doc/info/pt_BR/Differential.texi

   1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
   2 @c /Differential.texi/1.11/Sat Jun  2 00:12:38 2007/-ko/
   3 @menu
   4 * Introdução a Equações Diferenciais::
   5 * Funções e Variáveis Definidas para Equações Diferenciais::
   6 Definições para Equações Diferenciais
   7 @end menu
   8
   9 @node Introdução a Equações Diferenciais, Funções e Variáveis Definidas para Equações Diferenciais, Equações Diferenciais, Equações Diferenciais
  10 @section Introdução a Equações Diferenciais
  11
  12 Essa seção descreve as funções disponíves no Maxima para obter
  13 soluções analíticas para alguns tipos específicos de equações diferencias de primeira ordem e de equações diferencias de
  14 segunda ordem. Para obter uma solução numérica para um sistema de equações
  15 diferenciais, veja o pacote adicional @code{dynamics}. Para representações
  16 gráficas em espaço de fase, veja o pacote adicional
  17 @code{plotdf}.
  18
  19 @node Funções e Variáveis Definidas para Equações Diferenciais,  , Introdução a Equações Diferenciais, Equações Diferenciais
  20 @section Funções e Variáveis Definidas para Equações Diferenciais
  21
  22
  23 @deffn {Função} bc2 (@var{solução}, @var{xval1}, @var{yval1}, @var{xval2}, @var{yval2})
  24 Resolve o problema do valor limite para equações diferenciais de segunda ordem.
  25 Aqui: @var{solução} é uma solução geral para a equação, como encontrado por
  26 @code{ode2}, @var{xval1} especifica o valor da variável independente
  27 em um primeiro ponto, na forma @code{@var{x} = @var{x1}}, e @var{yval1}
  28 fornece o valor da variável dependente naquele ponto, na forma
  29 @code{@var{y} = @var{y1}}. As expressões @var{xval2} e @var{yval2}
  30 fornecem os valores para essas variáveis em um segundo ponto, usando a mesma
  31 forma.
  32
  33 Veja @code{ode2} para um exemplo de sua utilização.
  34
  35 @end deffn
  36
  37
  38 @deffn {Função} desolve (@var{eqn}, @var{x})
  39 @deffnx {Função} desolve ([@var{eqn_1}, ..., @var{eqn_n}], [@var{x_1}, ..., @var{x_n}])
  40 A Função @code{dsolve} resolve sistema de equações diferenciais
  41 lineares ordinárias usando a transformada de Laplace.  Aqui as @var{eqn}'s
  42 são equações diferenciais nas variáveis dependentes @var{x_1}, ...,
  43 @var{x_n}.  A dependência funcional de @var{x_1}, ..., @var{x_n} com relação à
  44 variável independente, por exemplo @var{x}, deve ser explicitamente indicada
  45 nas variáveis e em suas derivadas. Por exemplo, isso pode não ser
  46 caminho correto para definir duas equações:
  47
  48 @example
  49 eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x);
  50 eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
  51 @end example
  52
  53 O caminho correto pode ser:
  54
  55 @example
  56 eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
  57 eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
  58 @end example
  59
  60 A chamada à função @code{desolve} pode então ser
  61 @example
  62 desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
  63 @end example
  64
  65 Se condições iniciais em @code{x=0} forem conhecidas, elas podem ser fornecidas antes
  66 chamando @code{desolve} através de @code{atvalue}.
  67
  68 @c ===beg===
  69 @c 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
  70 @c 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
  71 @c atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
  72 @c atvalue(f(x),x=0,1);
  73 @c desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
  74 @c [%o1,%o2],%o5,diff;
  75 @c ===end===
  76 @example
  77 (%i1) @b{@t{'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);}}
  78                  d           d
  79 (%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
  80                  dx          dx
  81 (%i2) @b{@t{'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);}}
  82                   2
  83                  d            d
  84 (%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
  85                    2          dx
  86                  dx
  87 (%i3) @b{@t{atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);}}
  88 (%o3)                           a
  89 (%i4) @b{@t{atvalue(f(x),x=0,1);}}
  90 (%o4)                           1
  91 (%i5) @b{@t{desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);}}
  92                   x
  93 (%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) =
  94
  95                                                 x
  96                                    cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
  97 (%i6) @b{@t{[%o1,%o2],%o5,diff;}}
  98              x       x      x                x
  99 (%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]
 100
 101 @end example
 102
 103 Se @code{desolve} não pode obter uma solução, retorna @code{false}.
 104
 105 @end deffn
 106
 107 @deffn {Função} ic1 (@var{solução}, @var{xval}, @var{yval})
 108 Resolve problemas de valor inicial para equações diferenciais de primeira ordem.
 109 Aqui @var{solução} é uma solução geral para a equação, como encontrado por
 110 @code{ode2}, @var{xval} fornece um valor inicial para a variável
 111 independente na forma @code{@var{x} = @var{x0}}, e @var{yval} fornece o
 112 valor inicial para a variável dependente na forma @code{@var{y} =
 113 @var{y0}}.
 114
 115 Veja @code{ode2} para um exemplo de sua utilização.
 116
 117 @end deffn
 118
 119
 120 @deffn {Função} ic2 (@var{solução}, @var{xval}, @var{yval}, @var{dval})
 121 Resolve problemas de valor inicial para equações diferenciais de segunda ordem.
 122 Aqui @var{solução} é uma solução geral para a equação, como encontrada por
 123 @code{ode2}, @var{xval} fornece o valor inicial para a variável
 124 independente na forma @code{@var{x} = @var{x0}}, @var{yval} fornece o
 125 valor inicial da veriável dependente na forma @code{@var{y} =
 126 @var{y0}}, e @var{dval} fornece o valor inicial para a primeira
 127 derivada da variável dependente com relação à variável
 128 independente, na forma @code{diff(@var{y},@var{x}) = @var{dy0}}
 129 (@code{diff} não precisa receber apóstrofo para evitar avaliação).
 130
 131 Veja @code{ode2} para um exemplo de seu uso.
 132
 133 @end deffn
 134
 135 @deffn {Função} ode2 (@var{eqn}, @var{dvar}, @var{ivar})
 136 A função @code{ode2} resolve uma equação diferencial ordinária (EDO)
 137 de primeira ou de segunda ordem. @code{ode2} usa três argumentos: uma EDO fornecida por
 138 @var{eqn}, a variável dependente @var{dvar}, e a variável
 139 independente @var{ivar}. Quando @code{ode2} encontra uma solução, @code{ode2} retorna ou uma solução explícita ou
 140 uma sulução implícita para a variável dependente. @code{%c} é usado para
 141 representar a constante de integração no caso de equações de primeira ordem,
 142 e @code{%k1} e @code{%k2} as constantes para equações de
 143 segunda ordem. A dependência da variável dependente com relação à variável
 144 independente não tem que ser escrita explicitamente, como no caso de
 145 @code{desolve}, mas a variável independente deve sempre ser fornecida como o
 146 terceiro argumento.
 147
 148 Se @code{ode2} não conseguir obter uma solução por qualquer razaão, @code{ode2} retorna
 149 @code{false}, após talvez imprimir uma mensagem de erro. Os métodos
 150 implementados para equações de primeira ordem na seq@"{u}ência em que eles foram
 151 testados são: linear, separável, exato - talvez requerendo um fator de
 152 integração, homogêneo, equação de Bernoulli, e um método homogêneo
 153 generalizado. Os tipos de equaçõe de segunda ordem que podem ser resolvidos são:
 154 coeficientes constantes, exato, linear homogêneo com coeficientes
 155 não constantes que podem ser transformados em coeficientes constantes, o
 156 tipo de equação de Euler também chamado de equação equi-dimensional, equações resolvíveis pelo método de
 157 variação de parâmetros, e equações as quais são livres ou da
 158 variável independente ou da dependente de modo que elas possam ser reduzidas a
 159 duas equações lineares de primeira ordem para serem resolvidas seq@"{u}êncialmente.
 160
 161 Na resolução de EDO's pelo Maxima, muitas variáveis são escolhidas puramente para
 162 propósitos informativos: @code{método} denota o método de solução
 163 usado (e.g., @code{linear}), @code{intfactor} denota qualquer fator de
 164 integração usado, @code{odeindex} denota o índice para o método de Bernoulli ou
 165 para o método homogêneo generalizado, e @code{yp} denota a
 166 solução particular para a técnica de variação de parâmetros.
 167
 168 Com o objetivo de resolver poblemas de valor inicial (PVI) as funções @code{ic1} e
 169 @code{ic2} estão disponíveis para equações de primeira e de segunda ordem, e para
 170 resolver problemas do valor de segunda ordem associado (BVP em inglês) a função @code{bc2}
 171 pode ser usada.
 172
 173 Exemplo:
 174
 175 @c ===beg===
 176 @c x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
 177 @c ode2(%,y,x);
 178 @c ic1(%o2,x=%pi,y=0);
 179 @c 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
 180 @c ode2(%,y,x);
 181 @c ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
 182 @c bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
 183 @c ===end===
 184 @example
 185 (%i1) @b{@t{x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;}}
 186                       2 dy           sin(x)
 187 (%o1)                x  -- + 3 x y = ------
 188                         dx             x
 189 (%i2) @b{@t{ode2(%,y,x);}}
 190                              %c - cos(x)
 191 (%o2)                    y = -----------
 192                                   3
 193                                  x
 194 (%i3) @b{@t{ic1(%o2,x=%pi,y=0);}}
 195                               cos(x) + 1
 196 (%o3)                   y = - ----------
 197                                    3
 198                                   x
 199 (%i4) @b{@t{'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;}}
 200                          2
 201                         d y      dy 3
 202 (%o4)                   --- + y (--)  = 0
 203                           2      dx
 204                         dx
 205 (%i5) @b{@t{ode2(%,y,x);}}
 206                       3
 207                      y  + 6 %k1 y
 208 (%o5)                ------------ = x + %k2
 209                           6
 210 (%i6) @b{@t{ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));}}
 211                              3
 212                           2 y  - 3 y
 213 (%o6)                   - ---------- = x
 214                               6
 215 (%i7) @b{@t{bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);}}
 216                          3
 217                         y  - 10 y       3
 218 (%o7)                   --------- = x - -
 219                             6           2
 220
 221 @end example
 222
 223 @end deffn
 224