doc/info/es/contrib_ode.texi

   1 @c English version: 2013-08-03
   2 @menu
   3 * Introducción a contrib_ode::
   4 * Funciones y variables para contrib_ode::
   5 * Posibles mejoras a contrib_ode::
   6 * Pruebas realizadas con contrib_ode::
   7 * Referencias para contrib_ode::
   8 @end menu
   9
  10 @node Introducción a contrib_ode, Funciones y variables para contrib_ode, contrib_ode, contrib_ode
  11
  12 @section Introducción a contrib_ode
  13
  14 La función @code{ode2} de Maxima resuelve ecuaciones diferenciales
  15 ordinarias (EDO) simples de primer y segundo orden. La función
  16 @code{contrib_ode} extiende las posibilidades de @code{ode2}
  17 con métodos adicionales para ODEs lineales y no lineales de
  18 primer orden y homogéneas lineales de segundo orden.
  19 El código se encuentra en estado de desarrollo y la
  20 syntaxis puede cambiar en futuras versiones. Una vez el código
  21 se haya estabilizado podrá pasar a integrarse dentro de
  22 Maxima.
  23
  24 El paquete debe cargarse con la instrucción @code{load("contrib_ode")}
  25 antes de utilizarlo.
  26
  27 La sintaxis de @code{contrib_ode} es similar a la de @code{ode2}.
  28 Necesita tres argumentos: una EDO (sólo se necesita el miembro
  29 izquierdo si el derecho es igual cero), la variable dependiente y
  30 la independiente. Si encuentra la solución, devolverá una
  31 lista de resultados.
  32
  33 La forma de los resultados devueltos es diferente de la utilizada
  34 por @code{ode2}.
  35 Puesto que las ecuaciones no lineales pueden tener múltiples
  36 soluciones, @code{contrib_ode} devuelve una lista de soluciones.
  37 Las soluciones pueden tener diferentes formatos:
  38 @itemize @bullet
  39 @item
  40 una función explícita para la variable dependiente,
  41
  42 @item
  43 una función implícita para la variable dependiente,
  44
  45 @item
  46 una solución paramétrica en términos de la variable @code{%t} o
  47
  48 @item
  49 una transformación en otra EDO de variable @code{%u}.
  50
  51 @end itemize
  52
  53 @code{%c} hace referencia a la constante de integración en
  54 las ecuaciones de primer orden.
  55 @code{%k1} y @code{%k2} son las constantes para las ecuaciones
  56 de segundo orden.
  57 Si por cualquier razón contrib_ode no pudiese encontrar una
  58 solución, devolverá @code{false}, quizás después de
  59 mostrar un mensaje de error.
  60
  61 Ejemplos:
  62
  63 En ocasiones es necesario devolver una lista de soluciones,
  64 pues algunas EDOs pueden tener múltiples soluciones:
  65
  66 @c ===beg===
  67 @c load("contrib_ode")$
  68 @c eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;
  69 @c contrib_ode(eqn,y,x);
  70 @c method;
  71 @c ===end===
  72 @example
  73 (%i1) load("contrib_ode")$
  74
  75 (%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;
  76
  77                     dy 2             dy
  78 (%o2)            x (--)  - (x y + 1) -- + y = 0
  79                     dx               dx
  80 (%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
  81
  82                                              x
  83 (%o3)             [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
  84 (%i4) method;
  85
  86 (%o4)                        factor
  87 @end example
  88
  89 Las EDOs no lineales pueden tener soluciones singulares sin
  90 constantes de integración, como en la segunda solución
  91 del ejemplo siguiente:
  92
  93 @c ===beg===
  94 @c load("contrib_ode")$
  95 @c eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;
  96 @c contrib_ode(eqn,y,x);
  97 @c method;
  98 @c ===end===
  99 @example
 100 (%i1) load("contrib_ode")$
 101
 102 (%i2) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;
 103
 104                        dy 2     dy
 105 (%o2)                 (--)  + x -- - y = 0
 106                        dx       dx
 107 (%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
 108
 109                                            2
 110                                  2        x
 111 (%o3)              [y = %c x + %c , y = - --]
 112                                           4
 113 (%i4) method;
 114
 115 (%o4)                       clairault
 116 @end example
 117
 118 La siguiente ODE tiene dos soluciones paramétricas en términos
 119 de la variable @code{%t}. En este caso, las soluciones paramétricas
 120 se pueden manipular para dar soluciones explícitas.
 121
 122 @c ===beg===
 123 @c load("contrib_ode")$
 124 @c eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;
 125 @c contrib_ode(eqn,y,x);
 126 @c method;
 127 @c ===end===
 128 @example
 129 (%i1) load("contrib_ode")$
 130
 131 (%i2) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;
 132
 133                           dy          2
 134 (%o2)                     -- = (y + x)
 135                           dx
 136 (%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
 137
 138 (%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x - sqrt(%t)],
 139                      [x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
 140 (%i4) method;
 141
 142 (%o4)                       lagrange
 143 @end example
 144
 145 En el siguiente ejemplo (Kamke 1.112) se obtiene una solución
 146 implícita.
 147
 148 @c ===beg===
 149 @c load("contrib_ode")$
 150 @c assume(x>0,y>0);
 151 @c eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;
 152 @c contrib_ode(eqn,y,x);
 153 @c method;
 154 @c ===end===
 155 @example
 156 (%i1) load("contrib_ode")$
 157
 158 (%i2) assume(x>0,y>0);
 159
 160 (%o2)                    [x > 0, y > 0]
 161 (%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;
 162
 163                      dy           2    2
 164 (%o3)              x -- - x sqrt(y  + x ) - y
 165                      dx
 166 (%i4) contrib_ode(eqn,y,x);
 167
 168                                   y
 169 (%o4)                  [x - asinh(-) = %c]
 170                                   x
 171 (%i5) method;
 172
 173 (%o5)                          lie
 174 @end example
 175
 176 La siguiente ecuación de Riccati se transforma en
 177 una EDO lineal de segundo orden de variable @code{%u}. Maxima
 178 es incapaz de resolver la nueva EDO, por lo que la devuelve si
 179 resolver:
 180
 181 @c ===beg===
 182 @c load("contrib_ode")$
 183 @c eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;
 184 @c contrib_ode(eqn,y,x);
 185 @c method;
 186 @c ===end===
 187 @example
 188 (%i1) load("contrib_ode")$
 189
 190 (%i2) eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;
 191
 192                     2 dy      2  2      n
 193 (%o2)              x  -- = c x  y  + b x  + a
 194                       dx
 195 (%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
 196
 197                d%u
 198                ---                            2
 199                dx        2     n - 2   a     d %u
 200 (%o3)  [[y = - ----, %u c  (b x      + --) + ---- c = 0]]
 201                %u c                     2      2
 202                                        x     dx
 203 (%i4) method;
 204
 205 (%o4)                        riccati
 206 @end example
 207
 208 Para EDOs de primer orden, @code{contrib_ode} llama a @code{ode2}.
 209 Entonces trata de aplicar los siguientes métodos: factorización,
 210 Clairault, Lagrange, Riccati, Abel y Lie. El método de Lie no
 211 se intenta aplicar a las ecuaciones de Abel si el propio
 212 método de Abel no obtiene solución, pero sí
 213 se utiliza si el método de Riccati devuelve una EDO de
 214 segundo orden sin resolver.
 215
 216 Para EDOs de segundo orden, @code{contrib_ode} llama a @code{ode2}
 217 y luego a @code{odelin}.
 218
 219 Se mostrarán mensajes de depurado si se ejecuta la sentencia
 220 @code{put('contrib_ode,true,'verbose)}.
 221
 222
 223
 224 @node Funciones y variables para contrib_ode, Posibles mejoras a contrib_ode, Introducción a contrib_ode, contrib_ode
 225 @section Funciones y variables para contrib_ode
 226
 227 @deffn {Función} contrib_ode (@var{eqn}, @var{y}, @var{x})
 228
 229 Devuelve la lista de soluciones de la ecuación diferencia
 230 ordinaria (EDO) @var{eqn} de variable independiente @var{x}
 231 y variable dependiente @var{y}.
 232
 233 @end deffn
 234
 235
 236 @deffn {Función} odelin (@var{eqn}, @var{y}, @var{x})
 237
 238 La función @code{odelin} resulve EDOs homogéneas lineales
 239 de primer y segundo orden con variable independiente @var{x}
 240 y variable dependiente @var{y}. Devuelve un conjunto fundamental
 241 de soluciones de la EDO.
 242
 243 Para EDOs de segundo orden, @code{odelin} utiliza un
 244 método desarrollado por Bronstein y Lafaille, que busca las soluciones
 245 en términos de funciones especiales dadas.
 246
 247 @c ===beg===
 248 @c load("contrib_ode")$
 249 @c odelin(x*(x+1)*'diff(y,x,2)+(x+5)*'diff(y,x,1)+(-4)*y,y,x);
 250 @c ===end===
 251 @example
 252 (%i1) load("contrib_ode");
 253
 254 (%i2) odelin(x*(x+1)*'diff(y,x,2)+(x+5)*'diff(y,x,1)+(-4)*y,y,x);
 255 ...trying factor method
 256 ...solving 7 equations in 4 variables
 257 ...trying the Bessel solver
 258 ...solving 1 equations in 2 variables
 259 ...trying the F01 solver
 260 ...solving 1 equations in 3 variables
 261 ...trying the spherodial wave solver
 262 ...solving 1 equations in 4 variables
 263 ...trying the square root Bessel solver
 264 ...solving 1 equations in 2 variables
 265 ...trying the 2F1 solver
 266 ...solving 9 equations in 5 variables
 267        gauss_a(- 6, - 2, - 3, - x)  gauss_b(- 6, - 2, - 3, - x)
 268 (%o2) @{---------------------------, ---------------------------@}
 269                     4                            4
 270                    x                            x
 271
 272 @end example
 273
 274 @end deffn
 275
 276
 277 @deffn {Función} ode_check (@var{eqn}, @var{soln})
 278
 279 Devuelve el valor de la ecuación diferencia
 280 ordinaria (EDO) @var{eqn} después de sustituir
 281 una posible solución @var{soln}. El valor es
 282 cero si @var{soln} es una solución de @var{eqn}.
 283
 284 @c ===beg===
 285 @c load("contrib_ode")$
 286 @c eqn:'diff(y,x,2)+(a*x+b)*y;
 287 @c ans:[y = bessel_y(1/3,2*(a*x+b)^(3/2)/(3*a))*%k2*sqrt(a*x+b)
 288 @c          +bessel_j(1/3,2*(a*x+b)^(3/2)/(3*a))*%k1*sqrt(a*x+b)];
 289 @c ode_check(eqn,ans[1]);
 290 @c ===end===
 291 @example
 292 (%i1) load("contrib_ode")$
 293
 294 (%i2) eqn:'diff(y,x,2)+(a*x+b)*y;
 295
 296                          2
 297                         d y
 298 (%o2)                   --- + (a x + b) y
 299                           2
 300                         dx
 301 (%i3) ans:[y = bessel_y(1/3,2*(a*x+b)^(3/2)/(3*a))*%k2*sqrt(a*x+b)
 302          +bessel_j(1/3,2*(a*x+b)^(3/2)/(3*a))*%k1*sqrt(a*x+b)];
 303
 304                                   3/2
 305                     1  2 (a x + b)
 306 (%o3) [y = bessel_y(-, --------------) %k2 sqrt(a x + b)
 307                     3       3 a
 308                                           3/2
 309                             1  2 (a x + b)
 310                  + bessel_j(-, --------------) %k1 sqrt(a x + b)]
 311                             3       3 a
 312 (%i4) ode_check(eqn,ans[1]);
 313
 314 (%o4)                           0
 315 @end example
 316
 317 @end deffn
 318
 319 @defvr {Variable opcional} @code{method}
 320
 321 A la variable @code{method} se le asigna el método aplicado.
 322
 323 @end defvr
 324
 325 @defvr {Variable} @code{%c}
 326
 327 @code{%c} es la constante de integración para EDOs de primer
 328 orden.
 329
 330 @end defvr
 331
 332 @defvr {Variable} @code{%k1}
 333
 334 @code{%k1} es la primera constante de integración para EDOs de segundo
 335 orden.
 336
 337 @end defvr
 338
 339 @defvr {Variable} @code{%k2}
 340
 341 @code{%k2} es la segunda constante de integración para EDOs de segundo
 342 orden.
 343
 344 @end defvr
 345
 346 @deffn {Función} gauss_a (@var{a}, @var{b}, @var{c}, @var{x})
 347
 348 @code{gauss_a(a,b,c,x)} y @code{gauss_b(a,b,c,x)} son funciones
 349 geométricas 2F1 . Representan dos soluciones independientes
 350 cualesquiera de la ecuación diferencial hipergeométrica
 351 @code{x(1-x) diff(y,x,2) + [c-(a+b+1)x] diff(y,x) - aby = 0} (A&S 15.5.1).
 352
 353 El único uso que se hace de estas funciones es en las soluciones de
 354 EDOs que devuelven @code{odelin} y @code{contrib_ode}. La definición
 355 y utilización de estas funciones puede cambiar en futuras distribuciones
 356 de Maxima.
 357
 358 Véanse también @code{gauss_b}, @code{dgauss_a} y @code{gauss_b}.
 359
 360 @end deffn
 361
 362 @deffn {Función} gauss_b (@var{a}, @var{b}, @var{c}, @var{x})
 363 Véase  también @code{gauss_a}.
 364 @end deffn
 365
 366 @deffn {Función} dgauss_a (@var{a}, @var{b}, @var{c}, @var{x})
 367 The derivative with respect to x of @code{gauss_a(a,b,c,x)}.
 368 @end deffn
 369
 370 @deffn {Función} dgauss_b (@var{a}, @var{b}, @var{c}, @var{x})
 371 Derivada de @code{gauss_b(@var{a},@var{b},@var{c},@var{x})} respecto de @var{x}.
 372 @end deffn
 373
 374
 375 @deffn {Función} kummer_m (@var{a}, @var{b}, @var{x})
 376
 377 Función M de Kummer, tal como la definen Abramowitz y Stegun,
 378 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Sección 13.1.2.
 379
 380 El único uso que se hace de esta función es en las soluciones de
 381 EDOs que devuelven @code{odelin} y @code{contrib_ode}. La definición
 382 y utilización de estas funciones puede cambiar en futuras distribuciones
 383 de Maxima.
 384
 385 Véanse también @code{kummer_u}, @code{dkummer_m} y @code{dkummer_u}.
 386 @end deffn
 387
 388 @deffn {Función} kummer_u (@var{a}, @var{b}, @var{x})
 389
 390 Función U de Kummer, tal como la definen Abramowitz y Stegun,
 391 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Sección 13.1.3.
 392
 393 Véase  también @code{kummer_m}.
 394 @end deffn
 395
 396 @deffn {Función} dkummer_m (@var{a}, @var{b}, @var{x})
 397 Derivada de @code{kummer_m(@var{a},@var{b},@var{x})} respecto de @var{x}.
 398 @end deffn
 399
 400 @deffn {Función} dkummer_u (@var{a}, @var{b}, @var{x})
 401 Derivada de @code{kummer_u(@var{a},@var{b},@var{x})} respecto de @var{x}.
 402 @end deffn
 403
 404
 405 @node Posibles mejoras a contrib_ode, Pruebas realizadas con contrib_ode, Funciones y variables para contrib_ode, contrib_ode
 406 @section Posibles mejoras a contrib_ode
 407
 408 Este paquete aún se encuentra en fase de desarrollo. Aspectos pendientes:
 409
 410 @itemize @bullet
 411
 412 @item
 413 Extender el método FACTOR @code{ode1_factor} para que trabaje con
 414 raíces múltiples.
 415
 416 @item
 417 Extender el método FACTOR @code{ode1_factor} para que intente
 418 resolver factores de orden superior. En este momento sólo
 419 intenta resolver factores lineales.
 420
 421 @item
 422 Modificar la rutina LAGRANGE @code{ode1_lagrange} para que prefiera
 423 raíces reales a las complejas.
 424
 425 @item
 426 Añadir más métodos para las ecuaciones de RIccati.
 427
 428 @item
 429 Mejorar la identificación de las ecuaciones de Abel de segunda especie.
 430 El procedimiento actual no es muy bueno.
 431
 432 @item
 433 Trabajar la rutina del grupo simétrico de Lie @code{ode1_lie}.
 434 Existen algunos problemas: algunas partes no están implementadas,
 435 algunos ejemplos no terminan de ejecutarse, otros producen errors,
 436 otros devuelven respuestas muy complejas.
 437
 438 @item
 439 Hacer más pruebas.
 440
 441 @end itemize
 442
 443 @node Pruebas realizadas con contrib_ode, Referencias para contrib_ode, Posibles mejoras a contrib_ode, contrib_ode
 444 @section Pruebas realizadas con contrib_ode
 445
 446 Los procedimientos fueron probados con cerca de mil ecuaciones tomadas
 447 de Murphy, Kamke, Zwillinger y otros. Éstas se encuentran en el directorio
 448 de pruebas.
 449
 450 @itemize @bullet
 451 @item
 452 La rutina de Clairault @code{ode1_clairault} encuentra todas las
 453 soluciones conocidas, incluídas las singulares,
 454 de las ecuaciones de Clairault en Murphy y Kamke.
 455
 456 @item
 457 Las otras rutinas a veces devuelven una sola solución cuando
 458 existen más.
 459
 460 @item
 461 Algunas de las soluciones devueltas por @code{ode1_lie} son
 462 demasiado complejas e imposibles de interpretar.
 463
 464 @item
 465 A veces se producen detenciones imprevistas del procedimiento.
 466
 467 @end itemize
 468
 469 @node Referencias para contrib_ode, ,Pruebas realizadas con contrib_ode, contrib_ode
 470 @section Referencias para contrib_ode
 471
 472
 473 @enumerate
 474 @item
 475 E. Kamke, Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen, Vol 1,
 476     Geest & Portig, Leipzig, 1961
 477
 478 @item
 479 G. M. Murphy, Ordinary Differential Equations and Their Solutions,
 480     Van Nostrand, New York, 1960
 481
 482 @item
 483 D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations, 3rd edition,
 484     Academic Press, 1998
 485
 486 @item
 487 F. Schwarz, Symmetry Analysis of Abel's Equation, Studies in
 488     Applied Mathematics, 100:269-294 (1998)
 489
 490 @item
 491 F. Schwarz, Algorithmic Solution of Abel's Equation,
 492     Computing 61, 39-49 (1998)
 493
 494 @item
 495 E. S. Cheb-Terrab, A. D. Roche, Symmetries and First Order
 496     ODE Patterns, Computer Physics Communications 113 (1998), p 239.
 497 @ifnottex
 498     (@url{http://lie.uwaterloo.ca/papers/ode_vii.pdf})
 499 @end ifnottex
 500 @tex
 501     (\texttt{http://lie.uwaterloo.ca/\-papers/\-ode\_vii.pdf})
 502 @end tex
 503
 504 @item
 505 E. S. Cheb-Terrab, T. Kolokolnikov,  First Order ODEs,
 506     Symmetries and Linear Transformations, European Journal of
 507     Applied Mathematics, Vol. 14, No. 2, pp. 231-246 (2003).
 508 @c @ifnottex
 509     (@url{http://arxiv.org/abs/math-ph/0007023},@*
 510     @url{http://lie.uwaterloo.ca/papers/ode_iv.pdf})
 511 @c @end ifnottex
 512 @c @tex
 513 @c     (\texttt{http://\-arxiv.org/\-abs/\-math-ph/\-0007023},
 514 @c     \texttt{http://\-lie.\-uwaterloo.ca/\-papers/\-ode\_iv.pdf})
 515 @c @end tex
 516
 517 @item
 518 G. W. Bluman, S. C. Anco, Symmetry and Integration Methods for
 519     Differential Equations, Springer, (2002)
 520
 521 @item
 522 M Bronstein, S Lafaille,
 523 Solutions of linear ordinary differential equations in terms
 524 of special functions,
 525 Proceedings of ISSAC 2002, Lille, ACM Press, 23-28.
 526 (@url{http://www-sop.inria.fr/cafe/Manuel.Bronstein/publications/issac2002.pdf})
 527 @end enumerate
 528