 @deffn {Function} kurtosis_logistic (@var{a},@var{b})
3435 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Logistic_RV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3436
3437 The kurtosis coefficient is
3438 m4_displaymath(
3439 <<<KU[X] = {6\over 5}>>>,
3440 <<<
3441 @example
3442                                     6
3443                             KU[X] = -
3444                                     5
3445 @end example
3446 >>>)
3447
3448 @opencatbox{Categories:}
3449 @category{Package distrib}
3450 @closecatbox
3451
3452 @end deffn
3453
3454
3455 @anchor{random_logistic}
3456 @deffn {Function} random_logistic (@var{a},@var{b}) @
3457 @fname{random_logistic} (@var{a},@var{b},@var{n})
3458
3459 Returns a m4_Logistic_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_logistic} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3460
3461 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3462
3463 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3464
3465 @opencatbox{Categories:}
3466 @category{Package distrib}
3467 @category{Random numbers}
3468 @closecatbox
3469
3470 @end deffn
3471
3472
3473 @node Pareto Random Variable, Weibull Random Variable, Logistic Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
3474 @subsection Pareto Random Variable
3475
3476 @anchor{pdf_pareto}
3477 @deffn {Function} pdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
3478 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3479
3480 The pdf is
3481 m4_displaymath(
3482 <<<f(x; a, b) =
3483 \cases{
3484 \displaystyle{a b^a \over x^{a+1}} & for $x \ge b$ \cr
3485 \cr
3486 0 & for $x < b$
3487 }>>>,
3488 <<<
3489 @example
3490              [ a*b^a/x^(a+1)   for x >= b
3491 f(x, a, b) = [
3492              [ 0               for x < b
3493 @end example
3494 >>>)
3495
3496 @opencatbox{Categories:}
3497 @category{Package distrib}
3498 @closecatbox
3499
3500 @end deffn
3501
3502
3503 @anchor{cdf_pareto}
3504 @deffn {Function} cdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
3505 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3506
3507 The cdf is
3508 m4_displaymath(
3509 <<<F(x; a, b) =
3510 \cases{
3511 1-\left(\displaystyle{b\over x}\right)^a & for $x \ge b$\cr
3512 0 & for $x < b$
3513 }>>>,
3514 <<<
3515 @example
3516              [ 1 - (b/x)^a     for x >= 0
3517 F(x, a, b) = [
3518              [ 0               for x < 0
3519 @end example
3520 >>>)
3521 @opencatbox{Categories:}
3522 @category{Package distrib}
3523 @closecatbox
3524
3525 @end deffn
3526
3527
3528 @anchor{quantile_pareto}
3529 @deffn {Function} quantile_pareto (@var{q},@var{a},@var{b})
3530 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_pareto}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3531
3532 @opencatbox{Categories:}
3533 @category{Package distrib}
3534 @closecatbox
3535
3536 @end deffn
3537
3538
3539 @anchor{mean_pareto}
3540 @deffn {Function} mean_pareto (@var{a},@var{b})
3541 Returns the mean of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>1,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3542
3543 The mean is
3544 m4_displaymath(
3545 <<<E[X] = {ab\over a-1}>>>,
3546 <<<@math{E[X] = a*b/(a-1)}>>>)
3547
3548 @opencatbox{Categories:}
3549 @category{Package distrib}
3550 @closecatbox
3551
3552 @end deffn
3553
3554
3555 @anchor{var_pareto}
3556 @deffn {Function} var_pareto (@var{a},@var{b})
3557 Returns the variance of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3558
3559 The variance is
3560 m4_displaymath(
3561 <<<V[X] = {ab^2\over (a-2)(a-1)^2}>>>,
3562 <<<
3563 @example
3564                               2
3565                            a b
3566               V[X] = ----------------
3567                                     2
3568                      (a - 2) (a - 1)
3569 @end example
3570 >>>)
3571
3572 @opencatbox{Categories:}
3573 @category{Package distrib}
3574 @closecatbox
3575
3576 @end deffn
3577
3578 @anchor{std_pareto}
3579 @deffn {Function} std_pareto (@var{a},@var{b})
3580 Returns the standard deviation of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3581
3582 The standard deviation is
3583 m4_displaymath(
3584 <<<D[X] = {b\over a-1} \sqrt{a\over a-2}>>>,
3585 <<<
3586 @example
3587                               a
3588                        sqrt(-----) b
3589                             a - 2
3590                 D[X] = -------------
3591                            a - 1
3592 @end example
3593 >>>)
3594
3595 @opencatbox{Categories:}
3596 @category{Package distrib}
3597 @closecatbox
3598
3599 @end deffn
3600
3601
3602
3603 @anchor{skewness_pareto}
3604 @deffn {Function} skewness_pareto (@var{a},@var{b})
3605 Returns the skewness coefficient of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>3,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3606
3607 The skewness coefficient is
3608 m4_displaymath(
3609 <<<SK[X] = {2(a+1)\over a-3} \sqrt{a-2\over a}>>>,
3610 <<<
3611 @example
3612                      2 sqrt(a - 2) (a + 1)
3613              SK[X] = ---------------------
3614                         (a - 3) sqrt(a)
3615 @end example
3616 >>>)
3617
3618 @opencatbox{Categories:}
3619 @category{Package distrib}
3620 @closecatbox
3621
3622 @end deffn
3623
3624
3625 @anchor{kurtosis_pareto}
3626 @deffn {Function} kurtosis_pareto (@var{a},@var{b})
3627 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Pareto_RV(a,b) random variable, with @math{a>4,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3628
3629 The kurtosis coefficient is
3630 m4_displaymath(
3631 <<<KU[X] = {6\left(a^3+a^2-6*a-2\right) \over a(a-3)(a-4)} - 3>>>,
3632 <<<
3633 @example
3634                         3    2
3635                     6 (a  + a  - 6 a - 2)
3636             KU[X] = --------------------- - 3
3637                           2
3638                       a (a  - 7 a + 12)
3639 @end example
3640 >>>)
3641
3642 @opencatbox{Categories:}
3643 @category{Package distrib}
3644 @closecatbox
3645
3646 @end deffn
3647
3648
3649 @anchor{random_pareto}
3650 @deffn {Function} random_pareto (@var{a},@var{b}) @
3651 @fname{random_pareto} (@var{a},@var{b},@var{n})
3652
3653 Returns a m4_Pareto_RV(a,b) random variate, with @math{a>0,b>0}. Calling @code{random_pareto} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3654
3655 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3656
3657 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3658
3659 @opencatbox{Categories:}
3660 @category{Package distrib}
3661 @category{Random numbers}
3662 @closecatbox
3663
3664 @end deffn
3665
3666
3667 @node Weibull Random Variable, Rayleigh Random Variable, Pareto Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
3668 @subsection Weibull Random Variable
3669
3670 @anchor{pdf_weibull}
3671 @deffn {Function} pdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
3672 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3673
3674 The pdf is
3675 m4_displaymath(
3676 <<<f(x; a, b) =
3677 \cases{
3678 \displaystyle{1\over b} \left({x\over b}\right)^{a-1} e^{-(x/b)^a} &
3679 for $x \ge 0$ \cr
3680 \cr
3681 0 & for $x < 0$
3682 }>>>,
3683 <<<
3684 @example
3685              [                       a
3686              [      x a - 1   - (x/b)
3687              [   a (-)      %e         unit_step(x)
3688              [      b
3689              [   ----------------------------------   for x >= 0
3690              [                   b
3691 f(x, a, b) = [
3692              [ 0                                      for x < 0
3693 @end example
3694 >>>)
3695 @opencatbox{Categories:}
3696 @category{Package distrib}
3697 @closecatbox
3698
3699 @end deffn
3700
3701
3702 @anchor{cdf_weibull}
3703 @deffn {Function} cdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
3704 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3705
3706 The cdf is
3707 m4_displaymath(
3708 <<<F(x; a, b) =
3709 \cases{
3710 1 - e^{-(x/b)^a} & for $x \ge 0$ \cr
3711 0 & for $x < 0$
3712 }>>>,
3713 <<<
3714 @example
3715              [ 1 - exp(-(x/b)^a)      for x >= 0
3716 F(x, a, b) = [
3717              [ 0                      for x < 0
3718 @end example
3719 >>>)
3720 @opencatbox{Categories:}
3721 @category{Package distrib}
3722 @closecatbox
3723
3724 @end deffn
3725
3726
3727 @anchor{quantile_weibull}
3728 @deffn {Function} quantile_weibull (@var{q},@var{a},@var{b})
3729 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_weibull}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3730
3731 @opencatbox{Categories:}
3732 @category{Package distrib}
3733 @closecatbox
3734
3735 @end deffn
3736
3737
3738 @anchor{mean_weibull}
3739 @deffn {Function} mean_weibull (@var{a},@var{b})
3740 Returns the mean of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3741
3742 The mean is
3743 m4_displaymath(
3744 <<<E[X] = b\Gamma\left(1+{1\over a}\right)>>>,
3745 <<<
3746 @example
3747                                    1
3748                       E[X] = gamma(- + 1) b
3749                                    a
3750 @end example
3751 >>>)
3752
3753 @opencatbox{Categories:}
3754 @category{Package distrib}
3755 @closecatbox
3756
3757 @end deffn
3758
3759
3760 @anchor{var_weibull}
3761 @deffn {Function} var_weibull (@var{a},@var{b})
3762 Returns the variance of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3763
3764 The variance is
3765 m4_displaymath(
3766 <<<V[X] = b^2\left[\Gamma\left(1+{2\over a}\right) -
3767 \Gamma\left(1+{1\over a}\right)^2\right]>>>,
3768 <<<
3769 @example
3770                          2             2 1        2
3771            V[X] = (gamma(- + 1) - gamma (- + 1)) b
3772                          a               a
3773 @end example
3774 >>>)
3775
3776 @opencatbox{Categories:}
3777 @category{Package distrib}
3778 @closecatbox
3779
3780 @end deffn
3781
3782 @anchor{std_weibull}
3783 @deffn {Function} std_weibull (@var{a},@var{b})
3784 Returns the standard deviation of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3785
3786 The variance is
3787 m4_displaymath(
3788 <<<D[X] = b\sqrt{\Gamma\left(1+{2\over a}\right) -
3789 \Gamma\left(1+{1\over a}\right)^2}>>>,
3790 <<<
3791 @example
3792                              2             2 1
3793            D[X] = sqrt(gamma(- + 1) - gamma (- + 1)) b
3794                              a               a
3795 @end example
3796 >>>)
3797
3798 @opencatbox{Categories:}
3799 @category{Package distrib}
3800 @closecatbox
3801
3802 @end deffn
3803
3804
3805
3806 @anchor{skewness_weibull}
3807 @deffn {Function} skewness_weibull (@var{a},@var{b})
3808 Returns the skewness coefficient of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3809
3810 The skewness coefficient is
3811 m4_displaymath(
3812 <<<SK[X] = {\displaystyle\Gamma\left(1+{3\over a}\right)
3813 -3\Gamma\left(1+{1\over a}\right)\Gamma\left(1+{2\over
3814 a}\right)+2\Gamma\left(1+{1\over a}\right)^3
3815  \over
3816  \displaystyle\left[\Gamma\left(1+{2\over a}\right)-\Gamma\left(1+{1\over
3817  a}\right)^2\right]^{3/2}
3818 }
3819 >>>,
3820 <<<
3821 @example
3822               3                1            2               3 1
3823         gamma(- + 1) - 3 gamma(- + 1) gamma(- + 1) + 2 gamma (- + 1)
3824               a                a            a                 a
3825 SK[X] = ------------------------------------------------------------
3826                             2             2 1      3/2
3827                      (gamma(- + 1) - gamma (- + 1))
3828                             a               a
3829 @end example
3830 >>>)
3831
3832 @opencatbox{Categories:}
3833 @category{Package distrib}
3834 @closecatbox
3835
3836 @end deffn
3837
3838
3839 @anchor{kurtosis_weibull}
3840 @deffn {Function} kurtosis_weibull (@var{a},@var{b})
3841 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Weibull_RV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3842
3843 The kurtosis coefficient is
3844 m4_displaymath(
3845 <<<KU[X] = {
3846 \Gamma_4
3847  - 4\Gamma_1 \Gamma_3
3848  + 6\Gamma_1^2 \Gamma_2
3849  - 3 \Gamma_1^4
3850 \over
3851  \left[\Gamma_2 - \Gamma_1^2\right]^2
3852 } - 3>>>,
3853 <<<
3854 @example
3855                 4                1            3
3856  KU[X] = (gamma(- + 1) - 4 gamma(- + 1) gamma(- + 1)
3857                 a                a            a
3858           2 1            2               4 1
3859  + 6 gamma (- + 1) gamma(- + 1) - 3 gamma (- + 1))
3860             a            a                 a
3861         2             2 1      2
3862 /(gamma(- + 1) - gamma (- + 1))  - 3
3863         a               a
3864 @end example
3865 >>>)
3866 @ifnotinfo
3867 where m4_math(\Gamma_k = \Gamma\left(1+k/a\right)).
3868 @end ifnotinfo
3869
3870 @opencatbox{Categories:}
3871 @category{Package distrib}
3872 @closecatbox
3873
3874 @end deffn
3875
3876
3877 @anchor{random_weibull}
3878 @deffn {Function} random_weibull (@var{a},@var{b}) @
3879 @fname{random_weibull} (@var{a},@var{b},@var{n})
3880
3881 Returns a m4_Weibull_RV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_weibull} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3882
3883 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3884
3885 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3886
3887 @opencatbox{Categories:}
3888 @category{Package distrib}
3889 @category{Random numbers}
3890 @closecatbox
3891
3892 @end deffn
3893
3894
3895
3896 @node Rayleigh Random Variable, Laplace Random Variable, Weibull Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
3897 @subsection Rayleigh Random Variable
3898
3899 The @emph{Rayleigh} distribution coincides with the m4_math(\chi^2,
3900 chi-squared) distribution with two degrees of freedom.
3901
3902 @anchor{pdf_rayleigh}
3903 @deffn {Function} pdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
3904 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3905
3906 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3907
3908 The pdf is
3909 m4_displaymath(
3910 <<<f(x; b) =
3911 \cases{
3912 2b^2 x e^{-b^2 x^2} & for $x \ge 0$ \cr
3913 0 & for $x < 0$
3914 }>>>,
3915 <<<
3916 @example
3917           [ 2*b^2*x*exp(-b^2*x^2)    for x>= 0
3918 f(x, b) = [
3919           [ 0                        otherwise
3920 @end example
3921 >>>)
3922 @c ===beg===
3923 @c load ("distrib")$
3924 @c pdf_rayleigh(x,b);
3925 @c ===end===
3926 @example
3927 (%i1) load ("distrib")$
3928 @group
3929 (%i2) pdf_rayleigh(x,b);
3930                               2  2
3931                      2     - b  x
3932 (%o2)             2 b  x %e        unit_step(x)
3933 @end group
3934 @end example
3935
3936 @opencatbox{Categories:}
3937 @category{Package distrib}
3938 @closecatbox
3939
3940 @end deffn
3941
3942
3943 @anchor{cdf_rayleigh}
3944 @deffn {Function} cdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
3945 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
3946
3947 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3948
3949 The cdf is
3950 m4_displaymath(
3951 <<<F(x; b) =
3952 \cases{
3953 1 - e^{-b^2 x^2} & for $x \ge 0$\cr
3954 0 & for $x < 0$
3955 }>>>,
3956 <<<
3957 @example
3958           [ 1 - exp(-b^2*x^2)    for x >= 0
3959 F(x, b) = [
3960           [ 0                    for x < 0
3961 @end example
3962 >>>)
3963 @c ===beg===
3964 @c load ("distrib")$
3965 @c cdf_rayleigh(x,b);
3966 @c ===end===
3967 @example
3968 (%i1) load ("distrib")$
3969 @group
3970 (%i2) cdf_rayleigh(x,b);
3971                             2  2
3972                          - b  x
3973 (%o2)             (1 - %e       ) unit_step(x)
3974 @end group
3975 @end example
3976
3977 @opencatbox{Categories:}
3978 @category{Package distrib}
3979 @closecatbox
3980
3981 @end deffn
3982
3983
3984 @anchor{quantile_rayleigh}
3985 @deffn {Function} quantile_rayleigh (@var{q},@var{b})
3986 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_rayleigh}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
3987
3988 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
3989
3990 @c ===beg===
3991 @c load ("distrib")$
3992 @c quantile_rayleigh(0.99,b);
3993 @c ===end===
3994 @example
3995 (%i1) load ("distrib")$
3996 @group
3997 (%i2) quantile_rayleigh(0.99,b);
3998                         2.145966026289347
3999 (%o2)                   -----------------
4000                                 b
4001 @end group
4002 @end example
4003
4004 @opencatbox{Categories:}
4005 @category{Package distrib}
4006 @closecatbox
4007
4008 @end deffn
4009
4010
4011 @anchor{mean_rayleigh}
4012 @deffn {Function} mean_rayleigh (@var{b})
4013 Returns the mean of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
4014
4015 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
4016
4017 The mean is
4018 m4_displaymath(
4019 <<<E[X] = {\sqrt{\pi}\over 2b}>>>,
4020 <<<
4021 @example
4022                                sqrt(%pi)
4023                         E[X] = ---------
4024                                   2 b
4025 @end example
4026 >>>)
4027
4028 @c ===beg===
4029 @c load ("distrib")$
4030 @c mean_rayleigh(b);
4031 @c ===end===
4032 @example
4033 (%i1) load ("distrib")$
4034 @group
4035 (%i2) mean_rayleigh(b);
4036                             sqrt(%pi)
4037 (%o2)                       ---------
4038                                2 b
4039 @end group
4040 @end example
4041
4042 @opencatbox{Categories:}
4043 @category{Package distrib}
4044 @closecatbox
4045
4046 @end deffn
4047
4048
4049 @anchor{var_rayleigh}
4050 @deffn {Function} var_rayleigh (@var{b})
4051 Returns the variance of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
4052
4053 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
4054
4055 The variance is
4056 m4_displaymath(
4057 <<<V[X] = {1\over b^2}\left(1-{\pi \over 4}\right)>>>,
4058 <<<
4059 @example
4060                                     %pi
4061                                 1 - ---
4062                                      4
4063                          V[X] = -------
4064                                    2
4065                                   b
4066 @end example
4067 >>>)
4068
4069 @c ===beg===
4070 @c load ("distrib")$
4071 @c var_rayleigh(b);
4072 @c ===end===
4073 @example
4074 (%i1) load ("distrib")$
4075 @group
4076 (%i2) var_rayleigh(b);
4077                                  %pi
4078                              1 - ---
4079                                   4
4080 (%o2)                        -------
4081                                 2
4082                                b
4083 @end group
4084 @end example
4085
4086 @opencatbox{Categories:}
4087 @category{Package distrib}
4088 @closecatbox
4089
4090 @end deffn
4091
4092
4093 @anchor{std_rayleigh}
4094 @deffn {Function} std_rayleigh (@var{b})
4095 Returns the standard deviation of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
4096
4097 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
4098
4099 The standard deviation is
4100 m4_displaymath(
4101 <<<D[X] = {1\over b}\sqrt{\displaystyle 1 - {\pi\over 4}}>>>,
4102 <<<
4103 @example
4104                                      %pi
4105                             sqrt(1 - ---)
4106                                       4
4107                      D[X] = -------------
4108                                   b
4109 @end example
4110 >>>)
4111
4112 @c ===beg===
4113 @c load ("distrib")$
4114 @c std_rayleigh(b);
4115 @c ===end===
4116 @example
4117 (%i1) load ("distrib")$
4118 @group
4119 (%i2) std_rayleigh(b);
4120                                    %pi
4121                           sqrt(1 - ---)
4122                                     4
4123 (%o2)                     -------------
4124                                 b
4125 @end group
4126 @end example
4127
4128 @opencatbox{Categories:}
4129 @category{Package distrib}
4130 @closecatbox
4131
4132 @end deffn
4133
4134
4135 @anchor{skewness_rayleigh}
4136 @deffn {Function} skewness_rayleigh (@var{b})
4137 Returns the skewness coefficient of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
4138
4139 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
4140
4141 The skewness coefficient is
4142 m4_displaymath(
4143 <<<SK[X] = {2\sqrt{\pi}(\pi - 3)\over (4-\pi)^{3/2}}>>>,
4144 <<<
4145 @example
4146                             3/2
4147                          %pi      3 sqrt(%pi)
4148                          ------ - -----------
4149                            4           4
4150                  SK[X] = --------------------
4151                                   %pi 3/2
4152                              (1 - ---)
4153                                    4
4154 @end example
4155 >>>)
4156
4157 @c ===beg===
4158 @c load ("distrib")$
4159 @c skewness_rayleigh(b);
4160 @c ===end===
4161 @example
4162 (%i1) load ("distrib")$
4163 @group
4164 (%i2) skewness_rayleigh(b);
4165                          3/2
4166                       %pi      3 sqrt(%pi)
4167                       ------ - -----------
4168                         4           4
4169 (%o2)                 --------------------
4170                                %pi 3/2
4171                           (1 - ---)
4172                                 4
4173 @end group
4174 @end example
4175
4176 @opencatbox{Categories:}
4177 @category{Package distrib}
4178 @closecatbox
4179
4180 @end deffn
4181
4182
4183 @anchor{kurtosis_rayleigh}
4184 @deffn {Function} kurtosis_rayleigh (@var{b})
4185 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Rayleigh_RV(b) random variable, with @math{b>0}.
4186
4187 The m4_Rayleigh_RV(b) random variable is equivalent to the m4_Weibull_RV(2,1/b).
4188
4189 The kurtosis coefficient is
4190 m4_displaymath(
4191 <<<KU[X] = {32-3\pi\over (4-\pi)^2} - 3>>>,
4192 <<<
4193 @example
4194                                      2
4195                                 3 %pi
4196                             2 - ------
4197                                   16
4198                     KU[X] = ---------- - 3
4199                                  %pi 2
4200                             (1 - ---)
4201                                   4
4202 @end example
4203 >>>)
4204
4205 @c ===beg===
4206 @c load ("distrib")$
4207 @c kurtosis_rayleigh(b);
4208 @c ===end===
4209 @example
4210 (%i1) load ("distrib")$
4211 @group
4212 (%i2) kurtosis_rayleigh(b);
4213                                   2
4214                              3 %pi
4215                          2 - ------
4216                                16
4217 (%o2)                    ---------- - 3
4218                               %pi 2
4219                          (1 - ---)
4220                                4
4221 @end group
4222 @end example
4223
4224 @opencatbox{Categories:}
4225 @category{Package distrib}
4226 @closecatbox
4227
4228 @end deffn
4229
4230
4231 @anchor{random_rayleigh}
4232 @deffn {Function} random_rayleigh (@var{b}) @
4233 @fname{random_rayleigh} (@var{b},@var{n})
4234
4235 Returns a m4_Rayleigh_RV(b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_rayleigh} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4236
4237 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
4238
4239 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4240
4241 @opencatbox{Categories:}
4242 @category{Package distrib}
4243 @category{Random numbers}
4244 @closecatbox
4245
4246 @end deffn
4247
4248
4249
4250 @node Laplace Random Variable, Cauchy Random Variable, Rayleigh Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
4251 @subsection Laplace Random Variable
4252
4253 The @emph{Laplace} distribution is a continuous probability
4254 distribution that is sometimes called the double exponential
4255 distribution because it can be thought of as two exponential
4256 distributions spliced back to back.
4257
4258 @anchor{pdf_laplace}
4259 @deffn {Function} pdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
4260 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4261
4262 Here, @math{a} is the location parameter (or mean), and @math{b} is
4263 the scale parameter, related to the variance.
4264
4265 The pdf is
4266 m4_displaymath(
4267 <<<f(x; a, b) = {1\over 2b}\exp\left(-{|x-a|\over b}\right)>>>,
4268 <<<
4269 @example
4270                            abs(x - a)
4271                          - ----------
4272                                b
4273                        %e
4274           f(x, a, b) = --------------
4275                             2 b
4276 @end example
4277 @math{1/(2*b)*exp(-abs(x-a)/b)}>>>)
4278
4279 @opencatbox{Categories:}
4280 @category{Package distrib}
4281 @closecatbox
4282
4283 @end deffn
4284
4285
4286 @anchor{cdf_laplace}
4287 @deffn {Function} cdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
4288 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4289
4290 The cdf is
4291 m4_displaymath(
4292 <<<F(x; a, b) =
4293 \cases{
4294 \displaystyle{1\over 2} \exp\left({x-a\over b}\right) & for $x < a$\cr
4295 \cr
4296 1-\displaystyle{1\over 2} \exp\left({x-a\over b}\right) & for $x \ge a$
4297 }>>>,
4298 <<<
4299 @example
4300              [ 1/2*exp((x-a)/b)     for x < a
4301 F(x, a, b) = [
4302              [ 1-1/2*exp((x-a)/b)   for x >= a
4303 @end example
4304 >>>)
4305 @opencatbox{Categories:}
4306 @category{Package distrib}
4307 @closecatbox
4308
4309 @end deffn
4310
4311
4312 @anchor{quantile_laplace}
4313 @deffn {Function} quantile_laplace (@var{q},@var{a},@var{b})
4314 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_laplace}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4315
4316 @opencatbox{Categories:}
4317 @category{Package distrib}
4318 @closecatbox
4319
4320 @end deffn
4321
4322
4323 @anchor{mean_laplace}
4324 @deffn {Function} mean_laplace (@var{a},@var{b})
4325 Returns the mean of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4326
4327 The mean is
4328 m4_displaymath(
4329 <<<E[X] = a>>>,
4330 <<<
4331 @example
4332                             E[X] = a
4333 @end example
4334 >>>)
4335
4336 @opencatbox{Categories:}
4337 @category{Package distrib}
4338 @closecatbox
4339
4340 @end deffn
4341
4342
4343 @anchor{var_laplace}
4344 @deffn {Function} var_laplace (@var{a},@var{b})
4345 Returns the variance of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4346
4347 The variance is
4348 m4_displaymath(
4349 <<<V[X] = 2b^2>>>,
4350 <<<
4351 @example
4352                                      2
4353                            V[X] = 2 b
4354 @end example
4355 >>>)
4356
4357 @opencatbox{Categories:}
4358 @category{Package distrib}
4359 @closecatbox
4360
4361 @end deffn
4362
4363
4364 @anchor{std_laplace}
4365 @deffn {Function} std_laplace (@var{a},@var{b})
4366 Returns the standard deviation of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4367
4368 The standard deviation is
4369 m4_displaymath(
4370 <<<D[X] = \sqrt{2} b>>>,
4371 <<<
4372 @example
4373                         D[X] = sqrt(2) b
4374 @end example
4375 >>>)
4376
4377 @opencatbox{Categories:}
4378 @category{Package distrib}
4379 @closecatbox
4380
4381 @end deffn
4382
4383
4384 @anchor{skewness_laplace}
4385 @deffn {Function} skewness_laplace (@var{a},@var{b})
4386 Returns the skewness coefficient of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4387
4388 The skewness coefficient is
4389 m4_displaymath(
4390 <<<SK[X] = 0>>>,
4391 <<<
4392 @example
4393                             SK[X] = 0
4394 @end example
4395 >>>)
4396
4397 @opencatbox{Categories:}
4398 @category{Package distrib}
4399 @closecatbox
4400
4401 @end deffn
4402
4403
4404 @anchor{kurtosis_laplace}
4405 @deffn {Function} kurtosis_laplace (@var{a},@var{b})
4406 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Laplace_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4407
4408 The kurtosis coefficient is
4409 m4_displaymath(
4410 <<<KU[X] = 3>>>,
4411 <<<
4412 @example
4413                             KU[X] = 3
4414 @end example
4415 >>>)
4416
4417 @opencatbox{Categories:}
4418 @category{Package distrib}
4419 @closecatbox
4420
4421 @end deffn
4422
4423
4424 @anchor{random_laplace}
4425 @deffn {Function} random_laplace (@var{a},@var{b}) @
4426 @fname{random_laplace} (@var{a},@var{b},@var{n})
4427
4428 Returns a m4_Laplace_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_laplace} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4429
4430 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
4431
4432 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4433
4434 @opencatbox{Categories:}
4435 @category{Package distrib}
4436 @category{Random numbers}
4437 @closecatbox
4438
4439 @end deffn
4440
4441
4442
4443 @node Cauchy Random Variable, Gumbel Random Variable, Laplace Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
4444 @subsection Cauchy Random Variable
4445
4446 The @emph{Cauchy} distribution (also known as the Lorentz
4447 distribution) is the distribution of of the ratio of two independent
4448 normally distributed random variables with mean zero.
4449
4450 Note that the mean, variance, standard deviation, skewness
4451 coefficient, and kurtosis coefficient are all undefined for the Cauchy
4452 distribution.  The integrals do not converge in this case.
4453
4454 @anchor{pdf_cauchy}
4455 @deffn {Function} pdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
4456 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Cauchy_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4457
4458 The pdf is
4459 m4_displaymath(
4460 <<<f(x; a, b) = {b\over \pi\left((x-a)^2+b^2\right)}>>>,
4461 <<<
4462 @example
4463                             b
4464       f(x, a, b) = -------------------
4465                                2    2
4466                    %pi ((x - a)  + b )
4467 @end example
4468 >>>)
4469 @opencatbox{Categories:}
4470 @category{Package distrib}
4471 @closecatbox
4472
4473 @end deffn
4474
4475
4476 @anchor{cdf_cauchy}
4477 @deffn {Function} cdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
4478 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Cauchy_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4479
4480 The cdf is
4481 m4_displaymath(
4482 <<<F(x; a, b) = {1\over 2} + {1\over \pi} \tan^{-1} {x-a\over b}>>>,
4483 <<<
4484 @example
4485                                      x - a
4486                                 atan(-----)
4487                                        b      1
4488                    F(x, a, b) = ----------- + -
4489                                     %pi       2
4490 @end example
4491 >>>)
4492 @opencatbox{Categories:}
4493 @category{Package distrib}
4494 @closecatbox
4495
4496 @end deffn
4497
4498
4499 @anchor{quantile_cauchy}
4500 @deffn {Function} quantile_cauchy (@var{q},@var{a},@var{b})
4501 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Cauchy_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_cauchy}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4502
4503 @opencatbox{Categories:}
4504 @category{Package distrib}
4505 @closecatbox
4506
4507 @end deffn
4508
4509
4510 @anchor{random_cauchy}
4511 @deffn {Function} random_cauchy (@var{a},@var{b}) @
4512 @fname{random_cauchy} (@var{a},@var{b},@var{n})
4513
4514 Returns a m4_Cauchy_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_cauchy} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4515
4516 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
4517
4518 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4519
4520 @opencatbox{Categories:}
4521 @category{Package distrib}
4522 @category{Random numbers}
4523 @closecatbox
4524
4525 @end deffn
4526
4527
4528
4529 @node Gumbel Random Variable,  , Cauchy Random Variable, Functions and Variables for continuous distributions
4530 @subsection Gumbel Random Variable
4531
4532 @anchor{pdf_gumbel}
4533 @deffn {Function} pdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
4534 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4535
4536 The pdf is
4537 m4_displaymath(
4538 <<<f(x; a, b) = {1\over b} \exp\left[{a-x\over b} - \exp\left({a-x\over b}\right)\right]>>>,
4539 <<<
4540 @example
4541                              a - x
4542                              -----
4543                    a - x       b
4544                    ----- - %e
4545                      b
4546                  %e
4547     f(x, a, b) = -----------------
4548                          b
4549 @end example
4550 >>>)
4551
4552 @opencatbox{Categories:}
4553 @category{Package distrib}
4554 @closecatbox
4555
4556 @end deffn
4557
4558
4559 @anchor{cdf_gumbel}
4560 @deffn {Function} cdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
4561 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4562
4563 The cdf is
4564 m4_displaymath(
4565 <<<F(x; a, b) = \exp\left[-\exp\left({a-x\over b}\right)\right]>>>,
4566 <<<
4567 @example
4568                        a - x
4569                        -----
4570                          b
4571                    - %e
4572     F(x, a, b) = %e
4573 @end example
4574 >>>)
4575 @opencatbox{Categories:}
4576 @category{Package distrib}
4577 @closecatbox
4578
4579 @end deffn
4580
4581
4582 @anchor{quantile_gumbel}
4583 @deffn {Function} quantile_gumbel (@var{q},@var{a},@var{b})
4584 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gumbel}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4585
4586 @opencatbox{Categories:}
4587 @category{Package distrib}
4588 @closecatbox
4589
4590 @end deffn
4591
4592
4593 @anchor{mean_gumbel}
4594 @deffn {Function} mean_gumbel (@var{a},@var{b})
4595 Returns the mean of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}.
4596
4597 The mean is
4598 m4_displaymath(
4599 <<<E[X] = a+b\gamma>>>,
4600 <<<
4601 @example
4602                        E[X] = %gamma b + a
4603 @end example
4604 >>>)
4605
4606 @c ===beg===
4607 @c load ("distrib")$
4608 @c mean_gumbel(a,b);
4609 @c ===end===
4610 @example
4611 (%i1) load ("distrib")$
4612 @group
4613 (%i2) mean_gumbel(a,b);
4614 (%o2)                     %gamma b + a
4615 @end group
4616 @end example
4617 where symbol @code{%gamma} stands for the Euler-Mascheroni constant. See also @mrefdot{%gamma}
4618
4619 @opencatbox{Categories:}
4620 @category{Package distrib}
4621 @closecatbox
4622
4623 @end deffn
4624
4625
4626 @anchor{var_gumbel}
4627 @deffn {Function} var_gumbel (@var{a},@var{b})
4628 Returns the variance of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4629
4630 The variance is
4631 m4_displaymath(
4632 <<<V[X] = {\pi^2\over 6} b^2>>>,
4633 <<<
4634 @example
4635                                    2  2
4636                                 %pi  b
4637                          V[X] = -------
4638                                    6
4639 @end example
4640 >>>)
4641
4642 @opencatbox{Categories:}
4643 @category{Package distrib}
4644 @closecatbox
4645
4646 @end deffn
4647
4648
4649 @anchor{std_gumbel}
4650 @deffn {Function} std_gumbel (@var{a},@var{b})
4651 Returns the standard deviation of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4652
4653 The standard deviation is
4654 m4_displaymath(
4655 <<<D[X] = {\pi \over \sqrt{6}} b>>>,
4656 <<<
4657 @example
4658                                  %pi b
4659                          D[X] = -------
4660                                 sqrt(6)
4661 @end example
4662 >>>)
4663
4664 @opencatbox{Categories:}
4665 @category{Package distrib}
4666 @closecatbox
4667
4668 @end deffn
4669
4670
4671 @anchor{skewness_gumbel}
4672 @deffn {Function} skewness_gumbel (@var{a},@var{b})
4673 Returns the skewness coefficient of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}.
4674
4675 The skewness coefficient is
4676 m4_displaymath(
4677 <<<SK[X] = {12\sqrt{6}\over \pi^3} \zeta(3)>>>,
4678 <<<
4679 @example
4680                                 3/2
4681                              2 6    zeta(3)
4682                      SK[X] = --------------
4683                                      3
4684                                   %pi
4685 @end example
4686 >>>)
4687
4688 @c ===beg===
4689 @c load ("distrib")$
4690 @c skewness_gumbel(a,b);
4691 @c ===end===
4692 @example
4693 (%i1) load ("distrib")$
4694 @group
4695 (%i2) skewness_gumbel(a,b);
4696                             3/2
4697                          2 6    zeta(3)
4698 (%o2)                    --------------
4699                                  3
4700                               %pi
4701 @end group
4702 @end example
4703 where @code{zeta} stands for the Riemann's zeta function.
4704
4705 @opencatbox{Categories:}
4706 @category{Package distrib}
4707 @closecatbox
4708
4709 @end deffn
4710
4711
4712 @anchor{kurtosis_gumbel}
4713 @deffn {Function} kurtosis_gumbel (@var{a},@var{b})
4714 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Gumbel_RV(a,b) random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4715
4716 The kurtosis coefficient is
4717 m4_displaymath(
4718 <<<KU[X] = {12\over 5}>>>,
4719 <<<
4720 @example
4721                                    12
4722                            KU[X] = --
4723                                    5
4724 @end example
4725 >>>)
4726
4727 @opencatbox{Categories:}
4728 @category{Package distrib}
4729 @category{Package distrib}
4730 @closecatbox
4731
4732 @end deffn
4733
4734
4735 @anchor{random_gumbel}
4736 @deffn {Function} random_gumbel (@var{a},@var{b}) @
4737 @fname{random_gumbel} (@var{a},@var{b},@var{n})
4738
4739 Returns a m4_Gumbel_RV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_gumbel} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4740
4741 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
4742
4743 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4744
4745 @opencatbox{Categories:}
4746 @category{Package distrib}
4747 @category{Random numbers}
4748 @closecatbox
4749
4750 @end deffn
4751
4752
4753 @node Functions and Variables for discrete distributions,  , Functions and Variables for continuous distributions
4754 @section Functions and Variables for discrete distributions
4755
4756 Maxima knows the following kinds of discrete distributions
4757
4758
4759 @menu
4760 * General Finite Discrete Random Variable::
4761 * Binomial Random Variable::
4762 * Poisson Random Variable::
4763 * Bernoulli Random Variable::
4764 * Geometric Random Variable::
4765 * Discrete Uniform Random Variable::
4766 * Hypergeometric Random Variable::
4767 * Negative Binomial Random Variable::
4768 @end menu
4769
4770 @node General Finite Discrete Random Variable, Binomial Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions, Functions and Variables for discrete distributions
4771 @subsection General Finite Discrete Random Variable
4772
4773 @anchor{pdf_general_finite_discrete}
4774 @deffn {Function} pdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
4775 Returns the value at @var{x} of the probability function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}, such that @code{Pr(X=i) = v_i}. Vector @math{v} can be a list of nonnegative expressions, whose components will be normalized to get a vector of probabilities. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4776
4777 @c ===beg===
4778 @c load ("distrib")$
4779 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
4780 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
4781 @c ===end===
4782 @example
4783 (%i1) load ("distrib")$
4784 @group
4785 (%i2) pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
4786                                 4
4787 (%o2)                           -
4788                                 7
4789 @end group
4790 @group
4791 (%i3) pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
4792                                 4
4793 (%o3)                           -
4794                                 7
4795 @end group
4796 @end example
4797
4798 @opencatbox{Categories:}
4799 @category{Package distrib}
4800 @closecatbox
4801
4802 @end deffn
4803
4804
4805 @anchor{cdf_general_finite_discrete}
4806 @deffn {Function} cdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
4807 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4808
4809 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4810
4811 @c ===beg===
4812 @c load ("distrib")$
4813 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
4814 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
4815 @c cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
4816 @c ===end===
4817 @example
4818 (%i1) load ("distrib")$
4819 @group
4820 (%i2) cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
4821                                 5
4822 (%o2)                           -
4823                                 7
4824 @end group
4825 @group
4826 (%i3) cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
4827                                 5
4828 (%o3)                           -
4829                                 7
4830 @end group
4831 @group
4832 (%i4) cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
4833                                 5
4834 (%o4)                           -
4835                                 7
4836 @end group
4837 @end example
4838
4839 @opencatbox{Categories:}
4840 @category{Package distrib}
4841 @closecatbox
4842
4843 @end deffn
4844
4845
4846 @anchor{quantile_general_finite_discrete}
4847 @deffn {Function} quantile_general_finite_discrete (@var{q},@var{v})
4848 Returns the @var{q}-quantile of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4849
4850 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4851
4852 @opencatbox{Categories:}
4853 @category{Package distrib}
4854 @closecatbox
4855
4856 @end deffn
4857
4858
4859 @anchor{mean_general_finite_discrete}
4860 @deffn {Function} mean_general_finite_discrete (@var{v})
4861 Returns the mean of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4862
4863 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4864
4865 @opencatbox{Categories:}
4866 @category{Package distrib}
4867 @closecatbox
4868
4869 @end deffn
4870
4871
4872 @anchor{var_general_finite_discrete}
4873 @deffn {Function} var_general_finite_discrete (@var{v})
4874 Returns the variance of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4875
4876 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4877
4878 @opencatbox{Categories:}
4879 @category{Package distrib}
4880 @closecatbox
4881
4882 @end deffn
4883
4884
4885 @anchor{std_general_finite_discrete}
4886 @deffn {Function} std_general_finite_discrete (@var{v})
4887 Returns the standard deviation of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4888
4889 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4890
4891 @opencatbox{Categories:}
4892 @category{Package distrib}
4893 @closecatbox
4894
4895 @end deffn
4896
4897
4898 @anchor{skewness_general_finite_discrete}
4899 @deffn {Function} skewness_general_finite_discrete (@var{v})
4900 Returns the skewness coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4901
4902 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4903
4904 @opencatbox{Categories:}
4905 @category{Package distrib}
4906 @closecatbox
4907
4908 @end deffn
4909
4910
4911 @anchor{kurtosis_general_finite_discrete}
4912 @deffn {Function} kurtosis_general_finite_discrete (@var{v})
4913 Returns the kurtosis coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
4914
4915 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4916
4917 @opencatbox{Categories:}
4918 @category{Package distrib}
4919 @closecatbox
4920
4921 @end deffn
4922
4923
4924 @anchor{random_general_finite_discrete}
4925 @deffn {Function} random_general_finite_discrete (@var{v}) @
4926 @fname{random_general_finite_discrete} (@var{v},@var{m})
4927
4928 Returns a general finite discrete random variate, with vector probabilities @math{v}. Calling @code{random_general_finite_discrete} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4929
4930 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
4931
4932 @c ===beg===
4933 @c load ("distrib")$
4934 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
4935 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
4936 @c ===end===
4937 @example
4938 (%i1) load ("distrib")$
4939 @group
4940 (%i2) random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
4941 (%o2)                           4
4942 @end group
4943 @group
4944 (%i3) random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
4945 (%o3)            [3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 4]
4946 @end group
4947 @end example
4948
4949 @opencatbox{Categories:}
4950 @category{Package distrib}
4951 @category{Random numbers}
4952 @closecatbox
4953
4954 @end deffn
4955
4956 @node Binomial Random Variable, Poisson Random Variable, General Finite Discrete Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
4957 @subsection Binomial Random Variable
4958
4959 The @emph{binomial distribution} with parameters @math{n} and @math{p}
4960 is a discrete probability distribution.  It consists of @math{n}
4961 independent experiments where each experiment consists of a
4962 Boolean-valued outcome where a success occurs with a probablity
4963 @math{p}.
4964
4965 For example, a biased coin that comes up heads with probablity
4966 @math{p} is tossed @math{n} times.  Then the probability of exactly
4967 @math{k} heads in @math{n} tosses is given by the binomial
4968 distribution.
4969
4970 @anchor{pdf_binomial}
4971 @deffn {Function} pdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
4972 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4973
4974 The pdf is
4975 m4_displaymath(
4976 <<<f(x; n, p) = {n\choose x} (1-p)^{n-x}p^x>>>,
4977 <<<
4978 @example
4979                                                n - x  x
4980             f(x, n, p) = binomial(n, x) (1 - p)      p
4981 @end example
4982 >>>)
4983
4984 @opencatbox{Categories:}
4985 @category{Package distrib}
4986 @closecatbox
4987
4988 @end deffn
4989
4990
4991 @anchor{cdf_binomial}
4992 @deffn {Function} cdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
4993 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer.
4994
4995 The cdf is
4996 m4_displaymath(
4997 <<<F(x; n, p) = I_{1-p}(n-\lfloor x \rfloor, \lfloor x \rfloor + 1)>>>,
4998 <<<
4999 @example
5000 F(x, n, p) = beta_incomplete_regularized(n - floor(x), floor(x) + 1,
5001                                                                   1 - p)
5002 @end example
5003 >>>)
5004 @ifnotinfo
5005 where m4_math(I_z(a,b)) is the @ref{beta_incomplete_regularized}
5006 function.
5007 @end ifnotinfo
5008
5009
5010 @c ===beg===
5011 @c load ("distrib")$
5012 @c cdf_binomial(5,7,1/6);
5013 @c float(%);
5014 @c ===end===
5015 @example
5016 (%i1) load ("distrib")$
5017 @group
5018 (%i2) cdf_binomial(5,7,1/6);
5019                               7775
5020 (%o2)                         ----
5021                               7776
5022 @end group
5023 @group
5024 (%i3) float(%);
5025 (%o3)                  0.9998713991769548
5026 @end group
5027 @end example
5028
5029 @opencatbox{Categories:}
5030 @category{Package distrib}
5031 @closecatbox
5032
5033 @end deffn
5034
5035
5036 @anchor{quantile_binomial}
5037 @deffn {Function} quantile_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
5038 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5039
5040 @opencatbox{Categories:}
5041 @category{Package distrib}
5042 @closecatbox
5043
5044 @end deffn
5045
5046
5047 @anchor{mean_binomial}
5048 @deffn {Function} mean_binomial (@var{n},@var{p})
5049 Returns the mean of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5050
5051 The mean is
5052 m4_displaymath(
5053 <<<E[X] = np>>>,
5054 <<<
5055 @example
5056                             E[X] = n p
5057 @end example
5058
5059 >>>)
5060
5061 @opencatbox{Categories:}
5062 @category{Package distrib}
5063 @closecatbox
5064
5065 @end deffn
5066
5067
5068 @anchor{var_binomial}
5069 @deffn {Function} var_binomial (@var{n},@var{p})
5070 Returns the variance of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5071
5072 The variance is
5073 m4_displaymath(
5074 <<<V[X] = np(1-p)>>>,
5075 <<<
5076 @example
5077                        V[X] = n (1 - p) p
5078 @end example
5079 >>>)
5080
5081 @opencatbox{Categories:}
5082 @category{Package distrib}
5083 @closecatbox
5084
5085 @end deffn
5086
5087
5088 @anchor{std_binomial}
5089 @deffn {Function} std_binomial (@var{n},@var{p})
5090 Returns the standard deviation of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5091
5092 The standard deviation is
5093 m4_displaymath(
5094 <<<D[X] = \sqrt{np(1-p)}>>>,
5095 <<<
5096 @example
5097                     D[X] = sqrt(n (1 - p) p)
5098 @end example
5099 >>>)
5100
5101 @opencatbox{Categories:}
5102 @category{Package distrib}
5103 @closecatbox
5104
5105 @end deffn
5106
5107
5108 @anchor{skewness_binomial}
5109 @deffn {Function} skewness_binomial (@var{n},@var{p})
5110 Returns the skewness coefficient of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5111
5112 The skewness coefficient is
5113 m4_displaymath(
5114 <<<SK[X] = {1-2p\over \sqrt{np(1-p)}}>>>,
5115 <<<
5116 @example
5117                                  1 - 2 p
5118                     SK[X] = -----------------
5119                             sqrt(n (1 - p) p)
5120 @end example
5121
5122 >>>)
5123
5124 @opencatbox{Categories:}
5125 @category{Package distrib}
5126 @closecatbox
5127
5128 @end deffn
5129
5130
5131 @anchor{kurtosis_binomial}
5132 @deffn {Function} kurtosis_binomial (@var{n},@var{p})
5133 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Binomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5134
5135 The kurtosis coefficient is
5136 m4_displaymath(
5137 <<<KU[X] = {1-6p(1-p)\over np(1-p)}>>>,
5138 <<<
5139 @example
5140                              1 - 6 (1 - p) p
5141                      KU[X] = ---------------
5142                                n (1 - p) p
5143 @end example
5144
5145 >>>)
5146
5147 @opencatbox{Categories:}
5148 @category{Package distrib}
5149 @closecatbox
5150
5151 @end deffn
5152
5153
5154 @anchor{random_binomial}
5155 @deffn {Function} random_binomial (@var{n},@var{p}) @
5156 @fname{random_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
5157
5158 Returns a m4_Binomial_RV(n,p) random variate, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. Calling @code{random_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
5159
5160 The implemented algorithm is based on the one described in Kachitvichyanukul, V. and Schmeiser, B.W. (1988) @var{Binomial Random Variate Generation}. Communications of the ACM, 31, Feb., 216.
5161
5162 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5163
5164 @opencatbox{Categories:}
5165 @category{Package distrib}
5166 @category{Random numbers}
5167 @closecatbox
5168
5169 @end deffn
5170
5171 @node Poisson Random Variable, Bernoulli Random Variable, Binomial Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
5172 @subsection Poisson Random Variable
5173
5174 The @emph{Poisson distribution} is a discrete probability
5175 distribution. It is the probability that a given number of events
5176 occur in a fixed interval when the events occur independently of the
5177 time of the last event, and the events occur with a known constant
5178 rate.
5179
5180 @anchor{pdf_poisson}
5181 @deffn {Function} pdf_poisson (@var{x},@var{m})
5182 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5183
5184 The pdf is
5185 m4_displaymath(
5186 <<<f(x; m) = {m^x e^{-m}\over x!}>>>,
5187 <<<
5188 @example
5189                                    x   - m
5190                                   m  %e
5191                         f(x, m) = --------
5192                                      x!
5193 @end example
5194
5195 >>>)
5196
5197 @opencatbox{Categories:}
5198 @category{Package distrib}
5199 @closecatbox
5200
5201 @end deffn
5202
5203
5204 @anchor{cdf_poisson}
5205 @deffn {Function} cdf_poisson (@var{x},@var{m})
5206 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with @math{m>0}.
5207
5208 The cdf is
5209 m4_displaymath(
5210 <<<F(x; m) = Q(\lfloor x \rfloor + 1, m)>>>,
5211 <<<
5212 @example
5213       F(x, m) = gamma_incomplete_regularized(floor(x) + 1, m)
5214 @end example
5215 >>>)
5216 @ifnotinfo
5217 where @math{Q(x,m)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized}
5218 function.
5219 @end ifnotinfo
5220
5221 @c ===beg===
5222 @c load ("distrib")$
5223 @c cdf_poisson(3,5);
5224 @c float(%);
5225 @c ===end===
5226 @example
5227 (%i1) load ("distrib")$
5228 @group
5229 (%i2) cdf_poisson(3,5);
5230 (%o2)          gamma_incomplete_regularized(4, 5)
5231 @end group
5232 @group
5233 (%i3) float(%);
5234 (%o3)                  0.2650259152973619
5235 @end group
5236 @end example
5237
5238 @opencatbox{Categories:}
5239 @category{Package distrib}
5240 @closecatbox
5241
5242 @end deffn
5243
5244
5245 @anchor{quantile_poisson}
5246 @deffn {Function} quantile_poisson (@var{q},@var{m})
5247 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_poisson}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5248
5249 @opencatbox{Categories:}
5250 @category{Package distrib}
5251 @closecatbox
5252
5253 @end deffn
5254
5255
5256 @anchor{mean_poisson}
5257 @deffn {Function} mean_poisson (@var{m})
5258 Returns the mean of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5259
5260 The mean is
5261 m4_displaymath(
5262 <<<E[X] = m>>>,
5263 <<<
5264 @example
5265                             E[X] = m
5266 @end example
5267 >>>)
5268
5269 @opencatbox{Categories:}
5270 @category{Package distrib}
5271 @closecatbox
5272
5273 @end deffn
5274
5275
5276 @anchor{var_poisson}
5277 @deffn {Function} var_poisson (@var{m})
5278 Returns the variance of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5279
5280 The variance is
5281 m4_displaymath(
5282 <<<V[X] = m>>>,
5283 <<<
5284 @example
5285                             V[X] = m
5286 @end example
5287 >>>)
5288
5289 @opencatbox{Categories:}
5290 @category{Package distrib}
5291 @closecatbox
5292
5293 @end deffn
5294
5295
5296 @anchor{std_poisson}
5297 @deffn {Function} std_poisson (@var{m})
5298 Returns the standard deviation of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5299
5300 The standard deviation is
5301 m4_displaymath(
5302 <<<V[X] = \sqrt{m}>>>,
5303 <<<
5304 @example
5305                          D[X] = sqrt(m)
5306 @end example
5307 >>>)
5308
5309 @opencatbox{Categories:}
5310 @category{Package distrib}
5311 @closecatbox
5312
5313 @end deffn
5314
5315
5316 @anchor{skewness_poisson}
5317 @deffn {Function} skewness_poisson (@var{m})
5318 Returns the skewness coefficient of a m4_Poisson_RV(m) random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5319
5320 The skewness is
5321 m4_displaymath(
5322 <<<SK[X] = {1\over \sqrt{m}}>>>,
5323 <<<
5324 @example
5325                                     1
5326                          SK[X] = -------
5327                                  sqrt(m)
5328 @end example
5329
5330 >>>)
5331
5332 @opencatbox{Categories:}
5333 @category{Package distrib}
5334 @closecatbox
5335
5336 @end deffn
5337
5338
5339 @anchor{kurtosis_poisson}
5340 @deffn {Function} kurtosis_poisson (@var{m})
5341 Returns the kurtosis coefficient of a Poisson random variable  @math{Poi(m)}, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5342
5343 The kurtosis coefficient is
5344 m4_displaymath(
5345 <<<KU[X] = {1\over m}>>>,
5346 <<<
5347 @example
5348                                     1
5349                             KU[X] = -
5350                                     m
5351 @end example
5352 >>>)
5353
5354 @opencatbox{Categories:}
5355 @category{Package distrib}
5356 @closecatbox
5357
5358 @end deffn
5359
5360
5361 @anchor{random_poisson}
5362 @deffn {Function} random_poisson (@var{m}) @
5363 @fname{random_poisson} (@var{m},@var{n})
5364
5365 Returns a m4_Poisson_RV(m) random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_poisson} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
5366
5367 The implemented algorithm is the one described in Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1982) @var{Computer Generation of Poisson Deviates From Modified Normal Distributions}. ACM Trans. Math. Software, 8, 2, June,163-179.
5368
5369 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5370
5371 @opencatbox{Categories:}
5372 @category{Package distrib}
5373 @category{Random numbers}
5374 @closecatbox
5375
5376 @end deffn
5377
5378 @node Bernoulli Random Variable, Geometric Random Variable, Poisson Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
5379 @subsection Bernoulli Random Variable
5380
5381 The @emph{Bernoulli distribution} is a discrete probability
5382 distribution which takes on two values, 0 and 1.  The value 1 occurs
5383 with probability @math{p}, and 0 occurs with probabilty @math{1-p}.
5384
5385 It is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p) distribution (@pxref{Binomial Random Variable})
5386
5387 @anchor{pdf_bernoulli}
5388 @deffn {Function} pdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
5389 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
5390
5391 The m4_Bernoulli_RV(p) random variable is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p).
5392
5393 The mean is
5394 m4_displaymath(
5395 <<<f(x; p) = p^x (1-p)^{1-x}>>>,
5396 <<<
5397 @example
5398                                        1 - x  x
5399                       f(x, p) = (1 - p)      p
5400 @end example
5401
5402 >>>)
5403
5404 @c ===beg===
5405 @c load ("distrib")$
5406 @c pdf_bernoulli(1,p);
5407 @c ===end===
5408 @example
5409 (%i1) load ("distrib")$
5410 @group
5411 (%i2) pdf_bernoulli(1,p);
5412 (%o2)                           p
5413 @end group
5414 @end example
5415
5416 @opencatbox{Categories:}
5417 @category{Package distrib}
5418 @closecatbox
5419
5420 @end deffn
5421
5422
5423 @anchor{cdf_bernoulli}
5424 @deffn {Function} cdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
5425 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5426
5427 The cdf is
5428 m4_displaymath(
5429 <<<F(x; p) = I_{1-p}(1-\lfloor x \rfloor, \lfloor x \rfloor + 1)>>>,
5430 <<<
5431 @example
5432  F(x, n, p) = beta_incomplete_regularized(n - floor(x), floor(x) + 1,
5433                                                                     1 - p)
5434 @end example
5435
5436 >>>)
5437
5438 @opencatbox{Categories:}
5439 @category{Package distrib}
5440 @closecatbox
5441
5442 @end deffn
5443
5444
5445 @anchor{quantile_bernoulli}
5446 @deffn {Function} quantile_bernoulli (@var{q},@var{p})
5447 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_bernoulli}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5448
5449 @opencatbox{Categories:}
5450 @category{Package distrib}
5451 @closecatbox
5452
5453 @end deffn
5454
5455
5456 @anchor{mean_bernoulli}
5457 @deffn {Function} mean_bernoulli (@var{p})
5458 Returns the mean of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
5459
5460 The m4_Bernoulli_RV(p) random variable is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p).
5461
5462 The mean is
5463 m4_displaymath(
5464 <<<E[X] = p>>>,
5465 <<<
5466 @example
5467                             E[X] = p
5468 @end example
5469 >>>)
5470
5471 @c ===beg===
5472 @c load ("distrib")$
5473 @c mean_bernoulli(p);
5474 @c ===end===
5475 @example
5476 (%i1) load ("distrib")$
5477 @group
5478 (%i2) mean_bernoulli(p);
5479 (%o2)                           p
5480 @end group
5481 @end example
5482
5483 @opencatbox{Categories:}
5484 @category{Package distrib}
5485 @closecatbox
5486
5487 @end deffn
5488
5489
5490 @anchor{var_bernoulli}
5491 @deffn {Function} var_bernoulli (@var{p})
5492 Returns the variance of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
5493
5494 The m4_Bernoulli_RV(p) random variable is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p).
5495
5496 The variance is
5497 m4_displaymath(
5498 <<<V[X] = p(1-p)>>>,
5499 <<<
5500 @example
5501                         V[X] = (1 - p) p
5502 @end example
5503 >>>)
5504
5505 @c ===beg===
5506 @c load ("distrib")$
5507 @c var_bernoulli(p);
5508 @c ===end===
5509 @example
5510 (%i1) load ("distrib")$
5511 @group
5512 (%i2) var_bernoulli(p);
5513 (%o2)                       (1 - p) p
5514 @end group
5515 @end example
5516
5517 @opencatbox{Categories:}
5518 @category{Package distrib}
5519 @closecatbox
5520
5521 @end deffn
5522
5523
5524 @anchor{std_bernoulli}
5525 @deffn {Function} std_bernoulli (@var{p})
5526 Returns the standard deviation of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
5527
5528 The m4_Bernoulli_RV(p) random variable is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p).
5529
5530 The standard deviation is
5531 m4_displaymath(
5532 <<<D[X] = \sqrt{p(1-p)}>>>,
5533 <<<
5534 @example
5535                      D[X] = sqrt((1 - p) p)
5536 @end example
5537
5538 >>>)
5539
5540 @c ===beg===
5541 @c load ("distrib")$
5542 @c std_bernoulli(p);
5543 @c ===end===
5544 @example
5545 (%i1) load ("distrib")$
5546 @group
5547 (%i2) std_bernoulli(p);
5548 (%o2)                    sqrt((1 - p) p)
5549 @end group
5550 @end example
5551
5552 @opencatbox{Categories:}
5553 @category{Package distrib}
5554 @closecatbox
5555
5556 @end deffn
5557
5558
5559 @anchor{skewness_bernoulli}
5560 @deffn {Function} skewness_bernoulli (@var{p})
5561 Returns the skewness coefficient of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
5562
5563 The m4_Bernoulli_RV(p) random variable is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p).
5564
5565 The skewness coefficient is
5566 m4_displaymath(
5567 <<<SK[X] = {1-2p \over \sqrt{p(1-p)}}>>>,
5568 <<<
5569 @example
5570                                  1 - 2 p
5571                      SK[X] = ---------------
5572                              sqrt((1 - p) p)
5573 @end example
5574
5575 >>>)
5576
5577 @c ===beg===
5578 @c load ("distrib")$
5579 @c skewness_bernoulli(p);
5580 @c ===end===
5581 @example
5582 (%i1) load ("distrib")$
5583 @group
5584 (%i2) skewness_bernoulli(p);
5585                              1 - 2 p
5586 (%o2)                    ---------------
5587                          sqrt((1 - p) p)
5588 @end group
5589 @end example
5590
5591 @opencatbox{Categories:}
5592 @category{Package distrib}
5593 @closecatbox
5594
5595 @end deffn
5596
5597
5598 @anchor{kurtosis_bernoulli}
5599 @deffn {Function} kurtosis_bernoulli (@var{p})
5600 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Bernoulli_RV(p) random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
5601
5602 The m4_Bernoulli_RV(p) random variable is equivalent to the m4_Binomial_RV(1,p).
5603
5604 The kurtosis coefficient is
5605 m4_displaymath(
5606 <<<KU[X] = {1-6p(1-p) \over p(1-p)}>>>,
5607 <<<
5608 @example
5609                              1 - 6 (1 - p) p
5610                      KU[X] = ---------------
5611                                 (1 - p) p
5612 @end example
5613
5614 >>>)
5615
5616 @c ===beg===
5617 @c load ("distrib")$
5618 @c kurtosis_bernoulli(p);
5619 @c ===end===
5620 @example
5621 (%i1) load ("distrib")$
5622 @group
5623 (%i2) kurtosis_bernoulli(p);
5624                          1 - 6 (1 - p) p
5625 (%o2)                    ---------------
5626                             (1 - p) p
5627 @end group
5628 @end example
5629
5630 @opencatbox{Categories:}
5631 @category{Package distrib}
5632 @closecatbox
5633
5634 @end deffn
5635
5636
5637 @anchor{random_bernoulli}
5638 @deffn {Function} random_bernoulli (@var{p}) @
5639 @fname{random_bernoulli} (@var{p},@var{n})
5640
5641 Returns a m4_Bernoulli_RV(p) random variate, with @math{0 \leq p \leq 1}. Calling @code{random_bernoulli} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
5642
5643 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
5644
5645 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5646
5647 @opencatbox{Categories:}
5648 @category{Package distrib}
5649 @category{Random numbers}
5650 @closecatbox
5651
5652 @end deffn
5653
5654 @node Geometric Random Variable, Discrete Uniform Random Variable, Bernoulli Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
5655 @subsection Geometric Random Variable
5656
5657 The @emph{Geometric distibution} is a discrete probability
5658 distribution.  It is the distribution of the number
5659 Bernoulli trials that fail before the first success.
5660
5661 Consider flipping a biased coin where heads occurs with probablity
5662 @math{p}.   Then the probability of @math{k-1} tails in a row followed
5663 by heads is given by the m4_Geometric_RV(p) distribution.
5664
5665 @anchor{pdf_geometric}
5666 @deffn {Function} pdf_geometric (@var{x},@var{p})
5667 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5668 @math{0 < p \leq 1}
5669
5670 The pdf is
5671 m4_displaymath(
5672 <<<f(x; p) = p(1-p)^x>>>,
5673 <<<
5674 @example
5675                                         x
5676                        f(x, p) = (1 - p)  p
5677 @end example
5678
5679 >>>)
5680
5681 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
5682
5683 @code{load("distrib")} loads this function.
5684
5685 @opencatbox{Categories:}
5686 @category{Package distrib}
5687 @closecatbox
5688
5689 @end deffn
5690
5691
5692 @anchor{cdf_geometric}
5693 @deffn {Function} cdf_geometric (@var{x},@var{p})
5694 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5695 @math{0 < p \leq  1}
5696
5697 The cdf is
5698 m4_displaymath(
5699 <<<1-(1-p)^{1 + \lfloor x \rfloor}>>>,
5700 <<<
5701 @example
5702                                       floor(x) + 1
5703                  F(x, p) = 1 - (1 - p)
5704 @end example
5705
5706 >>>)
5707
5708 @code{load("distrib")} loads this function.
5709
5710 @opencatbox{Categories:}
5711 @category{Package distrib}
5712 @closecatbox
5713
5714 @end deffn
5715
5716
5717 @anchor{quantile_geometric}
5718 @deffn {Function} quantile_geometric (@var{q},@var{p})
5719 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5720 @ifnottex
5721 @math{0 < p <= 1};
5722 @end ifnottex
5723 @tex
5724 @math{0 < p \leq 1};
5725 @end tex
5726 in other words, this is the inverse of @code{cdf_geometric}.
5727 Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
5728
5729 The probability from which the quantile is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
5730 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
5731
5732 @code{load("distrib")} loads this function.
5733
5734 @opencatbox{Categories:}
5735 @category{Package distrib}
5736 @closecatbox
5737
5738 @end deffn
5739
5740
5741 @anchor{mean_geometric}
5742 @deffn {Function} mean_geometric (@var{p})
5743 Returns the mean of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5744 @math{0 < p \leq 1}.
5745
5746 The mean is
5747 m4_displaymath(
5748 <<<E[X] = {1\over p} - 1>>>,
5749 <<<
5750 @example
5751                                  1
5752                           E[X] = - - 1
5753                                  p
5754 @end example
5755
5756 >>>)
5757
5758 The probability from which the mean is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
5759 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
5760
5761 @code{load("distrib")} loads this function.
5762
5763 @opencatbox{Categories:}
5764 @category{Package distrib}
5765 @closecatbox
5766
5767 @end deffn
5768
5769
5770 @anchor{var_geometric}
5771 @deffn {Function} var_geometric (@var{p})
5772 Returns the variance of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5773 @math{0 < p \leq 1}.
5774
5775 The variance is
5776 m4_displaymath(
5777 <<<V[X] = {1-p\over p^2}>>>,
5778 <<<
5779 @example
5780                                  1 - p
5781                           V[X] = -----
5782                                    2
5783                                   p
5784 @end example
5785
5786 >>>)
5787
5788 @code{load("distrib")} loads this function.
5789
5790 @opencatbox{Categories:}
5791 @category{Package distrib}
5792 @closecatbox
5793
5794 @end deffn
5795
5796
5797 @anchor{std_geometric}
5798 @deffn {Function} std_geometric (@var{p})
5799 Returns the standard deviation of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5800 @math{0 < p \leq 1}.
5801
5802 m4_displaymath(
5803 <<<D[X] = {\sqrt{1-p} \over p}>>>,
5804 <<<
5805 @example
5806                               sqrt(1 - p)
5807                        D[X] = -----------
5808                                    p
5809 @end example
5810
5811 >>>)
5812
5813 @code{load("distrib")} loads this function.
5814
5815 @opencatbox{Categories:}
5816 @category{Package distrib}
5817 @closecatbox
5818
5819 @end deffn
5820
5821
5822 @anchor{skewness_geometric}
5823 @deffn {Function} skewness_geometric (@var{p})
5824 Returns the skewness coefficient of a m4_Geometric_RV(p) random variable, with
5825 @math{0 < p \leq 1}.
5826
5827 The skewness coefficient is
5828 m4_displaymath(
5829 <<<SK[X] = {2-p \over \sqrt{1-p}}>>>,
5830 <<<
5831 @example
5832                                   2 - p
5833                        SK[X] = -----------
5834                                sqrt(1 - p)
5835 @end example
5836
5837 >>>)
5838
5839 @code{load("distrib")} loads this function.
5840
5841 @opencatbox{Categories:}
5842 @category{Package distrib}
5843 @closecatbox
5844
5845 @end deffn
5846
5847
5848 @anchor{kurtosis_geometric}
5849 @deffn {Function} kurtosis_geometric (@var{p})
5850 Returns the kurtosis coefficient of a geometric random variable  m4_Geometric_RV(p), with
5851 @math{0 < p \leq 1}.
5852
5853 The kurtosis coefficient is
5854 m4_displaymath(
5855 <<<KU[X] = {p^2-6p+6 \over 1-p}>>>,
5856 <<<
5857 @example
5858                                2
5859                               p  - 6 p + 6
5860                       KU[X] = ------------
5861                                  1 - p
5862 @end example
5863
5864 >>>)
5865
5866 @code{load("distrib")} loads this function.
5867
5868 @opencatbox{Categories:}
5869 @category{Package distrib}
5870 @closecatbox
5871
5872 @end deffn
5873
5874
5875 @anchor{random_geometric}
5876 @deffn {Function} random_geometric (@var{p}) @
5877 @fname{random_geometric} (@var{p},@var{n})
5878
5879 @code{random_geometric(@var{p})} returns one random sample from a m4_Geometric_RV(p) distribution, with
5880 @ifnottex
5881 @math{0 < p <= 1}.
5882 @end ifnottex
5883 @tex
5884 @math{0 < p \leq 1}.
5885 @end tex
5886
5887 @code{random_geometric(@var{p}, @var{n})} returns a list of @var{n} random samples.
5888
5889 The algorithm is based on simulation of Bernoulli trials.
5890
5891 The probability from which the random sample is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
5892 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
5893
5894 @code{load("distrib")} loads this function.
5895
5896
5897 @opencatbox{Categories:}
5898 @category{Package distrib}
5899 @category{Random numbers}
5900 @closecatbox
5901
5902 @end deffn
5903
5904 @node Discrete Uniform Random Variable, Hypergeometric Random Variable, Geometric Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
5905 @subsection Discrete Uniform Random Variable
5906
5907 The @emph{Discrete uniform distribution} is a discrete probablity
5908 distribution where a finite number of values are equally likely to
5909 occur.  The values are @math{1,2,3,...,n}.
5910
5911 For example throwing a fair die of 6 sides numbered 1 through 6
5912 follows a m4_DiscreteUniform_RV(1/6) distribution.
5913
5914 @anchor{pdf_discrete_uniform}
5915 @deffn {Function} pdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
5916 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5917
5918 The pdf is
5919 m4_displaymath(
5920 <<<f(x,n) = {1\over n}>>>,
5921 <<<
5922 @example
5923                                        1
5924                              f(x, n) = -
5925                                        n
5926 @end example
5927
5928 >>>)
5929
5930 @opencatbox{Categories:}
5931 @category{Package distrib}
5932 @closecatbox
5933
5934 @end deffn
5935
5936
5937 @anchor{cdf_discrete_uniform}
5938 @deffn {Function} cdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
5939 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5940
5941 The cdf is
5942 m4_displaymath(
5943 <<<F(x; n) = {\lfloor x \rfloor \over n}>>>,
5944 <<<
5945 @example
5946                                   floor(x)
5947                         F(x, n) = --------
5948                                      n
5949 @end example
5950
5951 >>>)
5952
5953 @opencatbox{Categories:}
5954 @category{Package distrib}
5955 @closecatbox
5956
5957 @end deffn
5958
5959
5960 @anchor{quantile_discrete_uniform}
5961 @deffn {Function} quantile_discrete_uniform (@var{q},@var{n})
5962 Returns the @var{q}-quantile of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_discrete_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5963
5964 @opencatbox{Categories:}
5965 @category{Package distrib}
5966 @closecatbox
5967
5968 @end deffn
5969
5970
5971 @anchor{mean_discrete_uniform}
5972 @deffn {Function} mean_discrete_uniform (@var{n})
5973 Returns the mean of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5974
5975 The mean is
5976 m4_displaymath(
5977 <<<E[X] = {n+1\over 2}>>>,
5978 <<<
5979 @example
5980                                  n + 1
5981                           E[X] = -----
5982                                    2
5983 @end example
5984
5985 >>>)
5986
5987 @opencatbox{Categories:}
5988 @category{Package distrib}
5989 @closecatbox
5990
5991 @end deffn
5992
5993
5994 @anchor{var_discrete_uniform}
5995 @deffn {Function} var_discrete_uniform (@var{n})
5996 Returns the variance of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
5997
5998 The variance is
5999 m4_displaymath(
6000 <<<V[X] = {n^2-1 \over 12}>>>,
6001 <<<
6002 @example
6003                                   2
6004                                  n  - 1
6005                           V[X] = ------
6006                                    12
6007 @end example
6008
6009 >>>)
6010
6011 @opencatbox{Categories:}
6012 @category{Package distrib}
6013 @closecatbox
6014
6015 @end deffn
6016
6017
6018 @anchor{std_discrete_uniform}
6019 @deffn {Function} std_discrete_uniform (@var{n})
6020 Returns the standard deviation of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6021
6022 The standard deviation is
6023 m4_displaymath(
6024 <<<D[X] = {\sqrt{n^2-1} \over 2\sqrt{3}}>>>,
6025 <<<
6026 @example
6027                                     2
6028                               sqrt(n  - 1)
6029                        D[X] = ------------
6030                                2 sqrt(3)
6031 @end example
6032
6033 >>>)
6034
6035 @opencatbox{Categories:}
6036 @category{Package distrib}
6037 @closecatbox
6038
6039 @end deffn
6040
6041
6042 @anchor{skewness_discrete_uniform}
6043 @deffn {Function} skewness_discrete_uniform (@var{n})
6044 Returns the skewness coefficient of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6045
6046 The skewness coefficient is
6047 m4_displaymath(
6048 <<<SK[X] = 0>>>,
6049 <<<
6050 @example
6051                             SK[X] = 0
6052 @end example
6053 >>>)
6054
6055 @opencatbox{Categories:}
6056 @category{Package distrib}
6057 @closecatbox
6058
6059 @end deffn
6060
6061
6062 @anchor{kurtosis_discrete_uniform}
6063 @deffn {Function} kurtosis_discrete_uniform (@var{n})
6064 Returns the kurtosis coefficient of a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6065
6066 The kurtosis coefficient is
6067 m4_displaymath(
6068 <<<KU[X] = - {6(n^2+1)\over 5 (n^2-1)}>>>,
6069 <<<
6070 @example
6071                                     2
6072                                 6 (n  + 1)
6073                    KU[X] = - -----------------
6074                              5 (n - 1) (n + 1)
6075
6076 @end example
6077 >>>)
6078
6079 @opencatbox{Categories:}
6080 @category{Package distrib}
6081 @closecatbox
6082
6083 @end deffn
6084
6085
6086 @anchor{random_discrete_uniform}
6087 @deffn {Function} random_discrete_uniform (@var{n}) @
6088 @fname{random_discrete_uniform} (@var{n},@var{m})
6089
6090 Returns a m4_DiscreteUniform_RV(n) random variate, with @math{n} a strictly positive integer. Calling @code{random_discrete_uniform} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
6091
6092 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
6093
6094 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6095
6096 @opencatbox{Categories:}
6097 @category{Package distrib}
6098 @category{Random numbers}
6099 @closecatbox
6100
6101 @end deffn
6102
6103 @node Hypergeometric Random Variable, Negative Binomial Random Variable, Discrete Uniform Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
6104 @subsection Hypergeometric Random Variable
6105
6106 The @emph{hypergeometric distribution} is a discrete probability
6107 distribution.
6108
6109 Let @math{n_1} be the number of objects of a class
6110 @math{A} and @math{n_2} be the number of objects of class @math{B}.
6111 We take out @math{n} objects, @emph{without} replacment.  Then the
6112 hypergeometric distribution is the probability that exactly @math{k}
6113 objects are from class @math{A}.  Of course @math{n \leq n_1 + n_2}.
6114
6115 @anchor{pdf_hypergeometric}
6116 @deffn {Function} pdf_hypergeometric (@var{x},@var{n_1},@var{n_2},@var{n})
6117 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_Hypergeometric_RV(n1,n2,n)
6118 random variable, with @math{n_1}, @math{n_2} and @math{n} non negative
6119 integers and @math{n\leq n_1+n_2}.
6120 Being @math{n_1} the number of objects of class A, @math{n_2} the number of objects of class B, and
6121 @math{n} the size of the sample without replacement, this function returns the probability of
6122 event "exactly @var{x} objects are of class A".
6123
6124 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6125
6126 The pdf is
6127 m4_displaymath(
6128 <<<f(x; n_1, n_2, n) = {\displaystyle{n_1\choose x} {n_2 \choose n-x}
6129 \over \displaystyle{n_2+n_1 \choose n}}>>>,
6130 <<<
6131 @example
6132                            binomial(n_1, x) binomial(n_2, n - x)
6133        f(x, n_1, n_2, n) = -----------------------------------
6134                                   binomial(n_2 + n_1, n)
6135 @end example
6136
6137 >>>)
6138
6139 @opencatbox{Categories:}
6140 @category{Package distrib}
6141 @closecatbox
6142
6143 @end deffn
6144
6145
6146 @anchor{cdf_hypergeometric}
6147 @deffn {Function} cdf_hypergeometric (@var{x},@var{n_1},@var{n_2},@var{n})
6148 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_Hypergeometric_RV(n1,n2,n)
6149 random variable, with @math{n_1}, @math{n_2} and @math{n} non negative
6150 integers and @math{n\leq n_1+n_2}.
6151 See @code{pdf_hypergeometric} for a more complete description.
6152
6153 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6154
6155 The cdf is
6156 m4_displaymath(
6157 <<<F(x; n_1, n_2, n) = {n_2+n_1\choose n}^{-1}
6158 \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} {n_1 \choose k} {n_2 \choose n - k}>>>,
6159 <<<
6160 @example
6161                       floor(x)
6162                       ====
6163                       \
6164                        >       binomial(n_1, k) binomial(n_2, n - k)
6165                       /
6166                       ====
6167                       k = 0
6168   F(x, n_1, n_2, n) = --------------------------------------------
6169                                   binomial(n_2 + n_1, n)
6170 @end example
6171
6172 >>>)
6173
6174 @opencatbox{Categories:}
6175 @category{Package distrib}
6176 @closecatbox
6177
6178 @end deffn
6179
6180
6181 @anchor{quantile_hypergeometric}
6182 @deffn {Function} quantile_hypergeometric (@var{q},@var{n1},@var{n2},@var{n})
6183 Returns the @var{q}-quantile of a m4_Hypergeometric_RV(n1,n2,n) random
6184 variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers
6185 and @math{n\leq n1+n2}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_hypergeometric}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6186
6187 @opencatbox{Categories:}
6188 @category{Package distrib}
6189 @closecatbox
6190
6191 @end deffn
6192
6193
6194 @anchor{mean_hypergeometric}
6195 @deffn {Function} mean_hypergeometric (@var{n_1},@var{n_2},@var{n})
6196 Returns the mean of a discrete uniform random variable m4_Hypergeometric_RV(n_1,n_2,n), with @math{n_1}, @math{n_2} and @math{n} non negative integers and @math{n\leq n_1+n_2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6197
6198 The mean is
6199 m4_displaymath(
6200 <<<E[X] = {n n_1\over n_2+n_1}>>>,
6201 <<<
6202 @example
6203                                  n n_1
6204                          E[X] = -------
6205                                 n_2 + n_1
6206
6207 @end example
6208
6209 >>>)
6210
6211 @opencatbox{Categories:}
6212 @category{Package distrib}
6213 @closecatbox
6214
6215 @end deffn
6216
6217
6218 @anchor{var_hypergeometric}
6219 @deffn {Function} var_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
6220 Returns the variance of a hypergeometric  random variable m4_Hypergeometric_RV(n_1,n_2,n), with @math{n1}, @math{n2} and @math{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6221
6222 The variance is
6223 m4_displaymath(
6224 <<<V[X] = {n n_1 n_2 (n_1 + n_2 - n)
6225  \over
6226  (n_1 + n_2 - 1) (n_1 + n_2)^2}>>>,
6227 <<<
6228 @example
6229                         n n_1 n_2 (n_2 + n_1 - n)
6230                 V[X] = ----------------------------
6231                                                   2
6232                        (n_2 + n_1 - 1) (n_2 + n_1)
6233 @end example
6234
6235 >>>)
6236
6237 @opencatbox{Categories:}
6238 @category{Package distrib}
6239 @closecatbox
6240
6241 @end deffn
6242
6243
6244 @anchor{std_hypergeometric}
6245 @deffn {Function} std_hypergeometric (@var{n_1},@var{n_2},@var{n})
6246 Returns the standard deviation of a m4_Hypergeometric_RV(n_1,n_2,n) random variable, with @math{n_1}, @math{n_2} and @math{n} non negative integers and @math{n\leq n_1+n_2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6247
6248 The standard deviation is
6249 m4_displaymath(
6250 <<<D[X] = {1\over n_1+n_2}\sqrt{n n_1 n_2 (n_1 + n_2 - n) \over n_1+n_2-1}>>>,
6251 <<<
6252 @example
6253                           n n_1 n_2 (n_2 + n_1 - n)
6254                      sqrt(-------------------------)
6255                                 n_2 + n_1 - 1
6256               D[X] = -------------------------------
6257                                 n_2 + n_1
6258 @end example
6259
6260 >>>)
6261
6262 @opencatbox{Categories:}
6263 @category{Package distrib}
6264 @closecatbox
6265
6266 @end deffn
6267
6268
6269 @anchor{skewness_hypergeometric}
6270 @deffn {Function} skewness_hypergeometric (@var{n_1},@var{n_2},@var{n})
6271 Returns the skewness coefficient of a m4_Hypergeometric_RV(n1,n2,n) random variable, with @math{n_1}, @math{n_2} and @math{n} non negative integers and @math{n\leq n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6272
6273 The skewness coefficient is
6274 m4_displaymath(
6275 <<<SK[X] = {(n_2-n_2)(n_1+n_2-2n)\over n_1+n_2-2}
6276 \sqrt{n_1+n_2-1 \over n n_1 n_2 (n_1+n_2-n)}>>>,
6277 <<<
6278 @example
6279                                                  n_2 + n_1 - 1
6280         (n_2 - n_1) (n_2 + n_1 - 2 n) sqrt(-------------------------)
6281                                            n n_1 n_2 (n_2 + n_1 - n)
6282 SK[X] = -------------------------------------------------------------
6283                                 n_2 + n_1 - 2
6284
6285 @end example
6286
6287 >>>)
6288
6289 @opencatbox{Categories:}
6290 @category{Package distrib}
6291 @closecatbox
6292
6293 @end deffn
6294
6295
6296 @anchor{kurtosis_hypergeometric}
6297 @deffn {Function} kurtosis_hypergeometric (@var{n_1},@var{n_2},@var{n})
6298 Returns the kurtosis coefficient of a m4_Hypergeometric_RV(n_1,n_2,n) random variable, with @math{n_1}, @math{n_2} and @math{n} non negative integers and @math{n\leq n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6299
6300 The kurtosis coefficient is
6301 m4_displaymath(
6302 <<<
6303 \eqalign{
6304 KU[X] = &
6305  \left[{C(1)C(0)^2
6306    \over
6307   n n_1 n_2 C(3)C(2)C(n)}\right. \cr
6308   & \times
6309   \left.\left(
6310     {3n_1n_2\left((n-2)C(0)^2+6nC(n)-n^2C(0)\right)
6311     \over
6312     C(0)^2
6313     }
6314     -6nC(n) + C(0)C(-1)
6315   \right)\right] \cr
6316   &-3
6317 }>>>,
6318 <<<
6319 @example
6320                                     2
6321 KU[X] = ((n_2 + n_1 - 1) (n_2 + n_1)
6322                                 2                          2
6323   3 n_1 n_2 ((n - 2) (n_2 + n_1)  + 6 n (n_2 + n_1 - n) - n  (n_2 + n_1))
6324  (-----------------------------------------------------------------------
6325                                           2
6326                                (n_2 + n_1)
6327  - 6 n (n_2 + n_1 - n) + (n_2 + n_1) (n_2 + n_1 + 1)))
6328 /(n n_1 n_2 (n_2 + n_1 - 3) (n_2 + n_1 - 2) (n_2 + n_1 - n)) - 3
6329 @end example
6330 >>>)
6331 @ifnotinfo
6332 where m4_math(C(k) = n_1+n_2-k).
6333 @end ifnotinfo
6334
6335 @opencatbox{Categories:}
6336 @category{Package distrib}
6337 @closecatbox
6338
6339 @end deffn
6340
6341
6342 @anchor{random_hypergeometric}
6343 @deffn {Function} random_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n}) @
6344 @fname{random_hypergeometric} (@var{n1},@var{n2},@var{n},@var{m})
6345
6346 Returns a m4_Hypergeometric_RV(n1,n2,n) random variate, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. Calling @code{random_hypergeometric} with a fourth argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
6347
6348 Algorithm described in Kachitvichyanukul, V., Schmeiser, B.W. (1985) @var{Computer generation of hypergeometric random variates.} Journal of Statistical Computation and Simulation 22, 127-145.
6349
6350 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6351
6352 @opencatbox{Categories:}
6353 @category{Package distrib}
6354 @category{Random numbers}
6355 @closecatbox
6356
6357 @end deffn
6358
6359 @node Negative Binomial Random Variable,  , Hypergeometric Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions
6360 @subsection Negative Binomial Random Variable
6361
6362 The @emph{negative binomial distribution} is a discrete probability
6363 distribution.  Suppose we have a sequence of Bernoulli trials where
6364 each trial has two outcomes called ``success'' and ``failure'' where
6365 ``success'' occurs with probablity @math{p} and ``failure'' with
6366 probability @math{1-p}.  We observe the sequence until a predefined
6367 number @math{r} of sucesses have occurred.  Then the number of
6368 failures seen will have a m4_NegativeBinomial_RV(r, p) distribution.
6369
6370 @anchor{pdf_negative_binomial}
6371 @deffn {Function} pdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
6372 Returns the value at @var{x} of the probability function of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6373
6374 The pdf is
6375 m4_displaymath(
6376 <<<f(x; n, p) = {x+n-1 \choose n-1} (1-p)^xp^n>>>,
6377 <<<
6378 @example
6379                                    x  n
6380                             (1 - p)  p  gamma(x + n)
6381                f(x, n, p) = ------------------------
6382                                   gamma(n) x!
6383 @end example
6384
6385 >>>)
6386
6387 @opencatbox{Categories:}
6388 @category{Package distrib}
6389 @closecatbox
6390
6391 @end deffn
6392
6393
6394 @anchor{cdf_negative_binomial}
6395 @deffn {Function} cdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
6396 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number.
6397
6398 The cdf is
6399 m4_displaymath(
6400 <<<F(x; n, p) = I_p(n,\lfloor x \rfloor + 1)>>>,
6401 <<<
6402 @example
6403    F(x, n, p) = beta_incomplete_regularized(n, floor(x) + 1, p)
6404 @end example
6405 >>>)
6406 @ifnotinfo
6407 where m4_math(I_p(a,b)) is the @ref{beta_incomplete_regularized} function.
6408 @end ifnotinfo
6409
6410 @c ===beg===
6411 @c load ("distrib")$
6412 @c cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
6413 @c ===end===
6414 @example
6415 (%i1) load ("distrib")$
6416 @group
6417 (%i2) cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
6418                               3271
6419 (%o2)                        ------
6420                              524288
6421 @end group
6422 @end example
6423
6424 @opencatbox{Categories:}
6425 @category{Package distrib}
6426 @closecatbox
6427
6428 @end deffn
6429
6430
6431 @anchor{quantile_negative_binomial}
6432 @deffn {Function} quantile_negative_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
6433 Returns the @var{q}-quantile of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number; in other words, this is the inverse of @code{cdf_negative_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6434
6435 @opencatbox{Categories:}
6436 @category{Package distrib}
6437 @closecatbox
6438
6439 @end deffn
6440
6441
6442 @anchor{mean_negative_binomial}
6443 @deffn {Function} mean_negative_binomial (@var{n},@var{p})
6444 Returns the mean of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6445
6446 The mean is
6447 m4_displaymath(
6448 <<<E[X] = {n(1-p)\over p}>>>,
6449 <<<
6450 @example
6451                                n (1 - p)
6452                         E[X] = ---------
6453                                    p
6454 @end example
6455 >>>)
6456
6457 @opencatbox{Categories:}
6458 @category{Package distrib}
6459 @closecatbox
6460
6461 @end deffn
6462
6463
6464 @anchor{var_negative_binomial}
6465 @deffn {Function} var_negative_binomial (@var{n},@var{p})
6466 Returns the variance of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6467
6468 The variance is
6469 m4_displaymath(
6470 <<<V[X] = {n(1-p)\over p^2}>>>,
6471 <<<
6472 @example
6473                                n (1 - p)
6474                         V[X] = ---------
6475                                    2
6476                                   p
6477 @end example
6478 >>>)
6479
6480 @opencatbox{Categories:}
6481 @category{Package distrib}
6482 @closecatbox
6483
6484 @end deffn
6485
6486
6487 @anchor{std_negative_binomial}
6488 @deffn {Function} std_negative_binomial (@var{n},@var{p})
6489 Returns the standard deviation of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6490
6491 The standard deviation is
6492 m4_displaymath(
6493 <<<D[X] = {\sqrt{n(1-p)}\over p}>>>,
6494 <<<
6495 @example
6496                             sqrt(n (1 - p))
6497                      D[X] = ---------------
6498                                    p
6499 @end example
6500 >>>)
6501
6502 @opencatbox{Categories:}
6503 @category{Package distrib}
6504 @closecatbox
6505
6506 @end deffn
6507
6508
6509 @anchor{skewness_negative_binomial}
6510 @deffn {Function} skewness_negative_binomial (@var{n},@var{p})
6511 Returns the skewness coefficient of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6512
6513 The skewness coefficient is
6514 m4_displaymath(
6515 <<<SK[X] = {2-p \over \sqrt{n(1-p)}}>>>,
6516 <<<
6517 @example
6518                                   2 - p
6519                      SK[X] = ---------------
6520                              sqrt(n (1 - p))
6521 @end example
6522 >>>)
6523
6524 @opencatbox{Categories:}
6525 @category{Package distrib}
6526 @closecatbox
6527
6528 @end deffn
6529
6530
6531 @anchor{kurtosis_negative_binomial}
6532 @deffn {Function} kurtosis_negative_binomial (@var{n},@var{p})
6533 Returns the kurtosis coefficient of a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6534
6535 The kurtosis coefficient is
6536 m4_displaymath(
6537 <<<KU[X] = {p^2-6p+6 \over n(1-p)}>>>,
6538 <<<
6539 @example
6540                                2
6541                               p  - 6 p + 6
6542                       KU[X] = ------------
6543                                n (1 - p)
6544 @end example
6545
6546 >>>)
6547
6548 @opencatbox{Categories:}
6549 @category{Package distrib}
6550 @closecatbox
6551
6552 @end deffn
6553
6554
6555 @anchor{random_negative_binomial}
6556 @deffn {Function} random_negative_binomial (@var{n},@var{p}) @
6557 @fname{random_negative_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
6558
6559 Returns a m4_NegativeBinomial_RV(n,p) random variate, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. Calling @code{random_negative_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
6560
6561 Algorithm described in Devroye, L. (1986) @var{Non-Uniform Random Variate Generation}. Springer Verlag, p. 480.
6562
6563 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
6564
6565 @opencatbox{Categories:}
6566 @category{Package distrib}
6567 @category{Random numbers}
6568 @closecatbox
6569
6570 @end deffn
6571 @c Undefine all the m4 macros we defined in this file.
6572 m4_undefine(<<<m4_Normal_RV>>>)