tests/rtest_laplace.mac

   1 /* rtest_laplace.mac -- test cases for Laplace transform
   2  * Copyright 2012 by Robert Dodier.
   3  * I release this work under terms of the GNU General Public License.
   4  */
   5
   6 (kill (all),
   7  mycontext : newcontext (),
   8  declare (n, integer),
   9  /* attempt to forestall asksign queries */
  10  assume (a > 0, b > 0, c > 0),
  11  assume (n > 0, q > 0),
  12  assume_pos_pred : lambda ([e], true),
  13  assume_pos : true,
  14  assuming (e1, e2) ::= buildq ([e1, e2], block ([foo, c1 : newcontext ()], assume (e1), foo : e2, killcontext (c1), foo)),
  15  0);
  16 0;
  17
  18 /* cases handled by LAPLACE in src/laplac.lisp */
  19
  20 /* 0 */
  21
  22 laplace (0, u, v);
  23 0;
  24
  25 /* constant */
  26
  27 laplace (1, u, v);
  28 1/v;
  29
  30 laplace (7, u, v);
  31 7/v;
  32
  33 laplace (a, u, v);
  34 a/v;
  35
  36 /* exp */
  37
  38 laplace (exp (- u), u, v);
  39 1/(1 + v);
  40
  41 laplace (exp (- 7*u), u, v);
  42 1/(7 + v);
  43
  44 laplace (exp (- a*u), u, v);
  45 1/(a + v);
  46
  47 laplace (exp (- u - b), u, v);
  48 exp (- b) / (1 + v);
  49
  50 laplace (exp (- a*u - b), u, v);
  51 exp (- b) / (a + v);
  52
  53 /* sin */
  54
  55 laplace (sin (u), u, v);
  56 1/(1 + v^2);
  57
  58 laplace (sin (7*u), u, v);
  59 7/(49 + v^2);
  60
  61 laplace (sin (a*u), u, v);
  62 a/(a^2 + v^2);
  63
  64 /* cos */
  65
  66 laplace (cos (u), u, v);
  67 v/(1 + v^2);
  68
  69 laplace (cos (7*u), u, v);
  70 v/(49 + v^2);
  71
  72 laplace (cos (a*u), u, v);
  73 v/(a^2 + v^2);
  74
  75 /* sinh */
  76
  77 laplace (sinh (u), u, v);
  78 1/(v^2 - 1);
  79
  80 laplace (sinh (7*u), u, v);
  81 7/(v^2 - 49);
  82
  83 laplace (sinh (a*u), u, v);
  84 a/(v^2 - a^2);
  85
  86 /* cosh */
  87
  88 laplace (cosh (u), u, v);
  89 v/(v^2 - 1);
  90
  91 laplace (cosh (7*u), u, v);
  92 v/(v^2 - 49);
  93
  94 laplace (cosh (a*u), u, v);
  95 v/(v^2 - a^2);
  96
  97 /* log */
  98
  99 (laplace (log (u), u, v), if equal (%%, (-1/v)*(log (v) + %gamma)) then true else %%);
 100 true;
 101
 102 (laplace (log (7*u), u, v), ev (if equal (%%, (1/abs(7))*(-1/(v/7)*(log (v/7) + %gamma))) then true else %%, logexpand = super));
 103 true;
 104
 105 (laplace (log (a*u), u, v), ev (if equal (%%, (1/abs(a))*(-1/(v/a)*(log (v/a) + %gamma))) then true else %%, logexpand = super));
 106 true;
 107
 108 /* diff */
 109
 110 laplace ('diff (foo (u), u), u, v);
 111 v * 'laplace (foo (u), u, v) - foo (0);
 112
 113 laplace ('diff (foo (u), u, 2), u, v);
 114 'laplace (foo (u), u, v) * v^2 - foo (0) * v - 'at ('diff (foo (u), u, 1), u = 0);
 115
 116 laplace ('diff (foo (u), u, 3), u, v);
 117 'laplace (foo (u), u, v) * v^3 - foo (0) * v^2 - 'at ('diff (foo (u), u), u = 0) * v - 'at ('diff (foo (u), u, 2), u = 0);
 118
 119 laplace ('diff (foo (u), u, n), u, v);
 120 'laplace (foo (u), u, v) * v^n - 'sum ('at ('diff (foo (u), u, k), u = 0) * v^((n - 1) - k), k, 0, n - 1);
 121
 122 /* integrate */
 123
 124 laplace ('integrate (foo (w), w, 0, u), u, v);
 125 (1/v)*'laplace (foo (u), u, v);
 126
 127 /* sum */
 128
 129 laplace ('sum (foo (u, i), i, 0, n), u, v);
 130 'sum ('laplace (foo (u, i), u, v), i, 0, n);
 131
 132 /* erf */
 133
 134 laplace (erf (u), u, v);
 135 exp (v^2/4) * (1 - erf (v/2)) / v;
 136
 137 laplace (erf (7*u), u, v);
 138 exp (v^2/196) * (1 - erf (v/14)) / v;
 139
 140 laplace (erf (a*u), u, v);
 141 exp (v^2/(4*a^2)) * (1 - erf (v/(2*a))) / v;
 142
 143 /* inverse transform */
 144
 145 laplace ('ilt (foo (v), v, u), u, v);
 146 foo (v);
 147
 148 /* delta */
 149
 150 laplace (delta (u), u, v);
 151 1;
 152
 153 laplace (delta (u - 7), u, v);
 154 exp (- 7*v);
 155
 156 laplace (delta (u - a), u, v);
 157 exp (- a*v);
 158
 159 laplace (delta (7*u), u, v);
 160 1/7;
 161
 162 laplace (delta (a*u), u, v);
 163 1/abs(a);
 164
 165 laplace (delta (a*u - b), u, v);
 166 exp (- b*v/a) / abs (a);
 167
 168 /* cases which specint handles
 169  * I haven't verified the following rules -- these tests only verify that
 170  * laplace returns the result advertised in specint's comments.
 171  */
 172
 173 /* Algorithm 1: Laplace transform of c*t^v*exp(-s*t+e*f) */
 174
 175 /* Algorithm 1.1: Laplace transform of c*t^v*exp(-a*t^2)
 176  * t^(v-1)*exp(-t^2/8/a)
 177  *   -> gamma(v)*2^v*a^(v/2)*exp(a*p^2)*D[-v](2*p*sqrt(a))
 178  */
 179
 180 /* Algorithm 1.2: Laplace transform of c*t^v*exp(-a*sqrt(t))
 181  * (2*t)^(v-1)*exp(-2*sqrt(a)*sqrt(t))
 182  *    -> gamma(2*v)*p^(-v)*exp(a/p/2)*D[-2*v](sqrt(2*a/p))
 183  */
 184
 185 /* Algorithm 1.3: Laplace transform of t^v*exp(1/t)
 186  * t^(v-1)*exp(-a/t/4)
 187  *    -> 2*(a/p/4)^(v/2)*bessel_k(v, sqrt(a)*sqrt(p))
 188  */
 189
 190 /* Algorithm 1.4: Laplace transform of exp(exp(-t))
 191  * exp(-a*exp(-t))
 192  *   -> a^(-p)*gamma(p,a)
 193  */
 194
 195 laplace (exp (-a * exp (-u)), u, v);
 196 gamma_incomplete_lower(v,a)/a^v$
 197
 198 /* Algorithm 1.5: Laplace transform of exp(exp(t))
 199  * exp(-a*exp(t))
 200  *   -> a^(-p)*gamma_incomplete(-p,a)
 201  * (specint code doesn't match formula; code appears to be correct)
 202  */
 203
 204 laplace (exp (-a * exp (u)), u, v);
 205 a^v * gamma_incomplete (-v, a);
 206
 207 /* Algorithm 2: Laplace transform of u(t)*%e^(-p*t).
 208  * Laplace transform of asin(w)
 209  * Laplace transform of atan(w)
 210  * Laplace transform of two Bessel J functions
 211  * Laplace transform of two hankel_1 functions
 212  * Laplace transform of two hankel_2 functions
 213  * Laplace transform of hankel_1 * hankel_2
 214  * Laplace transform of two Bessel Y functions
 215  * Laplace transform of two Bessel K functions
 216  * Laplace transform of Bessel K and Bessel Y functions
 217  * Laplace transform of Bessel I and Bessel J functions
 218  * Laplace transform of Bessel I and Hankel 1 functions
 219  * Laplace transform of Bessel I and Hankel 2 functions
 220  * Laplace transform of Bessel Y and Bessel J functions
 221  * Laplace transform of Bessel K and Bessel J functions
 222  * Laplace transform of Hankel 1 and Bessel J functions
 223  * Laplace transform of Hankel 2 and Bessel J functions
 224  * Laplace transform of Bessel Y and Hankel 1 functions
 225  * Laplace transform of Bessel Y and Hankel 2 functions
 226  * Laplace transform of Bessel K and Hankel 1 functions
 227  * Laplace transform of Bessel K and Hankel 2 functions
 228  * Laplace transform of Bessel I and Bessel Y functions
 229  * Laplace transform of Bessel I and Bessel K functions
 230  * Laplace transform of Struve H function
 231  * Laplace transform of Struve L function
 232  * Laplace transform of little Lommel s function
 233  * Laplace transform of Lommel S function
 234  * Laplace transform of Bessel Y function
 235  * Laplace transform of Bessel K function
 236  * Laplace transform of Parabolic Cylinder function
 237  * Laplace transform of Incomplete Gamma function
 238  * Laplace transform of Batemann function
 239  * Laplace transform of Bessel J function
 240  * Laplace transform of lower incomplete Gamma function
 241  * Laplace transform of Hankel 1 function
 242  * Laplace transform of Hankel 2 function
 243  * Laplace transform of Whittaker M function
 244  * Laplace transform of Whittaker M function
 245  * Laplace transform of the Generalized Laguerre function, %l[v1,v2](w)
 246  * Laplace transform for the Generalized Laguerre function
 247  * Laplace transform for the Laguerre function
 248  * Laplace transform of Gegenbauer function
 249  * Laplace transform of Chebyshev function of the first kind
 250  * Laplace transform of Chebyshev function of the second kind
 251  * Laplace transform for the Hermite function, hermite(index1,arg1)
 252  * Laplace transform of %p[v1,v2](w), Associated Legendre P function
 253  * Laplace transform of Associated Legendre P function
 254  * Laplace transform of %p[v1,v2,v3](w), Jacobi function
 255  * Laplace transform of Jacobi P function
 256  * Laplace transform of Associated Legendre function of the second kind
 257  * Laplace transform of Associated Legendre function of the second kind
 258  * Laplace transform of %p[v1](w), Legendre P function
 259  * Laplace transform of Legendre P function
 260  * Laplace transform of Whittaker W function
 261  * Laplace transform of Whittaker W function
 262  * Laplace transform of square of Bessel J function
 263  * Laplace transform of square of Hankel 1 function
 264  * Laplace transform of square of Hankel 2 function
 265  * Laplace transform of square of Bessel Y function
 266  * Laplace transform of square of Bessel K function
 267  * Laplace transform of two Bessel I functions
 268  * Laplace transform of Bessel I. We use I[v](w)=%i^n*J[n](%i*w).
 269  * Laplace transform of square of Bessel I function
 270  * Laplace transform of Erf function
 271  * Laplace transform of the logarithmic function.
 272  * Laplace transform of Erfc function
 273  * Laplace transform of expintegral_ei.
 274  * Laplace transform of expintegral_e1
 275  * Laplace transform of expintegral_e
 276  * Laplace transform of expintegral_si
 277  * Laplace transform of expintegral_shi
 278  * Laplace transform of expintegral_ci
 279  * Laplace transform of expintegral_chi
 280  * Laplace transform of Complete elliptic integral of the first kind
 281  * Laplace transform of Complete elliptic integral of the first kind
 282  * Laplace transform of Complete elliptic integral of the second kind
 283  * Laplace transform of Complete elliptic integral of the second kind
 284  * Laplace transform of %f[v1,v2](w1,w2,w3), Hypergeometric function
 285  * Laplace transform of Hypergeometric function
 286  * Laplace transform of c * t^v * (a+t)^w
 287  * Laplace transform of c * t^v
 288  */
 289
 290 /* Algorithm 2.1: Laplace transform of c*t^v*%e(-p*t)
 291  *
 292  * Table of Integral Transforms
 293  *
 294  * p. 137, formula 1:
 295  *
 296  * t^u*exp(-p*t)
 297  *   -> gamma(u+1)*p^(-u-1)
 298  */
 299
 300 /* Algorithm 2.2: Laplace transform of c*t^v*(1+t)^w
 301  */
 302
 303 /* Algorithm 2.3: Laplace transform of the Logarithmic function
 304  *
 305  *    c*t^(v-1)*log(a*t)
 306  *       -> c*gamma(v)*s^(-v)*(psi[0](v)-log(s/a))
 307  *
 308  * This is the formula for an expression with log(t) scaled like 1/a*F(s/a).
 309  *
 310  * For the following cases we have to add further algorithm:
 311  *    log(1+a*x), log(x+a), log(x)^2.
 312  */
 313
 314 /* Algorithm 2.4: Laplace transform of the Whittaker function
 315  *
 316  * Test for Whittaker W function.  Simplify this if possible, or
 317  * convert to Whittaker M function.
 318  *
 319  * We have r * %w[i1,i2](a)
 320  *
 321  * Formula 16, p. 217
 322  *
 323  * t^(v-1)*%w[k,u](a*t)
 324  *   -> gamma(u+v+1/2)*gamma(v-u+1/2)*a^(u+1/2)/
 325  *          (gamma(v-k+1)*(p+a/2)^(u+v+1/2)
 326  *        *2f1(u+v+1/2,u-k+1/2;v-k+1;(p-a/2)/(p+a/2))
 327  */
 328
 329 /* Algorithm 2.5: Laplace transform of bessel_k(0,a*t)
 330  *
 331  * The general algorithm handles the Bessel K function for an order |v|<1.
 332  * but does not include the special case v=0. Return the Laplace transform:
 333  *
 334  *   bessel_k(0,a*t) --> acosh(s/a)/sqrt(s^2-a^2)
 335  */
 336
 337 laplace (bessel_k (0, a*u), u, v);
 338 acosh (v / a) / sqrt (v^2 - a^2);
 339
 340 /* Algorithm 3: Laplace transform of a hypergeometric function
 341  * Table of Laplace transforms, p 220, formula 19:
 342  *
 343  * If m + k <= n + 1, and Re(s) > 0, the Laplace transform of
 344  *
 345  *    t^(s-1)*%f[m,n]([a1,...,am],[p1,...,pn],(c*t)^k)
 346  * is
 347  *
 348  *    gamma(s)/p^s*%f[m+k,n]([a1,...,am,s/k,(s+1)/k,...,(s+k-1)/k],[p1,...,pm],(k*c/p)^k)
 349  *
 350  * with Re(p) > 0 if m + k <= n, Re(p+k*c*exp(2*%pi*%i*r/k)) > 0 for r
 351  * = 0, 1,...,k-1, if m + k = n + 1.
 352  */
 353
 354 /* Algorithm 4: SPECIAL HANDLING OF Bessel Y for an integer order
 355  *
 356  * This is called for one Bessel Y function, when the order is an integer.
 357  */
 358
 359 /* Algorithm 4.1: Laplace transform of t^n*bessel_y(v,a*t)
 360  *                v is an integer and n>=v
 361  *
 362  * Table of Integral Transforms
 363  *
 364  * Volume 2, p 105, formula 2 is a formula for the Y-transform of
 365  *
 366  *    f(x) = x^(u-3/2)*exp(-a*x)
 367  *
 368  * where the Y-transform is defined by
 369  *
 370  *    integrate(f(x)*bessel_y(v,x*y)*sqrt(x*y), x, 0, inf)
 371  *
 372  * which is
 373  *
 374  *    -2/%pi*gamma(u+v)*sqrt(y)*(y^2+a^2)^(-u/2)
 375  *          *assoc_legendre_q(u-1,-v,a/sqrt(y^2+a^2))
 376  *
 377  * with a > 0, Re u > |Re v|.
 378  *
 379  * In particular, with a slight change of notation, we have
 380  *
 381  *    integrate(x^(u-1)*exp(-p*x)*bessel_y(v,a*x)*sqrt(a), x, 0, inf)
 382  *
 383  * which is the Laplace transform of x^(u-1/2)*bessel_y(v,x).
 384  *
 385  * Thus, the Laplace transform is
 386  *
 387  *    -2/%pi*gamma(u+v)*sqrt(a)*(a^2+p^2)^(-u/2)
 388  *          *assoc_legendre_q(u-1,-v,p/sqrt(a^2+p^2))
 389  */
 390
 391 /* Algorithm 4.2: Laplace transform of t^n*bessel_y(v, a*sqrt(t))
 392  *
 393  * Table of Integral Transforms
 394  *
 395  * p. 188, formula 50:
 396  *
 397  * t^(u-1/2)*bessel_y(2*v,2*sqrt(a)*sqrt(t))
 398  *    -> a^(-1/2)*p^(-u)*exp(-a/2/p)
 399  *       * [tan((u-v)*%pi)*gamma(u+v+1/2)/gamma(2*v+1)*M[u,v](a/p)
 400  *          -sec((u-v)*%pi)*W[u,v](a/p)]
 401  */
 402
 403 /* other examples which might or might not be special cases of stuff above
 404  * collected from various tables:
 405  */
 406
 407 /* http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform */
 408
 409 /* linearity */
 410
 411 laplace (a * foo (u) + b * bar (u) + c * baz (u), u, v);
 412 a * 'laplace (foo (u), u, v) + b * 'laplace (bar (u), u, v) + c * 'laplace (baz (u), u, v);
 413
 414 /* frequency differentiation */
 415
 416 laplace (u * foo (u), u, v);
 417 - 'diff ('laplace (foo (u), u, v), v);
 418
 419 laplace (u^2 * foo (u), u, v);
 420 'diff ('laplace (foo (u), u, v), v, 2);
 421
 422 laplace (u^3 * foo (u), u, v);
 423 - 'diff ('laplace (foo (u), u, v), v, 3);
 424
 425 laplace (u^n * foo (u), u, v);
 426 (- 1)^n * 'diff ('laplace (foo (u), u, v), v, n);
 427
 428 /* frequency integration */
 429
 430 laplace (foo (u) / u, u, v);
 431 'integrate ('laplace (foo (u), u, v), u, v, inf);
 432
 433 /* time scaling */
 434
 435 laplace (foo (a * u), u, v);
 436 (1 / a) * 'at ('laplace (foo (u), u, v), v = v / a);
 437
 438 /* frequency shifting */
 439
 440 assuming (v - a > 0, laplace (exp (a * u) * foo (u), u, v));
 441 'laplace (foo (u), u, v - a);
 442
 443 (laplace (exp (a * u) * cosh (u), u, v), if equal (%%,  (v - a) / ((v - a)^2 - 1)) then true else %%);
 444 true;
 445
 446 /* time shifting */
 447
 448 laplace (foo (u - a) * unit_step (u - a), u, v);
 449 exp (- a * v) * 'laplace (foo (u), u, v);
 450
 451 laplace (sinh (u - a) * unit_step (u - a), u, v);
 452 exp (-a * v) / (v^2 - 1);
 453
 454 /* convolution */
 455
 456 laplace ('integrate (foo (w) * bar (u - w), w, 0, u), u, v);
 457 'laplace (bar (u), u, v) * 'laplace (foo (u), u, v);
 458
 459 (laplace ('integrate (erf (w) * sinh (u - w), w, 0, u), u, v), if equal (%%, laplace (erf (u), u, v) * laplace (sinh (u), u, v)) then true else %%);
 460 true;
 461
 462 /* conjugate */
 463
 464 declare ([u, v], complex);
 465 done;
 466
 467 laplace (conjugate (foo (u)), u, v);
 468 conjugate ('at ('laplace (foo (u), u, v), v = conjugate (v)));
 469
 470 /* erf is entire => conjugate commutes with erf */
 471
 472 laplace (conjugate (erf (u)), u, v);
 473 exp (v^2/4) * (1 - erf (v/2)) / v;
 474
 475 /* sqrt and log are not entire => conjugate does not commute */
 476
 477 laplace (conjugate (sqrt (u)), u, v);
 478 sqrt (%pi) * conjugate (1 / conjugate (v) ^ (3/2)) / 2;
 479
 480 laplace (conjugate (log (u)), u, v);
 481 (- conjugate (log (conjugate (v))) - %gamma) / v;
 482
 483 remove ([u, v], complex);
 484 done;
 485
 486 /* unit step */
 487
 488 laplace (unit_step (u), u, v);
 489 1/v;
 490
 491 laplace (unit_step (u - a), u, v);
 492 exp (- a*v) / v;
 493
 494 /* ramp */
 495
 496 laplace (u * unit_step (u), u, v);
 497 1/v^2;
 498
 499 /* integer power */
 500
 501 makefact (laplace (u^n, u, v));
 502 n!/v^(n + 1);
 503
 504 makefact (laplace ((u - a)^n * unit_step (u - a), u, v));
 505 n! * exp (- a*v) / v^(n + 1);
 506
 507 makefact (laplace (u^n * exp (- b*u), u, v));
 508 n! / (v + b)^(n + 1);
 509
 510 makefact (ratsimp (laplace ((u - a)^n * exp (- b*(u - a)) * unit_step (u - a), u, v)));
 511 n!/(v + b)^(n + 1) * exp (- a*v);
 512
 513 /* general power */
 514
 515 laplace (u^q, u, v);
 516 gamma (q + 1) / v^(q + 1);
 517
 518 /* root */
 519
 520 laplace (u^(1/n), u, v);
 521 gamma (1/n + 1) / v^(1/n + 1);
 522
 523 (laplace (u^(1/n) * exp(-b*u), u, v),
 524  if ratsimp (%% - gamma (1/n + 1) / (v + b)^(1/n + 1)) = 0 then true else %%);
 525 true;
 526
 527 /* exponential approach */
 528
 529 (laplace (1 - exp (- a*u), u, v), if equal (%%, a/(v * (v + a))) then true else %%);
 530 true;
 531
 532 /* decaying waves */
 533
 534 (laplace (exp (- a*u) * sin (b*u), u, v), if equal (%%, b / ((v + a)^2 + b^2)) then true else %%);
 535 true;
 536
 537 (laplace (exp (- a*u) * cos (b*u), u, v), if equal (%%, (v + a) / ((v + a)^2 + b^2)) then true else %%);
 538 true;
 539
 540 /* Bessel function */
 541
 542 block ([foo, bar],
 543  foo : laplace (bessel_j (n, a*u), u, v),
 544  bar : (sqrt (v^2 + a^2) - v)^n / (a^n * sqrt (v^2 + a^2)),
 545  makelist (makelist (ev (ratsimp (foo - bar), a = aa, n = nn), nn, 0, 4), aa, [1/5, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 5]),
 546  map (lambda ([e], zeroequiv (e, v)), flatten (%%)),
 547  every (%%));
 548 true;
 549
 550 /* http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Laplace_Table.aspx */
 551
 552 /* http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf */
 553
 554 /* combined shifting and scaling */
 555
 556 (assuming (v - a*b > 0,
 557  laplace (exp (a * b * u) * foo (a * u), u, v)));
 558 1/a * 'at ('laplace (foo (u), u, v), v = v/a - b);
 559
 560 laplace (exp (a * b * u) * cosh (a * u), u, v);
 561 ''(ev (1/a * 'at ('laplace (foo (u), u, v), v = v/a - b), 'laplace (foo (u), u, v) = v/(v^2 - 1), nouns, ratsimp));
 562
 563 /* doublet */
 564
 565 laplace ('diff (delta (u), u), u, v);
 566 v;
 567
 568 /* etc */
 569
 570 laplace (u, u, v);
 571 1/v^2;
 572
 573 makefact (laplace (u^(n - 1)/(n - 1)!, u, v));
 574 1/v^n;
 575
 576 makefact (laplace (u^n, u, v));
 577 n! / v^(n + 1);
 578
 579 laplace (u^(a - 1) / gamma (a), u, v);
 580 1/v^a;
 581
 582 (mycompare (actual, expected) := if ratsimp (actual - expected) = 0 then true else actual, 0);
 583 0;
 584
 585 mycompare
 586  (laplace (u * exp (-a * u), u, v),
 587   1/(v + a)^2);
 588 true;
 589
 590 mycompare
 591  (makefact (laplace (u^(n - 1)/(n - 1)! * exp (-a * u), u, v)),
 592   1/(v + a)^n);
 593 true;
 594
 595 mycompare
 596  (laplace (1 - exp (-a * u), u, v),
 597   a / (v * (v + a)));
 598 true;
 599
 600 mycompare
 601  (laplace (1/(b - a) * (exp (-a * u) - exp (-b * u)), u, v),
 602   1/((v + a)*(v + b)));
 603 true;
 604
 605 mycompare
 606  (laplace (1/(a*b) + exp (-a * u)/(a * (a - b)) + exp (-b * u)/(b * (b - a)), u, v),
 607   1/(v * (v + a) * (v + b)));
 608 true;
 609
 610 mycompare
 611  (laplace (1/(a - b) * (a * exp (-a * u) - b * exp (-b * u)), u, v),
 612   v/((v + a) * (v + b)));
 613 true;
 614
 615 mycompare
 616  (laplace ((1 - a*u) * exp (-a * u), u, v),
 617   v / (v + a)^2);
 618 true;
 619
 620 mycompare
 621  (laplace (1/a^2  * (1 - (1 + a*u) * exp (-a * u)), u, v),
 622   1/(v * (v + a)^2));
 623 true;
 624
 625 mycompare
 626  (laplace (sin (a * u + b), u, v),
 627   (sin (b) * v + cos (b) * a) / (v^2 + a^2));
 628 true;
 629
 630 mycompare
 631  (laplace (u * cos (a*u), u, v),
 632   (v^2 - a^2)/(v^2 + a^2)^2);
 633 true;
 634
 635 mycompare
 636  (laplace (1/a^2 * (1 - cos (a*u)), u, v),
 637   1/(v * (v^2 + a^2)));
 638 true;
 639
 640 /* resume here with eq 2.24 */
 641
 642 /* http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/laplace-table.pdf */
 643
 644 /* miscellany */
 645
 646 /* bug reported to mailing list 2012-11-25: laplace prevents user-defined simplification */
 647
 648 (kill (foo), tellsimpafter ('laplace (foo (w), w, x), FOO (x)), laplace (foo (w), w, x));
 649 FOO (x);
 650
 651 /* laplace(t^z,t,s) did not properly support complex z expressions
 652  *
 653  * See mailing list thread "Laplace transform for complex exponent polynomial functions."
 654  * from 2021-04-21.
 655  */
 656
 657 laplace (t^(v*%i), t, s);
 658 s^((-%i*v)-1)*gamma(%i*v+1);
 659
 660 assuming (u > -1, laplace (t^(u + v*%i), t, s));
 661 s^((-%i*v)-u-1)*gamma(%i*v+u+1);
 662
 663 (kill (z),
 664  declare (z, complex), assume (realpart (z) > -1), 0);
 665 0;
 666
 667 laplace (t^z, t, s);
 668 s^((-z)-1)*gamma(z+1);
 669
 670 (remove (z, complex), forget (realpart (z) > -1), 0);
 671 0;
 672
 673
 674 (remove (n, integer), killcontext (mycontext));
 675 done;
 676
 677 (reset(assume_pos_pred),1);
 678 1;
 679
 680 (reset(assume_pos),1);
 681 1;