doc/info/pt_BR/romberg.texi

   1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
   2 @c /romberg.texi/1.2/Sat Jun  2 00:13:30 2007//
   3 @menu
   4 * Funções e Variáveis Definidas para romberg::
   5 @end menu
   6
   7 @node Funções e Variáveis Definidas para romberg, , Top, Top
   8 @section Funções e Variáveis Definidas para romberg
   9
  10 @deffn {Função} romberg (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
  11 @deffnx {Função} romberg (@var{F}, @var{a}, @var{b})
  12
  13 Calcula uma integração numérica pelo método de Romberg.
  14
  15 @code{romberg(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}
  16 retorna uma estimativa da integral @code{integrate(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}.
  17 @var{expr} deve ser uma expressão que avalie para um valor em ponto flutuante
  18 quando @var{x} estiver associado a um valor em ponto flutuante.
  19
  20 @code{romberg(@var{F}, @var{a}, @var{b})}
  21 retorna uma estimativa da integral @code{integrate(@var{F}(x), x, @var{a}, @var{b})}
  22 onde @code{x} representa o não nomeado, isolado argumeno de @var{F};
  23 o atual argumento não é chamado @code{x}.
  24 @var{F} deve ser uma função do Maxima ou do Lisp que retorne um valor em ponto flutuante
  25 quando o argumento for um número em ponto flutuante.
  26 @var{F} pode nomear uma função traduzida ou compilada do Maxima.
  27
  28 A precisão de @code{romberg} é governada pelas variáveis globais
  29 @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
  30 @code{romberg} termina com sucesso quando
  31 a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que @code{rombergabs},
  32 ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que @code{rombergtol}.
  33 Dessa forma quando @code{rombergabs} for 0.0 (o padrão)
  34 somente o erro relativo tem algum efeito sobre @code{romberg}.
  35
  36 @code{romberg} divide ao meio o tamanho do passo no máximo @code{rombergit} vezes antes de interromper;
  37 o número máximo de avaliações de função é portanto @code{2^rombergit}.
  38 Se o critério de erro estabelecido por @code{rombergabs} e por @code{rombergtol}
  39 não for satisfeito, @code{romberg} mostra uma mensagem de erro.
  40 @code{romberg} sempre faz ao menos @code{rombergmin} iterações;
  41 isso é uma intenção eurísstica de previnir encerramentos espúrios quando o integrando for oscilatório.
  42
  43 @code{romberg} repetidamente avalia o integrando após associar a variável
  44 de integração a um valor específico (e não antes).
  45 Essa política de avaliação torna possível aninhar chamadas a @code{romberg},
  46 para calcular integrais multidimensionais.
  47 Todavia, os cálculos de erro não tomam os erros de integrações aninhadas
  48 em consideração, então erros podem ser subestimados.
  49 Também, métodos imaginados especialmente para problemas multidimensionais podem retornar
  50 a mesma precisão com poucas avaliações de função.
  51
  52 @code{load("romberg")} torna essa função disponível para uso.
  53
  54 Veja também @code{QUADPACK}, uma coleção de funções de integração numérica.
  55
  56 Exemplos:
  57
  58 Uma integração unidimensonal.
  59 @c ===beg===
  60 @c load ("romberg");
  61 @c f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000) + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  62 @c rombergtol : 1e-6;
  63 @c rombergit : 15;
  64 @c estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  65 @c exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  66 @c abs (estimate - exact) / exact, numer;
  67 @c ===end===
  68
  69 @example
  70 (%i1) load ("romberg");
  71 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
  72 (%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000) + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  73                     1                 1                1
  74 (%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
  75                      2    1           2    1            2    1
  76               (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
  77                          100              1000              200
  78 (%i3) rombergtol : 1e-6;
  79 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
  80 (%i4) rombergit : 15;
  81 (%o4)                          15
  82 (%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  83 (%o5)                   173.6730736617464
  84 (%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  85 (%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
  86  + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
  87  + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
  88 (%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
  89 (%o7)                7.5527060865060088E-11
  90 @end example
  91
  92 Uma integração bidimensional, implementada com chamadas aninhadas a @code{romberg}.
  93 @c ===beg===
  94 @c load ("romberg");
  95 @c g(x, y) := x*y / (x + y);
  96 @c rombergtol : 1e-6;
  97 @c estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
  98 @c assume (x > 0);
  99 @c integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 100 @c exact : radcan (%);
 101 @c abs (estimate - exact) / exact, numer;
 102 @c ===end===
 103
 104 @example
 105 (%i1) load ("romberg");
 106 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
 107 (%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
 108                                     x y
 109 (%o2)                   g(x, y) := -----
 110                                    x + y
 111 (%i3) rombergtol : 1e-6;
 112 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
 113 (%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 114 (%o4)                   0.81930239628356
 115 (%i5) assume (x > 0);
 116 (%o5)                        [x > 0]
 117 (%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 118                                           3
 119                                     2 log(-) - 1
 120                     9                     2        9
 121 (%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
 122                     2                    6         2
 123 (%i7) exact : radcan (%);
 124                     26 log(3) - 26 log(2) - 13
 125 (%o7)             - --------------------------
 126                                 3
 127 (%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
 128 (%o8)                1.3711979871851024E-10
 129 @end example
 130
 131 @end deffn
 132
 133 @defvr {Variável de opção} rombergabs
 134 Valor padrão: 0.0
 135
 136 A precisão de @code{romberg} é governada pelas variávies globais
 137 @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
 138 @code{romberg} termina com sucesso quando
 139 a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que @code{rombergabs},
 140 ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que @code{rombergtol}.
 141 Dessa forma quando @code{rombergabs} for 0.0 (o padrão)
 142 somente o erro relativo tem algum efeito sobre @code{romberg}.
 143
 144 Veja também @code{rombergit} e @code{rombergmin}.
 145
 146 @end defvr
 147
 148 @defvr {Variável de opção} rombergit
 149 Valor padrão: 11
 150
 151 @code{romberg} divide ao meio o tamanho do passo no máximo @code{rombergit} vezes antes de interromper;
 152 o número máximo de avaliações de função é portanto @code{2^rombergit}.
 153 @code{romberg} sempre faz ao menos @code{rombergmin} iterações;
 154 isso é uma intenção eurísstica de previnir encerramentos espúrios quando o integrando for oscilatório.
 155
 156 Veja também @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
 157
 158 @end defvr
 159
 160 @defvr {Variável de opção} rombergmin
 161 Valor padrão: 0
 162
 163 @code{romberg} sempre faz ao menos @code{rombergmin} iterações;
 164 isso é uma intenção eurísstica para prevenir terminações espúrias quando o integrando for.
 165
 166 Veja também @code{rombergit}, @code{rombergabs}, e @code{rombergtol}.
 167
 168 @end defvr
 169
 170 @defvr {Variável de opção} rombergtol
 171 Valor padrão: 1e-4
 172
 173 A precisão de @code{romberg} é governada pelas variáveis globais
 174 @code{rombergabs} e @code{rombergtol}.
 175 @code{romberg} termina com sucesso quando
 176 a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que @code{rombergabs},
 177 ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que @code{rombergtol}.
 178 Dessa forma quando @code{rombergabs} for 0.0 (o padrão)
 179 somente o erro relativo tem algum efeito sobre @code{romberg}.
 180
 181 Veja também @code{rombergit} e @code{rombergmin}.
 182
 183 @end defvr
 184