doc/info/de/Constants.de.texi

   1 @c -----------------------------------------------------------------------------
   2 @c File        : Constants.de.texi
   3 @c License     : GNU General Public License (GPL)
   4 @c Language    : German
   5 @c Original    : Constants.texi revision 12.06.2011
   6 @c Translation : Dr. Dieter Kaiser
   7 @c Date        : 14.03.2011
   8 @c Revision    : 17.07.2011
   9 @c
  10 @c This file is part of Maxima -- GPL CAS based on DOE-MACSYMA
  11 @c -----------------------------------------------------------------------------
  12
  13 @page
  14 @c -----------------------------------------------------------------------------
  15 @node Funktionen und Variablen f@"ur Konstante, Listen, Zeichenketten, Datentypen und Strukturen
  16 @section Funktionen und Variablen f@"ur Konstante
  17 @c -----------------------------------------------------------------------------
  18
  19 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
  20 @anchor{%e}
  21 @defvr {Konstante} %e
  22 @ifinfo
  23 @vrindex e
  24 @vrindex Eulersche Zahl
  25 @vrindex Basis des nat@"urlichen Logarithmus
  26 @end ifinfo
  27
  28 @code{%e} ist die Basis des nat@"urlichen Logarithmus, auch Eulersche Zahl
  29 genannt.  Der numerische Wert der Konstanten als Gleitkommazahl mit doppelter
  30 Genauigkeit ist 2.718281828459045d0.
  31
  32 Die Funktion @mref{bfloat} kann @code{%e} mit einer beliebigen Genauigkeit
  33 berechnen.
  34
  35 Hat die Optionsvariable @mref{numer} den Wert @code{true}, wird @code{%e} durch
  36 den numerischen Wert ersetzt, aber nicht, wenn @code{%e} die Basis der
  37 Exponentiation mit einem symbolischen Exponenten ist.  Hat zus@"atzlich die
  38 Optionsvariable @mref{%enumer} den Wert @code{true}, dann wird @code{%e} in
  39 einem Ausdruck immer durch den numerischen Wert ersetzt.
  40
  41 Beispiel:
  42
  43 Berechnung von @code{%e} auf 48 Stellen.
  44
  45 @example
  46 (%i1) fpprec: 48$
  47 (%i2) bfloat(%e);
  48 (%o2)  2.7182818284590452353602874713526624977572470937b0
  49 @end example
  50
  51 Die Wirkung der Optionsvariablen @code{numer} und @code{%enumer} auf das
  52 Ersetzen von @code{%e} durch den numerischen Wert.
  53
  54 @example
  55 (%i1) %e, numer;
  56 (%o1)                   2.718281828459045
  57 (%i2) %e^x, numer;
  58                                  x
  59 (%o2)                          %e
  60 (%i3) %e^x, numer, %enumer;
  61                                         x
  62 (%o3)                  2.718281828459045
  63 @end example
  64
  65 Im ersten Beispiel vereinfacht die Reihe zu @code{%e}.  F@"ur die Vereinfachung
  66 der Reihe wird die Funktion @mref{simplify_sum} geladen.  Im zweiten Beispiel
  67 ist @code{%e} der Grenzwert.
  68
  69 @example
  70 (%i1) load("simplify_sum")$
  71
  72 (%i2) sum(1/n!, n, 0, inf);
  73                             inf
  74                             ====
  75                             \     1
  76 (%o2)                        >    --
  77                             /     n!
  78                             ====
  79                             n = 0
  80 (%i3) simplify_sum(%);
  81
  82 (%o3)                          %e
  83
  84 (%i4) limit((1+x)^(1/x), x, 0);
  85 (%o4)                          %e
  86 @end example
  87 @end defvr
  88
  89 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
  90 @anchor{%i}
  91 @defvr {Konstante} %i
  92 @ifinfo
  93 @vrindex i
  94 @vrindex Imagin@"are Einheit
  95 @end ifinfo
  96
  97 @code{%i} ist die imagin@"are Einheit.
  98
  99 Maxima kennt keinen eigenen Typ f@"ur komplexe Zahlen.  Komplexe Zahlen werden
 100 von Maxima intern als die Addition von Realteil und dem mit der imagin@"aren
 101 Einheit @mref{%i} multiplizierten Imagin@"arteil dargestellt.  Zum Beispiel sind
 102 die komplexen Zahlen @code{2 + 3*%i} und @code{2 - 3*%i} die Wurzeln der
 103 Gleichung @code{x^2 - 4*x + 13 = 0}.  Siehe auch das Kapitel
 104 @nrefdot{Zahlen}
 105
 106 Beispiele:
 107
 108 Einige Beispiele f@"ur das Rechnen mit der imagin@"aren Einheit.
 109
 110 @example
 111 (%i1) sqrt(-1);
 112 (%o1)                          %i
 113 (%i2) %i^2;
 114 (%o2)                          - 1
 115 (%i3) exp(%i*%pi/2);
 116 (%o3)                          %i
 117 (%i4) sin(%i*x);
 118 (%o4)                      %i sinh(x)
 119 @end example
 120 @end defvr
 121
 122 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 123 @anchor{false}
 124 @defvr {Konstante} false
 125
 126 Repr@"asentiert den logischen Wert @code{falsch}.  @code{false} wird intern
 127 von Maxima durch die Lisp-Konstante @code{NIL} dargestellt.
 128
 129 Siehe auch @mref{true} f@"ur den logischen Wert @code{wahr}.
 130 @end defvr
 131
 132 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 133 @anchor{%gamma}
 134 @defvr {Konstante} %gamma
 135 @ifinfo
 136 @vrindex Euler-Mascheroni-Konstante
 137 @end ifinfo
 138
 139 Die Euler-Mascheroni-Konstante mit dem Wert @code{0.5772156649015329} als
 140 Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit.
 141
 142 Die Funktion @mref{bfloat} kann @code{%gamma} mit einer beliebigen Genauigkeit
 143 berechnen.
 144
 145 Hat die Optionsvariable @mref{numer} den Wert @code{true}, wird die Konstante
 146 @code{%gamma} durch ihren numerischen Wert ersetzt.
 147
 148 Beispiele:
 149
 150 Numerische Werte f@"ur @code{%gamma}.
 151
 152 @example
 153 (%i1) %gamma, numer;
 154 (%o1)                   .5772156649015329
 155 (%i2) bfloat(%gamma), fpprec: 48;
 156 (%o2)  5.7721566490153286060651209008240243104215933594b-1
 157 @end example
 158
 159 Bestimmte Integrale, die @code{%gamma} als Ergebnis haben.
 160
 161 @example
 162 (%i1) -integrate(exp(-t)*log(t), t, 0, inf);
 163 (%o1)                        %gamma
 164 (%i2) -integrate(log(log(1/t)),t, 0,1);
 165 (%o2)                        %gamma
 166 @end example
 167 @end defvr
 168
 169 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 170 @anchor{ind}
 171 @defvr {Konstante} ind
 172 @ifinfo
 173 @vrindex Unbestimmt
 174 @end ifinfo
 175
 176 @code{ind} repr@"asentiert ein unbestimmtes Ergebnis.  Siehe auch @mref{und}@w{}
 177 und die Funktion @mrefdot{limit}
 178
 179 Beispiel:
 180
 181 @example
 182 (%i1) limit(sin(1/x), x, 0);
 183 (%o1)                          ind
 184 @end example
 185 @end defvr
 186
 187 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 188 @anchor{inf}
 189 @defvr {Konstante} inf
 190 @ifinfo
 191 @vrindex positiv unendlich
 192 @end ifinfo
 193
 194 @code{inf} repr@"asentiert einen positiven unendlich gro@ss{}en Wert.  Siehe
 195 auch @mref{minf} und @mrefdot{infinity}
 196
 197 Die unendlichen Gr@"o@ss{}en, aber auch die unbestimmten Gr@"o@ss{}en
 198 @mref{ind} und @mrefcomma{und} eignen sich nicht f@"ur das arithmetische
 199 Rechnen.  Diese Gr@"o@ss{}en werden von Maxima in Rechnungen
 200 wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen f@"uhrt.  Daher sollten
 201 unendliche Gr@"o@ss{}en nur im Zusammenhang mit Grenzwerten
 202 @mrefcomma{limit} bestimmten Integralen @mref{integrate} oder Reihen
 203 @mref{sum} verwendet werden.
 204 @end defvr
 205
 206 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 207 @anchor{infinity}
 208 @defvr {Konstante} infinity
 209 @ifinfo
 210 @vrindex komplex unendlich
 211 @end ifinfo
 212
 213 @code{infinity} repr@"asentiert einen komplexen unendlichen Wert.  Siehe
 214 auch @mref{inf} und @mrefdot{minf}
 215
 216 Die unendlichen Gr@"o@ss{}en, aber auch die unbestimmten Gr@"o@ss{}en
 217 @mref{ind} und @mrefcomma{und} eignen sich nicht f@"ur das arithmetische
 218 Rechnen.  Diese Gr@"o@ss{}en werden von Maxima in Rechnungen
 219 wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen f@"uhrt.  Daher sollten
 220 unendliche Gr@"o@ss{}en nur im Zusammenhang mit Grenzwerten
 221 @mrefcomma{limit} bestimmten Integralen @mref{integrate} oder Reihen
 222 @mref{sum} verwendet werden.
 223 @end defvr
 224
 225 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 226 @anchor{minf}
 227 @defvr {Konstante} minf
 228 @ifinfo
 229 @vrindex negativ unendlich
 230 @vrindex minus unendlich
 231 @end ifinfo
 232
 233 @code{minf} repr@"asentiert einen negativen unendlichen Wert.  Siehe
 234 auch @mref{inf} und @mrefdot{infinity}
 235
 236 Die unendlichen Gr@"o@ss{}en, aber auch die unbestimmten Gr@"o@ss{}en
 237 @mref{ind} und @mrefcomma{und} eignen sich nicht f@"ur das arithmetische
 238 Rechnen.  Diese Gr@"o@ss{}en werden von Maxima in Rechnungen
 239 wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen f@"uhrt.  Daher sollten
 240 unendliche Gr@"o@ss{}en nur im Zusammenhang mit Grenzwerten
 241 @mrefcomma{limit} bestimmten Integralen @mref{integrate} oder Reihen
 242 @mref{sum} verwendet werden.
 243 @end defvr
 244
 245 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 246 @anchor{%phi}
 247 @defvr {Konstante} %phi
 248 @ifinfo
 249 @vrindex phi
 250 @vrindex Goldene Zahl
 251 @end ifinfo
 252
 253 @code{%phi} repr@"asentiert die @i{Goldene Zahl} @math{(1 + sqrt(5))/2}.  Der
 254 Wert als Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit ist 1.618033988749895d0.
 255
 256 Die Funktion @mref{fibtophi} dr@"uckt Fibonacci-Zahlen @code{fib(n)} durch die
 257 Goldene Zahl @code{%phi} aus.  Stan@-dard@-m@"a@ss{}ig kennt Maxima keine
 258 algebraischen Eigenschaften der Konstanten @code{%phi}.  Mit den Eingaben
 259 @code{tellrat(%phi^2-%phi-1)} und @code{algebraic: true} kann die Funktion
 260 @mref{ratsimp} einige Vereinfachungen ausf@"uhren.
 261
 262 Die Funktion @mref{bfloat} kann @code{%phi} mit einer beliebigen Genauigkeit
 263 berechnen.  Hat die Optionsvariable @mref{numer} den Wert @code{true}, wird
 264 die Konstante @code{%phi} durch ihren numerischen Wert ersetzt.
 265
 266 Beispiele:
 267
 268 Numerische Werte f@"ur @code{%phi}.
 269
 270 @example
 271 (%i1) %phi, numer;
 272 (%o1)                   1.618033988749895
 273 (%i2) bfloat(%phi), fpprec: 48;
 274 (%o2)  1.61803398874989484820458683436563811772030917981b0
 275 @end example
 276
 277 @code{fibtophi} dr@"uckt Fibonacci-Zahlen @code{fib(n)} durch @code{%phi} aus.
 278
 279 @example
 280 (%i1) fibtophi (fib (n));
 281                            n             n
 282                        %phi  - (1 - %phi)
 283 (%o1)                  -------------------
 284                            2 %phi - 1
 285 (%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
 286 (%o2)          - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
 287 (%i3) fibtophi (%);
 288 @group
 289             n + 1             n + 1       n             n
 290         %phi      - (1 - %phi)        %phi  - (1 - %phi)
 291 (%o3) - --------------------------- + -------------------
 292                 2 %phi - 1                2 %phi - 1
 293                                           n - 1             n - 1
 294                                       %phi      - (1 - %phi)
 295                                     + ---------------------------
 296                                               2 %phi - 1
 297 @end group
 298 (%i4) ratsimp (%);
 299 (%o4)                           0
 300 @end example
 301
 302 Mit den Eingaben @code{tellrat(%phi^2-%phi-1)} und @code{algebraic:true} kann
 303 die Funktion @code{ratsimp} einige Vereinfachungen f@"ur Ausdr@"ucke
 304 ausf@"uhren, die @code{%phi} enthalten.
 305
 306 @example
 307 (%i1) e : expand ((%phi^2 - %phi - 1) * (A + 1));
 308                  2                      2
 309 (%o1)        %phi  A - %phi A - A + %phi  - %phi - 1
 310 (%i2) ratsimp (e);
 311                   2                     2
 312 (%o2)        (%phi  - %phi - 1) A + %phi  - %phi - 1
 313 (%i3) tellrat (%phi^2 - %phi - 1);
 314                             2
 315 (%o3)                  [%phi  - %phi - 1]
 316 (%i4) algebraic : true;
 317 (%o4)                         true
 318 (%i5) ratsimp (e);
 319 (%o5)                           0
 320 @end example
 321 @end defvr
 322
 323 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 324 @anchor{%pi}
 325 @defvr {Konstante} %pi
 326 @ifinfo
 327 @vrindex Pi
 328 @end ifinfo
 329
 330 @code{%pi} repr@"asentiert die Kreiszahl.  Der numerische Wert als
 331 Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit ist @code{3.141592653589793d0}.
 332
 333 Die Funktion @mref{bfloat} kann @code{%pi} mit einer beliebigen Genauigkeit
 334 berechnen.  Hat die Optionsvariable @mref{numer} den Wert @code{true}, wird die
 335 Konstante @code{%pi} durch ihren numerischen Wert ersetzt.
 336
 337 Beispiele:
 338
 339 Numerische Werte f@"ur @code{%pi}.
 340
 341 @example
 342 (%i1) %pi, numer;
 343 (%o1)                   3.141592653589793
 344 (%i2) bfloat(%pi), fpprec:48;
 345 (%o2)  3.14159265358979323846264338327950288419716939938b0
 346 @end example
 347
 348 Grenzwert und bestimmte Integrale, die @code{%pi} als Ergebnis haben.
 349
 350 @example
 351 (%i1) 'limit(n!^2*(n+1)^(2*n^2+n)/(2*n^(2*n^2+3*n+1)),n,inf);
 352                         2                     2
 353                    - 2 n  - 3 n - 1        2 n  + n   2
 354          limit    n                 (n + 1)         n!
 355          n -> inf
 356 (%o1)    ----------------------------------------------
 357                                2
 358 (%i2) %, nouns;
 359 (%o2)                          %pi
 360 (%i3) 'integrate(4*sqrt(1-t^2),t,0,1);
 361                          1
 362                         /
 363                         [            2
 364 (%o3)                 4 I  sqrt(1 - t ) dt
 365                         ]
 366                         /
 367                          0
 368 (%i4) %, nouns;
 369 (%o4)                          %pi
 370 (%i5) 'integrate(2*exp(-t^2),t,0,inf);
 371                            inf
 372                           /         2
 373                           [      - t
 374 (%o5)                   2 I    %e     dt
 375                           ]
 376                           /
 377                            0
 378 (%i6) %, nouns;
 379 (%o6)                       sqrt(%pi)
 380 @end example
 381 @end defvr
 382
 383 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 384 @anchor{true}
 385 @defvr {Konstante} true
 386
 387 @code{true} repr@"asentiert den logischen Wert @code{wahr}.  Intern ist
 388 @code{true} als die Lisp-Konstante @code{T} implementiert.
 389
 390 Siehe auch @mref{false} f@"ur den logischen Wert @code{falsch}.
 391 @end defvr
 392
 393 @c --- 25.03.2011 DK -----------------------------------------------------------
 394 @anchor{und}
 395 @defvr {Konstante} und
 396 @ifinfo
 397 @vrindex nicht definiert
 398 @end ifinfo
 399
 400 @code{und} repr@"asentiert ein nicht definiertes Ergebnis.  Siehe auch
 401 @mref{ind} und die Funktion @mrefdot{limit}
 402
 403 Beispiel:
 404
 405 @example
 406 (%i1) limit (x*sin(x), x, inf);
 407 (%o1)                          und
 408 @end example
 409 @end defvr
 410
 411 @c --- 21.08.2010 DK -----------------------------------------------------------
 412 @anchor{zeroa}
 413 @defvr {Konstante} zeroa
 414
 415 @code{zeroa} repr@"asentiert eine positive unendlich kleine Zahl.  @code{zeroa}
 416 kann in Ausdr@"ucken benutzt werden.  Die Funktion @code{limit} vereinfacht
 417 Ausdr@"ucke, die infinitesimale Gr@"o@ss{}en enthalten.
 418
 419 Siehe auch @mref{zerob} und @mrefdot{limit}
 420
 421 Beispiele:
 422
 423 @code{limit} vereinfacht Ausdr@"ucke, die infinitesimale Gr@"o@ss{}en enthalten.
 424
 425 @example
 426 (%i1) limit(zeroa);
 427 (%o1)                           0
 428 (%i2) limit(x+zeroa);
 429 (%o2)                           x
 430 @end example
 431 @end defvr
 432
 433 @c --- 15.10.2010 DK -----------------------------------------------------------
 434 @anchor{zerob}
 435 @defvr {Konstante} zerob
 436
 437 @code{zerob} repr@"asentiert eine negative unendlich kleine Zahl.  @code{zerob}
 438 kann in Ausdr@"ucken benutzt werden.  Die Funktion @code{limit} vereinfacht
 439 Ausdr@"ucke, die infinitesimale Gr@"o@ss{}en enthalten.
 440
 441 Siehe auch @mref{zeroa} und @mrefdot{limit}
 442 @end defvr
 443
 444 @c --- End of file Constants.de.texi -------------------------------------------
 445