doc/info/es/romberg.texi

   1 @c English version: 2008-03-28
   2 @menu
   3 * Funciones y variables para romberg::
   4 @end menu
   5
   6 @node Funciones y variables para romberg, , Top, Top
   7 @section Funciones y variables para romberg
   8
   9 @deffn {Función} romberg (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
  10 @deffnx {Función} romberg (@var{F}, @var{a}, @var{b})
  11
  12 Integra numéricamente por el método de Romberg.
  13
  14 La llamada @code{romberg(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}
  15 devuelve una estimación de la integral @code{integrate(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}.
  16 El argumento @var{expr} debe ser una expresión reducible a un valor decimal
  17 en coma flotante cuando @var{x} es a su vez un número decimal.
  18
  19 La llamada @code{romberg(@var{F}, @var{a}, @var{b})} devuelve una estimación
  20 de la integral @code{integrate(@var{F}(x), x, @var{a}, @var{b})}, siendo
  21 @code{x} el único argumento de @var{F}. El argumento @var{F} debe ser
  22 una función en Lisp o en Maxima que devuelva un valor decimal
  23 en coma flotante cuando @var{x} es a su vez un número decimal; @var{F}
  24 puede ser el nombre de una función de Maxima traducida o compilada.
  25
  26 La exactitud de @code{romberg} se controla con las variables globales
  27 @code{rombergabs} y @code{rombergtol}. La función @code{romberg}
  28 termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre
  29 sucesivas aproximaciones es menor que @code{rombergabs},
  30 o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que
  31 @code{rombergtol}. Así, cuando @code{rombergabs} vale 0.0
  32 (su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado
  33 en @code{romberg}.
  34
  35 La función @code{romberg} reduce a mitades sucesivas la amplitud del paso un máximo de
  36 @code{rombergit} veces antes de abandonar el cómputo; el número máximo de
  37 evaluaciones del integrando es, por consiguiente, igual a @code{2^rombergit}.
  38 De no satisfacerse el criterio de error establecido por @code{rombergabs} y
  39 @code{rombergtol},  @code{romberg} devuelve un mensaje de error.
  40 La función @code{romberg} hace siempre al menos @code{rombergmin}
  41 iteraciones; se trata de una heurística para evitar
  42 la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.
  43
  44 La función @code{romberg} evalúa el integrando repetidamente tras asignarle
  45 a la variable de integración un valor específico. Este criterio
  46 permite anidar llamadas a @code{romberg} para calcular integrales múltiples.
  47 Sin embargo, los errores de cálculo no tienen en cuenta los errores de
  48 las integraciones anidadas, por lo que tales errores pueden subestimarse.
  49 Por otro lado, métodos especialmente desarrollados para integraciones
  50 múltiples pueden dar la misma exactitud con menos evaluaciones
  51 del integrando.
  52
  53 Para hacer uso de esta función ejecútese primero @code{load("romberg")}.
  54
  55 Véase también @code{QUADPACK}, un conjunto de funciones para
  56 integración numérica.
  57
  58 Ejemplos:
  59
  60 Una integración unidimensional.
  61 @c ===beg===
  62 @c load ("romberg");
  63 @c f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
  64 @c             + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  65 @c rombergtol : 1e-6;
  66 @c rombergit : 15;
  67 @c estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  68 @c exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  69 @c abs (estimate - exact) / exact, numer;
  70 @c ===end===
  71
  72 @example
  73 (%i1) load ("romberg");
  74 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
  75 (%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
  76                 + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  77                     1                 1                1
  78 (%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
  79                      2    1           2    1            2    1
  80               (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
  81                          100              1000              200
  82 (%i3) rombergtol : 1e-6;
  83 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
  84 (%i4) rombergit : 15;
  85 (%o4)                          15
  86 (%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  87 (%o5)                   173.6730736617464
  88 (%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  89 (%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
  90  + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
  91  + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
  92 (%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
  93 (%o7)                7.5527060865060088E-11
  94 @end example
  95
  96 Una integración bidimensional, implementada mediante llamadas anidadas a @code{romberg}.
  97 @c ===beg===
  98 @c load ("romberg");
  99 @c g(x, y) := x*y / (x + y);
 100 @c rombergtol : 1e-6;
 101 @c estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 102 @c assume (x > 0);
 103 @c integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 104 @c exact : radcan (%);
 105 @c abs (estimate - exact) / exact, numer;
 106 @c ===end===
 107
 108 @example
 109 (%i1) load ("romberg");
 110 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
 111 (%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
 112                                     x y
 113 (%o2)                   g(x, y) := -----
 114                                    x + y
 115 (%i3) rombergtol : 1e-6;
 116 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
 117 (%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 118 (%o4)                   0.81930239628356
 119 (%i5) assume (x > 0);
 120 (%o5)                        [x > 0]
 121 (%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 122                                           3
 123                                     2 log(-) - 1
 124                     9                     2        9
 125 (%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
 126                     2                    6         2
 127 (%i7) exact : radcan (%);
 128                     26 log(3) - 26 log(2) - 13
 129 (%o7)             - --------------------------
 130                                 3
 131 (%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
 132 (%o8)                1.3711979871851024E-10
 133 @end example
 134
 135 @end deffn
 136
 137 @defvr {Variable opcional} rombergabs
 138 Valor por defecto: 0.0
 139
 140 La exactitud de @code{romberg} se controla con las variables globales
 141 @code{rombergabs} y @code{rombergtol}. La función @code{romberg}
 142 termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre
 143 sucesivas aproximaciones es menor que @code{rombergabs},
 144 o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que
 145 @code{rombergtol}. Así, cuando @code{rombergabs} vale 0.0
 146 (su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado
 147 en @code{romberg}.
 148
 149 Véanse también @code{rombergit} y @code{rombergmin}.
 150
 151 @end defvr
 152
 153 @defvr {Variable opcional} rombergit
 154 Valor por defecto: 11
 155
 156 La función @code{romberg} reduce a mitades sucesivas la amplitud del paso un máximo de
 157 @code{rombergit} veces antes de abandonar el cómputo; el número máximo de
 158 evaluaciones del integrando es, por consiguiente, igual a @code{2^rombergit}.
 159 La función @code{romberg} hace siempre al menos @code{rombergmin}
 160 iteraciones; se trata de una heurística para evitar
 161 la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.
 162
 163
 164 Véanse también @code{rombergabs} y @code{rombergtol}.
 165
 166 @end defvr
 167
 168 @defvr {Variable opcional} rombergmin
 169 Valor por defecto: 0
 170
 171 La función @code{romberg} hace siempre al menos @code{rombergmin}
 172 iteraciones; se trata de una heurística para evitar
 173 la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.
 174
 175 Véanse también @code{rombergit}, @code{rombergabs} y @code{rombergtol}.
 176
 177 @end defvr
 178
 179 @defvr {Variable opcional} rombergtol
 180 Valor por defecto: 1e-4
 181
 182 La exactitud de @code{romberg} se controla con las variables globales
 183 @code{rombergabs} y @code{rombergtol}. La función @code{romberg}
 184 termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre
 185 sucesivas aproximaciones es menor que @code{rombergabs},
 186 o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que
 187 @code{rombergtol}. Así, cuando @code{rombergabs} vale 0.0
 188 (su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado
 189 en @code{romberg}.
 190
 191 Véanse también @code{rombergit} y @code{rombergmin}.
 192
 193 @end defvr
 194
 195