| blob | 402254b0f2d1de587eb8d9df2a88a1775cc68af8 |
1 @c English version 2013-07-30
2 @menu
3 * Introducción a las funciones especiales::
4 * Funciones de Bessel::
5 * Funciones de Airy::
6 * Funciones Gamma y factorial::
7 * Integral exponencial::
8 * Función de error::
9 * Funciones de Struve::
10 * Funciones hipergeométricas::
11 * Funciones de cilindro parabólico::
12 * Funciones y variables para las funciones especiales::
13 @end menu
15 @node Introducción a las funciones especiales, Funciones de Bessel, Funciones Especiales, Funciones Especiales
16 @section Introducción a las funciones especiales
18 A continuación se especifican las notaciones correspondientes a las funciones especiales:
20 @example
21 bessel_j (index, expr) Función de Bessel de primera especie
22 bessel_y (index, expr) Función de Bessel de segunda especie
23 bessel_i (index, expr) Función de Bessel modificada de primera especie
24 bessel_k (index, expr) Función de Bessel modificada de segunda especie
25 hankel_1 (v,z) Función de Hankel de primera especie
26 hankel_2 (v,z) Función de Hankel de segunda especie
27 struve_h (v,z) Función H de Struve
28 struve_l (v,z) Función L de Struve
29 %p[u,v] (z) Función de Legendre de primera especie
30 %q[u,v] (z) Función de Legendre de segunda especie
31 %f[p,q] ([], [], expr) Función hipergeométrica generalizada
32 gamma(z) Función Gamma
33 gamma_incomplete_lower(a,z) Función Gamma incompleta inferior
34 gamma_incomplete (a,z) Extremo de la función Gamma incompleta
35 hypergeometric(l1, l2, z) Función hipergeométrica
36 @c IS slommel THE "LOMMEL" FUNCTION ?? NOT OTHERWISE MENTIONED IN TEXINFO FILES
37 slommel
38 %m[u,k] (z) Función de Whittaker de primera especie
39 %w[u,k] (z) Función de Whittaker de segunda especie
40 erfc (z) Complemento de la función de error, erf
41 expintegral_e (v,z) Integral exponencial E
42 expintegral_e1 (z) Integral exponencial E1
43 expintegral_ei (z) Integral exponencial Ei
44 expintegral_li (z) Integral logarítmica Li
45 expintegral_si (z) Integral exponencial Si
46 expintegral_ci (z) Integral exponencial Ci
47 expintegral_shi (z) Integral exponencial Shi
48 expintegral_chi (z) Integral exponencial Chi
49 kelliptic (z) Integral elíptica completa
50 de primera especie (K)
51 parabolic_cylinder_d(v,z) Función D de cilindro parabólico
52 @end example
58 @node Funciones de Bessel, Funciones de Airy, Introducción a las funciones especiales, Funciones Especiales
59 @section Funciones de Bessel
62 @deffn {Función} bessel_j (@var{v}, @var{z})
63 Función de Bessel de primera especie de orden @math{v} y argumento @math{z}.
65 La función @code{bessel_j} se define como
67 @ifnottex
68 @example
69 inf
70 ==== k - v - 2 k v + 2 k
71 \ (- 1) 2 z
72 > --------------------------
73 / k! gamma(v + k + 1)
74 ====
75 k = 0
76 @end example
77 @end ifnottex
79 @tex
80 $$\sum_{k=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{k}\,\left(z\over 2\right)^{v+2\,k}
81 }\over{k!\,\Gamma\left(v+k+1\right)}}}$$
82 @end tex
84 aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.
86 @end deffn
88 @deffn {Función} bessel_y (@var{v}, @var{z})
89 Función de Bessel de segunda especie de orden @math{v} y argumento @math{z}.
91 La función @code{bessel_y} se define como
93 @ifnottex
94 @example
95 cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
96 -------------------------------------------
97 sin(%pi v)
98 @end example
99 @end ifnottex
101 @tex
102 $${{\cos \left(\pi\,v\right)\,J_{v}(z)-J_{-v}(z)}\over{
103 \sin \left(\pi\,v\right)}}$$
104 @end tex
106 si @math{v} no es un entero. En caso de que @math{v} sea un entero @math{n}, se calcula el límite cuando @math{v} se aproxima a @math{n}.
108 @end deffn
111 @deffn {Función} bessel_i (@var{v}, @var{z})
112 Función modificada de Bessel de primera especie de orden @math{v} y argumento @math{z}.
114 La función @code{bessel_i} se define como
116 @ifnottex
117 @example
118 inf
119 ==== - v - 2 k v + 2 k
120 \ 2 z
121 > -------------------
122 / k! gamma(v + k + 1)
123 ====
124 k = 0
125 @end example
126 @end ifnottex
128 @tex
129 $$\sum_{k=0}^{\infty } {{1\over{k!\,\Gamma
130 \left(v+k+1\right)}} {\left(z\over 2\right)^{v+2\,k}}}$$
131 @end tex
133 aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.
135 @end deffn
138 @deffn {Función} bessel_k (@var{v}, @var{z})
139 Función modificada de Bessel de segunda especie de orden @math{v} y argumento @math{z}.
141 La función @code{bessel_k} se define como
143 @ifnottex
144 @example
145 %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
146 -------------------------------------------------
147 2
148 @end example
149 @end ifnottex
151 @tex
152 $${{\pi\,\csc \left(\pi\,v\right)\,\left(I_{-v}(z)-I_{v}(z)\right)}\over{2}}$$
153 @end tex
155 si @math{v} no es un entero. Si @math{v} es igual al entero @math{n}, entonces se calcula el límite cuando @math{v} tiende a @math{n}.
156 @end deffn
159 @deffn {Función} hankel_1 (@var{v}, @var{z})
160 Función de Hankel de primera especie de orden @math{v} y argumento @math{z}
161 (A&S 9.1.3). La función @code{hankel_1} se define como
163 @example
164 bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)
165 @end example
167 Maxima evalúa @code{hankel_1} numéricamente para el orden real @math{v}
168 y el argumento complejo @math{z} en doble precisión (float). La evaluación
169 numérica en gran precisión (bigfloat) y para órdenes complejos no está
170 implementada.
172 Si @code{besselexpand} vale @code{true}, @code{hankel_1} se expande en
173 términos de funciones elementales cuando el orden @math{v} es la mitad
174 de un entero impar. Véase al respecto @code{besselexpand}.
176 Maxima reconoce la derivada de @code{hankel_1} con respecto del argumento @math{z}.
178 Ejemplos:
180 Evaluación numérica:
182 @c ===beg===
183 @c hankel_1(1,0.5);
184 @c hankel_1(1,0.5+%i);
185 @c ===end===
186 @example
187 (%i1) hankel_1(1,0.5);
188 (%o1) .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
189 (%i2) hankel_1(1,0.5+%i);
190 (%o2) - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016
191 @end example
193 No se soportan órdenes complejos. Maxima devuelve una forma nominal:
195 @c ===beg===
196 @c hankel_1(%i,0.5+%i);
197 @c ===end===
198 @example
199 (%i3) hankel_1(%i,0.5+%i);
200 (%o3) hankel_1(%i, %i + 0.5)
201 @end example
203 Expansión de @code{hankel_1} cuando @code{besselexpand} vale @code{true}:
205 @c ===beg===
206 @c hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
207 @c ===end===
208 @example
209 (%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
210 sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
211 (%o4) ----------------------------------
212 sqrt(%pi) sqrt(z)
213 @end example
215 Derivada de @code{hankel_1} respecto del argumento @math{z}. No está
216 soportada la derivada respecto del orden @math{v}. Maxima devuelve una forma nominal:
218 @c ===beg===
219 @c diff(hankel_1(v,z),z);
220 @c diff(hankel_1(v,z),v);
221 @c ===end===
222 @example
223 (%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
224 hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
225 (%o5) ---------------------------------------
226 2
227 (%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
228 d
229 (%o6) -- (hankel_1(v, z))
230 dv
231 @end example
233 @end deffn
235 @deffn {Función} hankel_2 (@var{v}, @var{z})
236 Función de Hankel de segunda especie de orden @math{v} y argumento @math{z}
237 (A&S 9.1.4). La función @code{hankel_2} se define como
239 @example
240 bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)
241 @end example
243 Maxima evalúa @code{hankel_2} numéricamente para el orden real @math{v}
244 y el argumento complejo @math{z} en doble precisión (float). La evaluación
245 numérica en gran precisión (bigfloat) y para órdenes complejos no está
246 implementada.
248 Si @code{besselexpand} vale @code{true}, @code{hankel_2} se expande en
249 términos de funciones elementales cuando el orden @math{v} es la mitad
250 de un entero impar. Véase al respecto @code{besselexpand}.
252 Maxima reconoce la derivada de @code{hankel_2} con respecto del argumento @math{z}.
254 Véanse ejemplos en @code{hankel_1}.
256 @end deffn
258 @defvr {Variable optativa} besselexpand
259 Valor por defecto: @code{false}
261 Controla la expansión de las funciones de Bessel cuando el orden es la mitad de un entero impar. En tal caso, las funciones de Bessel se pueden expandir en términos de otras funciones elementales. Si @code{besselexpand} vale @code{true}, se expande la función de Bessel.
263 @example
264 (%i1) besselexpand: false$
265 (%i2) bessel_j (3/2, z);
266 3
267 (%o2) bessel_j(-, z)
268 2
269 (%i3) besselexpand: true$
270 (%i4) bessel_j (3/2, z);
271 sin(z) cos(z)
272 sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
273 2 z
274 z
275 (%o4) ---------------------------------
276 sqrt(%pi)
277 @end example
279 @end defvr
282 @deffn {Función} scaled_bessel_i (@var{v}, @var{z})
284 Es la función de Bessel modificada de primera especie de
285 orden @math{v} y argumento @math{z}, es decir
286 @math{scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)}.
287 Esta función es especialmente útil para calcular @math{bessel_i}
288 cuando @math{z} es grande. Sin embargo, Maxima no sabe mucho más
289 sobre esta función. En cálculos simbólicos, quizás sea
290 preferible trabajar directamente con la expresión
291 @code{exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)}.
293 @end deffn
296 @deffn {Función} scaled_bessel_i0 (@var{z})
298 Idéntica a @code{scaled_bessel_i(0,z)}.
300 @end deffn
302 @deffn {Función} scaled_bessel_i1 (@var{z})
304 Idéntica a @code{scaled_bessel_i(1,z)}.
306 @end deffn
309 @deffn {Función} %s [@var{u},@var{v}] (@var{z})
311 Función s[u,v](z) de Lommel.
312 Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.
314 @end deffn
320 @node Funciones de Airy, Funciones Gamma y factorial, Funciones de Bessel, Funciones Especiales
321 @section Funciones de Airy
323 Las funciones de Airy Ai(x) y Bi(x) se definen en la sección 10.4.
324 de Abramowitz and Stegun, @i{Handbook of Mathematical Functions}.
326 @code{y = Ai(x)} y @code{y = Bi(x)} son dos soluciones linealmente
327 independientes de la ecuación diferencia de Airy
328 @code{diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0}.
330 Si el argumento @code{x} es un número decimal en coma flotante
331 real o complejo, se devolverá el valor numérico de la función.
333 @deffn {Función} airy_ai (@var{x})
334 Función de Airy Ai(x). (A&S 10.4.2)
336 La derivada @code{diff (airy_ai(x), x)} es @code{airy_dai(x)}.
338 Véanse @code{airy_bi}, @code{airy_dai} y @code{airy_dbi}.
339 @end deffn
342 @deffn {Función} airy_dai (@var{x})
343 Es la derivada de la función Ai de Airy, @code{airy_ai(x)}.
345 Véase @code{airy_ai}.
346 @end deffn
349 @deffn {Función} airy_bi (@var{x})
350 Es la función Bi de Airy, tal como la definen Abramowitz y Stegun,
351 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Sección 10.4. Se trata de la segunda solución de la ecuación de Airy @code{diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0}.
353 Si el argumento @code{x} es un número decimal real o complejo, se devolverá el valor numérico de @code{airy_bi} siempre que sea posible. En los otros casos, se devuelve la expresión sin evaluar.
355 La derivada @code{diff (airy_bi(x), x)} es @code{airy_dbi(x)}.
357 Véanse @code{airy_ai} y @code{airy_dbi}.
358 @end deffn
360 @deffn {Función} airy_dbi (@var{x})
361 Es la derivada de la función Bi de Airy, @code{airy_bi(x)}.
363 Véanse @code{airy_ai} y @code{airy_bi}.
364 @end deffn
370 @node Funciones Gamma y factorial, Integral exponencial, Funciones de Airy, Funciones Especiales
371 @section Funciones Gamma y factorial
373 Las funciones gamma, beta, psi y gamma incompleta están
374 definidas en el capítulo 6 de Abramowitz y Stegun,
375 @i{Handbook of Mathematical Functions}.
380 @deffn {Función} bffac (@var{expr}, @var{n})
381 Versión para "bigfloat" de la función factorial (Gamma desplazada). El segundo argumento indica cuántos dígitos se conservan y devuelven, pudiendo utilizarse para obtener algunas cifras extra.
383 @end deffn
385 @defvr {Variable optativa} algepsilon
386 Valor por defecto: 10^8
388 El valor de @code{algepsilon} es usado por @code{algsys}.
390 @end defvr
394 @deffn {Función} bfpsi (@var{n}, @var{z}, @var{fpprec})
395 @deffnx {Función} bfpsi0 (@var{z}, @var{fpprec})
396 La función @code{bfpsi} es la poligamma de argumento real @var{z} y de orden el entero @var{n}. La función @code{bfpsi0} es la digamma. La llamada @code{bfpsi0 (@var{z}, @var{fpprec})} equivale a @code{bfpsi (0, @var{z}, @var{fpprec})}.
398 Estas funciones devuelven valores "bigfloat". La variable @var{fpprec} es la precisión "bigfloat" del valor de retorno.
400 @c psi0(1) = -%gamma IS AN INTERESTING PROPERTY BUT IN THE ABSENCE OF ANY OTHER
401 @c DISCUSSION OF THE PROPERTIES OF THIS FUNCTION, THIS STATEMENT SEEMS OUT OF PLACE.
402 @c Note @code{-bfpsi0 (1, fpprec)} provides @code{%gamma} (Euler's constant) as a bigfloat.
404 @end deffn
408 @deffn {Función} cbffac (@var{z}, @var{fpprec})
409 Calcula el factorial de números complejos de punto flotante grandes.
411 La instrucción @code{load ("bffac")} carga esta función.
413 @end deffn
417 @deffn {Función} gamma (@var{x})
419 La definición básica de la función gamma (A&S 6.1.1) es
421 @ifnottex
422 @example
423 inf
424 /
425 [ z - 1 - t
426 gamma(z) = I t %e dt
427 ]
428 /
429 0
430 @end example
431 @end ifnottex
432 @tex
433 $$\Gamma\left(z\right)=\int_{0}^{\infty }{t^{z-1}\,e^ {- t }\;dt}$$
434 @end tex
436 Maxima simplifica @code{gamma} para enteros positivos y para fracciones positivas
437 o negativas. Para fracciones de denominador dos, el resultado es un número
438 racional multiplicado por @code{sqrt(%pi)}. La simplificación para valores
439 enteros la controla @code{factlim}. Para enteros mayores que @code{factlim}
440 el resultado numérico de la función factorial, la cual se utiliza para
441 calcular @code{gamma}, producirá un desbordamiento. La simplificación
442 para números racionales la controla @code{gammalim} para evitar desbordamientos.
443 Véanse también @code{factlim} y @code{gammalim}.
445 Para enteros negativos, @code{gamma} no está definida.
447 Maxima puede evaluar @code{gamma} numéricamente para valores reales
448 y complejos, tanto en formato float (doble precisión) como big float
449 (precisión arbitraria).
451 La función @code{gamma} tiene simetría especular.
453 Si @code{gamma_expand} vale @code{true}, Maxima expande @code{gamma}
454 para argumentos del tipo @code{z+n} y @code{z-n}, siendo @code{n}
455 un entero.
457 Maxima conoce la derivada de @code{gamma}.
459 Ejemplos:
461 Simplificación para enteros, fracciones de denominador dos
462 y números racionales:
464 @example
465 (%i1) map('gamma,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);
466 (%o1) [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320]
468 (%i2) map('gamma,[1/2,3/2,5/2,7/2]);
469 sqrt(%pi) 3 sqrt(%pi) 15 sqrt(%pi)
470 (%o2) [sqrt(%pi), ---------, -----------, ------------]
471 2 4 8
473 (%i3) map('gamma,[2/3,5/3,7/3]);
474 2 1
475 2 gamma(-) 4 gamma(-)
476 2 3 3
477 (%o3) [gamma(-), ----------, ----------]
478 3 3 9
479 @end example
481 Evaluación numérica para valores reales y complejos:
483 @example
484 (%i4) map('gamma,[2.5,2.5b0]);
485 (%o4) [1.329340388179137, 1.329340388179137b0]
487 (%i5) map('gamma,[1.0+%i,1.0b0+%i]);
488 (%o5) [.4980156681183558 - .1549498283018108 %i,
489 4.980156681183561b-1 - 1.549498283018107b-1 %i]
490 @end example
492 Simetría especular:
494 @example
495 (%i6) declare(z,complex)$
496 (%i7) conjugate(gamma(z));
497 (%o7) gamma(conjugate(z))
498 @end example
500 Maxima expande @code{gamma(z+n)} y @code{gamma(z-n)} si
501 @code{gamma_expand} vale @code{true}:
503 @example
504 (%i8) gamma_expand:true$
505 (%i9) [gamma(z+1),gamma(z-1),gamma(z+2)/gamma(z+1)];
506 gamma(z)
507 (%o9) [z gamma(z), --------, z + 1]
508 z - 1
509 @end example
511 Derivada de @code{gamma}:
513 @example
514 (%i10) diff(gamma(z),z);
515 (%o10) psi (z) gamma(z)
516 0
517 @end example
519 Véase también @code{makegamma}.
521 La constante de Euler-Mascheroni es @code{%gamma}.
522 @end deffn
525 @deffn {Función} log_gamma (@var{z})
526 Logaritmo natural de la función gamma.
527 @end deffn
531 @deffn {Función} gamma_incomplete_lower (@var{a}, @var{z})
533 Función gamma incompleta inferior (A&S 6.5.2):
535 @ifnottex
536 @example
537 z
538 /
539 [ a - 1 - t
540 gamma_incomplete_lower(a, z) = I t %e dt
541 ]
542 /
543 0
544 @end example
545 @end ifnottex
546 @tex
547 $$\gamma\left(a , z\right)=\int_{0}^{z}{t^{a-1}\,e^ {- t }\;dt}$$
548 @end tex
550 Véase también @code{gamma_incomplete} (función gamma incompleta superior).
551 @end deffn
555 @deffn {Función} gamma_incomplete (@var{a},@var{z})
556 Función gamma incompleta superior, A&S 6.5.3:
558 @ifnottex
559 @example
560 inf
561 /
562 [ a - 1 - t
563 gamma_incomplete(a, z) = I t %e dt
564 ]
565 /
566 z
567 @end example
568 @end ifnottex
569 @tex
570 $$\Gamma\left(a , z\right)=\int_{z}^{\infty }{t^{a-1}\,e^ {- t }\;dt}$$
571 @end tex
573 Véanse también @code{gamma_expand} para controlar cómo se expresa
574 @code{gamma_incomplete} en términos de funciones elementales y de @code{erfc}.
576 Véanse también las funciones relacionadas @code{gamma_incomplete_regularized} y
577 @code{gamma_incomplete_generalized}.
578 @end deffn
580 @deffn {Función} gamma_incomplete_regularized (@var{a},@var{z})
581 Función gamma incompleta superior regularizada, A&S 6.5.1.
583 @ifnottex
584 @example
585 gamma_incomplete_regularized(a, z) =
586 gamma_incomplete(a, z)
587 ----------------------
588 gamma(a)
589 @end example
590 @end ifnottex
591 @tex
592 $${\it Q}\left(a , z\right)={{\Gamma\left(a , z\right)}\over{\Gamma\left(a\right)}}$$
593 @end tex
595 Véanse también @code{gamma_expand} para controlar cómo se expresa
596 @code{gamma_incomplete} en términos de funciones elementales y de @code{erfc}.
598 Véase también @code{gamma_incomplete}.
599 @end deffn
601 @deffn {Función} gamma_incomplete_generalized (@var{a},@var{z1},@var{z1})
602 Función gamma incompleta generalizada.
604 @ifnottex
605 @example
606 gamma_incomplete_generalized(a, z1, z2) =
607 z2
608 /
609 [ a - 1 - t
610 I t %e dt
611 ]
612 /
613 z1
614 @end example
615 @end ifnottex
616 @tex
617 $$\Gamma\left(a , z_{1}, z_{2}\right)=\int_{z_{1}}^{z_{2}}{t^{a-1}\,e^ {- t }\;dt}$$
618 @end tex
620 Véanse también @code{gamma_incomplete} y @code{gamma_incomplete_regularized}.
621 @end deffn
624 @defvr {Variable opcional} gamma_expand
625 Valor por defecto: @code{false}
627 @code{gamma_expand} controla la expansión de @code{gamma_incomplete}.
628 Si @code{gamma_expand} vale @code{true}, @code{gamma_incomplete(v,z)}
629 se expande en términos de
630 @code{z}, @code{exp(z)} y @code{erfc(z)}, siempre que sea posible.
632 @example
633 (%i1) gamma_incomplete(2,z);
634 (%o1) gamma_incomplete(2, z)
635 (%i2) gamma_expand:true;
636 (%o2) true
637 (%i3) gamma_incomplete(2,z);
638 - z
639 (%o3) (z + 1) %e
640 @group
641 (%i4) gamma_incomplete(3/2,z);
642 - z sqrt(%pi) erfc(sqrt(z))
643 (%o4) sqrt(z) %e + -----------------------
644 2
645 @end group
646 @end example
647 @end defvr
651 @defvr {Variable optativa} gammalim
652 Valor por defecto: 10000
654 La variable @code{gammalim} controla la simplificación de la función gamma con argumentos enteros o racionales. Si el valor absoluto del argumento no es mayor que @code{gammalim}, entonces se realizará la simplificación. Nótese que la variable @code{factlim} también controla la simplificación del resultado de @code{gamma} con argumento entero.
656 @end defvr
658 @deffn {Función} makegamma (@var{expr})
659 Transforma las funciones @code{binomial}, @code{factorial} y @code{beta} que aparecen en @var{expr} en funciones @code{gamma}.
661 Véase también @code{makefact}.
663 @end deffn
666 @deffn {Función} beta (@var{a}, @var{b})
667 La función beta se define como @code{gamma(a) gamma(b)/gamma(a+b)}
668 (A&S 6.2.1).
670 Maxima simplifica la función beta para enteros positivos y números
671 racionales cuya suma sea entera. Si @code{beta_args_sum_to_integer}
672 vale @code{true}, Maxima también simplifica expresiones generales
673 cuya suma sea también entera.
675 Cuando @var{a} o @var{b} sean nulos, la función beta no está definida.
677 En general, la función beta no está definida para enteros negativos.
678 La excepción es para @var{a=-n}, siendo @var{n} un entero positivo
679 y @var{b} otro entero positivo tal que @var{b<=n}, entonces es posible
680 definir una continuación analítica. En este caso Maxima
681 devuelve un resultado.
683 Si @code{beta_expand} vale @code{true}, expresiones como @code{beta(a+n,b)},
684 @code{beta(a-n,b)}, @code{beta(a,b+n)} o @code{beta(a,b-n)}, siendo @code{n}
685 entero, se simplifican.
687 Maxima puede evaluar la función beta para valores reales y complejos, tanto
688 de tipo decimal flotante o big float. Para la evaluación numérica
689 Maxima utiliza @code{log_gamma}:
691 @example
692 - log_gamma(b + a) + log_gamma(b) + log_gamma(a)
693 %e
694 @end example
696 Maxima reconoce la simetría de la función beta.
698 Maxima conoce las derivadas de la función beta, tanto respecto de @var{a}
699 como de @var{b}.
701 Para expresar la función beta como un cociente de funciones gamma,
702 véase @code{makegamma}.
704 Ejemplos:
706 Simplificación cuando uno de sus argumentos es entero:
708 @example
709 (%i1) [beta(2,3),beta(2,1/3),beta(2,a)];
710 1 9 1
711 (%o1) [--, -, ---------]
712 12 4 a (a + 1)
713 @end example
715 Simplificación para argumentos racionales que suman un entero:
717 @example
718 (%i2) [beta(1/2,5/2),beta(1/3,2/3),beta(1/4,3/4)];
719 3 %pi 2 %pi
720 (%o2) [-----, -------, sqrt(2) %pi]
721 8 sqrt(3)
722 @end example
724 Cuando se iguala @code{beta_args_sum_to_integer} a @code{true} se
725 simplifican expresiones más generales si la suma de los argumentos
726 se reduce a un entero:
728 @example
729 (%i3) beta_args_sum_to_integer:true$
730 (%i4) beta(a+1,-a+2);
731 %pi (a - 1) a
732 (%o4) ------------------
733 2 sin(%pi (2 - a))
734 @end example
736 Posibles valores cuando uno de los argumentos es entero negativo:
738 @example
739 (%i5) [beta(-3,1),beta(-3,2),beta(-3,3)];
740 1 1 1
741 (%o5) [- -, -, - -]
742 3 6 3
743 @end example
745 @code{beta(a+n,b)} o @code{beta(a-n)} con @code{n} entero se simplifica
746 si @code{beta_expand} vale @code{true}:
748 @example
749 (%i6) beta_expand:true$
750 (%i7) [beta(a+1,b),beta(a-1,b),beta(a+1,b)/beta(a,b+1)];
751 a beta(a, b) beta(a, b) (b + a - 1) a
752 (%o7) [------------, ----------------------, -]
753 b + a a - 1 b
755 @end example
757 La función beta no está definida si uno de sus argumentos es cero:
759 @example
760 (%i7) beta(0,b);
761 beta: expected nonzero arguments; found 0, b
762 -- an error. To debug this try debugmode(true);
763 @end example
765 Evaluación numérica para argumentos reales y complejos de tipo
766 decimal flotante o big float:
768 @example
769 (%i8) beta(2.5,2.3);
770 (%o8) .08694748611299981
772 (%i9) beta(2.5,1.4+%i);
773 (%o9) 0.0640144950796695 - .1502078053286415 %i
775 (%i10) beta(2.5b0,2.3b0);
776 (%o10) 8.694748611299969b-2
778 (%i11) beta(2.5b0,1.4b0+%i);
779 (%o11) 6.401449507966944b-2 - 1.502078053286415b-1 %i
780 @end example
782 La función beta es simétrica con simetría especular:
784 @example
785 (%i14) beta(a,b)-beta(b,a);
786 (%o14) 0
787 (%i15) declare(a,complex,b,complex)$
788 (%i16) conjugate(beta(a,b));
789 (%o16) beta(conjugate(a), conjugate(b))
790 @end example
792 Derivada de la función beta respecto de @code{a}:
794 @example
795 (%i17) diff(beta(a,b),a);
796 (%o17) - beta(a, b) (psi (b + a) - psi (a))
797 0 0
798 @end example
799 @end deffn
801 @deffn {Función} beta_incomplete (@var{a}, @var{b}, @var{z})
802 La definición básica de la función beta incompleta (A&S 6.6.1) es
804 @example
805 z
806 /
807 [ b - 1 a - 1
808 I (1 - t) t dt
809 ]
810 /
811 0
812 @end example
814 Esta definición es posible para @math{realpart(a)>0}, @math{realpart(b)>0}
815 y @math{abs(z)<1}. Para otras situaciones, la función beta incompleta puede
816 definirse por medio de una función hipergeométrica generalizada:
818 @example
819 gamma(a) hypergeometric_generalized([a, 1 - b], [a + 1], z) z
820 @end example
821 (Véase Funcións.wolfram.com para una completa definición de la función beta
822 incompleta.)
824 Para enteros negativos @math{a = -n} y enteros positivos @math{b=m} con
825 @math{m<=n} la función beta incompleta se define como
827 @example
828 m - 1 k
829 ==== (1 - m) z
830 n - 1 \ k
831 z > -----------
832 / k! (n - k)
833 ====
834 k = 0
835 @end example
836 Maxima utiliza esta definición para simplificar @code{beta_incomplete}
837 cuando @var{a} es entero negativo.
839 Cuando @var{a} es entero positivo, @code{beta_incomplete} se simplifica
840 para cualesquiera argumentos @var{b} y @var{z}, y para @var{b} entero
841 positivo para cualesquiera argumentos @var{a} y @var{z}, con la
842 excepción de cuando @var{a} sea entero negativo.
844 Para @math{z=0} y @math{realpart(a)>0}, @code{beta_incomplete} se anula.
845 Para @var{z=1} y @math{realpart(b)>0}, @code{beta_incomplete} se reduce a
846 la función @code{beta(a,b)}.
848 Maxima evalúa @code{beta_incomplete} numéricamente para valores reales
849 y complejos en forma decimal y big float. La evaluación numérica se
850 realiza expandiendo la función beta incompleta en fracciones continuas.
852 Si @code{beta_expand} vale @code{true}, Maxima expande las expresiones
853 @code{beta_incomplete(a+n,b,z)} y @code{beta_incomplete(a-n,b,z)},
854 siendo @var{n} entero positivo.
856 Maxima conoce las derivadas de @code{beta_incomplete} con respecto a
857 las variables @var{a}, @var{b} y @var{z}, así como la
858 integral respecto de la variable @var{z}.
860 Ejemplos:
862 Simplificación para @var{a} entero positivo:
864 @example
865 (%i1) beta_incomplete(2,b,z);
866 b
867 1 - (1 - z) (b z + 1)
868 (%o1) ----------------------
869 b (b + 1)
870 @end example
872 Simplificación para @var{b} entero positivo:
874 @example
875 (%i2) beta_incomplete(a,2,z);
876 a
877 (a (1 - z) + 1) z
878 (%o2) ------------------
879 a (a + 1)
880 @end example
882 Simplificación para @var{a} y @var{b} enteros positivos:
884 @example
885 (%i3) beta_incomplete(3,2,z);
886 3
887 (3 (1 - z) + 1) z
888 (%o3) ------------------
889 12
890 @end example
892 Para @var{a} entero negativo y @math{b<=(-a)}:
894 @example
895 (%i4) beta_incomplete(-3,1,z);
896 1
897 (%o4) - ----
898 3
899 3 z
900 @end example
902 Simplificación para los valores @math{z=0} y @math{z=1}:
904 @example
905 (%i5) assume(a>0,b>0)$
906 (%i6) beta_incomplete(a,b,0);
907 (%o6) 0
908 (%i7) beta_incomplete(a,b,1);
909 (%o7) beta(a, b)
910 @end example
912 Evaluación numérica, tanto con float (precisión doble)
913 como big float (precisión arbitraria):
915 @example
916 (%i8) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9);
917 (%o8) 4.594959440269333
918 (%i9) fpprec:25$
919 (%i10) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9b0);
920 (%o10) 4.594959440269324086971203b0
921 @end example
923 Para @math{abs(z)>1}, @code{beta_incomplete} devuelve un
924 resultado complejo:
926 @example
927 (%i11) beta_incomplete(0.25,0.50,1.7);
928 (%o11) 5.244115108584249 - 1.45518047787844 %i
929 @end example
931 Resultados para argumentos complejos más generales:
933 @example
934 (%i14) beta_incomplete(0.25+%i,1.0+%i,1.7+%i);
935 (%o14) 2.726960675662536 - .3831175704269199 %i
936 (%i15) beta_incomplete(1/2,5/4*%i,2.8+%i);
937 (%o15) 13.04649635168716 %i - 5.802067956270001
938 (%i16)
939 @end example
941 Expansión cuando @code{beta_expand} vale @code{true}:
943 @example
944 (%i23) beta_incomplete(a+1,b,z),beta_expand:true;
945 b a
946 a beta_incomplete(a, b, z) (1 - z) z
947 (%o23) -------------------------- - -----------
948 b + a b + a
950 (%i24) beta_incomplete(a-1,b,z),beta_expand:true;
951 b a - 1
952 beta_incomplete(a, b, z) (- b - a + 1) (1 - z) z
953 (%o24) -------------------------------------- - ---------------
954 1 - a 1 - a
955 @end example
957 Derivada e integral de @code{beta_incomplete}:
959 @example
960 @example
961 (%i34) diff(beta_incomplete(a, b, z), z);
962 b - 1 a - 1
963 (%o34) (1 - z) z
964 (%i35) integrate(beta_incomplete(a, b, z), z);
965 b a
966 (1 - z) z
967 (%o35) ----------- + beta_incomplete(a, b, z) z
968 b + a
969 a beta_incomplete(a, b, z)
970 - --------------------------
971 b + a
972 (%i36) factor(diff(%, z));
973 (%o36) beta_incomplete(a, b, z)
974 @end example
976 @end example
977 @end deffn
979 @deffn {Función} beta_incomplete_regularized (@var{a}, @var{b}, @var{z})
980 Función beta incompleta regularizada A&S 6.6.2,
981 definida como
983 @example
984 beta_incomplete_regularized(a, b, z) =
985 beta_incomplete(a, b, z)
986 ------------------------
987 beta(a, b)
988 @end example
990 Al igual que @code{beta_incomplete}, esta definición no es completa.
991 Véase Funcións.wolfram.com para una definición completa de
992 @code{beta_incomplete_regularized}.
994 @code{beta_incomplete_regularized} se simplifica para @var{a} o @var{b}
995 entero positivo.
997 Para @math{z=0} y @math{realpart(a)>0}, @code{beta_incomplete_regularized} se anula.
998 Para @var{z=1} y @math{realpart(b)>0}, @code{beta_incomplete_regularized} se reduce a 1.
1000 Maxima evalúa @code{beta_incomplete_regularized} numéricamente para valores reales
1001 y complejos en forma decimal y big float.
1003 Si @code{beta_expand} vale @code{true}, Maxima expande
1004 @code{beta_incomplete_regularized} para los argumentos @math{a+n} o @math{a-n},
1005 siendo @var{n} entero.
1007 Maxima conoce las derivadas de @code{beta_incomplete_regularized} con respecto a
1008 las variables @var{a}, @var{b} y @var{z}, así como la
1009 integral respecto de la variable @var{z}.
1011 Ejemplos:
1013 Simplificación para @var{a} o @var{b} enteros positivos:
1015 @example
1016 (%i1) beta_incomplete_regularized(2,b,z);
1017 b
1018 (%o1) 1 - (1 - z) (b z + 1)
1020 (%i2) beta_incomplete_regularized(a,2,z);
1021 a
1022 (%o2) (a (1 - z) + 1) z
1024 (%i3) beta_incomplete_regularized(3,2,z);
1025 3
1026 (%o3) (3 (1 - z) + 1) z
1027 @end example
1029 Simplificación para los valores @math{z=0} y @math{z=1}:
1031 @example
1032 (%i4) assume(a>0,b>0)$
1033 (%i5) beta_incomplete_regularized(a,b,0);
1034 (%o5) 0
1035 (%i6) beta_incomplete_regularized(a,b,1);
1036 (%o6) 1
1037 @end example
1039 Evaluación numérica, tanto con float (precisión doble)
1040 como big float (precisión arbitraria):
1042 @example
1043 (%i7) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9);
1044 (%o7) .9114011367359802
1045 (%i8) fpprec:32$
1046 (%i9) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9b0);
1047 (%o9) 9.1140113673598075519946998779975b-1
1048 (%i10) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5*%i);
1049 (%o10) .2865367499935403 %i - 0.122995963334684
1050 (%i11) fpprec:20$
1051 (%i12) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5b0*%i);
1052 (%o12) 2.8653674999354036142b-1 %i - 1.2299596333468400163b-1
1053 @end example
1055 Expansión cuando @code{beta_expand} vale @code{true}:
1057 @example
1058 (%i13) beta_incomplete_regularized(a+1,b,z);
1059 b a
1060 (1 - z) z
1061 (%o13) beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------
1062 a beta(a, b)
1063 (%i14) beta_incomplete_regularized(a-1,b,z);
1064 (%o14) beta_incomplete_regularized(a, b, z)
1065 b a - 1
1066 (1 - z) z
1067 - ----------------------
1068 beta(a, b) (b + a - 1)
1070 @end example
1072 Derivada e integral respecto de @var{z}:
1074 @example
1075 (%i15) diff(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
1076 b - 1 a - 1
1077 (1 - z) z
1078 (%o15) -------------------
1079 beta(a, b)
1080 (%i16) integrate(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
1081 (%o16) beta_incomplete_regularized(a, b, z) z
1082 b a
1083 (1 - z) z
1084 a (beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------)
1085 a beta(a, b)
1086 - -------------------------------------------------------
1087 b + a
1088 @end example
1090 @end deffn
1092 @deffn {Función} beta_incomplete_generalized (@var{a}, @var{b}, @var{z1}, @var{z2})
1093 La definición básica de la función beta incompleta generalizada es
1095 The basic definition of the generalized incomplete beta function is
1097 @example
1098 z2
1099 /
1100 [ b - 1 a - 1
1101 I (1 - t) t dt
1102 ]
1103 /
1104 z1
1105 @end example
1107 Maxima simplifica @code{beta_incomplete_regularized} para @var{a} y @var{b}
1108 enteros positivos.
1110 Para @math{realpart(a)>0} y @math{z1=0} o @math{z2=0}, Maxima reduce
1111 @code{beta_incomplete_generalized} a @code{beta_incomplete}. Para
1112 @math{realpart(b)>0} y @math{z1=1} o @var{z2=1}, Maxima reduce a
1113 una expresión con @code{beta} y @code{beta_incomplete}.
1115 Maxima evalúa @code{beta_incomplete_generalized} numéricamente para valores reales
1116 y complejos en forma decimal y big float.
1118 Si @code{beta_expand} vale @code{true}, Maxima expande
1119 @code{beta_incomplete_generalized} para los argumentos @math{a+n} y @math{a-n},
1120 siendo @var{n} entero positivo.
1122 Maxima conoce las derivadas de @code{beta_incomplete_generalized} con respecto a
1123 las variables @var{a}, @var{b}, @var{z1} y @var{z2}, así como la
1124 integral respecto de las variables @var{z1} y @var{z2}.
1126 Ejemplos:
1128 Maxima simplifica @code{beta_incomplete_generalized} para @var{a} y @var{b}
1129 enteros positivos:
1130 @example
1131 (%i1) beta_incomplete_generalized(2,b,z1,z2);
1132 b b
1133 (1 - z1) (b z1 + 1) - (1 - z2) (b z2 + 1)
1134 (%o1) -------------------------------------------
1135 b (b + 1)
1137 (%i2) beta_incomplete_generalized(a,2,z1,z2);
1138 a a
1139 (a (1 - z2) + 1) z2 - (a (1 - z1) + 1) z1
1140 (%o2) -------------------------------------------
1141 a (a + 1)
1143 (%i3) beta_incomplete_generalized(3,2,z1,z2);
1144 2 2 2 2
1145 (1 - z1) (3 z1 + 2 z1 + 1) - (1 - z2) (3 z2 + 2 z2 + 1)
1146 (%o3) -----------------------------------------------------------
1147 12
1148 @end example
1150 Simplificación para los valores @math{z1=0}, @math{z2=0}, @math{z1=1}
1151 o @math{z2=1}:
1152 @example
1153 (%i4) assume(a > 0, b > 0)$
1154 (%i5) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,0);
1155 (%o5) - beta_incomplete(a, b, z1)
1157 (%i6) beta_incomplete_generalized(a,b,0,z2);
1158 (%o6) - beta_incomplete(a, b, z2)
1160 (%i7) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,1);
1161 (%o7) beta(a, b) - beta_incomplete(a, b, z1)
1163 (%i8) beta_incomplete_generalized(a,b,1,z2);
1164 (%o8) beta_incomplete(a, b, z2) - beta(a, b)
1165 @end example
1167 Evaluación numérica para argumentos reales, tanto con float
1168 (precisión doble) como big float (precisión arbitraria):
1169 @example
1170 (%i9) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31);
1171 (%o9) .09638178086368676
1173 (%i10) fpprec:32$
1174 (%i10) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31b0);
1175 (%o10) 9.6381780863686935309170054689964b-2
1176 @end example
1178 Evaluación numérica para argumentos complejos, tanto con float
1179 (precisión doble) como big float (precisión arbitraria):
1180 @example
1181 (%i11) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31);
1182 (%o11) - .09625463003205376 %i - .003323847735353769
1183 (%i12) fpprec:20$
1184 (%i13) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31b0);
1185 (%o13) - 9.6254630032054178691b-2 %i - 3.3238477353543591914b-3
1186 @end example
1188 Expansión para @math{a+n} o @math{a-n}, siendo @var{n} entero positivo
1189 con @code{beta_expand} igual @code{true}:
1190 @example
1191 (%i14) beta_expand:true$
1192 (%i15) beta_incomplete_generalized(a+1,b,z1,z2);
1193 b a b a
1194 (1 - z1) z1 - (1 - z2) z2
1195 (%o15) -----------------------------
1196 b + a
1197 a beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2)
1198 + -------------------------------------------
1199 b + a
1201 (%i16) beta_incomplete_generalized(a-1,b,z1,z2);
1202 beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) (- b - a + 1)
1203 (%o16) -------------------------------------------------------
1204 1 - a
1205 b a - 1 b a - 1
1206 (1 - z2) z2 - (1 - z1) z1
1207 - -------------------------------------
1208 1 - a
1209 @end example
1211 Derivada respecto de la variable @var{z1} e integrales respecto de
1212 @var{z1} y @var{z2}:
1213 @example
1214 (%i17) diff(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
1215 b - 1 a - 1
1216 (%o17) - (1 - z1) z1
1218 (%i18) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
1219 (%o18) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z1
1220 + beta_incomplete(a + 1, b, z1)
1222 (%i19) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z2);
1223 (%o19) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z2
1224 - beta_incomplete(a + 1, b, z2)
1225 @end example
1226 @end deffn
1229 @defvr {Variable opcional} beta_expand
1230 Valor por defecto: false
1232 Si @code{beta_expand} vale @code{true}, @code{beta(a,b)} y sus
1233 funciones relacionadas se expanden para argumentos del tipo
1234 @math{a+n} o @math{a-n}, siendo @math{n} un número entero.
1235 @end defvr
1237 @defvr {Variable opcional} beta_args_sum_to_integer
1238 Valor por defecto: false
1240 Si @code{beta_args_sum_to_integer} vale @code{true}, Maxima simplifica
1241 @code{beta(a,b)} cuando la suma de los argumentos @var{a} y @var{b} sea un entero.
1242 @end defvr
1246 @deffn {Función} psi [@var{n}](@var{x})
1248 Es la derivada de @code{log (gamma (@var{x}))} de orden @code{@var{n}+1},
1249 de tal manera que @code{psi[0](@var{x})} es la primera derivada,
1250 @code{psi[1](@var{x})} la segunda derivada y así
1251 sucesivamente.
1253 En general, Maxima no sabe cómo calcular valores numéricos de
1254 @code{psi}, pero sí conoce el valor exacto para
1255 algunos argumentos racionales.
1256 Existen algunas variables globales para controlar en qué rangos
1257 racionales debe devolver @code{psi} resultados exactos, si ello es posible.
1258 Véanse las descripciones de @code{maxpsiposint}, @code{maxpsinegint},
1259 @code{maxpsifracnum} y @code{maxpsifracdenom}.
1260 En resumen, @var{x} debe alcanzar un valor entre @code{maxpsinegint} y
1261 @code{maxpsiposint}. Si el valor absoluto de la parte fraccional de
1262 @var{x} es racional y tiene un numerador menor que @code{maxpsifracnum}
1263 y un denominador menor que @code{maxpsifracdenom}, la función @code{psi}
1264 devolverá un valor exacto.
1266 La función @code{bfpsi} del paquete @code{bffac} puede calcular
1267 valores numéricos.
1269 @end deffn
1271 @defvr {Variable opcional} maxpsiposint
1272 Valor por defecto: 20
1274 La variable @code{maxpsiposint} guarda el mayor valor positivo para el
1275 que @code{psi[n](x)} intentará calcular un valor exacto.
1277 @end defvr
1279 @defvr {Variable opcional} maxpsinegint
1280 Valor por defecto: -10
1282 La variable @code{maxpsinegint} guarda el menor valor negativo para el
1283 que @code{psi[n](x)} intentará calcular un valor exacto. Si
1284 @var{x} es menor que @code{maxnegint}, @code{psi[n](@var{x})} no devolverá
1285 una respuesta simplificada, aunque supiese cómo hacerlo.
1287 @end defvr
1290 @defvr {Variable opcional} maxpsifracnum
1291 Valor por defecto: 6
1293 Sea @var{x} un número racional menor que la unidad de la forma @code{p/q}.
1294 Si @code{p} es mayor que @code{maxpsifracnum}, entonces
1295 @code{psi[@var{n}](@var{x})} no devolverá una respuesta simplificada.
1297 @end defvr
1299 @defvr {Variable opcional} maxpsifracdenom
1300 Valor por defecto: 6
1302 Sea @var{x} un número racional menor que la unidad de la forma @code{p/q}.
1303 Si @code{q} es mayor que @code{maxpsifracnum}, entonces
1304 @code{psi[@var{n}](@var{x})} no devolverá una respuesta simplificada.
1306 @end defvr
1309 @deffn {Función} makefact (@var{expr})
1310 Transforma las funciones @code{binomial}, @code{gamma} y @code{beta} que aparecen en @var{expr} en su notación factorial.
1312 Véase también @code{makegamma}.
1314 @end deffn
1317 @deffn {Función} numfactor (@var{expr})
1318 Devuelve el factor numérico que multiplica a la expresión @var{expr}, la cual debe tener un único término.
1320 @example
1321 (%i1) gamma (7/2);
1322 15 sqrt(%pi)
1323 (%o1) ------------
1324 8
1325 (%i2) numfactor (%);
1326 15
1327 (%o2) --
1328 8
1329 @end example
1331 @end deffn
1339 @node Integral exponencial, Función de error, Funciones Gamma y factorial, Funciones Especiales
1340 @section Integral exponencial
1342 La integral exponencial y sus funciones relacionadas se
1343 definen en el capítulo 5 de Abramowitz y Stegun,
1344 @i{Handbook of Mathematical Functions}.
1347 @deffn {Función} expintegral_e1 (@var{z})
1348 La integral exponencial E1(z) (A&S 5.1.1)
1349 @end deffn
1351 @deffn {Función} expintegral_ei (@var{z})
1352 La integral exponencial Ei(z) (A&S 5.1.2)
1353 @end deffn
1355 @deffn {Función} expintegral_li (@var{z})
1356 La integral exponencial Li(z) (A&S 5.1.3)
1357 @end deffn
1359 @deffn {Función} expintegral_e (@var{n},@var{z})
1360 La integral exponencial En(z) (A&S 5.1.4)
1361 @end deffn
1363 @deffn {Función} expintegral_si (@var{z})
1364 La integral exponencial Si(z) (A&S 5.2.1)
1365 @end deffn
1367 @deffn {Función} expintegral_ci (@var{z})
1368 La integral exponencial Ci(z) (A&S 5.2.2)
1369 @end deffn
1371 @deffn {Función} expintegral_shi (@var{z})
1372 La integral exponencial Shi(z) (A&S 5.2.3)
1373 @end deffn
1375 @deffn {Función} expintegral_chi (@var{z})
1376 La integral exponencial Chi(z) (A&S 5.2.4)
1377 @end deffn
1379 @defvr {Option variable} expintrep
1380 Valor por defecto: false
1382 Transforma la representación de la integral exponencial
1383 en términos de las funciones @code{gamma_incomplete},
1384 @code{expintegral_e1}, @code{expintegral_ei},
1385 @code{expintegral_li}, @code{expintegral_trig} y @code{expintegral_hyp}.
1386 @end defvr
1388 @defvr {Option variable} expintexpand
1389 Valor por defecto: false
1391 Expande la integral exponencial E[n](z)
1392 para valores medios de la integral en términos de
1393 las funciones Erfc o Erf y para positivos enteros
1394 en términos de Ei .
1395 @end defvr
1401 @node Función de error, Funciones de Struve, Integral exponencial, Funciones Especiales
1402 @section Función de error
1404 La función de error y sus asociadas se definen en el
1405 capítulo 7 de Abramowitz y Stegun,
1406 @i{Handbook of Mathematical Functions}.
1409 @deffn {Función} erf (@var{z})
1410 Función de error erf(z) (A&S 7.1.1)
1412 Véase también @code{erfflag}.
1413 @end deffn
1415 @deffn {Función} erfc (@var{z})
1416 Complemento de la función de error erfc(z) (A&S 7.1.2)
1418 @code{erfc(z) = 1-erf(z)}
1419 @end deffn
1421 @deffn {Función} erfi (@var{z})
1422 Función de error imaginaria.
1424 @code{erfi(z) = -%i*erf(%i*z)}
1425 @end deffn
1427 @deffn {Función} erf_generalized (@var{z1},@var{z2})
1428 Función de error generalizada Erf(z1,z2)
1429 @end deffn
1432 @deffn {Función} fresnel_c (@var{z})
1433 Integral de Fresnel @code{C(z) = integrate(cos((%pi/2)*t^2),t,0,z)}. (A&S 7.3.1)
1435 La simplificación @code{fresnel_c(-x) = -fresnel_c(x)} se aplica cuando
1436 la variable global @code{trigsign} vale @code{true}.
1438 La simplificación @code{fresnel_s(%i*x) = -%i*fresnel_s(x)} se aplica cuando
1439 la variable global @code{%iargs} vale @code{true}.
1441 Véanse también @code{erf_representation} y
1442 @code{hypergeometric_representation}.
1443 @end deffn
1445 @deffn {Función} fresnel_s (@var{z})
1446 Integral de Fresnel S(z) = integrate(sin((%pi/2)*t^2),t,0,z). (A&S 7.3.2)
1448 La simplificación fresnel_s(-x) = -fresnel_s(x) se aplica cuando
1449 la variable global @code{trigsign} vale @code{true}.
1451 La simplificación fresnel_s(%i*x) = %i*fresnel_s(x) se aplica cuando
1452 la variable global @code{%iargs} vale @code{true}.
1454 Véanse también @code{erf_representation} y
1455 @code{hypergeometric_representation}.
1456 @end deffn
1458 @defvr {Variable opcional} erf_representation
1459 Valor por defecto: false
1461 Cuando valga @code{true} erfc, erfi, erf_generalized, fresnel_s
1462 y fresnel_c se transforman a erf.
1463 @end defvr
1465 @defvr {Variable opcional} hypergeometric_representation
1466 Valor por defecto: false
1468 Permite obtener la representación hipergeométrica
1469 de las funciones fresnel_s y fresnel_c.
1470 @end defvr
1478 @node Funciones de Struve, Funciones hipergeométricas, Función de error, Funciones Especiales
1479 @section Funciones de Struve
1481 Las funciones de Struve se definen en el capítulo
1482 12 de Abramowitz y Stegun, @i{Handbook of Mathematical Functions}.
1484 @deffn {Función} struve_h (@var{v}, @var{z})
1485 Función H de Struve de orden @var{v} y argumento @var{z}, (A&S 12.1.1).
1487 @end deffn
1489 @deffn {Función} struve_l (@var{v}, @var{z})
1490 Función L modificada de Struve de orden @var{v} y argumento @var{z}, (A&S 12.2.1).
1492 @end deffn
1498 @node Funciones hipergeométricas, Funciones de cilindro parabólico, Funciones de Struve, Funciones Especiales
1499 @section Funciones hipergeométricas
1501 Las funciones hipergeométricas se definen en los capítulos
1502 13 y 15 de Abramowitz y Stegun, @i{Handbook of Mathematical Functions}.
1504 Maxima tiene un soporte limitado sobre estas funciones, que pueden
1505 aparecer en resultados devueltos por @code{hgfred}.
1507 @deffn {Función} %m [@var{k},@var{u}] (@var{z})
1508 Función M de Whittaker
1509 @code{M[k,u](z) = exp(-z/2)*z^(1/2+u)*M(1/2+u-k,1+2*u,z)}.
1510 (A&S 13.1.32)
1511 @end deffn
1513 @deffn {Función} %w [@var{k},@var{u}] (@var{z})
1514 Función W de Whittaker. (A&S 13.1.33)
1515 @end deffn
1518 @deffn {Función} %f [@var{p},@var{q}] (@var{[a],[b],z})
1519 Es la función hipergeométrica pFq(a1,a2,..ap;b1,b2,..bq;z),
1520 donde @code{a} es una lista de longitud @code{p} y
1521 @code{b} otra lista de longitud @code{q}.
1522 @end deffn
1525 @deffn {Función} hypergeometric ([@var{a1}, ..., @var{ap}],[@var{b1}, ... ,@var{bq}], x)
1526 Es la función hipergeométrica. A diferencia de la función
1527 hipergeométrica @code{%f} de Maxima, la función @code{hypergeometric}
1528 es simplificadora; además, @code{hypergeometric} soporta la evaluación
1529 en doble (float) y gran (bigfloat) precisión. La evaluación
1530 numérica fuera del círculo unidad no está en general
1531 soportada, pero sí en el caso de la función
1532 hipergeométrica de Gauss, cuando @math{p = 2} y @math{q = 1}.
1534 Si la variable opcional @code{expand_hypergeometric} vale @code{true},
1535 (el valor por defecto es @code{false}) y uno de los argumentos entr @code{a1}
1536 y @code{ap} es entero negativo (caso polinomial), entonces @code{hypergeometric}
1537 devuelve un polinomio expandido.
1539 Ejemplos:
1540 @example
1541 (%i1) hypergeometric([],[],x);
1542 (%o1) %e^x
1543 @end example
1545 Los polinomios se expanden automáticamente cuando @code{expand_hypergeometric}
1546 vale @code{true}.
1548 @example
1549 (%i2) hypergeometric([-3],[7],x);
1550 (%o2) hypergeometric([-3],[7],x)
1552 (%i3) hypergeometric([-3],[7],x), expand_hypergeometric : true;
1553 (%o3) -x^3/504+3*x^2/56-3*x/7+1
1554 @end example
1556 Se soporta la evaluación en doble (float) y gran (bigfloat) precisión:
1558 @example
1559 (%i4) hypergeometric([5.1],[7.1 + %i],0.42);
1560 (%o4) 1.346250786375334 - 0.0559061414208204 %i
1561 (%i5) hypergeometric([5,6],[8], 5.7 - %i);
1562 (%o5) .007375824009774946 - .001049813688578674 %i
1563 (%i6) hypergeometric([5,6],[8], 5.7b0 - %i), fpprec : 30;
1564 (%o6) 7.37582400977494674506442010824b-3
1565 - 1.04981368857867315858055393376b-3 %i
1566 @end example
1567 @end deffn
1577 @node Funciones de cilindro parabólico, Funciones y variables para las funciones especiales, Funciones hipergeométricas, Funciones Especiales
1578 @section Funciones de cilindro parabólico
1580 Las funciones de cilindro parabólico se definen en el capítulo
1581 19 de Abramowitz y Stegun, @i{Handbook of Mathematical Functions}.
1583 Maxima tiene un soporte limitado sobre estas funciones, que pueden
1584 aparecer en resultados devueltos por @code{hgfred}.
1586 @deffn {Función} parabolic_cylinder_d (@var{v}, @var{z})
1587 Función de cilindro parabólico @code{parabolic_cylinder_d(v,z)}. (A&s 19.3.1)
1588 @end deffn
1600 @node Funciones y variables para las funciones especiales, , Funciones de cilindro parabólico, Funciones Especiales
1601 @section Funciones y variables para las funciones especiales
1604 @deffn {Función} specint (exp(- s*@var{t}) * @var{expr}, @var{t})
1606 Calcula la transformada de Laplace de @var{expr} respecto de
1607 la variable @var{t}. El integrando @var{expr} puede contener
1608 funciones especiales.
1610 La función @code{specint} admite las funciones especiales siguientes:
1611 la gamma incompleta, las funciones de error (pero no @code{erfi}, siendo
1612 sencillo transformar @code{erfi} en la función de error @code{erf}),
1613 integrales exponenciales, funciones de Bessel (incluidos productos de
1614 funciones de Bessel), funciones de Hankel, de Hermite y los polinomios de
1615 Laguerre.
1617 Además, @code{specint} también admite la función hipergeométrica
1618 @code{%f[p,q]([],[],z)}, la función de Whittaker de primera especie
1619 @code{%m[u,k](z)} y la de segunda especie @code{%w[u,k](z)}.
1621 El resultado puede darse en términos de funciones especiales y es
1622 posible que incluya también funciones hipergeométricas sin
1623 simplificar.
1625 Cuando @code{laplace} es incapaz de calcular la transformada de Laplace,
1626 entonces llama a la función @code{specint}. Puesto que @code{laplace}
1627 tiene programadas más reglas para calcular transformadas de Laplace,
1628 es preferible utilizar @code{laplace} en lugar de @code{specint}.
1630 La ejecución de @code{demo(hypgeo)} muestra algunos ejemplos de
1631 transformadas de Laplace calculadas con @code{specint}.
1633 Ejemplos:
1634 @c ===beg===
1635 @c assume (p > 0, a > 0)$
1636 @c specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
1637 @c specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
1638 @c * exp(-p*t), t);
1639 @c ===end===
1641 @example
1642 (%i1) assume (p > 0, a > 0)$
1643 (%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
1644 sqrt(%pi)
1645 (%o2) ------------
1646 a 3/2
1647 2 (p + -)
1648 4
1649 (%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
1650 * exp(-p*t), t);
1651 - a/p
1652 sqrt(a) %e
1653 (%o3) ---------------
1654 2
1655 p
1656 @end example
1658 Ejemplos para integrales exponenciales:
1660 @example
1661 (%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$
1662 (%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t)
1663 *(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t));
1664 log(s)
1665 (%o5) ------
1666 s - a
1667 (%i6) logarc:true$
1669 (%i7) gamma_expand:true$
1671 radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t)
1672 -sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t));
1673 log(s)
1674 (%o8) ------
1675 2
1676 s + 1
1677 ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t)
1678 -2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t));
1679 2 2
1680 log(s + a )
1681 (%o9) ------------
1682 2
1683 s
1684 @end example
1686 Resultados cuando se utiliza la expansión de @code{gamma_incomplete}
1687 y se cambia la representación de @code{expintegral_e1}:
1689 @example
1690 (%i10) assume(s>0)$
1691 (%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1692 1
1693 gamma_incomplete(-, k s)
1694 2
1695 (%o11) ------------------------
1696 sqrt(%pi) sqrt(s)
1698 (%i12) gamma_expand:true$
1699 (%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1700 erfc(sqrt(k) sqrt(s))
1701 (%o13) ---------------------
1702 sqrt(s)
1704 (%i14) expintrep:expintegral_e1$
1705 (%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t));
1706 a s
1707 a s %e expintegral_e1(a s) - 1
1708 (%o15) - ---------------------------------
1709 a
1710 @end example
1711 @end deffn
1714 @deffn {Función} hgfred (@var{a}, @var{b}, @var{t})
1716 Simplifica la función hipergeométrica generalizada en términos
1717 de otras funciones más sencillas. @var{a} es una lista de parámetros
1718 del numerador y @var{b} lo es de parámetros del denominador.
1720 En caso de que @code{hgfred} no pueda simplificar la función hipergeométrica
1721 devolverá una expresión de la forma @code{%f[p,q]([a], [b], x)}, siendo @var{p}
1722 el número de elementos de @var{a} y @var{q} el de @var{b}. Esta es la
1723 función hipergeométrica generalizada @code{pFq}.
1725 @example
1726 (%i1) assume(not(equal(z,0)));
1727 (%o1) [notequal(z, 0)]
1728 (%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z);
1730 v/2 %i z
1731 4 bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e
1732 (%o2) ---------------------------------------
1733 v
1734 z
1735 (%i3) hgfred([1,1],[2],z);
1737 log(1 - z)
1738 (%o3) - ----------
1739 z
1740 (%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2);
1742 1 - 2 a 1 - 2 a
1743 (z + 1) - (1 - z)
1744 (%o4) -------------------------------
1745 2 (1 - 2 a) z
1747 @end example
1749 Tal como muestra el siguiente ejemplo, puede ser de utilidad cargar
1750 también el paquete @code{orthopoly}. Nótese que @var{L} es el
1751 polinomio generalizado de Laguerre.
1753 @example
1754 (%i5) load("orthopoly")$
1755 (%i6) hgfred([-2],[a],z);
1757 (a - 1)
1758 2 L (z)
1759 2
1760 (%o6) -------------
1761 a (a + 1)
1762 (%i7) ev(%);
1764 2
1765 z 2 z
1766 (%o7) --------- - --- + 1
1767 a (a + 1) a
1769 @end example
1771 @end deffn
1774 @deffn {Función} lambert_w (@var{z})
1775 Rama principal de la función W de Lambert, solución de
1776 la ecuación @code{z = W(z) * exp(W(z))}. (DLMF 4.13)
1777 @end deffn
1779 @deffn {Función} generalized_lambert_w (@var{k}, @var{z})
1780 @var{k}-ésima rama de la función W de Lambert's, W(z), solución de
1781 @code{z = W(z) * exp(W(z))}. (DLMF 4.13)
1783 La rama principal, representada por Wp(z) en DLMF, es @code{lambert_w(z) = generalized_lambert_w(0,z)}.
1785 La otra rama con valores reales, representada por Wm(z) en DLMF, es @code{generalized_lambert_w(-1,z)}.
1786 @end deffn
1788 @deffn {Función} nzeta (@var{z})
1789 Función de dispersión del plasma.
1790 @code{nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z))}
1791 @end deffn
1793 @deffn {Función} nzetar (@var{z})
1794 Devuelve @code{realpart(nzeta(z))}.
1795 @end deffn
1797 @deffn {Función} nzetai (@var{z})
1798 Devuelve @code{imagpart(nzeta(z))}.
1799 @end deffn