doc/info/de/mnewton.de.texi

   1 @c -----------------------------------------------------------------------------
   2 @c File     : mnewton.de.texi
   3 @c License  : GNU General Public License (GPL)
   4 @c Language : German
   5 @c Original : mnewton.texi revision 31.05.2011
   6 @c Date     : 08.11.2010
   7 @c Revision : 16.09.2011
   8 @c
   9 @c This file is part of Maxima -- GPL CAS based on DOE-MACSYMA
  10 @c -----------------------------------------------------------------------------
  11
  12 @menu
  13 * Einf@"uhrung in mnewton::
  14 * Funktionen und Variablen f@"ur mnewton::
  15 @end menu
  16
  17 @c -----------------------------------------------------------------------------
  18 @node Einf@"uhrung in mnewton, Funktionen und Variablen f@"ur mnewton, mnewton, mnewton
  19 @section Einf@"uhrung in mnewton
  20 @c -----------------------------------------------------------------------------
  21
  22 @c @code{mnewton} is an implementation of Newton's method for solving nonlinear
  23 @c equations in one or more variables.
  24
  25 Das Paket mnewton implementiert das Newton-Verfahren mit der Funktion
  26 @mref{mnewton} f@"ur das numerische L@"osen nichtlinear Gleichungen in einer
  27 oder mehrerer Variablen.  Die Funktion @mref{newton} ist eine weitere
  28 Implementierung, die im Paket newton1 enthalten ist.
  29
  30 @c -----------------------------------------------------------------------------
  31 @node Funktionen und Variablen f@"ur mnewton,  , Einf@"uhrung in mnewton, mnewton
  32 @section Funktionen und Variablen f@"ur mnewton
  33 @c -----------------------------------------------------------------------------
  34
  35 @c --- 15.09.2011 DK -----------------------------------------------------------
  36 @anchor{newtonepsilon}
  37 @defvr {Optionsvariable} newtonepsilon
  38 Standardwert: @code{1.0e-8}
  39
  40 @c Precision to determine when the @code{mnewton} function has converged
  41 @c towards the solution. See also @code{mnewton}.
  42
  43 Genauigkeit mit der getestet wird, wie gut die Funktion @mref{mnewton} sich der
  44 L@"osung angen@"ahert hat.  Unterschreitet die @"Anderung der Approximation
  45 den Wert @code{newtonepsilon}, bricht der Algorithmus ab und gibt das Ergebnis
  46 zur@"uck.
  47 @end defvr
  48
  49 @c --- 15.09.2011 DK -----------------------------------------------------------
  50 @anchor{newtonmaxiter}
  51 @defvr {Optionsvariable} newtonmaxiter
  52 Standardwert: @code{50}
  53
  54 @c Maximum number of iterations to stop the @code{mnewton} function if it does
  55 @c not converge or if it converges too slowly. See also @code{mnewton}.
  56
  57 Obere Grenze f@"ur die Anzahl an Iterationen, falls die Funktion
  58 @mref{mnewton} nicht oder sehr langsam konvergiert.
  59 @end defvr
  60
  61 @c --- 15.09.2011 DK -----------------------------------------------------------
  62 @anchor{function_mnewton}
  63 @deffn {Funktion} mnewton (@var{FuncList}, @var{VarList}, @var{GuessList})
  64
  65 @c Multiple nonlinear functions solution using the Newton method. @var{FuncList}
  66 @c is the list of functions to solve, @var{VarList} is the list of variable
  67 @c names, and @var{GuessList} is the list of initial approximations.
  68
  69 Implementation des Newton-Verfahrens f@"ur das numerische L@"osen von
  70 Gleichungen in mehreren Variablen.  Das Argument @var{FuncList} ist die Liste
  71 der Gleichungen, f@"ur die eine numerische L@"osung gesucht wird.  Das Argument
  72 @var{VarList} ist eine Liste der Variablen und das Argument @var{GuessList}
  73 ist eine Liste mit den Startwerten des Newton-Verfahrens.
  74
  75 @c The solution is returned in the same format that @code{solve()} returns.
  76 @c If the solution isn't found, @code{[]} is returned.
  77
  78 Die L@"osungen werden als eine Liste zur@"uckgegeben.  Kann keine L@"osung
  79 gefunden werden, ist die R@"uckgabe eine leere Liste @code{[]}.
  80
  81 @c This function is controlled by global variables @code{newtonepsilon} and
  82 @c @code{newtonmaxiter}.
  83
  84 @code{mnewton} wird von den Funktionen @mref{newtonepsilon} und
  85 @mref{newtonmaxiter} kontrolliert.
  86
  87 @c To use this function write first @code{load("mnewton")}. See also
  88 @c @code{newtonepsilon} and @code{newtonmaxiter}.
  89
  90 Die Funktion wird mit dem Kommando @code{load("mnewton")} geladen.  Siehe die
  91 Funktion @mref{newton} f@"ur eine alternative Implementierung des
  92 Newton-Verfahrens.
  93
  94 Beispiele:
  95
  96 @example
  97 (%i1) load("mnewton")$
  98
  99 (%i2) mnewton([x1+3*log(x1)-x2^2, 2*x1^2-x1*x2-5*x1+1],
 100               [x1, x2], [5, 5]);
 101 (%o2) [[x1 = 3.756834008012769, x2 = 2.779849592817897]]
 102 (%i3) mnewton([2*a^a-5],[a],[1]);
 103 (%o3)             [[a = 1.70927556786144]]
 104 (%i4) mnewton([2*3^u-v/u-5, u+2^v-4], [u, v], [2, 2]);
 105 (%o4) [[u = 1.066618389595407, v = 1.552564766841786]]
 106 @end example
 107
 108 @c The variable @code{newtonepsilon} controls the precision of the
 109 @c approximations.  It also controls if computations are performed with
 110 @c floats or bigfloats.
 111
 112 Die Optionsvariable @mref{newtonepsilon} kontrolliert die Genauigkeit der
 113 Approximation.  Weiterhin kontrolliert die Optionsvariable, ob die Berechnung
 114 mit Gleitkommazahlen in doppelter oder gro@ss{}er Genauigkeit durchgef@"uhrt
 115 wird.
 116
 117 @example
 118 (%i1) load("mnewton")$
 119
 120 (%i2) (fpprec : 25, newtonepsilon : bfloat(10^(-fpprec+5)))$
 121
 122 (%i3) mnewton([2*3^u-v/u-5, u+2^v-4], [u, v], [2, 2]);
 123 (%o3) [[u = 1.066618389595406772591173b0,
 124                                v = 1.552564766841786450100418b0]]
 125 @end example
 126 @end deffn
 127
 128 @c --- 16.09.2011 DK -----------------------------------------------------------
 129 @anchor{newton}
 130 @deffn {Funktion} newton (@var{expr}, @var{x}, @var{x_0}, @var{eps})
 131
 132 @c Returns an approximate solution of @code{@var{expr} = 0} by Newton's method,
 133 @c considering @var{expr} to be a function of one variable, @var{x}.
 134 @c The search begins with @code{@var{x} = @var{x_0}}
 135 @c and proceeds until @code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}
 136 @c (with @var{expr} evaluated at the current value of @var{x}).
 137
 138 Die Funktion @code{newton} gibt eine N@"aherungsl@"osung der Gleichung
 139 @code{@var{expr} = 0} zur@"uck, die mit dem Newton-Verfahren berechnet wird.
 140 Der Ausdruck @var{expr} ist eine Funktion einer Variablen @var{x}.  Der
 141 Anfangswert ist @code{ @var{x} = @var{x_0}}.  Der Algorithmus bricht ab, wenn
 142 @code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}, wobei der Ausdruck @var{expr} f@"ur den
 143 aktuellen N@"aherungswert @var{x} ausgewertet wird.
 144
 145 @c @code{newton} allows undefined variables to appear in @var{expr},
 146 @c so long as the termination test @code{abs(@var{expr}) < @var{eps}} evaluates
 147 @c to @code{true} or @code{false}.
 148 @c Thus it is not necessary that @var{expr} evaluate to a number.
 149
 150 @code{newton} erlaubt symbolische Variablen im Ausdruck @var{expr}, wenn der
 151 Ausdruck @code{abs(@var{expr}) < @var{eps}} zu @code{true} oder @code{false}
 152 ausgewertet werden kann.  Daher ist es nicht notwendig, dass der Ausdruck
 153 @var{expr} zu einer Zahl ausgewertet werden kann.
 154
 155 @c @code{load("newton1")} loads this function.
 156
 157 Das Kommando @code{load("newton1")} l@"adt die Funktion.
 158
 159 @c See also @code{realroots}, @code{allroots}, @code{find_root}, and
 160 @c @code{mnewton}.
 161
 162 Siehe auch die Funktionen @mrefcomma{realroots} @mref{allroots} und
 163 @mrefcomma{find_root} um numerische L@"osungen von Gleichungen zu finden.
 164 Das Paket mnewton enth@"alt mit der Funktion @mref{mnewton} eine weitere
 165 Implementation des Newton-Verfahrens.
 166
 167 Achtung: Auch mit @code{load("newton")} wird eine Funktion mit dem Namen
 168 @code{newton} geladen, die sich jedoch in ihrer Syntax von der hier
 169 beschriebenen Funktion unterscheidet und auch nicht dokumentiert ist.
 170
 171 Beispiele:
 172
 173 @example
 174 (%i1) load ("newton1");
 175 (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
 176 (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 177 (%o2)                   1.570675277161251
 178 (%i3) ev (cos (u), u = %);
 179 (%o3)                 1.2104963335033528E-4
 180 (%i4) assume (a > 0);
 181 (%o4)                        [a > 0]
 182 (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 183 (%o5)                  1.00030487804878 a
 184 (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
 185                                            2
 186 (%o6)                6.098490481853958E-4 a
 187 @end example
 188 @end deffn
 189
 190 @c --- End of file mnewton.de.texi ---------------------------------------------
 191