doc/info/ru/Differential.texi

   1 @c Language=Russian
   2 @c Encoding=UTF-8
   3 @c File=Differential.texi
   4 @c OriginalRevision=1.13
   5 @c TranslatedBy: (c) 2007-09-05 Alexey V. Beshenov <al@beshenov.ru>
   6
   7 @menu
   8 * Дифференциальные уравнения в Maxima::
   9 * Функции и переменные для дифференциальных уравнений::
  10 @end menu
  11
  12 @node Дифференциальные уравнения в Maxima, Функции и переменные для дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения, Дифференциальные уравнения
  13
  14 @section Дифференциальные уравнения в Maxima
  15
  16 Этот раздел описывает функции Maxima для аналитического решения некоторых
  17 типов дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Для получения
  18 численного решения системы дифференциальных уравнений используйте дополнительный
  19 пакет @code{dynamics}, для графического представления в фазовом пространстве -
  20 пакет @code{plotdf}.
  21
  22 @node Функции и переменные для дифференциальных уравнений,  , Дифференциальные уравнения в Maxima, Дифференциальные уравнения
  23
  24 @section Функции и переменные для дифференциальных уравнений
  25
  26 @deffn {Функция} bc2 (@var{solution}, @var{xval1}, @var{yval1}, @var{xval2}, @var{yval2})
  27
  28 Решает краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.
  29 Здесь @var{solution} - общее решение уравнения, полученное @code{ode2}; @var{xval1}
  30 задает значение независимой переменной в начальной точке в виде
  31 @code{@var{x} = @var{x1}} и @var{yval1} задает значение зависимой переменной
  32 в этой точке в виде @code{@var{y} = @var{y1}}. Выражения @var{xval2} и @var{yval2}
  33 определяют значения для этих переменных во второй точке, используя ту же запись.
  34
  35 Пример использования см. в @code{ode2}.
  36
  37 @opencatbox{Категории:}
  38 @category{Дифференциальные уравнения}
  39 @closecatbox
  40 @end deffn
  41
  42
  43 @anchor{desolve}
  44 @deffn {Функция} desolve (@var{eqn}, @var{x})
  45 @deffnx {Функция} desolve ([@var{eqn_1}, ..., @var{eqn_n}], [@var{x_1}, ..., @var{x_n}])
  46 Функция @code{desolve} решает линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
  47 при помощи преобразования Лапласа. Здесь @var{eqn} - дифференциальные уравнения со
  48 связанными переменными @var{x_1}, ..., @var{x_n}. Функциональная зависимость между
  49 @var{x_1}, ..., @var{x_n} или от независимой переменной, например, @var{x},
  50 должна явно задаваться в переменных и их производных. Например, следующее определение
  51 двух уравнений неверно:
  52
  53 @example
  54 eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x);
  55 eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
  56 @end example
  57
  58 Правильная запись -
  59
  60 @example
  61 eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
  62 eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
  63 @end example
  64
  65 Тогда вызов функции @code{desolve} будет иметь вид
  66 @example
  67 desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
  68 @end example
  69
  70 Если известны начальные условия в @code{x=0}, то при помощи @code{atvalue} их можно
  71 дополнительно определить до вызова @code{desolve}.
  72
  73 @c ===beg===
  74 @c 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
  75 @c 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
  76 @c atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
  77 @c atvalue(f(x),x=0,1);
  78 @c desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
  79 @c [%o1,%o2],%o5,diff;
  80 @c ===end===
  81 @example
  82 (%i1) @b{@t{'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);}}
  83                  d           d
  84 (%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
  85                  dx          dx
  86 (%i2) @b{@t{'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);}}
  87                   2
  88                  d            d
  89 (%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
  90                    2          dx
  91                  dx
  92 (%i3) @b{@t{atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);}}
  93 (%o3)                           a
  94 (%i4) @b{@t{atvalue(f(x),x=0,1);}}
  95 (%o4)                           1
  96 (%i5) @b{@t{desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);}}
  97                   x
  98 (%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) =
  99
 100                                                 x
 101                                    cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
 102 (%i6) @b{@t{[%o1,%o2],%o5,diff;}}
 103              x       x      x                x
 104 (%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]
 105
 106 @end example
 107
 108 Если @code{desolve} не может получить решение, возвращается @code{false}.
 109
 110 @opencatbox{Категории:}
 111 @category{Дифференциальные уравнения}
 112 @category{Преобразование Лапласа}
 113 @closecatbox
 114 @end deffn
 115
 116 @deffn {Функция} ic1 (@var{solution}, @var{xval}, @var{yval})
 117
 118 Решает задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений
 119 первого порядка. Здесь @var{solution} - общее решение уравнения, полученное
 120 @code{ode2}; @var{xval} задает начальное значение независимой переменной
 121 в виде @code{@var{x} = @var{x0}}, и @var{yval} задает начальное значение зависимой
 122 переменной в виде @code{@var{y} = @var{y0}}.
 123
 124 Пример использования см. в @code{ode2}.
 125
 126 @opencatbox{Категории:}
 127 @category{Дифференциальные уравнения}
 128 @closecatbox
 129 @end deffn
 130
 131 @deffn {Функция} ic2 (@var{solution}, @var{xval}, @var{yval}, @var{dval})
 132
 133 Решает задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений
 134 второго порядка. Здесь @var{solution} - общее решение уравнения, полученное
 135 @code{ode2}; @var{xval} задает начальное значение независимой переменной
 136 в виде @code{@var{x} = @var{x0}}, @var{yval} задает начальное значение зависимой
 137 переменной в виде @code{@var{y} = @var{y0}}, и @var{dval} задает начальное значение
 138 для первой производной зависимой переменной по независимой в виде
 139 @code{diff(@var{y},@var{x}) = @var{dy0}} (перед @code{diff} не нужно ставить кавычку).
 140
 141 Пример использования см. в @code{ode2}.
 142
 143 @opencatbox{Категории:}
 144 @category{Дифференциальные уравнения}
 145 @closecatbox
 146 @end deffn
 147
 148 @anchor{ode2}
 149 @deffn {Функция} ode2 (@var{eqn}, @var{dvar}, @var{ivar})
 150
 151 Функция @code{ode2} решает обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
 152 первого или второго порядка. Она принимает три аргумента: ОДУ @var{eqn},
 153 зависимую переменную @var{dvar} и независимую переменную @var{ivar}.
 154 При удачном результате возвращается явное или неявное решение относительно
 155 зависимой переменной. @code{%c} используется для представления константы
 156 интегрирования в случае уравнений первого порядка; @code{%k1} и @code{%k2} -
 157 константы в решениях уравнений второго порядка. Зависимость зависимой
 158 переменной от независимой не требуется указывать явно, как в случае с
 159 @code{desolve}, но независимая переменная должна всегда указываться в
 160 качестве третьего аргумента.
 161
 162 Если по каким-то причинам @code{ode2} не может получить решение, возвращается
 163 @code{false}, и, возможно, печатается сообщение об ошибке. Методы
 164 решения уравнений первого порядка (в том порядке, в каком Maxima пытается
 165 их применять): линейный, разделение переменных, явный - возможно, используется
 166 интегрирующий множитель, однородное уравнение, уравнение Бернулли и обобщенный
 167 однородный метод.
 168
 169 Типы решаемых уравнений второго порядка:
 170 уравнение с постоянными коэффициентами, явное, линейное однородное с непостоянными
 171 коэффициентами, преобразующимися к постоянным, уравнение Эйлера (или равноразмерное),
 172 уравнения, решаемые методом вариации переменных, а также уравнения без независимой
 173 или зависимой переменной, сводимые для последующего решения к линейным уравнениям
 174 первого порядка.
 175
 176 В ходе решения ОДУ чисто для справки устанавливается несколько переменных:
 177 @code{method} указывает на использованный метод решения (например, @code{linear}),
 178 @code{intfactor} - использованный интегрирующий множитель, @code{odeindex} -
 179 коэффициент, примененный в методе Бернулли или обобщенном однородном методе, а
 180 @code{yp} - частное решение для метода вариации переменных.
 181
 182 Для решения задач с начальными условиями для уравнений первого и второго
 183 порядка доступны функции @code{ic1} и @code{ic2}, а для решения краевых задач
 184 может использоваться функция @code{bc2}.
 185
 186 Пример:
 187
 188 @c ===beg===
 189 @c x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
 190 @c ode2(%,y,x);
 191 @c ic1(%o2,x=%pi,y=0);
 192 @c 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
 193 @c ode2(%,y,x);
 194 @c ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
 195 @c bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
 196 @c ===end===
 197 @example
 198 (%i1) @b{@t{x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;}}
 199                       2 dy           sin(x)
 200 (%o1)                x  -- + 3 x y = ------
 201                         dx             x
 202 (%i2) @b{@t{ode2(%,y,x);}}
 203                              %c - cos(x)
 204 (%o2)                    y = -----------
 205                                   3
 206                                  x
 207 (%i3) @b{@t{ic1(%o2,x=%pi,y=0);}}
 208                               cos(x) + 1
 209 (%o3)                   y = - ----------
 210                                    3
 211                                   x
 212 (%i4) @b{@t{'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;}}
 213                          2
 214                         d y      dy 3
 215 (%o4)                   --- + y (--)  = 0
 216                           2      dx
 217                         dx
 218 (%i5) @b{@t{ode2(%,y,x);}}
 219                       3
 220                      y  + 6 %k1 y
 221 (%o5)                ------------ = x + %k2
 222                           6
 223 (%i6) @b{@t{ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));}}
 224                              3
 225                           2 y  - 3 y
 226 (%o6)                   - ---------- = x
 227                               6
 228 (%i7) @b{@t{bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);}}
 229                          3
 230                         y  - 10 y       3
 231 (%o7)                   --------- = x - -
 232                             6           2
 233
 234 @end example
 235
 236 @opencatbox{Категории:}
 237 @category{Дифференциальные уравнения}
 238 @closecatbox
 239 @end deffn