doc/info/stirling.texi

   1 @menu
   2 * Functions and Variables for stirling::
   3 @end menu
   4
   5 @node Functions and Variables for stirling,  , Package stirling, Package stirling
   6 @section Functions and Variables for stirling
   7
   8 @anchor{stirling}
   9 @deffn {Function} stirling @
  10 @fname{stirling} (@var{z},@var{n}) @
  11 @fname{stirling} (@var{z},@var{n},@var{pred})
  12
  13 Replace @code{gamma(x)} with the @math{O(1/x^{2n-1})} Stirling formula. when @var{n} isn't
  14 a nonnegative integer, signal an error. With the optional third argument @code{pred},
  15 the Stirling formula is applied only when @code{pred} is true.
  16
  17 Reference: Abramowitz & Stegun, " Handbook of mathematical functions", 6.1.40.
  18
  19 Examples:
  20 @example
  21 (%i1) load ("stirling")$
  22
  23 (%i2) stirling(gamma(%alpha+x)/gamma(x),1);
  24        1/2 - x             x + %alpha - 1/2
  25 (%o2) x        (x + %alpha)
  26                                    1           1
  27                             --------------- - ---- - %alpha
  28                             12 (x + %alpha)   12 x
  29                           %e
  30 (%i3) taylor(%,x,inf,1);
  31                     %alpha       2    %alpha
  32           %alpha   x       %alpha  - x       %alpha
  33 (%o3)/T/ x       + -------------------------------- + . . .
  34                                  2 x
  35 (%i4) map('factor,%);
  36                                        %alpha - 1
  37          %alpha   (%alpha - 1) %alpha x
  38 (%o4)   x       + -------------------------------
  39                                   2
  40 @end example
  41
  42 The function @code{stirling} knows the difference between the variable 'gamma' and
  43 the function gamma:
  44
  45 @example
  46 (%i5) stirling(gamma + gamma(x),0);
  47                                     x - 1/2   - x
  48 (%o5)    gamma + sqrt(2) sqrt(%pi) x        %e
  49 (%i6) stirling(gamma(y) + gamma(x),0);
  50                          y - 1/2   - y
  51 (%o6) sqrt(2) sqrt(%pi) y        %e
  52                                               x - 1/2   - x
  53                          + sqrt(2) sqrt(%pi) x        %e
  54 @end example
  55
  56 To apply the Stirling formula only to terms that involve the variable @code{k},
  57 use an optional third argument; for example
  58 @example
  59 (%i7) makegamma(pochhammer(a,k)/pochhammer(b,k));
  60 (%o7) (gamma(b)*gamma(k+a))/(gamma(a)*gamma(k+b))
  61 (%i8) stirling(%,1, lambda([s], not(freeof(k,s))));
  62 (%o8) (%e^(b-a)*gamma(b)*(k+a)^(k+a-1/2)*(k+b)^(-k-b+1/2))/gamma(a)
  63 @end example
  64 The terms @code{gamma(a)} and @code{gamma(b)} are free of @code{k}, so the Stirling formula
  65 was not applied to these two terms.
  66
  67 To use this function write first @code{load("stirling")}.
  68
  69 @opencatbox{Categories:}
  70 @category{Gamma and factorial functions}
  71 @category{Share packages}
  72 @category{Package stirling}
  73 @closecatbox
  74
  75 @end deffn