doc/info/pt/romberg.texi

   1 @c /romberg.texi/1.1/Mon Jan  8 01:45:16 2007//
   2 @menu
   3 * Definições para romberg::
   4 @end menu
   5
   6 @node Definições para romberg, , Top, Top
   7 @section Definições para romberg
   8
   9 @deffn {Função} romberg (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
  10 @deffnx {Função} romberg (@var{F}, @var{a}, @var{b})
  11
  12 Calcula uma integração numérica pelo método de Romberg.
  13
  14 @code{romberg(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}
  15 retorna uma estimativa da integral @code{integrate(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}.
  16 @var{expr} deve ser uma expressão que avalie para um valor em ponto flutuante
  17 quando @var{x} estiver associado a um valor em ponto flutuante.
  18
  19 @code{romberg(@var{F}, @var{a}, @var{b})}
  20 retorna uma estimativa da integral @code{integrate(@var{F}(x), x, @var{a}, @var{b})}
  21 onde @code{x} representa o não nomeado, isolado argumeno de @var{F};
  22 o actual argumento não é chamado @code{x}.
  23 @var{F} deve ser uma função do Maxima ou do Lisp que retorne um valor em ponto flutuante
  24 quando o argumento for um número em ponto flutuante.
  25 @var{F} pode nomear uma função traduzida ou compilada do Maxima.
  26
  27 A precisão de @code{romberg} é governada pelas variáveis globais
  28 @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
  29 @code{romberg} termina com sucesso quando
  30 a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que @code{rombergabs},
  31 ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que @code{rombergtol}.
  32 Dessa forma quando @code{rombergabs} for 0.0 (o padrão)
  33 somente o erro relativo tem algum efeito sobre @code{romberg}.
  34
  35 @code{romberg} divide ao meio o tamanho do passo no máximo @code{rombergit} vezes antes de interromper;
  36 o número máximo de avaliações de função é portanto @code{2^rombergit}.
  37 Se o critério de erro estabelecido por @code{rombergabs} e por @code{rombergtol}
  38 não for satisfeito, @code{romberg} mostra uma mensagem de erro.
  39 @code{romberg} sempre faz ao menos @code{rombergmin} iterações;
  40 isso é uma intenção eurísstica de previnir encerramentos espúrios quando o integrando for oscilatório.
  41
  42 @code{romberg} repetidamente avalia o integrando após associar a variável
  43 de integração a um valor específico (e não antes).
  44 Essa política de avaliação torna possível aninhar chamadas a @code{romberg},
  45 para calcular integrais multidimensionais.
  46 Todavia, os cálculos de erro não tomam os erros de integrações aninhadas
  47 em consideração, então erros podem ser subestimados.
  48 Também, métodos imaginados especialmente para problemas multidimensionais podem retornar
  49 a mesma precisão com poucas avaliações de função.
  50
  51 @code{load("romberg")} torna essa função disponível para uso.
  52
  53 Veja também @code{QUADPACK}, uma colecção de funções de integração numérica.
  54
  55 Exemplos:
  56
  57 Uma integração unidimensonal.
  58 @c ===beg===
  59 @c load ("romberg");
  60 @c f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000) + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  61 @c rombergtol : 1e-6;
  62 @c rombergit : 15;
  63 @c estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  64 @c exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  65 @c abs (estimate - exact) / exact, numer;
  66 @c ===end===
  67
  68 @example
  69 (%i1) load ("romberg");
  70 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
  71 (%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000) + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  72                     1                 1                1
  73 (%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
  74                      2    1           2    1            2    1
  75               (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
  76                          100              1000              200
  77 (%i3) rombergtol : 1e-6;
  78 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
  79 (%i4) rombergit : 15;
  80 (%o4)                          15
  81 (%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  82 (%o5)                   173.6730736617464
  83 (%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  84 (%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
  85  + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
  86  + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
  87 (%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
  88 (%o7)                7.5527060865060088E-11
  89 @end example
  90
  91 Uma integração bidimensional, implementada com chamadas aninhadas a @code{romberg}.
  92 @c ===beg===
  93 @c load ("romberg");
  94 @c g(x, y) := x*y / (x + y);
  95 @c rombergtol : 1e-6;
  96 @c estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
  97 @c assume (x > 0);
  98 @c integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
  99 @c exact : radcan (%);
 100 @c abs (estimate - exact) / exact, numer;
 101 @c ===end===
 102
 103 @example
 104 (%i1) load ("romberg");
 105 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
 106 (%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
 107                                     x y
 108 (%o2)                   g(x, y) := -----
 109                                    x + y
 110 (%i3) rombergtol : 1e-6;
 111 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
 112 (%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 113 (%o4)                   0.81930239628356
 114 (%i5) assume (x > 0);
 115 (%o5)                        [x > 0]
 116 (%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 117                                           3
 118                                     2 log(-) - 1
 119                     9                     2        9
 120 (%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
 121                     2                    6         2
 122 (%i7) exact : radcan (%);
 123                     26 log(3) - 26 log(2) - 13
 124 (%o7)             - --------------------------
 125                                 3
 126 (%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
 127 (%o8)                1.3711979871851024E-10
 128 @end example
 129
 130 @end deffn
 131
 132 @defvr {Variável de opção} rombergabs
 133 Valor por omissão: 0.0
 134
 135 A precisão de @code{romberg} é governada pelas variávies globais
 136 @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
 137 @code{romberg} termina com sucesso quando
 138 a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que @code{rombergabs},
 139 ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que @code{rombergtol}.
 140 Dessa forma quando @code{rombergabs} for 0.0 (o padrão)
 141 somente o erro relativo tem algum efeito sobre @code{romberg}.
 142
 143 Veja também @code{rombergit} e @code{rombergmin}.
 144
 145 @end defvr
 146
 147 @defvr {Variável de opção} rombergit
 148 Valor por omissão: 11
 149
 150 @code{romberg} divide ao meio o tamanho do passo no máximo @code{rombergit} vezes antes de interromper;
 151 o número máximo de avaliações de função é portanto @code{2^rombergit}.
 152 Se o critério de erro estabelecido por @code{rombergabs} e por @code{rombergtol}
 153 não for satisfeito, @code{romberg} mostra uma mensagem de erro.
 154 @code{romberg} sempre faz ao menos @code{rombergmin} iterações;
 155 isso é uma intenção eurísstica de previnir encerramentos espúrios quando o integrando for oscilatório.
 156
 157 Veja também @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
 158
 159 @end defvr
 160
 161 @defvr {Variável de opção} rombergmin
 162 Valor por omissão: 0
 163
 164 @code{romberg} sempre faz ao menos @code{rombergmin} iterações;
 165 isso é uma intenção eurísstica para prevenir terminações espúrias quando o integrando for.
 166
 167 Veja também @code{rombergit}, @code{rombergabs}, e @code{rombergtol}.
 168
 169 @end defvr
 170
 171 @defvr {Variável de opção} rombergtol
 172 Valor por omissão: 1e-4
 173
 174 A precisão de @code{romberg} é governada pelas variáveis globais
 175 @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
 176 @code{romberg} termina com sucesso quando
 177 a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que @code{rombergabs},
 178 ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que @code{rombergtol}.
 179 Dessa forma quando @code{rombergabs} for 0.0 (o padrão)
 180 somente o erro relativo tem algum efeito sobre @code{romberg}.
 181
 182 Veja também @code{rombergit} e @code{rombergmin}.
 183
 184 @end defvr
 185
 186