doc/info/ru/Atensor.texi

   1 @c Language=Russian
   2 @c Encoding=UTF-8
   3 @c File=Atensor.texi
   4 @c OriginalRevision=1.10
   5 @c TranslatedBy: (c) 2005-12 Valery Pipin <pip@iszf.irk.ru>
   6
   7 @menu
   8 * Введение в пакет atensor::
   9 * Функции и переменные пакета atensor::
  10 @end menu
  11
  12 @node Введение в пакет atensor, Функции и переменные пакета atensor, Пакет atensor, Пакет atensor
  13 @section Введение в пакет atensor
  14
  15 Пакет @code{atensor} предназначен для вычислений с тензорными алгебрами.
  16 Для того, чтобы использовать @code{atensor}, надо ввести
  17 @code{load("atensor")}, с последующим вызовом функции @code{init_atensor}.
  18
  19 Основой пакета @code{atensor} является набор правил упрощения для
  20 оператора некоммутативного произведения ("@code{.}" -- dot product).
  21 @code{atensor} знает несколько типов алгебр и соответствующий
  22 набор правил активизируется при вызове функции @code{init_atensor}.
  23
  24 Возможности пакета @code{atensor} можно продемонстрировать определив
  25 алгебру кватернионов как алгебру Клиффорда Cl(0,2) с двумя базисными
  26 векторами.  В этом случае три кватернионные мнимые единицы
  27 представляются двумя базисными векторами и их произведением:
  28
  29 @example
  30     i = v     j = v     k = v  . v
  31          1         2         1    2
  32 @end example
  33
  34 Хотя @code{atensor} имеет встроенное определение алгебры кватернионов,
  35 оно не используется в данном примере, в котором мы построим
  36 таблицу умножения кватернионов в виде матрицы:
  37
  38 @example
  39
  40 (%i1) load("atensor");
  41 (%o1)       /share/tensor/atensor.mac
  42 (%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
  43 (%o2)                                done
  44 (%i3) atensimp(v[1].v[1]);
  45 (%o3)                                 - 1
  46 (%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
  47 (%o4)                                 - 1
  48 (%i5) q:zeromatrix(4,4);
  49                                 [ 0  0  0  0 ]
  50                                 [            ]
  51                                 [ 0  0  0  0 ]
  52 (%o5)                           [            ]
  53                                 [ 0  0  0  0 ]
  54                                 [            ]
  55                                 [ 0  0  0  0 ]
  56 (%i6) q[1,1]:1;
  57 (%o6)                                  1
  58 (%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
  59 (%o7)                                done
  60 (%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
  61 (%o8)                               v  . v
  62                                      1    2
  63 (%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
  64       q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
  65 (%o9)                                done
  66 (%i10) q;
  67                    [    1        v         v      v  . v  ]
  68                    [              1         2      1    2 ]
  69                    [                                      ]
  70                    [   v         - 1     v  . v    - v    ]
  71                    [    1                 1    2      2   ]
  72 (%o10)             [                                      ]
  73                    [   v      - v  . v     - 1      v     ]
  74                    [    2        1    2              1    ]
  75                    [                                      ]
  76                    [ v  . v      v        - v       - 1   ]
  77                    [  1    2      2          1            ]
  78 @end example
  79
  80 В качестве базисных векторов @code{atensor} использует переменные с
  81 индексом.  Символ переменой хранится в @code{asymbol} а индекс
  82 может принимать значения от 1 до @code{adim}.
  83 Для переменных с индексом вычисляются билинейные формы
  84 @code{sf}, @code{af} и  @code{av}.  Вычисление подставляет значение
  85 @code{aform[i,j]} вместо @code{fun(v[i],v[j])},
  86 где @code{v} есть значение @code{asymbol} и @code{fun} есть @code{af}
  87 или @code{sf}; либо подставляет @code{v[aform[i,j]]} вместо
  88 @code{av(v[i],v[j])}.
  89
  90 Функции @code{sf}, @code{af} и @code{av} могут быть переопределены
  91 пользователем.
  92
  93 Когда пакет @code{atensor} загружен, устанавливаются следующие
  94 значения переключателей:
  95
  96 @example
  97 dotscrules:true;
  98 dotdistrib:true;
  99 dotexptsimp:false;
 100 @end example
 101
 102 Если вы хотите поэкспериментировать с неассоциативными алгебрами
 103 надо присвоить @code{dotassoc} значение @code{false}.  Однако, в
 104 данном случае @code{atensimp} не всегда может получить желаемое
 105 упрощение.
 106
 107 @opencatbox{Категории:}
 108 @category{Тензоры}
 109 @category{Пакеты библиотеки share}
 110 @category{Пакет atensor}
 111 @closecatbox
 112
 113
 114 @node Функции и переменные пакета atensor,  , Введение в пакет atensor, Пакет atensor
 115
 116 @section Функции и переменные пакета atensor
 117
 118 @deffn {Функция} init_atensor (@var{alg_type}, @var{opt_dims})
 119 @deffnx {Функция} init_atensor (@var{alg_type})
 120
 121 Инициализирует пакет @code{atensor} с указанием типа алгебры.
 122 Здесь @var{alg_type} может принимать одно из следующих
 123 значений:
 124
 125 @code{universal}: Универсальная алгебра без определенных правил
 126 коммутации.
 127
 128 @code{grassmann}: Алгебра Грассмана, определяемая коммутационным правилом
 129 @code{u.v+v.u=0}.
 130
 131 @code{clifford}: Алгебра Клиффорда, определяемая коммутационным
 132 правилом @code{u.v+v.u=-2*sf(u,v)}, где @code{sf} есть симметричная
 133 скалярная функция.  Для этой алгебры @var{opt_dims} может задавать до 3-х
 134 неотрицательных целых чисел, которые представляют собой число
 135 положительных, вырожденных и отрицательных размерностей алгебры.
 136 Если @var{opt_dims} задано, то @code{atensor} автоматически
 137 сконфигурирует значения @code{adim} и @code{aform}.  В противном
 138 случае @code{adim} принимает значение 0 а @code{aform}
 139 остается неопределенным.
 140
 141 @code{symmetric}:  Симметричная алгебра, определяемая коммутационным
 142 правилом @code{u.v-v.u=0}.
 143
 144 @code{symplectic}: Симплектическая алгебра, определяемая
 145 коммутационным правилом @code{u.v-v.u=2*af(u,v)}, гда @code{af} есть
 146 антисимметричная скалярная функция.  Для симплектической алгебры
 147 @var{opt_dims} может задавать до двух неотрицательных целых чисел,
 148 представляющих число невырожденных и вырожденных измерений соответственно.
 149 Если @var{opt_dims} задано, то @code{atensor} автоматически
 150 сконфигурирует значения @code{adim} и @code{aform}.  В противном
 151 случае @code{adim} принимает значение 0 а @code{aform}
 152 остается неопределенным.
 153
 154 @code{lie_envelop}: Обертывающая алгебра Ли, определяемая
 155 коммутационным правилом @code{u.v-v.u=2*av(u,v)}, где @code{av} есть
 156 антисимметричная функция.
 157
 158 @code{init_atensor} также распознает несколько предопределенных
 159 типов алгебр:
 160
 161 @code{complex} реализует алгебру комплексных чисел, как алгебру
 162 Клиффорда Cl(0,1).  Вызов @code{init_atensor(complex)} эквивалентен
 163 @code{init_atensor(clifford,0,0,1)}.
 164
 165 @code{quaternion} реализует алгебру кватернионов. Вызов
 166 @code{init_atensor(quaternion)} эквивалентен
 167 @code{init_atensor(clifford,0,0,2)}.
 168
 169 @code{pauli} реализует алгебру спиноров Паули как алгебру Клиффорда
 170 Cl(3,0).  Вызов @code{init_atensor(pauli)} эквивалентен
 171 @code{init_atensor(clifford,3)}.
 172
 173 @code{dirac} реализует алгебру спиноров Дирака как алгебру Клиффорда
 174 Cl(3,1). Вызов @code{init_atensor(dirac)} эквивалентен
 175 @code{init_atensor(clifford,3,0,1)}.
 176
 177 @opencatbox{Категории:}
 178 @category{Пакет atensor}
 179 @closecatbox
 180
 181 @end deffn
 182
 183
 184 @deffn {Функция} atensimp (@var{expr})
 185
 186 Упрощает алгебраическое выражение @var{expr} в соответствии с
 187 правилами, определенными при вызове @code{init_atensor}.
 188 Упрощение сводится к рекурсивному применению коммутационных правил
 189 м вычислению, где возможно, значений @code{sf}, @code{af} и @code{av}.
 190 При этом применяются предосторожности, обеспечивающие то,
 191 что процесс упрощения завершится.
 192
 193 @opencatbox{Категории:}
 194 @category{Пакет atensor}
 195 @category{Упрощающие функции}
 196 @closecatbox
 197
 198 @end deffn
 199
 200
 201 @deffn {Функция} alg_type
 202
 203 Тип алгебры.  Допустимые значения:  @code{universal}, @code{grassmann},
 204 @code{clifford}, @code{symmetric}, @code{symplectic} или @code{lie_envelop}.
 205
 206 @opencatbox{Категории:}
 207 @category{Пакет atensor}
 208 @closecatbox
 209
 210 @end deffn
 211
 212 @defvr {Переменная} adim
 213 Значение по умолчанию: 0
 214
 215 Размерность алгебры.  @code{atensor} использует @code{adim}
 216 для того чтобы определить является ли индексированный объект
 217 допустимым базисным вектором.  См. @code{abasep}.
 218
 219 @opencatbox{Категории:}
 220 @category{Пакет atensor}
 221 @category{Глобальные переменные}
 222 @closecatbox
 223
 224 @end defvr
 225
 226 @defvr {Переменная} aform
 227 Значение по умолчанию: @code{ident(3)}
 228
 229 Значение билинейных форм @code{sf}, @code{af} или
 230 @code{av}.  Значение по умолчанию -- единичная 3х3 матрица @code{ident(3)}.
 231
 232 @opencatbox{Категории:}
 233 @category{Пакет atensor}
 234 @category{Глобальные переменные}
 235 @closecatbox
 236
 237 @end defvr
 238
 239 @defvr {Переменная} asymbol
 240 Значение по умолчанию: @code{v}
 241
 242 Символ, используемый для обозначения базисного вектора.
 243
 244 @opencatbox{Категории:}
 245 @category{Пакет atensor}
 246 @category{Глобальные переменные}
 247 @closecatbox
 248
 249 @end defvr
 250
 251 @deffn {Функция} sf (@var{u}, @var{v})
 252
 253 Симметричная скалярная функция, используемая в коммутационных
 254 правилах.  По умолчанию с помощью @code{abasep} проверяется, что
 255 оба аргумента функции являются базисными векторами, и если это так,
 256 подставляется соответствующее значение из матрицы @code{aform}.
 257
 258 @opencatbox{Категории:}
 259 @category{Пакет atensor}
 260 @closecatbox
 261
 262 @end deffn
 263
 264 @deffn {Функция} af (@var{u}, @var{v})
 265
 266 Антисимметричная скалярная функция, используемая в коммутационных
 267 правилах.  По умолчанию с помощью @code{abasep} проверяется, что
 268 оба аргумента функции являются базисными векторами, и если это так,
 269 подставляется соответствующее значение из матрицы @code{aform}.
 270
 271 @opencatbox{Категории:}
 272 @category{Пакет atensor}
 273 @closecatbox
 274
 275 @end deffn
 276
 277 @deffn {Функция} av (@var{u}, @var{v})
 278
 279 Антисимметричная скалярная функция, используемая в коммутационных
 280 правилах.  По умолчанию с помощью @code{abasep} проверяется, что
 281 оба аргумента функции являются базисными векторами, и если это так,
 282 подставляется соответствующее значение из матрицы @code{aform}.
 283
 284 Например:
 285
 286 @example
 287 (%i1) load("atensor");
 288 (%o1)       /share/tensor/atensor.mac
 289 (%i2) adim:3;
 290 (%o2)                                  3
 291 (%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
 292                                [  0    3   - 2 ]
 293                                [               ]
 294 (%o3)                          [ - 3   0    1  ]
 295                                [               ]
 296                                [  2   - 1   0  ]
 297 (%i4) asymbol:x;
 298 (%o4)                                  x
 299 (%i5) av(x[1],x[2]);
 300 (%o5)                                 x
 301                                        3
 302 @end example
 303
 304 @opencatbox{Категории:}
 305 @category{Пакет atensor}
 306 @closecatbox
 307
 308 @end deffn
 309
 310
 311 @deffn {Функция} abasep (@var{v})
 312
 313 Проверяет является ли аргумент базисным вектором для @code{atensor}.
 314 Т.е. проверяет, что: это индексированная переменная, символ этой
 315 переменной совпадает с значением @code{asymbol}, индекс имеет
 316 числовое значение в пределах от 1 до @code{adim}.
 317
 318 @opencatbox{Категории:}
 319 @category{Пакет atensor}
 320 @category{Функции предикаты}
 321 @closecatbox
 322
 323 @end deffn