doc/info/es/Elliptic.es.texi

   1 @c English version 2008-04-24
   2 @menu
   3 * Introducción a las funciones e integrales elípticas::
   4 * Funciones y variables para funciones elípticas::
   5 * Funciones y variables para integrales elípticas::
   6 @end menu
   7
   8
   9 @node Introducción a las funciones e integrales elípticas, Funciones y variables para funciones elípticas, Funciones elípticas, Funciones elípticas
  10 @comment  node-name,  next,  previous,  up
  11
  12 @section Introducción a las funciones e integrales elípticas
  13
  14 Maxima da soporte para las funciones elípticas jacobianas y para las integrales elípticas completas e incompletas.  Esto incluye la manipulación simbólica de estas funciones y su evaluación numérica. Las definiciones de estas funciones y de muchas de sus propiedades se pueden encontrar en Abramowitz y Stegun, capítulos 16--17, que es la fuente principal utilizada para su programación en Maxima, aunque existen algunas diferencias.
  15
  16 En particular, todas las funciones e integrales elípticas utilizan el parámero @math{m} en lugar del módulo @math{k} o del ángulo @math{alfa}. Esta es una de las diferencias con Abramowitz y Stegun, que utilizan el ángulo para las funciones elípticas. Las siguientes relaciones son válidas:
  17
  18 @ifhtml
  19 @math{m = k^2} y @math{k = sin(alfa)}.
  20 @end ifhtml
  21 @ifinfo
  22 @math{m = k^2} y @math{k = sin(alfa)}.
  23 @end ifinfo
  24 @tex
  25 $$m = k^2$$ y $$k = \sin\alpha $$
  26 @end tex
  27
  28 Las funciones e integrales elípticas en Maxima tienen como objetivo primordial dar soporte al cálculo simbólico, de ahí que también estén incluidas la mayoría de las derivadas e integrales asociadas a estas funciones. No obstante lo anterior, si los argumentos dados a las funciones son decimales en coma flotante, los resultados también serán decimales.
  29
  30 Sin embargo, la mayoría de las propiedades no realacionadas con las derivadas de las funciones e integrales elípticas  todavía no han sido programadas en Maxima.
  31
  32 Algunos ejemplos de funciones elípticas:
  33 @c ===beg===
  34 @c jacobi_sn (u, m);
  35 @c jacobi_sn (u, 1);
  36 @c jacobi_sn (u, 0);
  37 @c diff (jacobi_sn (u, m), u);
  38 @c diff (jacobi_sn (u, m), m);
  39 @c ===end===
  40 @example
  41 (%i1) jacobi_sn (u, m);
  42 (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
  43 (%i2) jacobi_sn (u, 1);
  44 (%o2)                        tanh(u)
  45 (%i3) jacobi_sn (u, 0);
  46 (%o3)                        sin(u)
  47 (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
  48 (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
  49 (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
  50 (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
  51
  52       elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
  53  (u - ------------------------------------)/(2 m)
  54                      1 - m
  55
  56             2
  57    jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
  58  + --------------------------------
  59               2 (1 - m)
  60 @end example
  61
  62 Algunos ejemplos de integrales elípticas:
  63 @c ===beg===
  64 @c elliptic_f (phi, m);
  65 @c elliptic_f (phi, 0);
  66 @c elliptic_f (phi, 1);
  67 @c elliptic_e (phi, 1);
  68 @c elliptic_e (phi, 0);
  69 @c elliptic_kc (1/2);
  70 @c makegamma (%);
  71 @c diff (elliptic_f (phi, m), phi);
  72 @c diff (elliptic_f (phi, m), m);
  73 @c ===end===
  74 @example
  75 (%i1) elliptic_f (phi, m);
  76 (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
  77 (%i2) elliptic_f (phi, 0);
  78 (%o2)                          phi
  79 (%i3) elliptic_f (phi, 1);
  80                                phi   %pi
  81 (%o3)                  log(tan(--- + ---))
  82                                 2     4
  83 (%i4) elliptic_e (phi, 1);
  84 (%o4)                       sin(phi)
  85 (%i5) elliptic_e (phi, 0);
  86 (%o5)                          phi
  87 (%i6) elliptic_kc (1/2);
  88                                      1
  89 (%o6)                    elliptic_kc(-)
  90                                      2
  91 (%i7) makegamma (%);
  92                                  2 1
  93                             gamma (-)
  94                                    4
  95 (%o7)                      -----------
  96                            4 sqrt(%pi)
  97 (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
  98                                 1
  99 (%o8)                 ---------------------
 100                                     2
 101                       sqrt(1 - m sin (phi))
 102 (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
 103        elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
 104 (%o9) (-----------------------------------------------
 105                               m
 106
 107                                  cos(phi) sin(phi)
 108                              - ---------------------)/(2 (1 - m))
 109                                              2
 110                                sqrt(1 - m sin (phi))
 111 @end example
 112
 113 El paquete para funciones e integrales elípticas fue programado por Raymond Toy. Se distribuye, igual que Maxima, bajo la General Public License (GPL).
 114
 115 @node Funciones y variables para funciones elípticas, Funciones y variables para integrales elípticas, Introducción a las funciones e integrales elípticas, Funciones elípticas
 116 @comment  node-name,  next,  previous,  up
 117
 118 @section Funciones y variables para funciones elípticas
 119
 120 @deffn {Función} jacobi_sn (@var{u}, @var{m})
 121 Función elíptica jacobiana @math{sn(u,m)}.
 122 @end deffn
 123
 124 @deffn {Función} jacobi_cn (@var{u}, @var{m})
 125 Función elíptica jacobiana @math{cn(u,m)}.
 126 @end deffn
 127
 128 @deffn {Función} jacobi_dn (@var{u}, @var{m})
 129 Función elíptica jacobiana @math{dn(u,m)}.
 130 @end deffn
 131
 132 @deffn {Función} jacobi_ns (@var{u}, @var{m})
 133 Función elíptica jacobiana @math{ns(u,m) = 1/sn(u,m)}.
 134 @end deffn
 135
 136 @deffn {Función} jacobi_sc (@var{u}, @var{m})
 137 Función elíptica jacobiana @math{sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m)}.
 138 @end deffn
 139
 140 @deffn {Función} jacobi_sd (@var{u}, @var{m})
 141 Función elíptica jacobiana @math{sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m)}.
 142 @end deffn
 143
 144 @deffn {Función} jacobi_nc (@var{u}, @var{m})
 145 Función elíptica jacobiana @math{nc(u,m) = 1/cn(u,m)}.
 146 @end deffn
 147
 148 @deffn {Función} jacobi_cs (@var{u}, @var{m})
 149 Función elíptica jacobiana @math{cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m)}.
 150 @end deffn
 151
 152 @deffn {Función} jacobi_cd (@var{u}, @var{m})
 153 Función elíptica jacobiana @math{cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m)}.
 154 @end deffn
 155
 156 @deffn {Función} jacobi_nd (@var{u}, @var{m})
 157 Función elíptica jacobiana @math{nc(u,m) = 1/cn(u,m)}.
 158 @end deffn
 159
 160 @deffn {Función} jacobi_ds (@var{u}, @var{m})
 161 Función elíptica jacobiana @math{ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m)}.
 162 @end deffn
 163
 164 @deffn {Función} jacobi_dc (@var{u}, @var{m})
 165 Función elíptica jacobiana @math{dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m)}.
 166 @end deffn
 167
 168 @deffn {Función} inverse_jacobi_sn (@var{u}, @var{m})
 169 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{sn(u,m)}.
 170 @end deffn
 171
 172 @deffn {Función} inverse_jacobi_cn (@var{u}, @var{m})
 173 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{cn(u,m)}.
 174 @end deffn
 175
 176 @deffn {Función} inverse_jacobi_dn (@var{u}, @var{m})
 177 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{dn(u,m)}.
 178 @end deffn
 179
 180 @deffn {Función} inverse_jacobi_ns (@var{u}, @var{m})
 181 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{ns(u,m)}.
 182 @end deffn
 183
 184 @deffn {Función} inverse_jacobi_sc (@var{u}, @var{m})
 185 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{sc(u,m)}.
 186 @end deffn
 187
 188 @deffn {Función} inverse_jacobi_sd (@var{u}, @var{m})
 189 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{sd(u,m)}.
 190 @end deffn
 191
 192 @deffn {Función} inverse_jacobi_nc (@var{u}, @var{m})
 193 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{nc(u,m)}.
 194 @end deffn
 195
 196 @deffn {Función} inverse_jacobi_cs (@var{u}, @var{m})
 197 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{cs(u,m)}.
 198 @end deffn
 199
 200 @deffn {Función} inverse_jacobi_cd (@var{u}, @var{m})
 201 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{cd(u,m)}.
 202 @end deffn
 203
 204 @deffn {Función} inverse_jacobi_nd (@var{u}, @var{m})
 205 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{nc(u,m)}.
 206 @end deffn
 207
 208 @deffn {Función} inverse_jacobi_ds (@var{u}, @var{m})
 209 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{ds(u,m)}.
 210 @end deffn
 211
 212 @deffn {Función} inverse_jacobi_dc (@var{u}, @var{m})
 213 Inversa de la función elíptica jacobiana @math{dc(u,m)}.
 214 @end deffn
 215
 216
 217 @node Funciones y variables para integrales elípticas, , Funciones y variables para funciones elípticas, Funciones elípticas
 218 @comment  node-name,  next,  previous,  up
 219
 220 @section Funciones y variables para integrales elípticas
 221
 222
 223 @deffn {Función} elliptic_f (@var{phi}, @var{m})
 224 Integral elíptica incompleta de primera especie, definida como
 225
 226 @ifhtml
 227 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 228 @end ifhtml
 229 @ifinfo
 230 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 231 @end ifinfo
 232
 233 @tex
 234 $$\int_0^\phi {{d\theta}\over{\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 235 @end tex
 236
 237 Véanse también @code{elliptic_e} y @code{elliptic_kc}.
 238
 239 @end deffn
 240
 241
 242 @deffn {Función} elliptic_e (@var{phi}, @var{m})
 243 Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como
 244
 245 @ifhtml
 246 @math{elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 247 @end ifhtml
 248 @ifinfo
 249 @math{elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 250 @end ifinfo
 251 @tex
 252 $$\int_0^\phi \sqrt{1 - m\sin^2\theta} d\theta$$
 253 @end tex
 254
 255 Véanse también @code{elliptic_e} y @code{elliptic_ec}.
 256
 257 @end deffn
 258
 259
 260 @deffn {Función} elliptic_eu (@var{u}, @var{m})
 261 Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como
 262
 263 @ifhtml
 264 @math{integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)}
 265
 266 donde @math{tau = sn(u,m)}.
 267 @end ifhtml
 268 @ifinfo
 269 @math{integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)}
 270
 271 donde @math{tau = sn(u,m)}.
 272 @end ifinfo
 273 @tex
 274 $$\int_0^u {\rm dn}(v, m)^2 dv  = \int_0^\tau \sqrt{{1-m t^2}\over{1-t^2}} dt$$
 275
 276 donde $\tau = {\rm sn}(u, m)$.
 277 @end tex
 278
 279 Esto se relaciona con @code{elliptic_e} mediante
 280
 281 @ifhtml
 282 @math{elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)}
 283 @end ifhtml
 284 @ifinfo
 285 @math{elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)}
 286 @end ifinfo
 287 @tex
 288 $$E(u,m) = E(\phi, m)$$
 289
 290 donde $\phi = \sin^{-1} {\rm sn}(u, m)$.
 291 @end tex
 292
 293 Véase también @code{elliptic_e}.
 294 @end deffn
 295
 296 @deffn {Función} elliptic_pi (@var{n}, @var{phi}, @var{m})
 297 Integral elíptica incompleta de tercera especie, definida como
 298
 299 @ifhtml
 300 @math{integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 301 @end ifhtml
 302 @ifinfo
 303 @math{integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 304 @end ifinfo
 305 @tex
 306 $$\int_0^\phi {{d\theta}\over{(1-n\sin^2 \theta)\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 307 @end tex
 308
 309 Maxima sólo conoce la derivada respecto de @math{phi}.
 310 @end deffn
 311
 312
 313 @deffn {Función} elliptic_kc (@var{m})
 314 Integral elíptica completa de primera especie, definida como
 315
 316 @ifhtml
 317 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 318 @end ifhtml
 319 @ifinfo
 320 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 321 @end ifinfo
 322
 323 @tex
 324 $$\int_0^{{\pi}\over{2}} {{d\theta}\over{\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 325 @end tex
 326
 327 Para algunos valores de @math{m}, se conoce el valor de la integral en términos de la función @math{Gamma}. Hágase uso de @code{makegamma} para realizar su cálculo.
 328 @end deffn
 329
 330
 331 @deffn {Función} elliptic_ec (@var{m})
 332 Integral elíptica completa de segunda especie, definida como
 333
 334 @ifhtml
 335 @math{integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 336 @end ifhtml
 337 @ifinfo
 338 @math{integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 339 @end ifinfo
 340
 341 @tex
 342 $$\int_0^{{\pi}\over{2}} \sqrt{1 - m\sin^2\theta} d\theta$$
 343 @end tex
 344 Para algunos valores de @math{m}, se conoce el valor de la integral en términos de la función @math{Gamma}. Hágase uso de @code{makegamma} para realizar su cálculo.
 345 @end deffn
 346
 347