doc/info/ja/Special.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to Special Functions::
   3 * Bessel Functions::
   4 * Airy Functions::
   5 * Gamma and factorial Functions::
   6 * Exponential Integrals::
   7 * Error Function::
   8 * Struve Functions::
   9 * Hypergeometric Functions::
  10 * Parabolic Cylinder Functions::
  11 * Functions and Variables for Special Functions::
  12 @end menu
  13
  14 @c -----------------------------------------------------------------------------
  15 @node Introduction to Special Functions, Bessel Functions, Special Functions, Special Functions
  16 @section Introduction to Special Functions
  17 @c -----------------------------------------------------------------------------
  18
  19 特殊関数表記は以下の通りです:
  20
  21 @example
  22 bessel_j (index, expr)         第一種ベッセル関数
  23 bessel_y (index, expr)         第二種ベッセル関数
  24 bessel_i (index, expr)         第一種変形ベッセル関数
  25 bessel_k (index, expr)         第二種変形ベッセル関数
  26
  27 hankel_1 (v,z)                 第一種ハンケル関数
  28 hankel_2 (v,z)                 第二種ハンケル関数
  29 struve_h (v,z)                 シュトルーベH関数
  30 struve_l (v,z)                 シュトルーベL関数
  31
  32 assoc_legendre_p[v,u] (z)      位数v、次数uのルジャンドル関数
  33 assoc_legendre_q[v,u] (z)      第二種ルジャンドル関数
  34
  35 %f[p,q] ([], [], expr)         一般化超幾何関数
  36 gamma()                        ガンマ関数
  37 gamma_incomplete_lower(a,z)    第一種不完全ガンマ関数
  38 gammaincomplete(a,z)           第二種不完全ガンマ関数
  39 hypergeometric(l1, l2, z)      超幾何関数
  40 @c IS slommel THE "LOMMEL" FUNCTION ?? NOT OTHERWISE MENTIONED IN TEXINFO FILES
  41 slommel
  42 %m[u,k] (z)                    第一種Whittaker関数
  43 %w[u,k] (z)                    第二種Whittaker関数
  44 erfc (z)                       相補誤差関数
  45 ei (z)                         指数積分 (?)
  46 kelliptic (z)                  第一種完全楕円積分 (K)
  47 parabolic_cylinder_d (v,z)     放物円筒D関数
  48 @end example
  49
  50 @opencatbox
  51 @category{Bessel functions}
  52 @category{Airy functions}
  53 @category{Special functions}
  54 @closecatbox
  55
  56 @c -----------------------------------------------------------------------------
  57 @node Bessel Functions, Airy Functions, Introduction to Special Functions, Special Functions
  58 @section Bessel Functions
  59 @c -----------------------------------------------------------------------------
  60
  61 @c -----------------------------------------------------------------------------
  62 @anchor{bessel_j}
  63 @deffn {関数} bessel_j (@var{v}, @var{z})
  64
  65 次数@math{v}と独立変数@math{z}の第一種ベッセル関数。
  66
  67 @code{bessel_j}は以下のように定義されます。
  68
  69 @ifnottex
  70 @example
  71                 inf
  72                 ====       k  - v - 2 k  v + 2 k
  73                 \     (- 1)  2          z
  74                  >    --------------------------
  75                 /        k! gamma(v + k + 1)
  76                 ====
  77                 k = 0
  78 @end example
  79 @end ifnottex
  80
  81 @tex
  82 $$\sum_{k=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{k}\,\left(z\over 2\right)^{v+2\,k}
  83  }\over{k!\,\Gamma\left(v+k+1\right)}}}$$
  84 @end tex
  85
  86 計算のために無限級数は使われませんが。
  87
  88 @opencatbox
  89 @category{Bessel functions}
  90 @category{Special functions}
  91 @closecatbox
  92 @end deffn
  93
  94 @c -----------------------------------------------------------------------------
  95 @anchor{bessel_y}
  96 @deffn {関数} bessel_y (@var{v}, @var{z})
  97
  98 次数@math{v}と独立変数@math{z}の第二種ベッセル関数
  99
 100 @math{v}が整数でない時、
 101 @code{bessel_y}は以下のように定義されます。
 102 @ifnottex
 103 @example
 104               cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
 105               -------------------------------------------
 106                              sin(%pi v)
 107 @end example
 108 @end ifnottex
 109
 110 @tex
 111 $${{\cos \left(\pi\,v\right)\,J_{v}(z)-J_{-v}(z)}\over{
 112  \sin \left(\pi\,v\right)}}$$
 113 @end tex
 114
 115 @math{v}が整数@math{n}の時、
 116 @math{v}が@math{n}に近づく極限が取られます。
 117
 118 @opencatbox
 119 @category{Bessel functions}
 120 @category{Special functions}
 121 @closecatbox
 122 @end deffn
 123
 124 @c -----------------------------------------------------------------------------
 125 @anchor{bessel_i}
 126 @deffn {関数} bessel_i (@var{v}, @var{z})
 127
 128 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第一種変形ベッセル関数
 129
 130 @code{bessel_i}は以下のように定義されます。
 131 @ifnottex
 132 @example
 133                     inf
 134                     ====   - v - 2 k  v + 2 k
 135                     \     2          z
 136                      >    -------------------
 137                     /     k! gamma(v + k + 1)
 138                     ====
 139                     k = 0
 140 @end example
 141 @end ifnottex
 142
 143 @tex
 144 $$\sum_{k=0}^{\infty } {{1\over{k!\,\Gamma
 145  \left(v+k+1\right)}} {\left(z\over 2\right)^{v+2\,k}}}$$
 146 @end tex
 147
 148 無限級数は計算には使われませんが。
 149
 150 @opencatbox
 151 @category{Bessel functions}
 152 @category{Special functions}
 153 @closecatbox
 154 @end deffn
 155
 156 @c -----------------------------------------------------------------------------
 157 @anchor{bessel_k}
 158 @deffn {関数} bessel_k (@var{v}, @var{z})
 159
 160 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第二種変形ベッセル関数
 161
 162 @math{v}が整数の時
 163 @code{bessel_k}は以下のように定義されます。
 164 @ifnottex
 165 @example
 166            %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
 167            -------------------------------------------------
 168                                   2
 169 @end example
 170 @end ifnottex
 171 @tex
 172 $${{\pi\,\csc \left(\pi\,v\right)\,\left(I_{-v}(z)-I_{v}(z)\right)}\over{2}}$$
 173 @end tex
 174
 175 もし@math{v}が整数@math{n}でないなら、
 176 @math{v}が@math{n}に近づく極限が取られます。
 177
 178 @opencatbox
 179 @category{Bessel functions}
 180 @category{Special functions}
 181 @closecatbox
 182 @end deffn
 183
 184 @c -----------------------------------------------------------------------------
 185 @anchor{hankel_1}
 186 @deffn {関数} hankel_1 (@var{v}, @var{z})
 187
 188 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第一種ハンケル関数 (A&S 9.1.3)。
 189 @code{hankel_1}は以下のように定義されます。
 190
 191 @example
 192    bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)
 193 @end example
 194
 195 Maximaは、
 196 浮動小数点精度の実数次数@math{v}と複素独立変数@math{z}に対して
 197 @code{hankel_1}を数値的に評価します。
 198 多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数@math{v}はサポートされていません。
 199
 200 @code{besselexpand}が@code{true}の時、
 201 次数@math{v}が奇数の1/2の時@code{hankel_1}は初等関数の項に展開されます。
 202 @code{besselexpand}を参照してください。
 203
 204 Maximaは@code{hankel_1}の独立変数@math{z}に関する導関数を知っています。
 205
 206 例:
 207
 208 数値評価:
 209
 210 @c ===beg===
 211 @c hankel_1(1,0.5);
 212 @c hankel_1(1,0.5+%i);
 213 @c ===end===
 214 @example
 215 (%i1) hankel_1(1,0.5);
 216 (%o1)              .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
 217 (%i2) hankel_1(1,0.5+%i);
 218 (%o2)             - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016
 219 @end example
 220
 221 複素次数@math{v}はサポートされていません。
 222 Maximaは名詞形を返します:
 223
 224 @c ===beg===
 225 @c hankel_1(%i,0.5+%i);
 226 @c ===end===
 227 @example
 228 (%i3) hankel_1(%i,0.5+%i);
 229 (%o3)                       hankel_1(%i, %i + 0.5)
 230 @end example
 231
 232 @code{besselexpand}が@code{true}の時の@code{hankel_1}の展開:
 233
 234 @c ===beg===
 235 @c hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
 236 @c ===end===
 237 @example
 238 (%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
 239                       sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
 240 (%o4)                 ----------------------------------
 241                               sqrt(%pi) sqrt(z)
 242 @end example
 243
 244 @code{hankel_1}の独立変数@math{z}に関する導関数。
 245 次数@math{v}に関する導関数はサポートされていません。
 246 Maximaは名詞形を返します:
 247
 248 @c ===beg===
 249 @c diff(hankel_1(v,z),z);
 250 @c diff(hankel_1(v,z),v);
 251 @c ===end===
 252 @example
 253 (%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
 254                     hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
 255 (%o5)               ---------------------------------------
 256                                        2
 257 (%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
 258                              d
 259 (%o6)                        -- (hankel_1(v, z))
 260                              dv
 261 @end example
 262
 263 @opencatbox
 264 @category{Bessel functions}
 265 @category{Special functions}
 266 @closecatbox
 267 @end deffn
 268
 269 @c -----------------------------------------------------------------------------
 270 @anchor{hankel_2}
 271 @deffn {関数} hankel_2 (@var{v}, @var{z})
 272
 273 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第二種ハンケル関数 (A&S 9.1.4)。
 274 @code{hankel_2}は以下のように定義されます。
 275
 276 @example
 277    bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)
 278 @end example
 279
 280 Maximaは、
 281 浮動小数点精度の実数次数@math{v}と複素独立変数@math{z}に対して
 282 @code{hankel_2}を数値的に評価します。
 283 多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数@math{v}はサポートされていません。
 284
 285 @code{besselexpand}が@code{true}の時、
 286 次数@math{v}が奇数の1/2の時@code{hankel_2}は初等関数の項に展開されます。
 287 @code{besselexpand}を参照してください。
 288
 289 Maximaは@code{hankel_2}の独立変数@math{z}に関する導関数を知っています。
 290
 291 例は@code{hankel_1}を参照してください。
 292
 293 @opencatbox
 294 @category{Bessel functions}
 295 @category{Special functions}
 296 @closecatbox
 297 @end deffn
 298
 299 @c -----------------------------------------------------------------------------
 300 @anchor{besselexpand}
 301 @defvr {オプション変数} besselexpand
 302 デフォルト値: @code{false}
 303
 304 @c REPHRASE
 305 次数が半奇数の時のベッセル関数の展開を制御します。
 306 この場合、ベッセル関数は他の初等関数で展開することができます。
 307 @code{besselexpand}が@code{true}の時、
 308 ベッセル関数は展開されます。
 309
 310 @example
 311 (%i1) besselexpand: false$
 312 (%i2) bessel_j (3/2, z);
 313                                     3
 314 (%o2)                      bessel_j(-, z)
 315                                     2
 316 (%i3) besselexpand: true$
 317 (%i4) bessel_j (3/2, z);
 318                                         sin(z)   cos(z)
 319                        sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
 320                                            2       z
 321                                           z
 322 (%o4)                  ---------------------------------
 323                                    sqrt(%pi)
 324 @end example
 325
 326 @opencatbox
 327 @category{Bessel functions}
 328 @category{Simplification flags and variables}
 329 @category{Special functions}
 330 @closecatbox
 331 @end defvr
 332
 333 @c -----------------------------------------------------------------------------
 334 @deffn {関数} scaled_bessel_i (@var{v}, @var{z})
 335
 336 次数@math{v}、独立変数@math{z}のスケールされた第一種変形ベッセル関数。
 337 すなわち、@math{scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)}。
 338 この関数は、大きな@math{z}に関する@math{bessel_i}―これはおおきくなりますーの計算に
 339 特に役に立ちます。
 340 しかしながら、そうでなければ、Maximaはこの関数についてあまり知りません。
 341 数式処理のためには、式@code{exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)}を使って取り組むのが多分望ましいです。
 342
 343 @opencatbox
 344 @category{Bessel functions}
 345 @closecatbox
 346 @end deffn
 347
 348 @deffn {関数} scaled_bessel_i0 (@var{z})
 349
 350 @code{scaled_bessel_i(0,z)}と同一です。
 351
 352 @opencatbox
 353 @category{Bessel functions}
 354 @category{Special functions}
 355 @closecatbox
 356 @end deffn
 357
 358 @c -----------------------------------------------------------------------------
 359 @deffn {関数} scaled_bessel_i1 (@var{z})
 360
 361 @code{scaled_bessel_i(1,z)}と同一です。
 362 @opencatbox
 363 @category{Bessel functions}
 364 @category{Special functions}
 365 @closecatbox
 366 @end deffn
 367
 368 @c -----------------------------------------------------------------------------
 369 @deffn {関数} %s [@var{u},@var{v}] (@var{z})
 370 Lommelの小s[u,v](z)関数。
 371 多分Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.
 372 @opencatbox
 373 @category{Bessel functions}
 374 @category{Special functions}
 375 @closecatbox
 376 @end deffn
 377
 378 @c -----------------------------------------------------------------------------
 379 @node Airy Functions, Gamma and factorial Functions, Bessel Functions, Special Functions
 380 @section Airy Functions
 381 @c -----------------------------------------------------------------------------
 382
 383 エアリー関数Ai(x)とBi(x)は、Abramowitz and Stegun,
 384 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Section 10.4の中で定義されています。
 385
 386 @code{y = Ai(x)}と@code{y = Bi(x)}は、
 387 エアリー微分方程式@code{diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0}の
 388 ２つの線形独立な解です。
 389
 390 もし引数@code{x}が実数もしくは複素数の浮動小数点数なら、
 391 関数の数値が返されます。
 392
 393 @deffn {関数} airy_ai (@var{x})
 394 エアリー関数Ai(x)。  (A&S 10.4.2)
 395
 396 導関数@code{diff (airy_ai(x), x)}は、@code{airy_dai(x)}です。
 397
 398 @code{airy_bi}, @code{airy_dai}, @code{airy_dbi}も参照してください。
 399
 400 @opencatbox
 401 @category{Airy functions}
 402 @category{Special functions}
 403 @closecatbox
 404 @end deffn
 405
 406 @c -----------------------------------------------------------------------------
 407 @deffn {関数} airy_dai (@var{x})
 408 エアリー関数Ai @code{airy_ai(x)}の導関数。
 409
 410 @code{airy_ai}を参照してください。
 411
 412 @opencatbox
 413 @category{Airy functions}
 414 @category{Special functions}
 415 @closecatbox
 416 @end deffn
 417
 418 @c -----------------------------------------------------------------------------
 419 @deffn {関数} airy_bi (@var{x})
 420 エアリー関数Bi(x)。 (A&S 10.4.3)
 421
 422 導関数@code{diff (airy_bi(x), x)}は@code{airy_dbi(x)}です。
 423
 424 @code{airy_ai}, @code{airy_dbi}を参照してください。
 425
 426 @opencatbox
 427 @category{Airy functions}
 428 @category{Special functions}
 429 @closecatbox
 430 @end deffn
 431
 432
 433 @c -----------------------------------------------------------------------------
 434 @deffn {関数} airy_dbi (@var{x})
 435 エアリーBi関数@code{airy_bi(x)}の導関数。
 436
 437 @code{airy_ai}と@code{airy_bi}を参照してください。
 438
 439 @opencatbox
 440 @category{Airy functions}
 441 @category{Special functions}
 442 @closecatbox
 443 @end deffn
 444
 445 @c -----------------------------------------------------------------------------
 446 @node Gamma and factorial Functions, Exponential Integrals, Airy Functions, Special Functions
 447 @section Gamma and factorial Functions
 448 @c -----------------------------------------------------------------------------
 449
 450 ガンマ関数と、関連したベータ、プサイ、不完全ガンマ関数は
 451 Abramowitz and Stegun,
 452 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Chapter 6の中で定義されています。
 453
 454 @c FOLLOWING FUNCTIONS IN bffac.mac ARE NOT DESCRIBED IN .texi FILES: !!!
 455 @c obfac, azetb, vonschtoonk, divrlst, obzeta, bfhzeta, bfpsi0 !!!
 456 @c DON'T KNOW WHICH ONES ARE INTENDED FOR GENERAL USE !!!
 457
 458 @c FOLLOWING FUNCTIONS IN bffac.mac ARE DESCRIBED IN Number.texi: !!!
 459 @c burn, bzeta, bfzeta !!!
 460
 461 @c FOLLOWING FUNCTIONS IN bffac.mac ARE DESCRIBED HERE: !!!
 462 @c bfpsi, bffac, cbffac !!!
 463
 464 @c -----------------------------------------------------------------------------
 465 @anchor{bffac}
 466 @deffn {関数} bffac (@var{expr}, @var{n})
 467 階乗（シフトガンマ）関数の多倍長浮動小数点バージョン。
 468 ２番目の引数は、保持し返すディジットの数です。
 469 少しの余分を要請するのはいい考えです。
 470
 471 @opencatbox
 472 @category{Gamma and factorial functions}
 473 @category{Numerical evaluation}
 474 @closecatbox
 475 @end deffn
 476
 477 @c -----------------------------------------------------------------------------
 478 @anchor{bfpsi}
 479 @deffn  {関数} bfpsi (@var{n}, @var{z}, @var{fpprec})
 480 @deffnx {関数} bfpsi0 (@var{z}, @var{fpprec})
 481 @code{bfpsi}は、実引数@var{z}と整数次数@var{n}の多ガンマ関数です。
 482 @code{bfpsi0}はディガンマ関数です。
 483 @code{bfpsi0 (@var{z}, @var{fpprec})}は@code{bfpsi (0, @var{z}, @var{fpprec})}と同値です。
 484
 485 これらの関数は多倍長浮動小数点値を返します。
 486 @var{fpprec}は戻り値の多倍長浮動小数点精度です。
 487
 488 @c psi0(1) = -%gamma IS AN INTERESTING PROPERTY BUT IN THE ABSENCE OF ANY OTHER
 489 @c DISCUSSION OF THE PROPERTIES OF THIS FUNCTION, THIS STATEMENT SEEMS OUT OF PLACE.
 490 @c Note @code{-bfpsi0 (1, fpprec)} provides @code{%gamma} (Euler's constant) as a bigfloat.
 491
 492 @opencatbox
 493 @category{Gamma and factorial functions}
 494 @category{Numerical evaluation}
 495 @closecatbox
 496 @end deffn
 497
 498 @c -----------------------------------------------------------------------------
 499 @anchor{cbffac}
 500 @deffn {関数} cbffac (@var{z}, @var{fpprec})
 501 複素多倍長浮動小数点の階乗です。
 502
 503 @code{load ("bffac")}はこの関数をロードします。
 504
 505 @opencatbox
 506 @category{Gamma and factorial functions}
 507 @category{Complex variables}
 508 @category{Numerical evaluation}
 509 @closecatbox
 510 @end deffn
 511
 512 @c -----------------------------------------------------------------------------
 513 @anchor{gamma}
 514 @deffn {関数} gamma (@var{z})
 515
 516 ガンマ関数の基本的な定義 (A&S 6.1.1) は、
 517
 518 @ifnottex
 519 @example
 520                          inf
 521                         /
 522                         [     z - 1   - t
 523              gamma(z) = I    t      %e    dt
 524                         ]
 525                         /
 526                          0
 527 @end example
 528 @end ifnottex
 529 @tex
 530 $$¥Gamma¥left(z¥right)=¥int_{0}^{¥infty }{t^{z-1}¥,e^ {- t }¥;dt}$$
 531 @end tex
 532 です。
 533
 534 Maximaは、正の整数と正負の有理数に関して、@code{gamma}を整理します。
 535 半整数値に関して、結果は有理数掛ける@code{sqrt(%pi)}です。
 536 整数値に関する整理は、@code{factlim}によって制御されます。
 537
 538 @code{factlim}より大きな整数に関して、
 539 階乗関数ー@code{gamma}を計算するのに使われますーの数値的な結果はオーバーフローします。
 540 有理数に関する整理は、内部オーバーフローを避けるために、
 541 @code{gammalim}によって制御されます。
 542 @code{factlim}と@code{gammalim}も参照してください。
 543
 544 負の整数に関して、@code{gamma}は未定義です。
 545
 546 Maximaは、浮動小数点および多倍長浮動小数点の実数値および複素数値に関して、
 547 @code{gamma}を数値的に評価できます。
 548
 549 @code{gamma}は鏡像対称性を持ちます。
 550
 551 @code{gamma_expand}が@code{true}の時、
 552 Maximaは、
 553 引数@code{z+n}と@code{z-n}―@code{n}は整数―の@code{gamma}を
 554 展開します。
 555
 556 Maximaは、@code{gamma}の導関数を知っています。
 557
 558 例:
 559
 560 整数、半整数、有理数に関する整理:
 561
 562 @example
 563 (%i1) map('gamma,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);
 564 (%o1)        [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320]
 565 (%i2) map('gamma,[1/2,3/2,5/2,7/2]);
 566                     sqrt(%pi)  3 sqrt(%pi)  15 sqrt(%pi)
 567 (%o2)   [sqrt(%pi), ---------, -----------, ------------]
 568                         2           4            8
 569 (%i3) map('gamma,[2/3,5/3,7/3]);
 570                                   2           1
 571                           2 gamma(-)  4 gamma(-)
 572                       2           3           3
 573 (%o3)          [gamma(-), ----------, ----------]
 574                       3       3           9
 575 @end example
 576
 577 実数と複素数の数値評価:
 578
 579 @example
 580 (%i4) map('gamma,[2.5,2.5b0]);
 581 (%o4)     [1.329340388179137, 1.329340388179137b0]
 582 (%i5) map('gamma,[1.0+%i,1.0b0+%i]);
 583 (%o5) [.4980156681183558 - .1549498283018108 %i,
 584          4.980156681183561b-1 - 1.549498283018107b-1 %i]
 585 @end example
 586
 587 @code{gamma}は鏡像対称性を持ちます:
 588
 589 @example
 590 (%i6) declare(z,complex)$
 591 (%i7) conjugate(gamma(z));
 592 (%o7)                  gamma(conjugate(z))
 593 @end example
 594
 595 @code{gamma_expand}が@code{true}の時
 596 Maximaは、@code{gamma(z+n)}と@code{gamma(z-n)}を展開します:
 597
 598 @example
 599 (%i8) gamma_expand:true$
 600
 601 (%i9) [gamma(z+1),gamma(z-1),gamma(z+2)/gamma(z+1)];
 602                                gamma(z)
 603 (%o9)             [z gamma(z), --------, z + 1]
 604                                 z - 1
 605 @end example
 606
 607 @code{gamma}の導関数:
 608
 609 @example
 610 (%i10) diff(gamma(z),z);
 611 (%o10)                  psi (z) gamma(z)
 612                            0
 613 @end example
 614
 615 @code{makegamma}も参照してください。
 616
 617 オイラー-マスケローニ定数は@code{%gamma}です。
 618
 619 @opencatbox
 620 @category{Gamma and factorial functions}
 621 @category{Special functions}
 622 @closecatbox
 623 @end deffn
 624
 625 @c -----------------------------------------------------------------------------
 626 @deffn {関数} log_gamma (@var{z})
 627
 628 ガンマ関数の自然対数。
 629
 630 @opencatbox
 631 @category{Gamma and factorial functions}
 632 @category{Special functions}
 633 @closecatbox
 634 @end deffn
 635
 636 @c -----------------------------------------------------------------------------
 637 @deffn {関数} gamma_incomplete (@var{a},@var{z})
 638
 639 第二種不完全ガンマ関数 A&S 6.5.2:
 640
 641 @ifnottex
 642 @example
 643                               inf
 644                              /
 645                              [     a - 1   - t
 646     gamma_incomplete(a, z) = I    t      %e    dt
 647                              ]
 648                              /
 649                               z
 650 @end example
 651 @end ifnottex
 652 @tex
 653 $$¥Gamma¥left(a , z¥right)=¥int_{z}^{¥infty }{t^{a-1}¥,e^ {- t }¥;dt}$$
 654 @end tex
 655
 656 @opencatbox
 657 @category{Gamma and factorial functions}
 658 @category{Special functions}
 659 @closecatbox
 660 @end deffn
 661
 662 @c -----------------------------------------------------------------------------
 663 @deffn {関数} gamma_incomplete_regularized (@var{a}, @var{z})
 664
 665 正則第二種不完全ガンマ関数 A&S 6.5.1:
 666
 667 @ifnottex
 668 @example
 669 gamma_incomplete_regularized(a, z) =
 670                                         gamma_incomplete(a, z)
 671                                         ----------------------
 672                                                gamma(a)
 673 @end example
 674 @end ifnottex
 675 @tex
 676 $${¥it Q}¥left(a , z¥right)={{¥Gamma¥left(a , z¥right)}¥over{¥Gamma¥left(a¥right)}}$$
 677 @end tex
 678
 679 @opencatbox
 680 @category{Gamma and factorial functions}
 681 @category{Special functions}
 682 @closecatbox
 683 @end deffn
 684
 685 @c -----------------------------------------------------------------------------
 686 @deffn {関数} gamma_incomplete_generalized (@var{a},@var{z1},@var{z1} )
 687 一般化不完全ガンマ関数
 688
 689 @ifnottex
 690 @example
 691 gamma_incomplete_generalized(a, z1, z2) =
 692                                                z2
 693                                               /
 694                                               [    a - 1   - t
 695                                               I   t      %e    dt
 696                                               ]
 697                                               /
 698                                                z1
 699 @end example
 700 @end ifnottex
 701 @tex
 702 $$¥Gamma¥left(a , z_{1}, z_{2}¥right)=¥int_{z_{1}}^{z_{2}}{t^{a-1}¥,e^ {- t }¥;dt}$$
 703 @end tex
 704
 705 @opencatbox
 706 @category{Gamma and factorial functions}
 707 @category{Special functions}
 708 @closecatbox
 709 @end deffn
 710
 711 @c -----------------------------------------------------------------------------
 712 @anchor{gammalim}
 713 @defvr {オプション変数} gammalim
 714 デフォルト値: 1000000
 715
 716 @c REPHRASE
 717 @code{gammalim}は、整数と有理数引数に関してガンマ関数の整理を制御します。
 718 もし引数の絶対値が@code{gammalim}よりも大きくないなら、
 719 整理が行われます。
 720 @code{factlim}スイッチは、
 721 整数引数の@code{gamma}の結果の整理を制御します。
 722 @code{factlim}スイッチは、
 723 整数引数の@code{gamma}の結果の整理も制御することに注意してください。
 724
 725 @opencatbox
 726 @category{Gamma and factorial functions}
 727 @category{Simplification flags and variables}
 728 @closecatbox
 729
 730 @end defvr
 731
 732 @c NEED CROSS REFS HERE
 733 @c NEED EXAMPLES HERE
 734
 735 @c -----------------------------------------------------------------------------
 736 @anchor{makegamma}
 737 @deffn {関数} makegamma (@var{expr})
 738 @var{expr}の中の２項、階乗、ベータ関数のインスタンスをガンマ関数に変換します。
 739
 740 @code{makefact}も参照してください。
 741
 742 @opencatbox
 743 @category{Gamma and factorial functions}
 744 @closecatbox
 745 @end deffn
 746
 747 @c -----------------------------------------------------------------------------
 748 @deffn {関数} beta (@var{a}, @var{b})
 749 ベータ関数は、@code{gamma(a) gamma(b)/gamma(a+b)}
 750 (A&S 6.2.1)として定義されます。
 751
 752 Maximaは、正の整数と、合計すると整数になる有理数についてベータ関数を整理します。
 753 @code{beta_args_sum_to_integer}が@code{true}の時、
 754 Maximaは、和が整数になる一般式も整理します。
 755
 756 @var{a}もしくは@var{b}がゼロに等しい時には、ベータ関数は未定義です。
 757
 758 一般にベータ関数は、負の整数の引数で未定義です。
 759 例外は、@var{a=-n}―@var{n}は正の整数―かつ@var{b}が@var{b<=n}の正の整数で、
 760 解析接続を定義することが可能です。
 761 Maximaはこの場合結果を与えます。
 762
 763 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
 764 @code{n}を整数とする@code{beta(a+n,b)}と@code{beta(a-n,b)}、
 765 もしくは@code{beta(a,b+n)}と@code{beta(a,b-n)}
 766 のような式は整理されます。
 767
 768 Maximaは、実数値と複素数値のベータ関数を浮動小数点と多倍長浮動小数点精度で評価できます。
 769 数値評価のために、Maximaは@code{log_gamma}を使います:
 770
 771 @example
 772            - log_gamma(b + a) + log_gamma(b) + log_gamma(a)
 773          %e
 774 @end example
 775
 776 Maximaは、ベータ関数が対称で、鏡像対称性を持つことを知っています。
 777
 778 Maximaは、@var{a}または@var{b}に関するベータ関数の導関数を知っています。
 779
 780 ベータ関数をガンマ関数の比として表現するには、@code{makegamma}を参照してください。
 781
 782 例:
 783
 784 引数の１つが整数の時の整理:
 785
 786 @example
 787 (%i1) [beta(2,3),beta(2,1/3),beta(2,a)];
 788                                1   9      1
 789 (%o1)                         [--, -, ---------]
 790                                12  4  a (a + 1)
 791 @end example
 792
 793 ２つの有理数引数の和が整数になる時の整理:
 794
 795 @example
 796 (%i2) [beta(1/2,5/2),beta(1/3,2/3),beta(1/4,3/4)];
 797                           3 %pi   2 %pi
 798 (%o2)                    [-----, -------, sqrt(2) %pi]
 799                             8    sqrt(3)
 800 @end example
 801
 802 @code{beta_args_sum_to_integer}を@code{true}に設定した時、
 803 引数の和が整数の時、さらに一般的な式が整理されます:
 804
 805 @example
 806 (%i3) beta_args_sum_to_integer:true$
 807 (%i4) beta(a+1,-a+2);
 808                                 %pi (a - 1) a
 809 (%o4)                         ------------------
 810                               2 sin(%pi (2 - a))
 811 @end example
 812
 813 引数の１つが負の整数の時、可能な結果:
 814
 815 @example
 816 (%i5) [beta(-3,1),beta(-3,2),beta(-3,3)];
 817                                     1  1    1
 818 (%o5)                            [- -, -, - -]
 819                                     3  6    3
 820 @end example
 821
 822 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
 823 @code{n}が整数の@code{beta(a+n,b)}または@code{beta(a-n)}は整理されます:
 824
 825 @example
 826 (%i6) beta_expand:true$
 827 (%i7) [beta(a+1,b),beta(a-1,b),beta(a+1,b)/beta(a,b+1)];
 828                     a beta(a, b)  beta(a, b) (b + a - 1)  a
 829 (%o7)              [------------, ----------------------, -]
 830                        b + a              a - 1           b
 831
 832 @end example
 833
 834 引数の１つがゼロの時、ベータは未定義です:
 835
 836 @example
 837 (%i7) beta(0,b);
 838 beta: expected nonzero arguments; found 0, b
 839  -- an error.  To debug this try debugmode(true);
 840 @end example
 841
 842 実数値と複素数値の浮動小数点または多倍長浮動小数点精度での数値評価:
 843
 844 @example
 845 (%i8) beta(2.5,2.3);
 846 (%o8) .08694748611299981
 847
 848 (%i9) beta(2.5,1.4+%i);
 849 (%o9) 0.0640144950796695 - .1502078053286415 %i
 850
 851 (%i10) beta(2.5b0,2.3b0);
 852 (%o10) 8.694748611299969b-2
 853
 854 (%i11) beta(2.5b0,1.4b0+%i);
 855 (%o11) 6.401449507966944b-2 - 1.502078053286415b-1 %i
 856 @end example
 857
 858 ベータは対称で、鏡像対称性を持ちます:
 859
 860 @example
 861 (%i14) beta(a,b)-beta(b,a);
 862 (%o14)                                 0
 863 (%i15) declare(a,complex,b,complex)$
 864 (%i16) conjugate(beta(a,b));
 865 (%o16)                 beta(conjugate(a), conjugate(b))
 866 @end example
 867
 868 @code{a}に関するベータ関数の導関数:
 869 @example
 870 (%i17) diff(beta(a,b),a);
 871 (%o17)               - beta(a, b) (psi (b + a) - psi (a))
 872                                       0             0
 873 @end example
 874
 875 @opencatbox
 876 @category{Gamma and factorial functions}
 877 @closecatbox
 878 @end deffn
 879
 880 @c -----------------------------------------------------------------------------
 881 @deffn {関数} beta_incomplete (@var{a}, @var{b}, @var{z})
 882
 883 不完全ベータ関数の基本定義(A&S 6.6.1)は、以下の通りです。
 884
 885 @example
 886 @group
 887         z
 888        /
 889        [         b - 1  a - 1
 890        I  (1 - t)      t      dt
 891        ]
 892        /
 893         0
 894 @end group
 895 @end example
 896
 897 この定義は、@math{realpart(a)>0}かつ@math{realpart(b)>0}かつ@math{abs(z)<1}で可能です。
 898 他の値では不完全ベータ関数は一般化超幾何関数を通じて定義することができます。
 899
 900 @example
 901    gamma(a) hypergeometric_generalized([a, 1 - b], [a + 1], z) z
 902 @end example
 903
 904 (不完全ベータ関数の完全な定義については、functions.wolfram.comを参照してください。
 905 )
 906
 907 負の整数@math{a = -n}と正の整数@math{b=m}で、@math{m<=n}の場合、
 908 不完全ベータ関数は以下を通して定義されます。
 909
 910 @example
 911                             m - 1           k
 912                             ====  (1 - m)  z
 913                       n - 1 \            k
 914                      z       >    -----------
 915                             /     k! (n - k)
 916                             ====
 917                             k = 0
 918 @end example
 919
 920 Maximaは、
 921 負の整数@var{a}に関する@code{beta_incomplete}を整理するために、この定義を使います。
 922
 923 @var{a}が正の整数の時、
 924 任意の引数@var{b}, @var{z}に関して、
 925 @var{b}が正の整数の時、
 926 非負の整数@var{a}, 任意の@var{z}に関して、
 927 @code{beta_incomplete}は整理されます。
 928
 929 @math{z=0}かつ@math{realpart(a)>0}の時、@code{beta_incomplete}は特別な値ゼロを取ります。
 930 @var{z=1}かつ@math{realpart(b)>0}の時、
 931 @code{beta_incomplete}はベータ関数@code{beta(a,b)}に整理されます。
 932
 933 Maximaは、浮動小数点か多倍長浮動小数点精度の実数値と複素数値に対して、
 934 @code{beta_incomplete}を数値的に評価します。
 935 数値評価に関して、
 936 不完全ベータ函数の連分数展開を使います。
 937
 938 オプション変数@code{beta_expand}が@code{true}の時、
 939 Maximaは@code{beta_incomplete(a+n,b,z)}や@code{beta_incomplete(a-n,b,z)}のような式を展開します。ここでnは正の整数です。
 940
 941 Maximaは@code{beta_incomplete}の変数@var{a}, @var{b}, @var{z}についての導関数と
 942 変数@var{z}についての積分を知っています。
 943
 944 例:
 945
 946 正の整数@var{a}に関する整理:
 947
 948 @example
 949 (%i1) beta_incomplete(2,b,z);
 950                                        b
 951                             1 - (1 - z)  (b z + 1)
 952 (%o1)                       ----------------------
 953                                   b (b + 1)
 954 @end example
 955
 956 正の整数@var{b}に関する整理:
 957
 958 @example
 959 (%i2) beta_incomplete(a,2,z);
 960                                                a
 961                               (a (1 - z) + 1) z
 962 (%o2)                         ------------------
 963                                   a (a + 1)
 964 @end example
 965
 966 正の整数@var{a}, @var{b}に関する整理:
 967
 968 @example
 969 (%i3) beta_incomplete(3,2,z);
 970 @group
 971                                                3
 972                               (3 (1 - z) + 1) z
 973 (%o3)                         ------------------
 974                                       12
 975 @end group
 976 @end example
 977
 978 @var{a}が負の整数かつ@math{b<=(-a)}の時、Maximaは整理します:
 979
 980 @example
 981 (%i4) beta_incomplete(-3,1,z);
 982                                        1
 983 (%o4)                              - ----
 984                                         3
 985                                      3 z
 986 @end example
 987
 988 特定の値@math{z=0}と@math{z=1}に関して, Maximaは整理します:
 989
 990 @example
 991 (%i5) assume(a>0,b>0)$
 992 (%i6) beta_incomplete(a,b,0);
 993 (%o6)                                 0
 994 (%i7) beta_incomplete(a,b,1);
 995 (%o7)                            beta(a, b)
 996 @end example
 997
 998 浮動小数点または多倍長浮動小数点精度の数値評価:
 999
1000 @example
1001 (%i8) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9);
1002 (%o8)                          4.594959440269333
1003 (%i9)  fpprec:25$
1004 (%i10) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9b0);
1005 (%o10)                    4.594959440269324086971203b0
1006 @end example
1007
1008 @math{abs(z)>1}の時、@code{beta_incomplete}は複素数を返します:
1009
1010 @example
1011 (%i11) beta_incomplete(0.25,0.50,1.7);
1012 (%o11)              5.244115108584249 - 1.45518047787844 %i
1013 @end example
1014
1015 もっと一般的な複素引数に関する結果:
1016
1017 @example
1018 (%i14) beta_incomplete(0.25+%i,1.0+%i,1.7+%i);
1019 (%o14)             2.726960675662536 - .3831175704269199 %i
1020 (%i15) beta_incomplete(1/2,5/4*%i,2.8+%i);
1021 (%o15)             13.04649635168716 %i - 5.802067956270001
1022 (%i16)
1023 @end example
1024
1025 @code{beta_expand}が@code{true}の時の展開:
1026
1027 @example
1028 (%i23) beta_incomplete(a+1,b,z),beta_expand:true;
1029                                                        b  a
1030                    a beta_incomplete(a, b, z)   (1 - z)  z
1031 (%o23)             -------------------------- - -----------
1032                              b + a                 b + a
1033
1034 (%i24) beta_incomplete(a-1,b,z),beta_expand:true;
1035                                                            b  a - 1
1036            beta_incomplete(a, b, z) (- b - a + 1)   (1 - z)  z
1037 (%o24)     -------------------------------------- - ---------------
1038                            1 - a                         1 - a
1039 @end example
1040
1041 @code{beta_incomplete}の微分と積分:
1042
1043 @example
1044 (%i34) diff(beta_incomplete(a, b, z), z);
1045 @group
1046                               b - 1  a - 1
1047 (%o34)                 (1 - z)      z
1048 @end group
1049 (%i35) integrate(beta_incomplete(a, b, z), z);
1050               b  a
1051        (1 - z)  z
1052 (%o35) ----------- + beta_incomplete(a, b, z) z
1053           b + a
1054                                        a beta_incomplete(a, b, z)
1055                                      - --------------------------
1056                                                  b + a
1057 (%i36) factor(diff(%, z));
1058 (%o36)              beta_incomplete(a, b, z)
1059 @end example
1060
1061 @opencatbox
1062 @category{Gamma and factorial functions}
1063 @closecatbox
1064 @end deffn
1065
1066 @c -----------------------------------------------------------------------------
1067 @deffn {関数} beta_incomplete_regularized (@var{a}, @var{b}, @var{z})
1068
1069 @example
1070 beta_incomplete_regularized(a, b, z) =
1071                                       beta_incomplete(a, b, z)
1072                                       ------------------------
1073                                              beta(a, b)
1074 @end example
1075 として定義された正則不完全ベータ関数 A&S 6.6.2。
1076
1077 @code{beta_incomplete}同様、この定義は完全ではありません。
1078 @code{beta_incomplete_regularized}の完全な定義については、functions.wolfram.comを参照してください。
1079
1080 @code{beta_incomplete_regularized}は、@var{a}または@var{b}が正の整数の時
1081 整理されます。
1082
1083 @math{z=0}かつ@math{realpart(a)>0}の時、
1084 @code{beta_incomplete_regularized}は、具体的な値0を持ちます。
1085 @var{z=1}かつ@math{realpart(b)>0}の時、
1086 @code{beta_incomplete_regularized}は、1に整理されます。
1087
1088 Maximaは、実数と複素数の引数について、
1089 浮動小数点と多倍長浮動小数点精度で@code{beta_incomplete_regularized}を評価します。
1090
1091 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1092 Maximaは、
1093 nは整数として、引数@math{a+n}または@math{a-n}に関して
1094 @code{beta_incomplete_regularized}を展開します。
1095
1096 Maximaは、変数@var{a}, @var{b}, @var{z}に関する
1097 @code{beta_incomplete_regularized}の導関数と、
1098 変数@var{z}に関する積分を知っています。
1099
1100 例:
1101
1102 @var{a}または@var{b}が正の整数の時の整理:
1103
1104 @example
1105 (%i1) beta_incomplete_regularized(2,b,z);
1106                                        b
1107 (%o1)                       1 - (1 - z)  (b z + 1)
1108
1109 (%i2) beta_incomplete_regularized(a,2,z);
1110                                                a
1111 (%o2)                         (a (1 - z) + 1) z
1112
1113 (%i3) beta_incomplete_regularized(3,2,z);
1114                                                3
1115 (%o3)                         (3 (1 - z) + 1) z
1116 @end example
1117
1118 特定の値@math{z=0}, @math{z=1}について、Maximaは整理します:
1119
1120 @example
1121 (%i4) assume(a>0,b>0)$
1122 (%i5) beta_incomplete_regularized(a,b,0);
1123 (%o5)                                 0
1124 (%i6) beta_incomplete_regularized(a,b,1);
1125 (%o6)                                 1
1126 @end example
1127
1128 実数と複素数引数に関する浮動小数点または多倍長浮動小数点精度の数値評価:
1129
1130 @example
1131 (%i7) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9);
1132 (%o7)                         .9114011367359802
1133 (%i8) fpprec:32$
1134 (%i9) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9b0);
1135 (%o9)               9.1140113673598075519946998779975b-1
1136 (%i10) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5*%i);
1137 (%o10)             .2865367499935403 %i - 0.122995963334684
1138 (%i11) fpprec:20$
1139 (%i12) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5b0*%i);
1140 (%o12)      2.8653674999354036142b-1 %i - 1.2299596333468400163b-1
1141 @end example
1142
1143 @code{beta_expand}が@code{true}の時の展開:
1144
1145 @example
1146 (%i13) beta_incomplete_regularized(a+1,b,z);
1147                                                      b  a
1148                                               (1 - z)  z
1149 (%o13) beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------
1150                                               a beta(a, b)
1151 (%i14) beta_incomplete_regularized(a-1,b,z);
1152 (%o14) beta_incomplete_regularized(a, b, z)
1153                                                      b  a - 1
1154                                               (1 - z)  z
1155                                          - ----------------------
1156                                            beta(a, b) (b + a - 1)
1157 @end example
1158
1159 @var{z}に関する微分と積分:
1160
1161 @example
1162 (%i15) diff(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
1163                               b - 1  a - 1
1164                        (1 - z)      z
1165 (%o15)                 -------------------
1166                            beta(a, b)
1167 (%i16) integrate(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
1168 (%o16) beta_incomplete_regularized(a, b, z) z
1169                                                            b  a
1170                                                     (1 - z)  z
1171           a (beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------)
1172                                                     a beta(a, b)
1173         - -------------------------------------------------------
1174                                    b + a
1175 @end example
1176
1177 @opencatbox
1178 @category{Gamma and factorial functions}
1179 @closecatbox
1180 @end deffn
1181
1182 @c -----------------------------------------------------------------------------
1183 @deffn {関数} beta_incomplete_generalized (@var{a}, @var{b}, @var{z1}, @var{z2})
1184
1185 一般化不完全ベータ関数の基本的な定義は、以下の通りです。
1186
1187 @example
1188 @group
1189              z2
1190            /
1191            [          b - 1  a - 1
1192            I   (1 - t)      t      dt
1193            ]
1194            /
1195             z1
1196 @end group
1197 @end example
1198
1199 Maximaは、
1200 @var{a}と@var{b}が正の整数の時、
1201 @code{beta_incomplete_regularized}を整理します。
1202
1203 @math{realpart(a)>0}かつ@math{z1=0}または@math{z2=0}の時、
1204 Maximaは、
1205 @code{beta_incomplete_generalized}を@code{beta_incomplete}に整理します。
1206 @math{realpart(b)>0}かつ@math{z1=1}または@var{z2=1}の時、
1207 Maximaは、@code{beta}と@code{beta_incomplete}を含む式に整理します。
1208
1209 Maximaは、実数値と複素数値に関して、浮動小数点と多倍長浮動小数点精度で
1210 @code{beta_incomplete_regularized}を評価します。
1211
1212 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1213 @var{n}を正の整数とすると、
1214 Maximaは、@math{a+n}や@math{a-n}に関して@code{beta_incomplete_generalized}
1215 を整理します。
1216
1217 Maximaは、
1218 変数@var{a}, @var{b}, @var{z1}, @var{z2}に関する
1219 @code{beta_incomplete_generalized}の微分を知っており、
1220 変数@var{z1}や@var{z2}に関する積分を知っています。
1221
1222 例:
1223
1224 Maximaは、@var{a}と@var{b}が正の整数の時、
1225 @code{beta_incomplete_generalized}を整理します:
1226
1227 @example
1228 (%i1) beta_incomplete_generalized(2,b,z1,z2);
1229                    b                      b
1230            (1 - z1)  (b z1 + 1) - (1 - z2)  (b z2 + 1)
1231 (%o1)      -------------------------------------------
1232                             b (b + 1)
1233 (%i2) beta_incomplete_generalized(a,2,z1,z2);
1234 @group
1235                               a                      a
1236            (a (1 - z2) + 1) z2  - (a (1 - z1) + 1) z1
1237 (%o2)      -------------------------------------------
1238                             a (a + 1)
1239 @end group
1240 (%i3) beta_incomplete_generalized(3,2,z1,z2);
1241               2      2                       2      2
1242       (1 - z1)  (3 z1  + 2 z1 + 1) - (1 - z2)  (3 z2  + 2 z2 + 1)
1243 (%o3) -----------------------------------------------------------
1244                                   12
1245 @end example
1246
1247 特定の値@math{z1=0}, @math{z2=0}, @math{z1=1}または@math{z2=1}に関する整理:
1248
1249 @example
1250 (%i4) assume(a > 0, b > 0)$
1251 (%i5) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,0);
1252 (%o5)                    - beta_incomplete(a, b, z1)
1253
1254 (%i6) beta_incomplete_generalized(a,b,0,z2);
1255 (%o6)                    - beta_incomplete(a, b, z2)
1256
1257 (%i7) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,1);
1258 (%o7)              beta(a, b) - beta_incomplete(a, b, z1)
1259
1260 (%i8) beta_incomplete_generalized(a,b,1,z2);
1261 (%o8)              beta_incomplete(a, b, z2) - beta(a, b)
1262 @end example
1263
1264 浮動小数点もしくは多倍長浮動小数点精度での実数値引数に関する数値評価:
1265
1266 @example
1267 (%i9) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31);
1268 (%o9)                        .09638178086368676
1269
1270 (%i10) fpprec:32$
1271 (%i10) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31b0);
1272 (%o10)               9.6381780863686935309170054689964b-2
1273 @end example
1274
1275 浮動小数点もしくは多倍長浮動小数点精度での複素数値引数に関する数値評価:
1276
1277 @example
1278 (%i11) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31);
1279 (%o11)           - .09625463003205376 %i - .003323847735353769
1280 (%i12) fpprec:20$
1281 (%i13) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31b0);
1282 (%o13)     - 9.6254630032054178691b-2 %i - 3.3238477353543591914b-3
1283 @end example
1284
1285 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1286 @var{n}を正の整数とする、
1287 @math{a+n}または@math{a-n}に関する整理:
1288
1289 @example
1290 (%i14) beta_expand:true$
1291
1292 (%i15) beta_incomplete_generalized(a+1,b,z1,z2);
1293
1294                b   a           b   a
1295        (1 - z1)  z1  - (1 - z2)  z2
1296 (%o15) -----------------------------
1297                    b + a
1298                       a beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2)
1299                     + -------------------------------------------
1300                                          b + a
1301 (%i16) beta_incomplete_generalized(a-1,b,z1,z2);
1302
1303        beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) (- b - a + 1)
1304 (%o16) -------------------------------------------------------
1305                                 1 - a
1306                                     b   a - 1           b   a - 1
1307                             (1 - z2)  z2      - (1 - z1)  z1
1308                           - -------------------------------------
1309                                             1 - a
1310 @end example
1311
1312 変数@var{z1}に関する微分と@var{z1}や@var{z2}に関する積分:
1313
1314 @example
1315 (%i17) diff(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
1316                                b - 1   a - 1
1317 (%o17)               - (1 - z1)      z1
1318 (%i18) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
1319 (%o18) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z1
1320                                   + beta_incomplete(a + 1, b, z1)
1321 (%i19) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z2);
1322 (%o19) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z2
1323                                   - beta_incomplete(a + 1, b, z2)
1324 @end example
1325
1326 @opencatbox
1327 @category{Gamma and factorial functions}
1328 @closecatbox
1329 @end deffn
1330
1331 @defvr {オプション変数} beta_expand
1332 デフォルト値: false
1333
1334 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1335 @math{a+n}や@math{a-n}のような引数に対して
1336 @code{beta(a,b)} と、関連した関数は展開されます。
1337 ここで@math{n}は整数です。
1338
1339 @opencatbox
1340 @category{Gamma and factorial functions}
1341 @category{Simplification flags and variables}
1342 @closecatbox
1343 @end defvr
1344
1345 @defvr {オプション変数} beta_args_sum_to_integer
1346 デフォルト値: false
1347
1348 @code{beta_args_sum_to_integer}が@code{true}の時、
1349 引数@var{a}と@var{b}の和が整数の時、
1350 Maximaは@code{beta(a,b)}を整理します。
1351
1352 @opencatbox
1353 @category{Gamma and factorial functions}
1354 @category{Simplification flags and variables}
1355 @closecatbox
1356 @end defvr
1357
1358
1359 @c NEED INFO HERE ABOUT THE SUBSCRIPTED FORM psi[n](x)
1360 @c I (rtoy) don't think there is a plain psi(x) function anymore.
1361 @c @deffn {関数} psi (@var{x})
1362 @c @deffnx {関数} psi [@var{n}](@var{x})
1363 @deffn {関数} psi [@var{n}](@var{x})
1364
1365 @code{log (gamma (@var{x}))}の次数@code{@var{n}+1}の導関数。
1366 例えば、
1367 @code{psi[0](@var{x})}は１階微分、
1368 @code{psi[1](@var{x})}は２階微分など。
1369
1370 Maximaは、一般に、@code{psi}の数値を計算する方法を知りませんが、
1371 有理数の引数に関してはいくつかの厳密な値を計算することができます。
1372 いくつの変数は、@code{psi}が可能なら厳密な値を返す有理数の引数の範囲を制御します。
1373 @code{maxpsiposint},
1374 @code{maxpsinegint}, @code{maxpsifracnum}, @code{maxpsifracdenom}を参照してください。
1375 すなわち、@var{x}は、@code{maxpsinegint}と@code{maxpsiposint}の間になければいけません。
1376 もし@var{x}の小数部分の絶対値が有理数で、かつ分子が@code{maxpsifracnum}より小さく、
1377 分母が@code{maxpsifracdenom}より小さければ、
1378 @code{psi}は厳密な値を返します。
1379
1380 @code{bffac}パッケージの中の
1381 関数@code{bfpsi}は数値を計算できます。
1382
1383 @opencatbox
1384 @category{Gamma and factorial functions}
1385 @closecatbox
1386 @end deffn
1387
1388 @defvr {オプション変数} maxpsiposint
1389 デフォルト値: 20
1390
1391 @code{maxpsiposint}は、
1392 @code{psi[n](x)}が厳密な値を計算しようとする
1393 最も大きな正の値です。
1394
1395 @opencatbox
1396 @category{Gamma and factorial functions}
1397 @closecatbox
1398
1399 @end defvr
1400
1401 @defvr {オプション変数} maxpsinegint
1402 デフォルト値: -10
1403
1404 @code{maxpsinegint}
1405 @code{psi[n](x)}が厳密な値を計算しようとする
1406 最も大きな負の値です。
1407 従って、もし
1408 @var{x}が@code{maxnegint}よりも小さければ、
1409 たとえ可能でも、
1410 @code{psi[n](@var{x})}は整理された答えを返しません。
1411
1412 @opencatbox
1413 @category{Gamma and factorial functions}
1414 @closecatbox
1415
1416 @end defvr
1417
1418 @defvr {オプション変数} maxpsifracnum
1419 デフォルト値: 6
1420
1421 @var{x}を１より小さい、形式@code{p/q}の有理数とします。
1422 もし@code{p}が@code{maxpsifracnum}より大きいなら
1423 @code{psi[@var{n}](@var{x})}は、
1424 整理された値を返そうとしません。
1425
1426 @opencatbox
1427 @category{Gamma and factorial functions}
1428 @closecatbox
1429
1430 @end defvr
1431
1432 @defvr {オプション変数} maxpsifracdenom
1433 デフォルト値: 6
1434
1435 @var{x}を１より小さい、形式@code{p/q}の有理数とします。
1436 もし@code{q}が@code{maxpsifracdenom}より大きいなら
1437 @code{psi[@var{n}](@var{x})}は、
1438 整理された値を返そうとしません。
1439
1440 @opencatbox
1441 @category{Gamma and factorial functions}
1442 @closecatbox
1443
1444 @end defvr
1445
1446 @c NEED CROSS REFS HERE
1447 @c NEED EXAMPLES HERE
1448 @deffn {関数} makefact (@var{expr})
1449 @var{expr}の中の二項、ガンマ、ベータ関数のインスタンスを階乗に変換します。
1450
1451 @code{makegamma}も参照してください。
1452
1453 @opencatbox
1454 @category{Gamma and factorial functions}
1455 @closecatbox
1456 @end deffn
1457
1458
1459 @c AREN'T THERE OTHER FUNCTIONS THAT DO ESSENTIALLY THE SAME THING ??
1460 @deffn {関数} numfactor (@var{expr})
1461 式@var{expr}を掛ける数値因子を返します。
1462 式@var{expr}は単一項でなければいけません。
1463
1464 @c WHY IS content MENTIONED IN THIS CONTEXT ??
1465 @code{content}は、輪の中のすべての項の最大公約数を返します。
1466
1467 @example
1468 (%i1) gamma (7/2);
1469                           15 sqrt(%pi)
1470 (%o1)                     ------------
1471                                8
1472 (%i2) numfactor (%);
1473                                15
1474 (%o2)                          --
1475                                8
1476 @end example
1477
1478 @opencatbox
1479 @category{Expressions}
1480 @closecatbox
1481 @end deffn
1482
1483
1484 @node Exponential Integrals, Error Function, Gamma and factorial Functions, Special Functions
1485 @section Exponential Integrals
1486
1487 指数積分と、関連した関数は、
1488 Abramowitz and Stegun,
1489 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 5章の中で定義されています。
1490
1491 @deffn {関数} expintegral_e1 (@var{z})
1492 指数積分E1(z) (A&S 5.1.1)
1493 @opencatbox
1494 @category{Exponential Integrals}
1495 @category{Special functions}
1496 @closecatbox
1497 @end deffn
1498
1499 @deffn {関数} expintegral_ei (@var{z})
1500 指数積分Ei(z) (A&S 5.1.2)
1501 @opencatbox
1502 @category{Exponential Integrals}
1503 @category{Special functions}
1504 @closecatbox
1505 @end deffn
1506
1507 @deffn {関数} expintegral_li (@var{z})
1508 指数積分Li(z)  (A&S 5.1.3)
1509 @opencatbox
1510 @category{Exponential Integrals}
1511 @category{Special functions}
1512 @closecatbox
1513 @end deffn
1514
1515 @deffn {関数} expintegral_e (@var{n},@var{z})
1516 指数積分 En(z)  (A&S 5.1.4)
1517 @opencatbox
1518 @category{Exponential Integrals}
1519 @category{Special functions}
1520 @closecatbox
1521 @end deffn
1522
1523 @deffn {関数} expintegral_si (@var{z})
1524 指数積分 Si(z) (A&S 5.2.1)
1525 @opencatbox
1526 @category{Exponential Integrals}
1527 @category{Special functions}
1528 @closecatbox
1529 @end deffn
1530
1531 @deffn {関数} expintegral_ci (@var{z})
1532 指数積分 Ci(z) (A&S 5.2.2)
1533 @opencatbox
1534 @category{Exponential Integrals}
1535 @category{Special functions}
1536 @closecatbox
1537 @end deffn
1538
1539 @deffn {関数} expintegral_shi (@var{z})
1540 指数積分 Shi(z) (A&S 5.2.3)
1541 @opencatbox
1542 @category{Exponential Integrals}
1543 @category{Special functions}
1544 @closecatbox
1545 @end deffn
1546
1547 @deffn {関数} expintegral_chi (@var{z})
1548 指数積分 Chi(z) (A&S 5.2.4)
1549 @opencatbox
1550 @category{Exponential Integrals}
1551 @category{Special functions}
1552 @closecatbox
1553 @end deffn
1554
1555 @defvr {オプション変数} expintrep
1556 デフォルト値: false
1557
1558 指数積分の表現を、
1559   gamma_incomplete, expintegral_e1, expintegral_ei,
1560   expintegral_li, expintegral_trig, expintegral_hyp
1561 に変えます。
1562
1563 @opencatbox
1564 @category{Exponential Integrals}
1565 @closecatbox
1566 @end defvr
1567
1568 @defvr {オプション変数} expintexpand
1569 デフォルト値: false
1570
1571 Expand the Exponential Integral
1572 半整数値の指数積分E[n](z)をErfcもしくはErfの項で展開し、
1573 整数値のそれをEiの項で展開します。
1574 @opencatbox
1575 @category{Exponential Integrals}
1576 @closecatbox
1577 @end defvr
1578
1579 @node Error Function, Struve Functions, Exponential Integrals, Special Functions
1580 @section Error Function
1581
1582 誤差関数と、関連した関数は、
1583 Abramowitz and Stegun,
1584 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 7章で定義されています。
1585
1586 @deffn {関数} erf (@var{z})
1587 誤差関数erf(z) (A&S 7.1.1)
1588
1589 See also flag @code{erfflag}.
1590 @opencatbox
1591 @category{Special functions}
1592 @closecatbox
1593 @end deffn
1594
1595 @deffn {関数} erfc (@var{z})
1596 相補誤差関数erfc(z) (A&S 7.1.2)
1597
1598 @code{erfc(z) = 1-erf(z)}
1599 @opencatbox
1600 @category{Special functions}
1601 @closecatbox
1602 @end deffn
1603
1604 @deffn {関数} erfi (@var{z})
1605 虚数誤差関数
1606
1607 @code{erfi(z) = -%i*erf(%i*z)}
1608 @opencatbox
1609 @category{Special functions}
1610 @closecatbox
1611 @end deffn
1612
1613 @deffn {関数} erf_generalized (@var{z1},@var{z2})
1614 一般化誤差関数Erf(z1,z2)
1615 @opencatbox
1616 @category{Special functions}
1617 @closecatbox
1618 @end deffn
1619
1620 @deffn {関数} fresnel_c (@var{z})
1621 フレネル積分C(z) = integrate(cos((%pi/2)*t^2),t,0,z) (A&S 7.3.1)
1622
1623 フラグ@code{trigsign}が@code{true}の時、
1624 整理 fresnel_c(-x) = -fresnel_c(x)
1625 が適用されます。
1626
1627 フラグ@code{%iargs}が@code{true}の時、
1628 整理 fresnel_c(%i*x) =  %i*fresnel_c(x)
1629 が適用されます。
1630
1631
1632 フラグ@code{erf_representation}と@code{hypergeometric_representation}を参照してください。
1633 @opencatbox
1634 @category{Special functions}
1635 @closecatbox
1636 @end deffn
1637
1638 @deffn {関数} fresnel_s (@var{z})
1639 フレネル積分S(z) = integrate(sin((%pi/2)*t^2),t,0,z). (A&S 7.3.2)
1640
1641 フラグ@code{trigsign}が@code{true}の時、
1642 整理fresnel_s(-x) = -fresnel_s(x)
1643 が適用されます。
1644
1645 フラグ@code{%iargs}が@code{true}の時、
1646 整理 fresnel_s(%i*x) =  %i*fresnel_s(x)
1647 が適用されます。
1648
1649 フラグ@code{erf_representation}と@code{hypergeometric_representation}を参照してください。
1650 @opencatbox
1651 @category{Special functions}
1652 @closecatbox
1653 @end deffn
1654
1655 @defvr {オプション変数} erf_representation
1656 デフォルト値: false
1657
1658 @code{true}の時、 erfc, erfi, erf_generalized, fresnel_s, fresnel_c
1659 は、erfに変換されます。
1660 @end defvr
1661
1662 @defvr {オプション変数} hypergeometric_representation
1663 デフォルト値: false
1664
1665 fresnel_sとfresnel_cに関して超幾何表現への変換を可能にします。
1666 @end defvr
1667
1668 @node Struve Functions, Hypergeometric Functions, Error Function, Special Functions
1669 @section Struve Functions
1670
1671 シュトルーベ関数はAbramowitz and Stegun,
1672 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 12章で定義されています。
1673
1674 Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。
1675 それらは、関数@code{hgfred}から返されることができます。
1676
1677 @c -----------------------------------------------------------------------------
1678 @deffn {関数} struve_h (@var{v}, @var{z})
1679 次数v, 独立変数zのシュトルーベ関数H (A&S 12.1.1)
1680
1681 @opencatbox
1682 @category{Special functions}
1683 @closecatbox
1684 @end deffn
1685
1686
1687 @c -----------------------------------------------------------------------------
1688 @deffn {関数} struve_l (@var{v}, @var{z})
1689 次数v、独立変数zの変形シュトルーベ関数L (A&S 12.2.1)
1690
1691 @opencatbox
1692 @category{Special functions}
1693 @closecatbox
1694 @end deffn
1695
1696
1697
1698 @node Hypergeometric Functions, Parabolic Cylinder Functions, Struve Functions, Special Functions
1699 @section Hypergeometric Functions
1700
1701 超幾何関数はAbramowitz and Stegun,
1702 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 13章15章で定義されています。
1703
1704 Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。
1705 それらは、関数@code{hgfred}から返されることができます。
1706
1707 @deffn {関数} %m [@var{k},@var{u}] (@var{z})
1708 Whittaker M関数
1709 @code{M[k,u](z) = exp(-z/2)*z^(1/2+u)*M(1/2+u-k,1+2*u,z)}.
1710 (A&S 13.1.32)
1711 @opencatbox
1712 @category{Special functions}
1713 @closecatbox
1714 @end deffn
1715
1716 @deffn {関数} %w [@var{k},@var{u}] (@var{z})
1717 Whittaker W関数  (A&S 13.1.33)
1718 @opencatbox
1719 @category{Special functions}
1720 @closecatbox
1721 @end deffn
1722
1723
1724 @deffn {関数} %f [@var{p},@var{q}] (@var{[a],[b],z})
1725 pFq(a1,a2,..ap;b1,b2,..bq;z)超幾何関数。
1726 ここで、@code{a}は長さ@code{p}のリストで、
1727 @code{b}は長さ@code{q}のリストです。
1728 @opencatbox
1729 @category{Bessel functions}
1730 @category{Special functions}
1731 @closecatbox
1732 @end deffn
1733
1734 @deffn {関数} hypergeometric ([@var{a1}, ..., @var{ap}],[@var{b1}, ... ,@var{bq}], x)
1735 超幾何関数。
1736 Maximaの@code{%f}超幾何関数と違って，
1737 関数@code{hypergeometric}は整理関数です;
1738 @code{hypergeometric}は複素倍精度と多倍長浮動小数点評価もサポートします。
1739 ガウスの超幾何関数、すなわち、@math{p = 2}かつ@math{q = 1}、
1740 に関しては、
1741 単位円の外側の浮動小数点評価はサポートされていますが、
1742 一般にはサポートされていません。
1743
1744 オプション変数@code{expand_hypergeometric}がtrue(デフォルトはfalse)で、
1745 独立変数@code{a1}から@code{ap}の１つが負の整数の時(多項式の場合)、
1746 @code{hypergeometric}は展開された多項式を返します。
1747
1748 例:
1749
1750 @example
1751 (%i1)  hypergeometric([],[],x);
1752 (%o1) %e^x
1753 @end example
1754
1755 @code{expand_hypergeometric}がtrueの時、多項式の場合は自動的に展開されます:
1756
1757 @example
1758 (%i2) hypergeometric([-3],[7],x);
1759 (%o2) hypergeometric([-3],[7],x)
1760
1761 (%i3) hypergeometric([-3],[7],x), expand_hypergeometric : true;
1762 (%o3) -x^3/504+3*x^2/56-3*x/7+1
1763 @end example
1764
1765 倍精度と多倍長浮動小数点評価の両方がサポートされています:
1766
1767 @example
1768 (%i4) hypergeometric([5.1],[7.1 + %i],0.42);
1769 (%o4)       1.346250786375334 - 0.0559061414208204 %i
1770 (%i5) hypergeometric([5,6],[8], 5.7 - %i);
1771 (%o5)     .00737582400977495 - 0.001049813688578674 %i
1772 (%i6) hypergeometric([5,6],[8], 5.7b0 - %i), fpprec : 30;
1773 (%o6) 7.37582400977494674506442010824b-3
1774                           - 1.04981368857867315858055393376b-3 %i
1775 @end example
1776 @end deffn
1777
1778 @node Parabolic Cylinder Functions, Functions and Variables for Special Functions, Hypergeometric Functions, Special Functions
1779 @section  Parabolic Cylinder Functions
1780
1781 放物円筒関数はAbramowitz and Stegun,
1782 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 19章で定義されています。
1783
1784 Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。
1785 それらは、関数@code{hgfred}から返されることができます。
1786
1787 @deffn {関数} parabolic_cylinder_d (@var{v}, @var{z})
1788 放物円筒関数@code{parabolic_cylinder_d(v,z)}. (A&s 19.3.1)
1789 @opencatbox
1790 @category{Special functions}
1791 @closecatbox
1792 @end deffn
1793
1794 @node Functions and Variables for Special Functions,  , Parabolic Cylinder Functions, Special Functions
1795 @section Functions and Variables for Special Functions
1796
1797
1798
1799 @deffn {関数} specint (exp(- s*@var{t}) * @var{expr}, @var{t})
1800
1801 @var{expr}の変数@var{t}に関するラプラス変換を計算します。
1802 以下の特殊関数は@code{specint}で扱われます:
1803 不完全ベータ関数、誤差関数
1804 （誤差関数@code{erfi}ではないです。@code{erfi}は例えば、@code{erf}に変換することは簡単です。）、
1805 指数積分、（ベッセル関数の積を含む）ベッセル関数、ハンケル関数、エルミートおよびラーゲル多項式。
1806
1807 更に、@code{specint}は、超幾何関数@code{%f[p,q]([],[],z)}、
1808 第一種Whittaker関数@code{%m[u,k](z)}第二種Whittaker関数@code{%w[u,k](z)}を
1809 扱うことができます。
1810
1811 結果は、特殊関数の項になるかもしれませんし、未整理の超幾何関数を含むかもしれません。
1812
1813 @code{laplace}がラプラス変換を見つけることに失敗した時、
1814 @code{specint}がコールされます。
1815 @code{laplace}はラプラス変換に関するもっと一般的な規則を知っているので、
1816 @code{specint}ではなく@code{laplace}を使うのが望ましいです。
1817
1818 @code{demo(hypgeo)}は、@code{specint}によって計算されたラプラス変換のいくつかの例を表示します。
1819
1820
1821 例:
1822 @c ===beg===
1823 @c assume (p > 0, a > 0)$
1824 @c specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
1825 @c specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
1826 @c               * exp(-p*t), t);
1827 @c ===end===
1828
1829 @example
1830 (%i1) assume (p > 0, a > 0)$
1831 (%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
1832                            sqrt(%pi)
1833 (%o2)                     ------------
1834                                  a 3/2
1835                           2 (p + -)
1836                                  4
1837 (%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
1838               * exp(-p*t), t);
1839                                    - a/p
1840                          sqrt(a) %e
1841 (%o3)                    ---------------
1842                                 2
1843                                p
1844 @end example
1845
1846 指数積分の例:
1847
1848 @example
1849 (%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$
1850 (%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t)
1851                       *(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t));
1852                              log(s)
1853 (%o5)                        ------
1854                              s - a
1855 (%i6) logarc:true$
1856
1857 (%i7) gamma_expand:true$
1858
1859 (%i8) radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t)
1860                      -sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t));
1861                              log(s)
1862 (%o8)                        ------
1863                               2
1864                              s  + 1
1865 (%i9) ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t)
1866                       -2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t));
1867                                2    2
1868                           log(s  + a )
1869 (%o9)                     ------------
1870                                 2
1871                                s
1872 @end example
1873
1874 @code{gamma_incomplete}の展開を使った時と、
1875 @code{expintegral_e1}への表現の変形を使った時のの結果:
1876
1877 @example
1878 (%i10) assume(s>0)$
1879 (%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1880                                             1
1881                             gamma_incomplete(-, k s)
1882                                             2
1883 (%o11)                      ------------------------
1884                                sqrt(%pi) sqrt(s)
1885
1886 (%i12) gamma_expand:true$
1887 (%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1888                               erfc(sqrt(k) sqrt(s))
1889 (%o13)                        ---------------------
1890                                      sqrt(s)
1891
1892 (%i14) expintrep:expintegral_e1$
1893 (%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t));
1894                               a s
1895                         a s %e    expintegral_e1(a s) - 1
1896 (%o15)                - ---------------------------------
1897                                         a
1898 @end example
1899
1900 @opencatbox
1901 @category{Laplace transform}
1902 @closecatbox
1903 @end deffn
1904
1905 @deffn {関数} hgfred (@var{a}, @var{b}, @var{t})
1906
1907 一般化超幾何関数を他のより簡単な形式に整理します。
1908 @var{a}は分子パラメータのリストで、@var{b}は分母パラメータのリストです。
1909
1910 もし@code{hgfred}が超幾何関数を整理できなければ、
1911 形式@code{%f[p,q]([a], [b], x)}の式を返します。
1912 ここで@var{p}は@var{a}の中の要素の数で、
1913 @var{q}は@var{b}の中の要素の数です。
1914 これは、通常の@code{pFq}一般化超幾何関数です。
1915
1916 @example
1917 (%i1) assume(not(equal(z,0)));
1918 (%o1)                          [notequal(z, 0)]
1919 (%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z);
1920
1921                      v/2                               %i z
1922                     4    bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e
1923 (%o2)               ---------------------------------------
1924                                        v
1925                                       z
1926 (%i3) hgfred([1,1],[2],z);
1927
1928                                    log(1 - z)
1929 (%o3)                            - ----------
1930                                        z
1931 (%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2);
1932
1933                                1 - 2 a          1 - 2 a
1934                         (z + 1)        - (1 - z)
1935 (%o4)                   -------------------------------
1936                                  2 (1 - 2 a) z
1937
1938 @end example
1939
1940 以下の例が示すように、orthopolyもロードすることは有益なことがあります。
1941 @var{L}は、一般化ラーゲル多項式であることに注意してください。
1942
1943 @example
1944 (%i5) load("orthopoly")$
1945 (%i6) hgfred([-2],[a],z);
1946 @group
1947
1948                                     (a - 1)
1949                                  2 L       (z)
1950                                     2
1951 (%o6)                            -------------
1952                                    a (a + 1)
1953 @end group
1954 (%i7) ev(%);
1955
1956                                   2
1957                                  z        2 z
1958 (%o7)                         --------- - --- + 1
1959                               a (a + 1)    a
1960
1961 @end example
1962 @end deffn
1963
1964 @deffn {関数} lambert_w (@var{z})
1965 ランバートW関数W(z)の主枝、
1966 @code{z = W(z) * exp(W(z))}の解。
1967 @opencatbox
1968 @category{Special functions}
1969 @closecatbox
1970 @end deffn
1971
1972 @deffn {関数} nzeta (@var{z})
1973 プラズマ分散関数
1974 @code{nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z))}
1975 @opencatbox
1976 @category{Special functions}
1977 @closecatbox
1978 @end deffn
1979
1980 @deffn {関数} nzetar (@var{z})
1981 @code{realpart(nzeta(z))}を返します。
1982 @opencatbox
1983 @category{Special functions}
1984 @closecatbox
1985 @end deffn
1986
1987 @deffn {関数} nzetai (@var{z})
1988 @code{imagpart(nzeta(z))}を返します。
1989 @opencatbox
1990 @category{Special functions}
1991 @closecatbox
1992 @end deffn
1993