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1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
2 @c /lsquares.texi/1.2/Sat Jun 2 00:13:24 2007//
3 @menu
4 * Funções e Variáveis Definidas para lsquares::
5 @end menu
7 @node Funções e Variáveis Definidas para lsquares, , lsquares, lsquares
8 @section Funções e Variáveis Definidas para lsquares
11 @defvr {Variável global} DETCOEF
13 Essa variável é usada pelas funções @code{lsquares} e @code{plsquares} para armazenar o Coeficiente de Determinação que mede o melhor do ajuste. Esse intervalo de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exata).
15 Quando @code{plsquares} for chamada com uma lista de variáveis independentes, @var{DETCOEF} é escolhida para uma lista de Coeficientes de Determinação. Veja @code{plsquares} para detalhes.
17 Veja também @code{lsquares}.
18 @end defvr
21 @deffn {Função} lsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{equação},@var{ParamList})
22 @deffnx {Função} lsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{equação},@var{ParamList},@var{EsperadosList})
23 Ajuste múltiplo de equações não lineares de uma tabela de dados pelo
24 método dos "mínimos quadrados". @var{Mat} é uma matriz contendo os dados,
25 @var{VarList} é uma lista de nomes de variáveis (um para cada coluna de @var{Mat}),
26 @var{equação} é a equação a ser ajustada (essa equação deve estar na forma:
27 @code{depvar=f(indepvari,..., paramj,...)}, @code{g(depvar)=f(indepvari,..., paramj,...)}
28 ou na forma @code{g(depvar, paramk,...)=f(indepvari,..., paramj,...)}), @var{ParamList} é a
29 lista de parâmetros para obter, e @var{EsperadosList} é uma lista opcional de aproximações
30 iniciais para os parâmetros; quando esse último argumento estiver presente, @code{mnewton} é usado
31 em lugar de @code{solve} com o objetivo de pegar os parâmetros.
33 A equação pode ser completamente não linear com relação às variáveis
34 independentes e à variável dependente.
35 Com o objetivo de usar @code{solve()}, as equações devem ser lineares ou polinomiais com
36 relação aos parâmetros. Equações como @code{y=a*b^x+c} podem ser ajustadas para
37 @code{[a,b,c]} com @code{solve} se os valores de @code{x} forem inteiros positivos pequenos e
38 existam poucos dados (veja o exemplo em lsquares.dem).
39 @code{mnewton} permite ajustar uma equação não linear com relação aos
40 parâmetros, mas um bom conjunto de aproximações iniciais deve ser fornecido.
42 Se possível, a equação ajustada é retornada. Se existir mais
43 de uma solução, uma lista de equações é retornada.
44 O Coeficiente de Determinação é mostrado para informar sobre
45 o melhor do ajuste, de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exata).
46 Esse valor é também armazenada na vriável global @var{DETCOEF}.
48 Exemplos usando @code{solve}:
49 @example
50 (%i1) load("lsquares")$
52 (%i2) lsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
53 [x,y,z], z=a*x*y+b*x+c*y+d, [a,b,c,d]);
54 Determination Coefficient = 1.0
55 x y + 23 y - 29 x - 19
56 (%o2) z = ----------------------
57 6
58 (%i3) lsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
59 [n,p], p=a4*n^4+a3*n^3+a2*n^2+a1*n+a0,
60 [a0,a1,a2,a3,a4]);
61 Determination Coefficient = 1.0
62 4 3 2
63 3 n - 10 n + 9 n - 2 n
64 (%o3) p = -------------------------
65 6
66 (%i4) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25]),
67 [x,y], (y+c)^2=a*x+b, [a,b,c]);
68 Determination Coefficient = 1.0
69 (%o4) [y = 28 - sqrt(657 - 216 x),
70 y = sqrt(657 - 216 x) + 28]
71 (%i5) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25],[4,49]),
72 [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c]);
73 Determination Coefficient = 1.0
74 x
75 (%o5) y = 3 2 + 1
76 @end example
79 Exemplos usando @code{mnewton}:
80 @example
81 (%i6) load("lsquares")$
83 (%i7) lsquares(matrix([1.1,7.1],[2.1,13.1],[3.1,25.1],[4.1,49.1]),
84 [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c], [5,5,5]);
85 x
86 (%o7) y = 2.799098974610482 1.999999999999991
87 + 1.099999999999874
88 (%i8) lsquares(matrix([1.1,4.1],[4.1,7.1],[9.1,10.1],[16.1,13.1]),
89 [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], [4,1,2]);
90 .4878659755898127
91 (%o8) y = 3.177315891123101 x
92 + .7723843491402264
93 (%i9) lsquares(matrix([0,2,4],[3,3,5],[8,6,6]),
94 [m,n,y], y=(A*m+B*n)^(1/3)+C, [A,B,C], [3,3,3]);
95 1/3
96 (%o9) y = (3.999999999999862 n + 4.999999999999359 m)
97 + 2.00000000000012
98 @end example
100 Para usar essa função escreva primeiro @code{load("lsquares")}. Veja também @code{DETCOEF} e @code{mnewton}.
101 @end deffn
104 @deffn {Função} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars})
105 @deffnx {Função} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon})
106 @deffnx {Função} plsquares (@var{Mat},@var{VarList},@var{depvars},@var{maxexpon},@var{maxdegree})
107 Ajuste de polinômios de várias variáveis de uma tabela de dados pelo método dos
108 "mínimos quadrados". @var{Mat} é uma matriz contendo os dados, @var{VarList} é uma lista de nomes de variáveis (um nome para cada coluna de Mat, mas use "-" em lugar de nomes de variáveis para colunas de Mat), @var{depvars} é o
109 nome de uma variável dependente ou uma
110 lista com um ou mais nomes de variáveis dependentes (os quais nomes podem estar em @var{VarList}), @var{maxexpon} é o expoente máximo opcional para cada variável independente (1 por padrão), e @var{maxdegree} é o argumento opcional
111 grau máximo do polinômio (@var{maxexpon} por padrão); note que a soma dos expoentes de cada termo deve ser menor ou igual a @var{maxdegree}, e se @code{maxdgree = 0} então nenhum limite é aplicado.
113 Se @var{depvars} é o nome de uma variável dependente (fora de uma lista), @code{plsquares} retorna o polinômio ajustado. Se @var{depvars} for uma lista de uma ou mais variáveis dependentes, @code{plsquares} retorna uma lista com
114 o(s) polinômio(s) ajustado(s). Os Coeficientes de Determinação são mostrados com o objetivo de informar sobre o melhor do ajuste, cujo intervalo vai de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exata). Esses valores são também são
115 também armazenados na variável
116 global @var{DETCOEF} (uma lista se @var{depvars} for também uma lista).
119 Um simples exemplo de ajuste linear de várias variáveis:
120 @example
121 (%i1) load("plsquares")$
123 (%i2) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
124 [x,y,z],z);
125 Determination Coefficient for z = .9897039897039897
126 11 y - 9 x - 14
127 (%o2) z = ---------------
128 3
129 @end example
131 O mesmo exemplo sem restrições de gra:
132 @example
133 (%i3) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
134 [x,y,z],z,1,0);
135 Determination Coefficient for z = 1.0
136 x y + 23 y - 29 x - 19
137 (%o3) z = ----------------------
138 6
139 @end example
141 Quantas diagonais possi um polígono de N lados tem? What polynomial degree should be used?
142 @example
143 (%i4) plsquares(matrix([3,0],[4,2],[5,5],[6,9],[7,14],[8,20]),
144 [N,diagonais],diagonais,5);
145 Determination Coefficient for diagonais = 1.0
146 2
147 N - 3 N
148 (%o4) diagonais = --------
149 2
150 (%i5) ev(%, N=9); /* Testando para um polígono de 9 lados - o eneágono */
151 (%o5) diagonals = 27
152 @end example
154 Quantos caminhos fazemos para colocar duas raínhas sem que elas estejam ameaçadas em um tabuleiro de xadrez n x n ?
155 @example
156 (%i6) plsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
157 [n,posicoes],[posicoes],4);
158 Determination Coefficient for [posicoes] = [1.0]
159 4 3 2
160 3 n - 10 n + 9 n - 2 n
161 (%o6) [posicoes = -------------------------]
162 6
163 (%i7) ev(%[1], n=8); /* Tesando para um tabuleiro de (8 x 8) */
164 (%o7) posicoes = 1288
165 @end example
167 Em exemplo com seis variáveis dependentes:
168 @example
169 (%i8) mtrx:matrix([0,0,0,0,0,1,1,1],[0,1,0,1,1,1,0,0],
170 [1,0,0,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,1])$
171 (%i8) plsquares(mtrx,[a,b,_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],
172 [_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],1,0);
173 Determination Coefficient for
174 [_And, _Or, _Xor, _Nand, _Nor, _Nxor] =
175 [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
176 (%o2) [_And = a b, _Or = - a b + b + a,
177 _Xor = - 2 a b + b + a, _Nand = 1 - a b,
178 _Nor = a b - b - a + 1, _Nxor = 2 a b - b - a + 1]
179 @end example
181 Para usar essa função escreva primeiramente @code{load("lsquares")}.
182 @end deffn