doc/info/ja/lsquares.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to lsquares::
   3 * Functions and Variables for lsquares::
   4 @end menu
   5
   6 @c -----------------------------------------------------------------------------
   7 @node Introduction to lsquares, Functions and Variables for lsquares, lsquares, lsquares
   8 @section Introduction to lsquares
   9 @c -----------------------------------------------------------------------------
  10
  11 @code{lsquares}は
  12 数値データからモデルのパラメータを見積もる
  13 最小二乗法を実装するための関数のコレクションです。
  14
  15 @opencatbox
  16 @category{Statistical estimation}
  17 @category{Share packages}
  18 @category{Package lsquares}
  19 @closecatbox
  20
  21
  22 @c -----------------------------------------------------------------------------
  23 @node Functions and Variables for lsquares,  , Introduction to lsquares, lsquares
  24 @section Functions and Variables for lsquares
  25 @c -----------------------------------------------------------------------------
  26
  27 @deffn {関数} lsquares_estimates (@var{D}, @var{x}, @var{e}, @var{a})
  28 @deffnx {関数} lsquares_estimates (@var{D}, @var{x}, @var{e}, @var{a}, initial = @var{L}, tol = @var{t})
  29
  30 最小二乗の方法で決定されるような
  31 変数@var{x}と@var{a}の方程式@var{e}を
  32 データ@var{D}に最良フィットする
  33 パラメータ@var{a}を見積もります。
  34 @code{lsquares_estimates}は最初に厳密な解を探し、
  35 それが失敗したら、近似的な解を探します。
  36
  37 戻り値は
  38 形式 @code{[a = ..., b = ..., c = ...]}の等式のリストのリストです。
  39 リストのそれぞれの要素は
  40 二乗平均誤差の、個別の等価な最小です。
  41
  42 データ @var{D}は行列でなければいけません。
  43 行それぞれは(文脈によって「レコード」とか「ケース」とか呼ばれる)1つのデータで、
  44 列それぞれは
  45 すべてのデータに関するある変数の値を含みます。
  46 変数のリスト @var{x}は @var{D}の列それぞれの名前を与えます。
  47 解析をしない列にも名前を与えます。
  48
  49 パラメータのリスト @var{a}は
  50 見積もられるパラメータの名前を与えます。
  51 方程式 @var{e}は変数 @var{x}と @var{a}に関する式か等式です;
  52 もし @var{e}が等式でないなら、
  53 @code{@var{e} = 0}と同様に扱われます。
  54
  55 @code{lsquares_estimates}の付加引数は
  56 等式として指定され、
  57 厳密な結果が見つからなかった時
  58 数値方法で見積もりを見つけるためにコールされる関数 @code{lbfgs}へそのまま渡されます。
  59
  60 もしある厳密解が(@code{solve}を介して)見つけることができるなら、
  61 データ @var{D}は非数値を含むかもしれません。
  62 しかし、もし厳密解が見つからないなら、
  63 @var{D}の要素それぞれは数値でなければいけません。
  64 これは
  65 数リテラル(整数、有理数、通常の浮動小数点、多倍長浮動小数点)はもちろん、
  66 @code{%pi}や@code{%e}のような数値定数を含みます。
  67 数値計算は通常の浮動小数点算出で実行されます。
  68 他の種類の数値は計算のため、すべて通常の浮動小数点に変換されます。
  69
  70 @code{load("lsquares")}はこの関数をロードします。
  71
  72 @code{lsquares_estimates_exact},
  73 @code{lsquares_estimates_approximate},@*
  74 @code{lsquares_mse},
  75 @code{lsquares_residuals},
  76 @code{lsquares_residual_mse}も参照してください。
  77
  78 例:
  79
  80 厳密解が見つかる問題。
  81
  82 @c ===beg===
  83 @c load ("lsquares")$
  84 @c M : matrix (
  85 @c         [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
  86 @c lsquares_estimates (
  87 @c          M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, [A,B,C,D]);
  88 @c ===end===
  89 @example
  90 (%i1) load ("lsquares")$
  91 (%i2) M : matrix (
  92         [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
  93 @group
  94                                   [ 1  1  1 ]
  95                                   [         ]
  96                                   [ 3       ]
  97                                   [ -  1  2 ]
  98                                   [ 2       ]
  99                                   [         ]
 100 (%o2)                             [ 9       ]
 101                                   [ -  2  1 ]
 102                                   [ 4       ]
 103                                   [         ]
 104                                   [ 3  2  2 ]
 105                                   [         ]
 106                                   [ 2  2  1 ]
 107 @end group
 108 (%i3) lsquares_estimates (
 109          M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, [A,B,C,D]);
 110                          59        27      10921        107
 111 (%o3)            [[A = - --, B = - --, C = -----, D = - ---]]
 112                          16        16      1024         32
 113 @end example
 114
 115 厳密解が見つからない問題。
 116 だから @code{lsquares_estimates}は数値近似に頼ります。
 117
 118 @c ===beg===
 119 @c load ("lsquares")$
 120 @c M : matrix ([1, 1], [2, 7/4], [3, 11/4], [4, 13/4]);
 121 @c lsquares_estimates (
 122 @c   M, [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], initial=[3,3,3], iprint=[-1,0]);
 123 @c ===end===
 124 @example
 125 (%i1) load ("lsquares")$
 126 (%i2) M : matrix ([1, 1], [2, 7/4], [3, 11/4], [4, 13/4]);
 127                                    [ 1  1  ]
 128                                    [       ]
 129                                    [    7  ]
 130                                    [ 2  -  ]
 131                                    [    4  ]
 132                                    [       ]
 133 (%o2)                              [    11 ]
 134                                    [ 3  -- ]
 135                                    [    4  ]
 136                                    [       ]
 137                                    [    13 ]
 138                                    [ 4  -- ]
 139                                    [    4  ]
 140 (%i3) lsquares_estimates (
 141   M, [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], initial=[3,3,3], iprint=[-1,0]);
 142 (%o3) [[a = 1.387365874920637, b = .7110956639593767,
 143                                         c = - .4142705622439105]]
 144 @end example
 145
 146 @opencatbox
 147 @category{Package lsquares}
 148 @category{Numerical methods}
 149 @closecatbox
 150
 151 @end deffn
 152
 153 @deffn {関数} lsquares_estimates_exact (@var{MSE}, @var{a})
 154
 155 方程式系を構成し、@code{solve}を介して記号的にそれらを解くことを試みることで、
 156 平均二乗誤差 @var{MSE}を最小化する
 157 パラメータ @var{a}を見積もります。
 158 平均二乗誤差は
 159  @code{lsquares_mse}が返すような
 160 パラメータ @var{a}の式です。
 161
 162 戻り値は
 163 形式 @code{[a = ..., b = ..., c = ...]}の等式のリストのリストです。
 164 戻り値は、0個か1個、2以上の要素を含むかもしれません。
 165 もし複数の要素が返されたら、
 166 それぞれは個別の、平均二乗誤差の等価最小を表します。
 167
 168 @code{lsquares_estimates},
 169 @code{lsquares_estimates_approximate},
 170 @code{lsquares_mse},@*
 171 @code{lsquares_residuals},
 172 @code{lsquares_residual_mse}も参照してください。
 173
 174 例:
 175
 176 @c ===beg===
 177 @c load ("lsquares")$
 178 @c M : matrix (
 179 @c          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 180 @c mse : lsquares_mse (M, [z, x, y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C);
 181 @c lsquares_estimates_exact (mse, [A, B, C, D]);
 182 @c ===end===
 183 @example
 184 (%i1) load ("lsquares")$
 185 (%i2) M : matrix (
 186          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 187                            [ 1  1  1 ]
 188                            [         ]
 189                            [ 3       ]
 190                            [ -  1  2 ]
 191                            [ 2       ]
 192                            [         ]
 193 (%o2)                      [ 9       ]
 194                            [ -  2  1 ]
 195                            [ 4       ]
 196                            [         ]
 197                            [ 3  2  2 ]
 198                            [         ]
 199                            [ 2  2  1 ]
 200 (%i3) mse : lsquares_mse (M, [z, x, y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C);
 201            5
 202           ====
 203           \                 2                         2
 204            >    ((D + M    )  - C - M     B - M     A)
 205           /            i, 1          i, 3      i, 2
 206           ====
 207           i = 1
 208 (%o3)     ---------------------------------------------
 209                                 5
 210 (%i4) lsquares_estimates_exact (mse, [A, B, C, D]);
 211                   59        27      10921        107
 212 (%o4)     [[A = - --, B = - --, C = -----, D = - ---]]
 213                   16        16      1024         32
 214 @end example
 215
 216 @opencatbox
 217 @category{Package lsquares}
 218 @closecatbox
 219
 220 @end deffn
 221
 222 @deffn {関数} lsquares_estimates_approximate (@var{MSE}, @var{a}, initial = @var{L}, tol = @var{t})
 223
 224 平均二乗誤差 @var{MSE}を最小化する
 225 パラメータ @var{a}を
 226 数値最小化関数 @code{lbfgs}を介して
 227 見積もります。
 228 平均二乗誤差は、
 229 @code{lsquares_mse}が返すようなパラメータ @var{a}の式です。
 230
 231
 232 @code{lsquares_estimates_approximate}が返す解は
 233 平均二乗誤差の(たぶん大域ですが)局所最小値です。
 234 @code{lsquares_estimates_exact}との一貫性のため、
 235 戻り値は
 236 要素1つ、すなわち、形式 @code{[a = ..., b = ..., c = ...]}の等式のリスト
 237 を持つ入れ子のリストです。
 238
 239 @code{lsquares_estimates_approximate}の付加引数は
 240 等式として指定され、
 241 数値方法で見積もりを見つけるためにコールされる関数 @code{lbfgs}へそのまま渡されます。
 242
 243 パラメータが数値が割り当てられた時
 244 @var{MSE}はは数に評価されなければいけません。
 245 これは
 246 This requires that the data from which
 247 @var{MSE}が構成されるデータが
 248 @code{%pi}や@code{%e}、
 249 数リテラル(整数、有理数、通常の浮動小数点、多倍長浮動小数点)
 250 のような数値定数を含みます。
 251 数値計算は通常の浮動小数点算出で実行されます。
 252 他の種類の数値は計算のため、すべて通常の浮動小数点に変換されます。
 253
 254 @code{load("lsquares")}はこの関数をロードします。
 255
 256 @code{lsquares_estimates},
 257 @code{lsquares_estimates_exact},
 258 @code{lsquares_mse},
 259 @code{lsquares_residuals},
 260 @code{lsquares_residual_mse}も参照してください。
 261
 262 例:
 263
 264 @c ===beg===
 265 @c load ("lsquares")$
 266 @c M : matrix (
 267 @c          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 268 @c mse : lsquares_mse (M, [z, x, y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C);
 269 @c lsquares_estimates_approximate (
 270 @c         mse, [A, B, C, D], iprint = [-1, 0]);
 271 @c ===end===
 272 @example
 273 (%i1) load ("lsquares")$
 274 (%i2) M : matrix (
 275          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 276                            [ 1  1  1 ]
 277                            [         ]
 278                            [ 3       ]
 279                            [ -  1  2 ]
 280                            [ 2       ]
 281                            [         ]
 282 (%o2)                      [ 9       ]
 283                            [ -  2  1 ]
 284                            [ 4       ]
 285                            [         ]
 286                            [ 3  2  2 ]
 287                            [         ]
 288                            [ 2  2  1 ]
 289 (%i3) mse : lsquares_mse (M, [z, x, y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C);
 290            5
 291           ====
 292           \                 2                         2
 293            >    ((D + M    )  - C - M     B - M     A)
 294           /            i, 1          i, 3      i, 2
 295           ====
 296           i = 1
 297 (%o3)     ---------------------------------------------
 298                                 5
 299 (%i4) lsquares_estimates_approximate (
 300               mse, [A, B, C, D], iprint = [-1, 0]);
 301 (%o4) [[A = - 3.67850494740174, B = - 1.683070351177813,
 302                  C = 10.63469950148635, D = - 3.340357993175206]]
 303 @end example
 304
 305 @opencatbox
 306 @category{Package lsquares}
 307 @category{Numerical methods}
 308 @closecatbox
 309
 310 @end deffn
 311
 312 @deffn {関数} lsquares_mse (@var{D}, @var{x}, @var{e})
 313
 314 平均二乗誤差 (MSE)、
 315 変数 @var{x}の 方程式@var{e}に関する
 316 データ @var{D}の和の式を返します。
 317
 318 MSEは以下のように定義されます:
 319
 320 @tex
 321 $${1 \over n} \, \sum_{i=1}^n \left[{\rm lhs}\left(e_i\right) - {\rm rhs}\left(e_i\right)\right]^2,$$
 322 @end tex
 323 @ifnottex
 324 @example
 325                     n
 326                    ====
 327                1   \                        2
 328                -    >    (lhs(e ) - rhs(e ))
 329                n   /           i         i
 330                    ====
 331                    i = 1
 332 @end example
 333 @end ifnottex
 334
 335 ここで、 @var{n}はデータ数で、
 336 @code{@var{e}[i]}は、
 337 @code{i}番目のデータ @code{@var{D}[i]}から値を割り当てられた
 338 @var{x}の中の変数に対して評価された方程式 @var{e}です。
 339
 340 @code{load("lsquares")}はこの関数をロードします。
 341
 342 例:
 343
 344 @c ===beg===
 345 @c load ("lsquares")$
 346 @c M : matrix (
 347 @c          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 348 @c mse : lsquares_mse (M, [z, x, y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C);
 349 @c diff (mse, D);
 350 @c ''mse, nouns;
 351 @c ===end===
 352 @example
 353 (%i1) load ("lsquares")$
 354 (%i2) M : matrix (
 355          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 356                            [ 1  1  1 ]
 357                            [         ]
 358                            [ 3       ]
 359                            [ -  1  2 ]
 360                            [ 2       ]
 361                            [         ]
 362 (%o2)                      [ 9       ]
 363                            [ -  2  1 ]
 364                            [ 4       ]
 365                            [         ]
 366                            [ 3  2  2 ]
 367                            [         ]
 368                            [ 2  2  1 ]
 369 @end example
 370 @example
 371 (%i3) mse : lsquares_mse (M, [z, x, y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C);
 372            5
 373           ====
 374           \                 2                         2
 375            >    ((D + M    )  - C - M     B - M     A)
 376           /            i, 1          i, 3      i, 2
 377           ====
 378           i = 1
 379 (%o3)     ---------------------------------------------
 380                                 5
 381 @end example
 382 @example
 383 (%i4) diff (mse, D);
 384          5
 385         ====
 386         \                             2
 387       4  >    (D + M    ) ((D + M    )  - C - M     B - M     A)
 388         /           i, 1         i, 1          i, 3      i, 2
 389         ====
 390         i = 1
 391 (%o4) ----------------------------------------------------------
 392                                   5
 393 @end example
 394 @example
 395 (%i5) ''mse, nouns;
 396 @group
 397                2                 2         9 2               2
 398 (%o5) (((D + 3)  - C - 2 B - 2 A)  + ((D + -)  - C - B - 2 A)
 399                                            4
 400            2               2         3 2               2
 401  + ((D + 2)  - C - B - 2 A)  + ((D + -)  - C - 2 B - A)
 402                                      2
 403            2             2
 404  + ((D + 1)  - C - B - A) )/5
 405 @end group
 406 @end example
 407
 408 @opencatbox
 409 @category{Package lsquares}
 410 @closecatbox
 411
 412 @end deffn
 413
 414 @deffn {関数} lsquares_residuals (@var{D}, @var{x}, @var{e}, @var{a})
 415
 416 指定されたパラメータ @var{a}とデータ @var{D}での
 417 方程式 @var{e}に関する残差を返します。
 418
 419
 420 @var{D}は行列で、 @var{x}は変数のリスト、
 421 @var{e}は方程式か一般式です;
 422 もし方程式でないなら、 @var{e}は
 423 @code{@var{e} = 0}であるかのように扱われます。
 424 @var{a}は
 425 @var{x}を除いた@var{e}の任意の自由変数に値を指定する
 426 方程式のリストです。
 427
 428 残差は以下のように定義されます:
 429
 430 @tex
 431 $${\rm lhs}\left(e_i\right) - {\rm rhs}\left(e_i\right),$$
 432 @end tex
 433 @ifnottex
 434 @example
 435                         lhs(e ) - rhs(e )
 436                              i         i
 437 @end example
 438 @end ifnottex
 439
 440 ここで、
 441 @code{@var{e}[i]}は、
 442 @var{a}から任意の残りの自由変数を割り当てて、
 443 @code{i}番目のデータ @code{@var{D}[i]}から値を割り当てられた
 444 @var{x}の中の変数に対して評価された方程式 @var{e}です。
 445
 446 @code{load("lsquares")}はこの関数をロードします。
 447
 448 例:
 449
 450 @c ===beg===
 451 @c load ("lsquares")$
 452 @c M : matrix (
 453 @c          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 454 @c a : lsquares_estimates (
 455 @c           M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, [A,B,C,D]);
 456 @c lsquares_residuals (
 457 @c           M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, first(a));
 458 @c ===end===
 459 @example
 460 (%i1) load ("lsquares")$
 461 (%i2) M : matrix (
 462          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 463                                   [ 1  1  1 ]
 464                                   [         ]
 465                                   [ 3       ]
 466                                   [ -  1  2 ]
 467                                   [ 2       ]
 468                                   [         ]
 469 (%o2)                             [ 9       ]
 470                                   [ -  2  1 ]
 471                                   [ 4       ]
 472                                   [         ]
 473                                   [ 3  2  2 ]
 474                                   [         ]
 475                                   [ 2  2  1 ]
 476 (%i3) a : lsquares_estimates (
 477           M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, [A,B,C,D]);
 478                          59        27      10921        107
 479 (%o3)            [[A = - --, B = - --, C = -----, D = - ---]]
 480                          16        16      1024         32
 481 (%i4) lsquares_residuals (
 482           M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, first(a));
 483                             13    13    13  13  13
 484 (%o4)                      [--, - --, - --, --, --]
 485                             64    64    32  64  64
 486 @end example
 487
 488 @opencatbox
 489 @category{Package lsquares}
 490 @closecatbox
 491
 492 @end deffn
 493
 494 @deffn {関数} lsquares_residual_mse (@var{D}, @var{x}, @var{e}, @var{a})
 495
 496 指定されたパラメータ @var{a}とデータ @var{D}での
 497 方程式 @var{e}に関する残差平均二乗誤差を返します。
 498
 499 残差MSEは以下のように定義されます:
 500
 501 @tex
 502 $${1 \over n} \, \sum_{i=1}^n \left[{\rm lhs}\left(e_i\right) - {\rm rhs}\left(e_i\right)\right]^2,$$
 503 @end tex
 504 @ifnottex
 505 @example
 506                     n
 507                    ====
 508                1   \                        2
 509                -    >    (lhs(e ) - rhs(e ))
 510                n   /           i         i
 511                    ====
 512                    i = 1
 513 @end example
 514 @end ifnottex
 515
 516 ここで、
 517 @code{@var{e}[i]}は、
 518 @var{a}から任意の残りの自由変数を割り当てて、
 519 @code{i}番目のデータ @code{@var{D}[i]}から値を割り当てられた
 520 @var{x}の中の変数に対して評価された方程式 @var{e}です。
 521
 522 @code{load("lsquares")}はこの関数をロードします。
 523
 524 例:
 525
 526 @c ===beg===
 527 @c load ("lsquares")$
 528 @c M : matrix (
 529 @c          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 530 @c a : lsquares_estimates (
 531 @c        M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, [A,B,C,D]);
 532 @c lsquares_residual_mse (
 533 @c        M, [z,x,y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C, first (a));
 534 @c ===end===
 535 @example
 536 (%i1) load ("lsquares")$
 537 (%i2) M : matrix (
 538          [1,1,1], [3/2,1,2], [9/4,2,1], [3,2,2], [2,2,1]);
 539                            [ 1  1  1 ]
 540                            [         ]
 541                            [ 3       ]
 542                            [ -  1  2 ]
 543                            [ 2       ]
 544                            [         ]
 545 (%o2)                      [ 9       ]
 546                            [ -  2  1 ]
 547                            [ 4       ]
 548                            [         ]
 549                            [ 3  2  2 ]
 550                            [         ]
 551                            [ 2  2  1 ]
 552 (%i3) a : lsquares_estimates (
 553              M, [z,x,y], (z+D)^2 = A*x+B*y+C, [A,B,C,D]);
 554
 555                   59        27      10921        107
 556 (%o3)     [[A = - --, B = - --, C = -----, D = - ---]]
 557                   16        16      1024         32
 558 (%i4) lsquares_residual_mse (
 559              M, [z,x,y], (z + D)^2 = A*x + B*y + C, first (a));
 560                               169
 561 (%o4)                         ----
 562                               2560
 563 @end example
 564
 565 @opencatbox
 566 @category{Package lsquares}
 567 @closecatbox
 568
 569 @end deffn
 570
 571 @deffn {関数} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars})
 572 @deffnx {関数} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon})
 573 @deffnx {関数} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon},@var{maxdegree})
 574 「最小二乗」法によるデータ表の多変数多項式調整。
 575 @var{Mat}はデータを含む行列であり、
 576 @var{VarList}は変数名(Mat列それぞれの名前ですが、Mat列を無視する際には変数名の代わりに"-")のリストであり、
 577 @var{depvars}は従属変数の名前か、
 578 従属変数の1つ以上の名前(その名前@var{VarList}の中になければいけません)のリストであり、
 579 @var{maxexpon}はオプションの、独立変数それぞれの最大指数(デフォルト1)であり、
 580 @var{maxdegree}はオプションの最大多項式次数(デフォルトで@var{maxexpon})です;
 581 それぞれの項の指数の和は@var{maxdegree}以下でなければいけないことに注意してください。
 582 もし @code{maxdgree = 0}なら制限は適用されません。
 583
 584 もし @var{depvars}が(リストではなく)従属変数の名前なら、
 585 @code{plsquares}は調整された多項式を返します。
 586 もし @var{depvars}が1つ以上の従属変数のリストなら、
 587 @code{plsquares}は調整された多項式のリストを返します。
 588 適合度について知らせるために
 589 決定係数が表示されます。
 590 それは0 (無相関)から1 (厳密相関)までの範囲です。
 591 これらの値は
 592 グローバル変数 @var{DETCOEF}(もし @var{depvars}がリストならリスト)にも保管されます。
 593
 594
 595 多変数線形調整の簡単な例:
 596 @example
 597 (%i1) load("plsquares")$
 598
 599 (%i2) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
 600                 [x,y,z],z);
 601      Determination Coefficient for z = .9897039897039897
 602                        11 y - 9 x - 14
 603 (%o2)              z = ---------------
 604                               3
 605 @end example
 606
 607 次数制限のない同じ例:
 608 @example
 609 (%i3) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
 610                 [x,y,z],z,1,0);
 611      Determination Coefficient for z = 1.0
 612                     x y + 23 y - 29 x - 19
 613 (%o3)           z = ----------------------
 614                               6
 615 @end example
 616
 617 N面ポリゴンは何本の対角線を持ちますか？
 618 いくつの多項式次数を使うべきですか？
 619 @example
 620 (%i4) plsquares(matrix([3,0],[4,2],[5,5],[6,9],[7,14],[8,20]),
 621                 [N,diagonals],diagonals,5);
 622      Determination Coefficient for diagonals = 1.0
 623                                 2
 624                                N  - 3 N
 625 (%o4)              diagonals = --------
 626                                   2
 627 (%i5) ev(%, N=9);   /* Testing for a 9 sides polygon */
 628 (%o5)                 diagonals = 27
 629 @end example
 630
 631 何通りの方法でn掛けnのチェス盤に2つのクィーンを取られないように置けますか？
 632 @example
 633 (%i6) plsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
 634                 [n,positions],[positions],4);
 635      Determination Coefficient for [positions] = [1.0]
 636 @group
 637                          4       3      2
 638                       3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
 639 (%o6)    [positions = -------------------------]
 640                                   6
 641 @end group
 642 (%i7) ev(%[1], n=8); /* Testing for a (8 x 8) chessboard */
 643 (%o7)                positions = 1288
 644 @end example
 645
 646 6つの従属変数を持つ例:
 647 @example
 648 (%i8) mtrx:matrix([0,0,0,0,0,1,1,1],[0,1,0,1,1,1,0,0],
 649                   [1,0,0,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,1])$
 650 (%i8) plsquares(mtrx,[a,b,_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],
 651                      [_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],1,0);
 652       Determination Coefficient for
 653 [_And, _Or, _Xor, _Nand, _Nor, _Nxor] =
 654 [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
 655 (%o2) [_And = a b, _Or = - a b + b + a,
 656 _Xor = - 2 a b + b + a, _Nand = 1 - a b,
 657 _Nor = a b - b - a + 1, _Nxor = 2 a b - b - a + 1]
 658 @end example
 659
 660 この関数を使うには、
 661 最初に @code{load("lsquares")}を書いてください。
 662
 663 @opencatbox
 664 @category{Package lsquares}
 665 @category{Numerical methods}
 666 @closecatbox
 667
 668 @end deffn
 669