tests/rtest_limit_extra.mac

   1 /* limits of log expressions */
   2
   3 limit(log(x),x,minf);
   4 infinity$
   5
   6 limit(log(x),x,0);
   7 infinity$
   8
   9 limit(log(x),x,0,'minus);
  10 infinity$
  11
  12 limit(log(x),x,0,'plus);
  13 minf$
  14
  15 limit(log(x),x,inf);
  16 inf$
  17
  18 limit(log(-2+%i*x),x,0);
  19 ind$
  20
  21 limit(46*log(-2+%i*x),x,0);
  22 ind$
  23
  24 limit(107+log(-2+%i*x),x,0);
  25 ind$
  26
  27 limit(log(-2+%i*x),x,0,'minus);
  28 log(2)-%i*%pi$
  29
  30 limit(46*log(-2+%i*x),x,0,'minus);
  31 46*(log(2)-%i*%pi)$
  32
  33 limit(107+log(-2+%i*x),x,0,'minus);
  34 107 + log(2) - %i*%pi$
  35
  36 limit(log(-2+%i*x),x,0,'plus);
  37 log(2)+%i*%pi$
  38
  39 limit(46*log(-2+%i*x),x,0,'plus);
  40 46*(log(2)+%i*%pi)$
  41
  42 limit(107+log(-2+%i*x),x,0,'plus);
  43 107 + log(2) + %i*%pi$
  44
  45 /* #3831 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1) hangs  related bugs */
  46 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1,'minus);
  47 -(log(2)/2)$
  48
  49 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1,'plus);
  50 -(log(2)/2)$
  51
  52 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1);
  53 -(log(2)/2)$
  54
  55 limit(log((sqrt(x^4+1))/2),x,1,'minus);
  56 -(log(2)/2)$
  57
  58 limit(log((sqrt(x^4+1))/2),x,1,'plus);
  59 -(log(2)/2)$
  60
  61 limit(log((sqrt(x^4+1))/2),x,1);
  62 -(log(2)/2)$
  63
  64 block([logarc : true], integrate(1/sqrt(9+x^2),x,0,3));
  65 log((3*sqrt(2)+3)/3)$
  66
  67 block([logarc : false], integrate(1/sqrt(9+x^2),x,0,3));
  68 asinh(1)$
  69
  70 limit(log((sqrt(x^2+9)+x)/3),x,1,'minus);
  71 log((sqrt(10)+1)/3)$
  72
  73 limit(log((sqrt(x^2+9)+x)/3),x,1,'plus);
  74 log((sqrt(10)+1)/3)$
  75
  76 limit(log((sqrt(x^2+9)+x)/3),x,1);
  77 log((sqrt(10)+1)/3)$
  78
  79 /* Tests associated with the fix to bug 3831 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1) hangs */
  80 limit(log(x),x,1,'minus);
  81 0$
  82
  83 limit(log(x),x,1,'plus);
  84 0$
  85
  86 limit(log(x),x,1);
  87 0$
  88
  89 limit(log(x),x,minf);
  90 infinity$
  91
  92 limit(log(x),x,inf);
  93 inf$
  94
  95 limit(log(x),x,0,'minus);
  96 infinity$
  97
  98 limit(log(x),x,0,'plus);
  99 minf$
 100
 101 limit(log(signum(x)),x,0);
 102 ind$
 103
 104 limit(log(107+sin(x)),x,inf);
 105 ind$
 106
 107 /* far too complex result, but it's not the fault of simplimln */
 108 limit(log((x-%i)/(x+%i)),x,2);
 109 log((5*%i+10)/(11*%i+2))$
 110
 111 limit(log(-46 + %i*x),x,0,'minus);
 112 log(46) - %i*%pi$
 113
 114 limit(log(-46 + %i*x),x,0,'plus);
 115 log(46) + %i*%pi$
 116
 117 limit(log(-46 + %i*exp(x)),x,0);
 118 log(%i - 46)$
 119
 120 limit(log(-46 + %i*(exp(x)-1)),x,0,'plus);
 121 log(46) + %i*%pi$
 122
 123 limit(log(-46 + %i*(exp(x)-1)),x,0,'minus);
 124 log(46) - %i*%pi$
 125
 126 limit(log(-46 + %i*(exp(x)-1)),x,0);
 127 ind$
 128
 129 limit(log(-1 + %i*x*sin(1/x)),x,0,'minus);
 130 'und$
 131
 132 limit(log(-1 + %i*signum(x)),x,0,'minus);
 133 log(-1-%i)$
 134
 135 limit(log(-1 + %i*signum(x)),x,0,'plus);
 136 log(-1+%i)$
 137
 138 limit(log(-1 + %i*signum(x)),x,0);
 139 ind$
 140
 141 limit(log(-51 + %i* sin(x)), x, 0, 'plus);
 142 log(51)+%i*%pi$
 143
 144 limit(log(-51 + %i* sin(x)), x, 0, 'minus);
 145 log(51)-%i*%pi$
 146
 147 /* End of tests associated with the fix to bug 3831 */
 148
 149 /* #3844 Wrong limit involving gamma function */
 150 limit(gamma(1/x) - x, x, 'inf);
 151 -%gamma$
 152
 153 limit(x*(gamma(1/x) - (x - %gamma)),x,inf);
 154 (%pi^2+6*%gamma^2)/12$
 155
 156 limit(x^(3/2)*(gamma(1/x) - (x - %gamma)),x,inf);
 157 inf$
 158
 159 limit(x^2*(gamma(1/x) - (x - %gamma + (6*%gamma^2+%pi^2)/(12*x))),x,inf);
 160 -((4*zeta(3)+%gamma*%pi^2+2*%gamma^3)/12)$
 161
 162 /* #3846 limit gives quotient by zero error */
 163 limit(gamma(1/x)/gamma(x),x,0,plus);
 164 inf$
 165
 166 limit(gamma(x)/gamma(1/x),x,0,plus);
 167 0$
 168
 169 /* #3842 limit(atan(x),x,%i) --> error. That was determined to be a non-bug, but
 170 here are two related limit problems. */
 171  limit(atan(%i + x),x,0);
 172  'infinity$
 173
 174  limit(atan(%i - x),x,0);
 175  'infinity$
 176
 177  /* #3839 limits of asin expressions */
 178  limit(asin(3+%i*x),x,0,plus);
 179  %pi - asin(3)$
 180
 181  limit(asin(3+%i*x),x,0,minus);
 182  asin(3)$
 183
 184 /* Once the next two tests were slow (7 seconds) with the default value for
 185   lhospitallim. At that time, locally these tests set lhospitallim : 1. These
 186   tests are no longer slow with the defaulty value of lhospitallim. */
 187  limit(rectform(asin(3+%i*x)),x,0,'plus);
 188  %pi/2-(%i*log(17-3*2^(5/2)))/2$
 189
 190 limit(rectform(asin(3+%i*x)),x,0,'minus);
 191 %pi/2-%i*log(2^(3/2)+3)$
 192
 193 /* #3838 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus) --> atan(ind) */
 194 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus);
 195 ind$
 196
 197 /* #3836 limit of a log expression with essential singularity */
 198 limit(log(-2 + %i*x * sin(1/x)),x,0,plus);
 199 und$
 200
 201 /* #3824 limit of an antiderivative */
 202 (xxx : integrate((x-%i)/((x-2*%i)*(x^2+1)),x),0);
 203 0$
 204
 205 limit(rectform(xxx),x,minf);
 206 -%pi/2$
 207
 208 rectform(limit(xxx,x,minf));
 209 -%pi/2$
 210
 211 /* #3816 limit of difference of logs */
 212 (xxx : (%i*log(x^2+1))/6-(%i*log(x-2*%i))/3,0);
 213 0$
 214
 215 limit(rectform(xxx),x,minf,'plus);
 216 -%pi/3$
 217
 218 rectform(limit(xxx,x,minf,'plus));
 219 -%pi/3$
 220
 221 (remvalue(xxx),0);
 222 0$
 223
 224 /* #3592 Wrong limit */
 225 (declare(n,integer),assume(n > 0), 0);
 226 0$
 227
 228 limit((z^(2*n)-1)/(z^2-1),z,-1);
 229 n$
 230
 231 (remove(n,integer),forget(n > 0),0);
 232 0$
 233
 234 /* #3589 Stack overflow for a limit evaluation */
 235 limit((sqrt(x)-2)*log(1-sqrt(x)/2),x,4,minus);
 236 0$
 237
 238 /* #3587 Wrong limit for logarithmic function */
 239 limit(log(3-sqrt(x)),x,9,minus);
 240 minf$
 241
 242 /* #3562 integrate(1/(1+tan(x)), x, 0, %pi/2) gives complex result, should be %pi/4 */
 243 integrate(1/(1+tan(x)),x,0,%pi/2);
 244 %pi/4$
 245
 246 /* #3535 limit doesn't account for certain singularities in mexpt, log, gamma_incomplete, ... */
 247 limit(log(%i*x - 1),x,0,minus);
 248 -%i*%pi$
 249
 250 limit(log(%i*x - 1),x,0,plus);
 251 %i*%pi$
 252
 253 limit(rectform(log(%i*x - 1)),x,0,minus);
 254 -%i*%pi$
 255
 256 limit(rectform(log(%i*x - 1)),x,0,plus);
 257 %i*%pi$
 258
 259 limit(sqrt((%i-x)^2),x,0,'minus);
 260 %i$
 261
 262 limit(sqrt((%i-x)^2),x,0,'plus);
 263 -%i$
 264
 265 /* need tests for gamma_incomplete(1/2, %i*x - 1) */
 266
 267 /* #3534 integrate(x*exp(-x^2)*sin(x),x,minf,inf) gives zero */
 268 integrate(x*exp(-x^2)*sin(x),x,minf,inf);
 269 sqrt(%pi)/(2 * (%e)^(1/4))$
 270
 271 /* #3509 limits involving multiple non-finites sometimes give errors */
 272 limit(1/(zeroa+zerob));
 273 infinity$
 274
 275 limit(1/(1/inf+1/minf));
 276 infinity$
 277
 278 limit(signum(zeroa+zerob));
 279 ind$
 280
 281 /* #3459 Wrong limit calculation */
 282  limit(x / (x+2^x+cos(x)),x,-inf);
 283  1$
 284
 285  /* #3415 limit doesn't check for zero coefficients in limit((a*x+1)/(a*x+2),x,inf) */
 286
 287  (assume(equal(a,0)),0);
 288  0$
 289
 290  limit((a*x+1)/(a*x+2),x,inf);
 291  1/2$
 292
 293  (forget(equal(a,0)),0);
 294  0$
 295
 296  /* #3393 limit/tlimit give wrong result */
 297  limit(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 298  1$
 299
 300 /* #3345 bug in limit -- hard to test--works OK with an assume on y*/
 301
 302 /* #3313 limit fails with domain complex --bad failure; commented out for now:
 303 block([domain : 'complex], limit((x*(4/log(x))^(2*log(x)/log(log(x)))),x,inf));
 304 */
 305
 306 /* #3279 limit incorrect with domain:complex */
 307 block([domain : 'real], limit((2^(2*x+1)+(2^x*x^100)^(3/2))/(4^x-100*2^x),x,inf));
 308 2$
 309
 310 block([domain : 'complex], limit((2^(2*x+1)+(2^x*x^100)^(3/2))/(4^x-100*2^x),x,inf));
 311 2$
 312
 313 /* #3203 limit(floor(n*x),x,0) for n > 10^8  */
 314  limit(floor((10^8 +1)*x),x,0,minus);
 315  -1$
 316
 317  limit(erfc(x*(1 + %i)), x, inf);
 318  0$
 319
 320 /* #3143 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) => inf */
 321  limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 322  infinity$
 323
 324  /* #3142 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf) => inf */
 325  limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf);
 326  0$
 327
 328 /* #3140 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) + domain:complex => stack overflow */
 329 block([domain : 'real], limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus));
 330 0$
 331
 332 /* bad failure!
 333 block([domain : 'complex], limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus));
 334 */
 335
 336 /* #3137 gruntz(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0, plus) => stack overflow */
 337 limit(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0, plus);
 338 sqrt(2)$
 339
 340 gruntz(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0, plus);
 341 sqrt(2)$
 342
 343 /* #3136 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 2*x), x, sqrt(2), minus) => atan2(0,0) undefined */
 344 limit(atan2(x^2 - 2, x^3 - 2*x), x, sqrt(2), minus);
 345 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 346
 347 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 2*x), x, sqrt(2), minus);
 348 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 349
 350 /* #3135 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 3*x), x, sqrt(2), minus) incorrect */
 351 limit(atan2(x^2 - 2, x^3 - 3*x), x, sqrt(2), minus);
 352 -%pi$
 353
 354 gruntz(atan2(x^2 - 2, x^3 - 3*x), x, sqrt(2), minus);
 355 -%pi$
 356
 357 /* #3280 gruntz incorrect limit */
 358 gruntz((2^(2*x+1)+(2^x*x^100)^(3/2))/(4^x-100*2^x),x,inf);
 359 2$
 360
 361 /* #3055 limit(exp((log(log(x + exp(log(x)*log(log(x)))))) / (log(log(log(exp(x) + x + log(x)))))), x, inf) */
 362 limit(exp((log(log(x + exp(log(x)*log(log(x)))))) / (log(log(log(exp(x) + x + log(x)))))), x, inf);
 363 %e$
 364
 365 /* #3054 limit(exp(exp(2*log(x**5 + x)*log(log(x)))) / exp(exp(10*log(x)*log(log(x)))), x, inf) */
 366 /*
 367 limit(exp(exp(2*log(x**5 + x)*log(log(x)))) / exp(exp(10*log(x)*log(log(x)))), x, inf)$
 368 xxx$
 369 */
 370
 371 /* #3053 limit with branch cuts */
 372 block([domain : 'real], limit(sqrt(-1 + %i*x), x, 0,minus));
 373 -%i$
 374
 375 block([domain : 'real], limit(sqrt(-1 - %i*x), x, 0,plus));
 376 -%i$
 377
 378 block([domain : 'complex], limit(sqrt(-1 + %i*x), x, 0,minus));
 379 -%i$
 380
 381 block([domain : 'complex], limit(sqrt(-1 - %i*x), x, 0,plus));
 382 -%i$
 383
 384 /*#3051 limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf) with domain: complex */
 385 block([domain : 'real],limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf));
 386 4$
 387
 388 block([domain : 'complex],limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf));
 389 4$
 390
 391 /* #3041 limit(inf*(zeroa+inf)) => und, should be inf */
 392  limit(inf*(zeroa+inf));
 393  inf$
 394
 395  /* #2972 Wrong limits involving logs */
 396  limit( 27^(log(n)/log(3))/n^3, n, inf);
 397  1$
 398
 399  limit( 27^(log(n)/log(3)+1)/n^3, n, inf);
 400  27$
 401
 402  limit( ((27^(log(n)/log(3)+1)-1)/26+n-log(n)/log(3)-1)/n^3,n,inf);
 403  27/26$
 404
 405  /* #2953 limit loops endlessly */
 406  limit((a/x^b + (1-a)/y^b)^(-1/b),b,0);
 407  x^a*y^(1-a)$
 408
 409  /* #2899 Limit that once worked is broken */
 410  limit((1+sqrt(n+1))^(-n-1)/(1+sqrt(n))^(-n),n,inf);
 411  0$
 412
 413  /* #2898 limit of continuous --> und */
 414  (e : log(x)^2+2*%gamma*log(x)-%pi^2/6+%gamma^2,0);
 415  0$
 416
 417  tlimit(e,x,1);
 418  -((%pi^2-6*%gamma^2)/6)$
 419
 420  limit(e,x,1);
 421  %gamma^2-%pi^2/6$
 422
 423 /* #2877 Limits behave incorrectly when applied to derivatives */
 424 (dg: diff(g(x), x),0);
 425 0$
 426
 427 (lim: limit(dg, x, 0),0);
 428 0$
 429
 430 (limit(lim, x, 0),0);
 431 0$
 432
 433 limit(lim, a, 0);
 434 limit('diff(g(x),x,1),x,0)$
 435
 436 /* #2849 limit(ind*XXX) and limit(ind/XXX) gives errors rather than results */
 437 map('limit, [ind*inf, inf/ind,ind*minf,minf/ind,ind*inf,ind/inf,ind*minf,ind/minf]);
 438 [und,und,und,und,und,und,und,und]$
 439
 440 limit(ind+1);
 441 ind$
 442
 443 limit(ind^2);
 444 ind$
 445
 446 limit(1/ind);
 447 und$
 448
 449 /* #2847 limits of powers of constants */
 450 limit((1+%i)^n,n,inf);
 451 infinity$
 452
 453 limit((5+%i)^n,n,inf);
 454 infinity$
 455
 456 /*#2653 Bug for limit */
 457 limit((atan(x)/x)^(1/(x^2)), x, 0);
 458 %e^(-1/3)$
 459
 460 /* #2388 wrong limit */
 461 limit(((9*x)^(1/3)-3)/(sqrt(3+x)-sqrt(2*x)),x,3);
 462 -(2*sqrt(6)/3)$
 463
 464 /* #2366 limit of gamma_incomplete */
 465  limit(gamma_incomplete(sin(x),cos(x)),x,inf);
 466  und$
 467
 468 /* #2187 Inaccurate limit evaluation */
 469 is(0 # limit(sin(x)/(x-a),x,0));
 470 true$
 471
 472 /* #1822 limit(inf+minf) should give und  */
 473 limit(inf+minf);
 474 und$
 475
 476 limit(x+minf,x,inf);
 477 und$
 478
 479 limit(x+inf,x,minf);
 480 und$
 481
 482 /* #1804 limit of x*floor(1/x) as x goes to 0 */
 483 limit(x*floor(1/x),x,0);
 484 1$
 485
 486 /* #1743 limit of trig expression */
 487  (e : (2*sin(x)*z+cos(x)*sin(2*x)-2*cos(x)^2*sin(x))/(z^2+(-sin(2*x)^2-4*sin(x)^2-cos(x)^2-1)*z+sin(2*x)^2-4*cos(x)*sin(x)*sin(2*x)+4*cos(x)^2*sin(x)^2),0);
 488  0$
 489
 490  limit(e,z,0);
 491  (4*sin(x))/(cos(4*x)+3*cos(2*x)-8)$
 492
 493  (remvalue(e,dg,lim),0);
 494  0$
 495
 496 limit(atan2(sin(x),cos(x)),x,0);
 497 0$
 498
 499 limit(atan2(cos(x),sin(x)),x,0);
 500 %pi/2$
 501
 502 limit(atan2(cos(x),cos(x)),x,0);
 503 %pi/4$
 504
 505 limit(atan2(1/x^2,sin(1/x)),x,0);
 506 %pi/2$
 507
 508 limit(atan2(sin(x) + x, cos(x) + x),x,inf);
 509 %pi/4$
 510
 511 limit(atan2(sin(x) - x, cos(x) + x),x,inf);
 512 -(%pi/4)$
 513
 514 limit(atan2(sin(x) - x, cos(x) - x),x,inf);
 515 -3*%pi/4$
 516
 517 limit(atan2(sin(x) - x, cos(x) + x),x,inf);
 518 -%pi/4$
 519
 520 limit(atan2(cos(x),x),x,inf);
 521 0$
 522
 523 limit(atan2(sin(x),x),x,minf);
 524 ind$
 525
 526 limit(atan2(sin(x)/x,x),x,minf);
 527 ind$
 528
 529 limit(atan2(exp(x),x),x,minf);
 530 %pi$
 531
 532 limit(atan2(-exp(x),x),x,minf);
 533 -%pi$
 534
 535 /* #3794 assuming zerob < 0 & zeroa > 0 gives bugs for some limits */
 536 limit(atan2(x^2-2,x^3-2*x),x,sqrt(2),minus);
 537 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 538
 539 (assume(zeroa > 0, zerob < 0),0);
 540 0$
 541
 542 limit(atan2(x^2-2,x^3-2*x),x,sqrt(2),minus);
 543 atan(1/sqrt(2))-%pi$
 544
 545 (forget(zeroa > 0, zerob < 0),0);
 546 0$
 547
 548 /* #3866 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus) --> infinity */
 549
 550 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus);
 551 minf$
 552
 553 limit(log(sinh(x)),x,0,'minus);
 554 infinity$
 555
 556 limit(log(sinh(x)),x,0);
 557 infinity$
 558
 559 /* unit_step expressions */
 560
 561 limit(unit_step(x),x,minf);
 562 0$
 563
 564 limit(unit_step(x),x,-%pi);
 565 0$
 566
 567 limit(unit_step(x),x,%pi);
 568 1$
 569
 570 limit(unit_step(x),x,0,'minus);
 571 0$
 572
 573 limit(unit_step(x),x,0,'plus);
 574 1$
 575
 576 limit(23*unit_step(x),x,0,'minus);
 577 0$
 578
 579 limit(23*unit_step(x),x,0,'plus);
 580 23$
 581
 582 limit(23*unit_step(x) + 107,x,0,'minus);
 583 107$
 584
 585 limit(23*unit_step(x) + 107,x,0,'plus);
 586 130$
 587
 588 limit(unit_step(sin(x)),x,0);
 589 ind$
 590
 591 /* limits of conjugate expressions */
 592 limit(conjugate(sqrt(-1+%i*sin(x))),x,0,'minus);
 593 %i$
 594
 595 limit(conjugate(sqrt(-1+%i*sin(x))),x,0,'plus);
 596 -%i$
 597
 598 limit(conjugate(sqrt(-1+%i*sin(x))),x,0);
 599 ind$
 600
 601 (assume(a > 0), limit(conjugate(sqrt(a+%i*sin(x))),x,0));
 602 conjugate(sqrt(a))$
 603
 604 limit(conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'minus);
 605 %i*sqrt(a)$
 606
 607 limit(conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'plus);
 608 -%i*sqrt(a)$
 609
 610 limit(107+93*conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'minus);
 611 107 + 93*%i*sqrt(a)$
 612
 613 limit(107+93*conjugate(sqrt(-a+%i*sin(x))),x,0,'plus);
 614 107 - 93*%i*sqrt(a)$
 615
 616 (forget(a>0),0);
 617 0$
 618 /* #3865 crash from taking limit of factorial(x) + 1 */
 619 limit(factorial(x) + 1, x, 0);
 620 2$
 621
 622 limit(atan2(0,1-3^x),x,0,'plus);
 623 %pi$
 624
 625 limit(atan2(0,1-3^x),x,0);
 626 ind$
 627
 628 /* additional atan tests */
 629 limit(atan(x),x,-4);
 630 -atan(4)$
 631
 632 limit(atan(x),x,0,minus);
 633 0$
 634
 635 limit(atan(x),x,0,plus);
 636 0$
 637
 638 limit(atan(x),x,-2.0);
 639 -1.10714871779409$
 640
 641 block([fpprec : 32], float_approx_equal(limit(atan(x),x,bfloat(sqrt(2))), atan(bfloat(sqrt(2)))));
 642 true$
 643
 644 is(limit(atan(x),x,float(sqrt(2))) = atan(float(sqrt(2))));
 645 true$
 646
 647 limit(atan(sin(x)),x,inf);
 648 ind$
 649
 650 limit(atan(x),x,minf);
 651 -(%pi/2)$
 652
 653 limit(atan(x),x,inf);
 654 %pi/2$
 655
 656 limit(atan(x^2),x,inf);
 657 %pi/2$
 658
 659 limit(atan(1/x),x,0);
 660 ind$
 661
 662 /* #3864 limit of atan2 expression */
 663 limit(atan2(0,1-3^x),x,0,'minus);
 664 0$
 665
 666 /* #3895 limit */
 667 limit((x^x-a^a)/(x-a), x, a);
 668 a^a*log(a)+a^a$
 669
 670 limit((x^x-2^2)/(x-2), x, 2);
 671 4*log(2)+4$
 672
 673 tlimit((x^x-a^a)/(x-a), x, a);
 674 a^a*log(a)+a^a$
 675
 676 /* #3844 Wrong limit involving gamma function */
 677 limit(gamma(1/x) - x, x, inf);
 678 -%gamma$
 679
 680 /* #3838 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus) --> atan(ind) */
 681 limit(atan(sin(x)),x,inf,plus);
 682 ind$
 683
 684 /* #3483 limit apparently causes infinite loop  */
 685 (X : log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)/(t+1)-(t*(log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)-log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)))/(t+1)-log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)/(t+1)-(2*sqrt(t))/sqrt(t+1),0);
 686 0$
 687
 688 limit(X,t,1,'minus);
 689 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 690
 691 limit(X,t,1,'plus);
 692 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 693
 694 limit(X,t,1);
 695 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 696
 697 tlimit(X,t,1);
 698 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 699
 700 block([algebraic : true], limit(ratsimp(X),t,1));
 701 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
 702
 703 (remvalue(X),0);
 704 0$
 705
 706 /* #2953 limit loops endlessly */
 707 limit((a/x^b + (1-a)/y^b)^(-1/b),b,0);
 708 x^a*y^(1-a)$
 709
 710 /* #2706 Limit runs forever, never returning (simplified bug) */
 711 block([ans1,ans2, ans3],
 712   assume(w3 < 0),
 713   ans1 : limit((%e^(-sqrt(-zzz))*(w3*sqrt(-zzz)*%e^(2*sqrt(-zzz))-w3*sqrt(-zzz)))/(2*zzz),zzz,0),
 714   forget(w3 < 0),
 715   assume(equal(w3,0)),
 716   ans2 : limit((%e^(-sqrt(-zzz))*(w3*sqrt(-zzz)*%e^(2*sqrt(-zzz))-w3*sqrt(-zzz)))/(2*zzz),zzz,0),
 717   forget(equal(w3,0)),
 718   assume(w3>0),
 719   ans3 : limit((%e^(-sqrt(-zzz))*(w3*sqrt(-zzz)*%e^(2*sqrt(-zzz))-w3*sqrt(-zzz)))/(2*zzz),zzz,0),
 720   forget(w3>0),
 721   [ans1,ans2, ans3]);
 722   [-w3,0,-w3]$
 723
 724 /* #2388 wrong limit */
 725 X : limit(((9*x)^(1/3)-3)/(sqrt(3+x)-sqrt(2*x)),x,3);
 726 -(2*sqrt(6))/3$
 727
 728 block([ans : radcan(X)], remvalue(X),ans);
 729 -(2^(3/2)/sqrt(3))$
 730
 731 /* #3861 function simplimsubst problems */
 732 limit(log(-1+%i*x) * ceiling(a),x,0,minus);
 733 -%i*%pi*ceiling(a)$
 734
 735 limit(log(-1+%i*x) * a,x,0,minus);
 736 -%i*%pi*a$
 737
 738 /* #484 limit(x=0,x,0) wrong */
 739 is(equal(0=0, limit(x=0,x,0)));
 740 false$
 741
 742 is(equal(0<0, limit(x<0,x,0)));
 743 false$
 744
 745 is(equal(0#0, limit(x#0,x,0)));
 746 false$
 747
 748 limit(atan(x),x,a);
 749 atan(a)$
 750
 751 block([ans],declare(z,complex), ans : limit(atan(x),x,z), remove(z,complex),ans);
 752 atan(z)$
 753
 754 limit(fib(x+1)/fib(x),x,inf);
 755 %phi$
 756
 757 limit(fib(x+2)/fib(x),x,inf);
 758 %phi+1$
 759
 760 /* #4029 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0) --> ind */
 761 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2,x,0);
 762 1$
 763
 764 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0);
 765 2$
 766
 767 block([ans], assume(a > 0),ans : limit(sin(x)^(a),x,inf),forget(a > 0), ans);
 768 ind$
 769
 770 block([ans], assume(a > 0),ans : limit(sin(x)^(-a),x,inf),forget(a > 0), ans);
 771 und$
 772
 773 limit((2+sin(x))^(-9),x,inf);
 774 ind$
 775
 776 limit((2+sin(x))^(9),x,inf);
 777 ind$
 778
 779 /* #4099 gruntz called on algebraic */
 780 gruntz(((9*x)^(1/3)-3)/(sqrt(3+x)-sqrt(2*x)),x,3,plus);
 781 (-2^(3/2)/sqrt(3))$
 782
 783 /* This bug is mentioned in the tlimit source code, but I don't think it's reported.*/
 784 tlimit(2^n/n^5,n,inf);
 785 inf$
 786
 787 /* #3927 tlimit(exp(x)/x^5,x,inf) = 0 */
 788 tlimit(exp(x)/x^5,x,inf);
 789 inf$
 790
 791 block([lhospitallim : 8], tlimit(exp(x)/x^5,x,inf));
 792 inf$
 793
 794 block([lhospitallim : 1], tlimit(exp(x)/x^5,x,inf));
 795 inf$
 796
 797 block([lhospitallim : 1], tlimit(exp(x)/x^46,x,inf));
 798 inf$
 799
 800 block([lhospitallim : 1], tlimit(exp(x)/x^107,x,inf));
 801 inf$
 802
 803 /* See #3932 inconsistent limit results with trig */
 804 (QQ: (-rr*csc(rr)^2)+%pi*csc(rr)^2+cot(rr)-%pi/rr^2,0);
 805 0$
 806
 807 limit(QQ,rr,0);
 808 %pi/3$
 809
 810 limit(trigsimp(QQ),rr,0);
 811 %pi/3$
 812
 813 limit(map('trigsimp,QQ),rr,0);
 814 %pi/3$
 815
 816 (remvalue(QQ),0);
 817 0$
 818
 819 /* #3903 A limit toward infinity gives a nounform */
 820 limit((sin(x)+x)/sqrt(x*(2*sin(x)+2*cos(x))+2*x^2+1),x,inf);
 821 1/sqrt(2)$
 822
 823 tlimit((sin(x)+x)/sqrt(x*(2*sin(x)+2*cos(x))+2*x^2+1),x,inf);
 824 1/sqrt(2)$
 825
 826 gruntz((sin(x)+x)/sqrt(x*(2*sin(x)+2*cos(x))+2*x^2+1),x,inf);
 827 1/sqrt(2)$
 828
 829 /* #3826 limit returns temp variable expression */
 830
 831 block([ans], assume(q > 0), ans : limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf), forget(q > 0),ans);
 832 1/a$
 833
 834 block([ans], assume(q > 0), ans : tlimit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf), forget(q > 0),ans);
 835 1/a$
 836
 837 block([ans], assume(q > 0), ans : gruntz(x^q/(a*x^q- 1),x,inf), forget(q > 0),ans);
 838 1/a$
 839
 840 /* #3393 limit/tlimit give wrong result */
 841 limit(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 842 1$
 843
 844 tlimit(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 845 1$
 846
 847 gruntz(log(log(x + exp(log(x) * log(log(x))))) / log(log(log(exp(x) + x))), x, inf);
 848 1$
 849
 850 /* #2561 limit(log(x^2),x,-20) gives 2*log(-20) */
 851 block([logexpand : false], limit(log(x^2),x,-20));
 852 log(400)$
 853
 854 block([logexpand : false], tlimit(log(x^2),x,-20));
 855 log(400)$
 856
 857 block([logexpand : false], gruntz(log(x^2),x,-20,minus));
 858 log(400)$
 859
 860 /* #2389 incorect limit
 861 Commented out for now becuase it calls asksign when it should not
 862 block([ans],
 863   assume(k>2),
 864   declare(k,integer),
 865   ans : limit(((t+1)^k-t^k-k*t^(k-1)-(k*(k-1)/2)*t^(k-2))/t^(k-3),t,inf),
 866   forget(k>2),
 867   forget(k,integer),
 868   ans);
 869   */
 870
 871 /* #2273 limit gives the wrong answer
 872   (This bug was fixed long ago, but I'm not sure there was a rtest for it.) */
 873  limit((sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2)))/
 874     (sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)),t,inf);
 875  1$
 876
 877  tlimit((sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2)))/
 878     (sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)),t,inf);
 879  1$
 880
 881  gruntz((sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2)))/
 882     (sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)),t,inf);
 883  1$
 884
 885 /* #4109 Limits of polylogarithms */
 886 limit(li[2](x)/log(-x)^2,x,inf);
 887 -(1/2)$
 888
 889 limit(li[3](x)/log(-x)^3,x,inf);
 890 -(1/6)$
 891
 892  limit(li[2](x),x,%e/2);
 893  li[2](%e/2)$
 894
 895  /* #4108 limit code & nondefault value of taylor_logexpand */
 896  block([taylor_logexpand : false], limit((1/%pi*(atan(n/%pi)+%pi/2))^n,n,inf));
 897  %e^-1$
 898
 899  block([taylor_logexpand : true], limit((1/%pi*(atan(n/%pi)+%pi/2))^n,n,inf));
 900  %e^-1$
 901
 902  /* #4103 limit(acot(x),x,0) should be IND (not UND) */
 903  limit(acot(x),x,0);
 904  ind$
 905
 906  /* #4087 limit((%i+1)^a/(2^(a/2)),a,inf) => 0 (wrong) */
 907  limit((%i+1)^a*2^(-a/2),a,inf);
 908  ind$
 909
 910  limit((%i+1)^(2*a)*2^-a,a,inf);
 911  ind$
 912
 913 /* #4085 limit((2-%i)^a/a!,a,inf) */
 914  errcatch(limit((2-%i)^a/a!,a,inf));
 915  [0]$
 916
 917  /* #4081 limit((2+sin(x))^(-2),x,inf) --> und */
 918  limit((2+sin(x))^(-2),x,inf);
 919  ind$
 920
 921  /* #4073 limit(log(sin(x)+9),x,inf) --> und could be ind */
 922  limit(log(sin(x)+9),x,inf);
 923  ind$
 924
 925  /*#4029 limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0) --> ind */
 926  limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2,x,0);
 927  1$
 928
 929  limit(cos(1/x)^2 + sin(1/x)^2 + cos(x),x,0);
 930  2$
 931
 932  /* #4024 integrate(x*sin(x)*exp(-x^2),x,0, inf) */
 933   integrate(x*sin(x)*exp(-x^2),x,minf, inf);
 934   (%e^(-1/4)*sqrt(%pi))/2$
 935
 936 /* #4021 limit(inf^(2+1/inf)) should be inf */
 937 limit(inf^(2+1/inf));
 938 inf$
 939
 940 /* #4020 various limit bugs with exp(%i*x) */
 941 limit(x*exp(%i*x),x,inf);
 942 infinity$
 943
 944 limit(x+x*exp(%i*x),x,inf);
 945 infinity$
 946
 947 limit(1+x*exp(%i*x),x,inf);
 948 infinity$
 949
 950 limit(sin(x) + x*cos(x),x,inf);
 951 und$
 952
 953 /* #4004 a cosine of arcsin limit that is evaluated incorrectly */
 954 block([ans],
 955    declare(m, integer),
 956    assume(equal(cos((4 * %pi * m + %pi)/2), 0)),
 957    ans : limit(cos((4*m + 1) * asin(1/sqrt(x^2 + 1)))/abs(x), x, 0),
 958    remove(m,integer),
 959    forget(equal(cos((4 * %pi * m + %pi)/2), 0)),
 960    ans);
 961 4*m + 1$
 962
 963 /* Also mentioned in #4004 */
 964 block([ans],
 965   assume(equal(a,0)),
 966   ans : limit(a/x + 1, x, 0),
 967   forget(equal(a,0)),
 968   ans);
 969 1$
 970
 971 block([ans],
 972   assume(equal(a,0)),
 973   ans : limit(a*x + 1, x, inf),
 974   forget(equal(a,0)),
 975   ans);
 976 1$
 977
 978 block([ans],
 979   assume(equal(a,0)),
 980   ans : limit((2*x + a)/(x + a), x, 0),
 981   forget(equal(a,0)),
 982   ans);
 983 2$
 984
 985 /* #4003 limit bug with on-default values for ratsimpexpons and ratfac */
 986 block([ratsimpexpons : true, ratfac : true],
 987   limit(2/5*((3/4)^m - 1)*(a - 10) + 1/5*(3*(3/4)^m + 2)*a, m, inf));
 988 4$
 989
 990 /* #4001 limit(sin(x)/x + sin(x) + cos(x),x,inf) = 0 */
 991 limit(sin(x)/x + sin(x) + cos(x),x,inf);
 992 ind$
 993
 994 /* #4151 limit bug as x tend to inf for trigonometric expressions */
 995 limit((4*x^3+2*x^2*sin(x)+1)/(x+1)^2 - 4*x,x,inf);
 996 ind$
 997
 998 limit(expand((4*x^3+2*x^2*sin(x)+1)/(x+1)^2 - 4*x),x,inf);
 999 ind$
1000
1001 /* #4137 simplimplus bugs */
1002 limit(3^x * cos(x) + sin(x),x,inf);
1003 und$
1004
1005 limit(3^x * cos(x) + 2^x,x,inf);
1006 und$
1007
1008  errcatch(limit(3^x + (9+%i)^x,x,inf));
1009  [infinity]$
1010
1011 /* See mailing list https://sourceforge.net/p/maxima/mailman/message/37868153/ */
1012 integrate(tan(x)^(1/3)/(cos(x)+sin(x))^2,x,0,%pi/2);
1013 %pi/(2*sqrt(3))+%pi/(2*3^(3/2))$
1014
1015 /* #4147 integrate(log(sin(x))/cos(x),x,0,%pi/2) */
1016  integrate(log(sin(x))/cos(x),x,0,%pi/2);
1017   -(%pi^2/8)$
1018
1019 /* #4138 limit((1+1/x)^x,x,6/5) is "und" in complex domain */
1020  block([domain : 'complex], limit((1+1/x)^x,x,6/5));
1021  11^(6/5)/6^(6/5)$
1022
1023  /* #4133 limit(abs(cos(a*x)),x,inf) */
1024  block([ans], (assume(a < 0), ans : limit(abs(cos(a*x)),x,inf), forget(a < 0), ans));
1025  ind$
1026
1027 block([ans], (assume(equal(a,0)), ans : limit(abs(cos(a*x)),x,inf), forget(equal(a,0)), ans));
1028  1$
1029
1030  block([ans], (assume(a > 0), ans : limit(abs(cos(a*x)),x,inf), forget(a > 0), ans));
1031  ind$
1032
1033   /* #4103 limit(acot(x),x,0) should be IND (not UND) */
1034  limit(acot(x),x,0);
1035  ind$
1036
1037 /* #4222 limit(6^x, x, 1) and similar cases: stack overflow crash */
1038 integrate(1/10^x, x, 0, 1);
1039 9/(10*log(10))$
1040
1041 limit(6^x, x, 1);
1042 6$
1043
1044 limit(2^x * 3^x, x, 1);
1045 6$
1046
1047 limit(2^x * 3^x + 28,x,1);
1048 34$
1049
1050 limit((2^x * 3^x + 28)/(x+2),x,1);
1051 34/3$
1052
1053 limit(%pi^2*%i*cos(x-1)*6^x,x,1);
1054 6*%i*%pi^2$
1055 /* end of tests for #4222 */
1056
1057 /* #4227 limit(abs(sin(x))/sin(x), x, inf) = 1 */
1058 limit(abs(sin(x))/sin(x), x, inf);
1059 und$
1060
1061 /* #4133 limit(abs(cos(a*x)),x,inf) */
1062 block([ans],  assume(a < 0), ans : limit(abs(cos(a*x)),x,inf), forget(a < 0), ans);
1063 ind$
1064
1065 block([ans],  assume(a > 0), ans : limit(abs(cos(a*x)),x,inf), forget(a > 0), ans);
1066 ind$
1067
1068 block([ans],  assume(equal(a,0)), ans : limit(abs(cos(a*x)),x,inf), forget(equal(a,0)), ans);
1069 1$
1070
1071 limit(abs(sin(x) + abs(cos(x))),x,inf);
1072 ind$
1073
1074 /* #3824 limit of an antiderivative */
1075 block([xxx : integrate((x-%i)/((x-2*%i)*(x^2+1)),x)],
1076   [limit(rectform(xxx),x,minf), rectform(limit(xxx,x,minf))]);
1077 [-%pi/2, -%pi/2]$
1078
1079 /* #3483 limit apparently causes infinite loop */
1080 (X : log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)/(t+1)-(t*(log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)-log((sqrt(t)*sqrt(t+1)+t)/t)))/(t+1)-log((t-sqrt(t)*sqrt(t+1))/t)/(t+1)-(2*sqrt(t))/sqrt(t+1),0);
1081 0$
1082
1083 limit(ratsimp(X),t,1);
1084 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
1085
1086 /* doesn't finish! */
1087 limit(X,t,1);
1088 log(sqrt(2)+1)-log(1-sqrt(2))-sqrt(2)$
1089
1090 (remvalue(X),0);
1091 0$
1092
1093 /* #4238 limit((abs(sin(x)*cos(x)-x^4) -x)/x^3,x,0,plus) gives internal error
1094 This test exercises the function mabs-subst. */
1095 limit((abs(sin(x)*cos(x)-x^4) -x)/x^3,x,0,plus);
1096 -2/3$
1097
1098 limit(log(cos(x)),x,inf);
1099 und$
1100
1101 /* #3153 Limits of erfc  */
1102  (domain : complex, block([ans],
1103     assume(t > 0,ω > 0),
1104     ans : integrate(exp(-%i*ω^2*ρ^2-(%i*t^2)/(4*ρ^2)),ρ,0,inf),
1105     forget(t > 0, ω > 0),
1106     ans));
1107 (-1/2)*((sqrt(-(%i*%pi*ω^2))*%e^-(2*sqrt(-((t^2*ω^2)/4))))/(ω^2))$
1108
1109 (domain : real, block([ans],
1110     assume(t > 0,ω > 0),
1111     ans : integrate(exp(-%i*ω^2*ρ^2-(%i*t^2)/(4*ρ^2)),ρ,0,inf),
1112     forget(t > 0, ω > 0),
1113     ans));
1114  -(((-1)^(1/4)*sqrt(%pi)*%e^-(%i*t*ω))/(2*ω))$
1115
1116 /* #4277 limit misses some constant expressions */
1117 block([limsubst : false], limit(sum(f(x),x,1,inf),x, 3));
1118 'sum(f(x),x,1,inf)$
1119
1120 block([limsubst : true], limit(sum(f(x),x,1,inf),x, 3));
1121 'sum(f(x),x,1,inf)$
1122
1123 limit(integrate(f(x),x),x,%pi);
1124 'limit('integrate(f(x),x),x,%pi)$
1125
1126 block([limsubst : false], limit(integrate(f(x,t),t),x,%pi));
1127 'limit('integrate(f(x,t),t),x,%pi)$
1128
1129 block([limsubst : true], limit(integrate(f(x,t),t),x,%pi));
1130 'limit('integrate(f(x,t),t),x,%pi)$
1131
1132 block([limsubst : false], limit(diff(g(x,t),t,3),x,42));
1133 'limit('diff(g(x,t),t,3),x,42)$
1134
1135 block([limsubst : true], limit(diff(g(x,t),t,3),x,42));
1136 'diff(g(42,t),t,3)$
1137
1138 /* #4210 tlimit consults global assumptions for limit variable*/
1139 tlimit(atan(1/x),x,0,'minus);
1140 -%pi/2$
1141
1142 tlimit(atan(1/x),x,0,'plus);
1143 %pi/2$
1144
1145 block([ans],
1146    assume(x > 0),
1147    ans : tlimit(atan(1/x),x,0,'minus),
1148    forget(x > 0),
1149    ans);
1150 -%pi/2$
1151
1152 block([ans],
1153    assume(x > 0),
1154    ans : limit(atan(1/x),x,0,'minus),
1155    forget(x > 0),
1156    ans);
1157 -%pi/2$
1158
1159 /* #4191 limits of gamma_incomplete */
1160 limit(gamma_incomplete(3,x),x,minf);
1161 inf$
1162
1163 limit(gamma_incomplete(3,sin(x)),x,inf);
1164 ind$
1165
1166 limit(gamma_incomplete(3, sin(x)*exp(x)),x,inf);
1167 und$
1168
1169 /* #4185 limit of the form ind/ind */
1170 limit((5+cos(x))/(7+cos(x)),x,inf);
1171 ind$
1172
1173 limit((5+cos(x))/(1+cos(x)),x,inf);
1174 und$
1175
1176 limit((5+cos(x))/(cos(x)),x,inf);
1177 und$
1178
1179 /* #4197 limits of erfi expressions & extended reals*/
1180  limit(erfi(sin(x)*exp(x)),x,inf);
1181  und$
1182
1183  limit(erfi(sin(x)),x,inf);
1184  ind$
1185
1186 /* clean up*/
1187 (kill(values),0);
1188 0$
1189
1190 /* Did any values, facts, or contexts leak?*/
1191
1192 facts();
1193 []$
1194
1195 contexts;
1196 [initial,global]$
1197