doc/info/de/interpol.de.texi

   1 @c -----------------------------------------------------------------------------
   2 @c File     : interpol.de.texi
   3 @c License  : GNU General Public License (GPL)
   4 @c Language : German
   5 @c Author   : Dr. Dieter Kaiser
   6 @c Date     : 08.11.2010
   7 @c
   8 @c This file is part of Maxima -- GPL CAS based on DOE-MACSYMA
   9 @c -----------------------------------------------------------------------------
  10
  11 @menu
  12 * Introduction to interpol::
  13 * Functions and Variables for interpol::
  14 @end menu
  15
  16 @c -----------------------------------------------------------------------------
  17 @node Introduction to interpol, Functions and Variables for interpol, interpol, interpol
  18 @section Introduction to interpol
  19
  20 Package @code{interpol} defines the Lagrangian, the linear and the cubic
  21 splines methods for polynomial interpolation.
  22
  23 For comments, bugs or suggestions, please contact me at @var{'mario AT edu DOT xunta DOT es'}.
  24
  25 @c @opencatbox
  26 @c @category{Numerical methods} @category{Share packages} @category{Package interpol}
  27 @c @closecatbox
  28
  29 @c -----------------------------------------------------------------------------
  30 @node Functions and Variables for interpol,  , Introduction to interpol, interpol
  31 @section Functions and Variables for interpol
  32
  33 @c -----------------------------------------------------------------------------
  34 @deffn {Function} lagrange (@var{points})
  35 @deffnx {Function} lagrange (@var{points}, @var{option})
  36
  37 Computes the polynomial interpolation by the Lagrangian method. Argument @var{points} must be either:
  38
  39 @itemize @bullet
  40 @item
  41 a two column matrix, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
  42 @item
  43 a list of pairs, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
  44 @item
  45 a list of numbers, @code{p: [4,6,3]}, in which case the abscissas will be assigned automatically to 1, 2, 3, etc.
  46 @end itemize
  47
  48 In the first two cases the pairs are ordered with respect to the first coordinate before making computations.
  49
  50 With the @var{option} argument it is possible to select the name for the independent variable, which is @code{'x} by default; to define another one, write something like @code{varname='z}.
  51
  52 Note that when working with high degree polynomials, floating point evaluations are unstable.
  53
  54 Examples:
  55
  56 @example
  57 (%i1) load("interpol")$
  58 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
  59 (%i3) lagrange(p);
  60        (x - 7) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  61 (%o3)  -------------------------------
  62                      35
  63    (x - 8) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  64  - -------------------------------
  65                  12
  66    7 (x - 8) (x - 7) (x - 3) (x - 1)
  67  + ---------------------------------
  68                   30
  69    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 1)
  70  - -------------------------------
  71                  60
  72    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 3)
  73  + -------------------------------
  74                  84
  75 (%i4) f(x):=''%;
  76                (x - 7) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  77 (%o4)  f(x) := -------------------------------
  78                              35
  79    (x - 8) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  80  - -------------------------------
  81                  12
  82    7 (x - 8) (x - 7) (x - 3) (x - 1)
  83  + ---------------------------------
  84                   30
  85    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 1)
  86  - -------------------------------
  87                  60
  88    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 3)
  89  + -------------------------------
  90                  84
  91 (%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
  92       expand(map(f,[2.3,5/7,%pi]));
  93                                   4          3           2
  94                     919062  73 %pi    701 %pi    8957 %pi
  95 (%o5)  [- 1.567535, ------, ------- - -------- + ---------
  96                     84035     420       210         420
  97                                              5288 %pi   186
  98                                            - -------- + ---]
  99                                                105       5
 100 (%i6) %,numer;
 101 (%o6) [- 1.567535, 10.9366573451538, 2.89319655125692]
 102 (%i7) load("draw")$  /* load draw package */
 103 (%i8) /* Plot the polynomial together with points */
 104       draw2d(
 105         color      = red,
 106         key        = "Lagrange polynomial",
 107         explicit(f(x),x,0,10),
 108         point_size = 3,
 109         color      = blue,
 110         key        = "Sample points",
 111         points(p))$
 112 (%i9) /* Change variable name */
 113       lagrange(p, varname=w);
 114        (w - 7) (w - 6) (w - 3) (w - 1)
 115 (%o9)  -------------------------------
 116                      35
 117    (w - 8) (w - 6) (w - 3) (w - 1)
 118  - -------------------------------
 119                  12
 120    7 (w - 8) (w - 7) (w - 3) (w - 1)
 121  + ---------------------------------
 122                   30
 123    (w - 8) (w - 7) (w - 6) (w - 1)
 124  - -------------------------------
 125                  60
 126    (w - 8) (w - 7) (w - 6) (w - 3)
 127  + -------------------------------
 128                  84
 129 @end example
 130
 131 @c @opencatbox
 132 @c @category{Package interpol}
 133 @c @closecatbox
 134 @end deffn
 135
 136 @c -----------------------------------------------------------------------------
 137 @deffn {Function} charfun2 (@var{x}, @var{a}, @var{b})
 138
 139 Returns @code{true} if number @var{x} belongs to the interval @math{[a, b)},
 140 and @code{false} otherwise.
 141
 142 @c @opencatbox
 143 @c @category{Package interpol}
 144 @c @closecatbox
 145 @end deffn
 146
 147 @c -----------------------------------------------------------------------------
 148 @deffn  {Function} linearinterpol (@var{points})
 149 @deffnx {Function} linearinterpol (@var{points}, @var{option})
 150
 151 Computes the polynomial interpolation by the linear method. Argument
 152 @var{points} must be either:
 153
 154 @itemize @bullet
 155 @item
 156 a two column matrix, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 157 @item
 158 a list of pairs, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 159 @item
 160 a list of numbers, @code{p: [4,6,3]}, in which case the abscissas will be assigned automatically to 1, 2, 3, etc.
 161 @end itemize
 162
 163 In the first two cases the pairs are ordered with respect to the first coordinate before making computations.
 164
 165 With the @var{option} argument it is possible to select the name for the independent variable, which is @code{'x} by default; to define another one, write something like @code{varname='z}.
 166
 167 Examples:
 168 @example
 169 (%i1) load("interpol")$
 170 (%i2) p: matrix([7,2],[8,3],[1,5],[3,2],[6,7])$
 171 (%i3) linearinterpol(p);
 172         13   3 x
 173 (%o3)  (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 174         2     2
 175  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 176     5 x
 177  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 178      3
 179
 180 (%i4) f(x):=''%;
 181                 13   3 x
 182 (%o4)  f(x) := (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 183                 2     2
 184  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 185     5 x
 186  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 187      3
 188 (%i5)  /* Evaluate the polynomial at some points */
 189        map(f,[7.3,25/7,%pi]);
 190                             62  5 %pi
 191 (%o5)                 [2.3, --, ----- - 3]
 192                             21    3
 193 (%i6) %,numer;
 194 (%o6)  [2.3, 2.952380952380953, 2.235987755982989]
 195 (%i7) load("draw")$  /* load draw package */
 196 (%i8)  /* Plot the polynomial together with points */
 197        draw2d(
 198          color      = red,
 199          key        = "Linear interpolator",
 200          explicit(f(x),x,-5,20),
 201          point_size = 3,
 202          color      = blue,
 203          key        = "Sample points",
 204          points(args(p)))$
 205 (%i9)  /* Change variable name */
 206        linearinterpol(p, varname='s);
 207        13   3 s
 208 (%o9) (-- - ---) charfun2(s, minf, 3)
 209        2     2
 210  + (s - 5) charfun2(s, 7, inf) + (37 - 5 s) charfun2(s, 6, 7)
 211     5 s
 212  + (--- - 3) charfun2(s, 3, 6)
 213      3
 214 @end example
 215
 216 @c @opencatbox
 217 @c @category{Package interpol}
 218 @c @closecatbox
 219 @end deffn
 220
 221 @c -----------------------------------------------------------------------------
 222 @deffn  {Function} cspline (@var{points})
 223 @deffnx {Function} cspline (@var{points}, @var{option1}, @var{option2}, ...)
 224
 225 Computes the polynomial interpolation by the cubic splines method. Argument
 226 @var{points} must be either:
 227
 228 @itemize @bullet
 229 @item
 230 a two column matrix, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 231 @item
 232 a list of pairs, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 233 @item
 234 a list of numbers, @code{p: [4,6,3]}, in which case the abscissas will be assigned automatically to 1, 2, 3, etc.
 235 @end itemize
 236
 237 In the first two cases the pairs are ordered with respect to the first coordinate before making computations.
 238
 239 There are three options to fit specific needs:
 240 @itemize @bullet
 241 @item
 242 @code{'d1}, default @code{'unknown}, is the first derivative at @math{x_1}; if it is @code{'unknown}, the second derivative at @math{x_1} is made equal to 0 (natural cubic spline); if it is equal to a number, the second derivative is calculated based on this number.
 243
 244 @item
 245 @code{'dn}, default @code{'unknown}, is the first derivative at @math{x_n}; if it is @code{'unknown}, the second derivative at @math{x_n} is made equal to 0 (natural cubic spline); if it is equal to a number, the second derivative is calculated based on this number.
 246
 247 @item
 248 @code{'varname}, default @code{'x}, is the name of the independent variable.
 249 @end itemize
 250
 251 Examples:
 252 @example
 253 (%i1) load("interpol")$
 254 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
 255 (%i3) /* Unknown first derivatives at the extremes
 256          is equivalent to natural cubic splines */
 257       cspline(p);
 258               3         2
 259         1159 x    1159 x    6091 x   8283
 260 (%o3)  (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)
 261          3288      1096      3288    1096
 262             3         2
 263       2587 x    5174 x    494117 x   108928
 264  + (- ------- + ------- - -------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 265        1644       137       1644      137
 266           3          2
 267     4715 x    15209 x    579277 x   199575
 268  + (------- - -------- + -------- - ------) charfun2(x, 6, 7)
 269      1644       274        1644      274
 270             3         2
 271       3287 x    2223 x    48275 x   9609
 272  + (- ------- + ------- - ------- + ----) charfun2(x, 3, 6)
 273        4932       274      1644     274
 274
 275 (%i4) f(x):=''%$
 276 (%i5) /* Some evaluations */
 277       map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;
 278 (%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]
 279 (%i6) load("draw")$  /* load draw package */
 280 (%i7) /* Plotting interpolating function */
 281       draw2d(
 282         color      = red,
 283         key        = "Cubic splines",
 284         explicit(f(x),x,0,10),
 285         point_size = 3,
 286         color      = blue,
 287         key        = "Sample points",
 288         points(p))$
 289 (%i8) /* New call, but giving values at the derivatives */
 290       cspline(p,d1=0,dn=0);
 291               3          2
 292         1949 x    11437 x    17027 x   1247
 293 (%o8)  (------- - -------- + ------- + ----) charfun2(x, minf, 3)
 294          2256       2256      2256     752
 295             3          2
 296       1547 x    35581 x    68068 x   173546
 297  + (- ------- + -------- - ------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 298         564       564        141      141
 299          3          2
 300     607 x    35147 x    55706 x   38420
 301  + (------ - -------- + ------- - -----) charfun2(x, 6, 7)
 302      188       564        141      47
 303             3         2
 304       3895 x    1807 x    5146 x   2148
 305  + (- ------- + ------- - ------ + ----) charfun2(x, 3, 6)
 306        5076       188      141      47
 307 (%i8) /* Defining new interpolating function */
 308       g(x):=''%$
 309 (%i9) /* Plotting both functions together */
 310       draw2d(
 311         color      = black,
 312         key        = "Cubic splines (default)",
 313         explicit(f(x),x,0,10),
 314         color      = red,
 315         key        = "Cubic splines (d1=0,dn=0)",
 316         explicit(g(x),x,0,10),
 317         point_size = 3,
 318         color      = blue,
 319         key        = "Sample points",
 320         points(p))$
 321 @end example
 322
 323 @c @opencatbox
 324 @c @category{Package interpol}
 325 @c @closecatbox
 326 @end deffn
 327
 328 @c -----------------------------------------------------------------------------
 329 @deffn  {Function} ratinterpol (@var{points}, @var{numdeg})
 330 @deffnx {Function} ratinterpol (@var{points}, @var{numdeg}, @var{option1})
 331
 332 Generates a rational interpolator for data given by @var{points} and the degree of the numerator
 333 being equal to @var{numdeg}; the degree of the denominator is calculated
 334 automatically. Argument @var{points} must be either:
 335
 336 @itemize @bullet
 337 @item
 338 a two column matrix, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 339 @item
 340 a list of pairs, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 341 @item
 342 a list of numbers, @code{p: [4,6,3]}, in which case the abscissas will be assigned automatically to 1, 2, 3, etc.
 343 @end itemize
 344
 345 In the first two cases the pairs are ordered with respect to the first coordinate before making computations.
 346
 347 There is one option to fit specific needs:
 348 @itemize @bullet
 349 @item
 350 @code{'varname}, default @code{'x}, is the name of the independent variable.
 351 @end itemize
 352
 353 Examples:
 354
 355 @example
 356 (%i1) load("interpol")$
 357 (%i2) load("draw")$
 358 (%i3) p:[[7.2,2.5],[8.5,2.1],[1.6,5.1],[3.4,2.4],[6.7,7.9]]$
 359 (%i4) for k:0 thru length(p)-1 do
 360         draw2d(
 361           explicit(ratinterpol(p,k),x,0,9),
 362           point_size = 3,
 363           points(p),
 364           title = concat("Degree of numerator = ",k),
 365           yrange=[0,10])$
 366 @end example
 367
 368 @c @opencatbox
 369 @c @category{Package interpol}
 370 @c @closecatbox
 371 @end deffn
 372
 373 @c --- End of file interpol.de.texi --------------------------------------------
 374