tests/test_limits_wester.mac

   1 /* Original version of this file copyright 1999 by Michael Wester,
   2  * and retrieved from http://www.math.unm.edu/~wester/demos/Limits/problems.macsyma
   3  * circa 2006-10-23.
   4  *
   5  * Released under the terms of the GNU General Public License, version 2,
   6  * per message dated 2007-06-03 from Michael Wester to Robert Dodier
   7  * (contained in the file wester-gpl-permission-message.txt).
   8  *
   9  * See: "A Critique of the Mathematical Abilities of CA Systems"
  10  * by Michael Wester, pp 25--60 in
  11  * "Computer Algebra Systems: A Practical Guide", edited by Michael J. Wester
  12  * and published by John Wiley and Sons, Chichester, United Kingdom, 1999.
  13  */
  14 /* Start with a famous example => e */
  15 limit((1 + 1/n)^n, n, inf);
  16 %e$
  17
  18 /* => 1/2 */
  19 limit((1 - cos(x))/x^2, x, 0);
  20 1/2$
  21
  22 /* See Dominik Gruntz, _On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System_,
  23    Ph.D. dissertation, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich,
  24    Switzerland, 1996. => 5 */
  25 limit((3^x + 5^x)^(1/x), x, inf);
  26 5$
  27
  28 /* => 1 */
  29 limit(log(x)/(log(x) + sin(x)), x, inf);
  30 1$
  31
  32 /* => - e^2   [Gruntz] */
  33 limit((exp(x*exp(-x)/(exp(-x) + exp(-2*x^2/(x + 1)))) - exp(x))/x, x, inf);
  34 -%e^2$
  35
  36 /* => 1/3   [Gruntz] */
  37 limit(x*log(x)*log(x*exp(x) - x^2)^2/log(log(x^2 + 2*exp(exp(3*x^3*log(x))))),x, inf);
  38 1/3$
  39
  40 /* => 1/e   [Knopp, p. 73] */
  41 limit(1/n * n!^(1/n), n, inf);
  42 1/%e$
  43
  44 /* Rewrite the above problem slightly => 1/e */
  45 limit(1/n * gamma(n + 1)^(1/n), n, inf);
  46 1/%e$
  47
  48 /* => 1   [Gradshteyn and Ryzhik 8.328(2)] */
  49 block([ans],
  50   assume(a > 0),
  51   ans : limit(gamma(z + a)/gamma(z)*exp(-a*log(z)), z, inf),
  52   forget(a > 0),
  53   ans);
  54 1$
  55
  56 block([ans],
  57   assume(a < 0),
  58   ans : limit(gamma(z + a)/gamma(z)*exp(-a*log(z)), z, inf),
  59   forget(a < 0),
  60   ans);
  61 1$
  62
  63 /* => e^z   [Gradshteyn and Ryzhik 9.121(8)] */
  64 limit(hgfred([1, k], [1], z/k), k, inf);
  65 exp(z)$
  66
  67 /* => Euler's_constant   [Gradshteyn and Ryzhik 9.536] */
  68 limit(zeta(x) - 1/(x - 1), x, 1);
  69 %gamma$
  70
  71 /* => gamma(x)   [Knopp, p. 385] */
  72 block([ans],
  73   assume(x > 0),
  74   ans : limit(n^x/(x * product((1 + x/k), k, 1, n)), n, inf),
  75   forget(x > 0),
  76   ans);
  77 %gamma$
  78
  79
  80 /* See Angus E. Taylor and W. Robert Mann, _Advanced Calculus_, Second Edition,
  81    Xerox College Publishing, 1972, p. 125 => 1 */
  82 block([ans],
  83   assume(x > 0),
  84   ans : limit(x * integrate(exp(-t^2), t, 0, x)/(1 - exp(-x^2)), x, 0),
  85   forget(x > 0),
  86   ans);
  87 1$
  88
  89 /* => [-1, 1] */
  90 [limit(x/abs(x), x, 0, minus), limit(x/abs(x), x, 0, plus)];
  91 [-1,1]$
  92
  93 /* => pi/2   [Richard Q. Chen] */
  94 limit(atan(-log(x)), x, 0, plus);
  95 %pi/2$