doc/info/ru/interpol.texi

   1 @c Language=Russian
   2 @c Encoding=UTF-8
   3 @c File=interpol.texi
   4 @c OriginalRevision=1.8
   5 @c TranslatedBy: (c) 2008-03 Vadim V. Zhytnikov <vvzhyt@gmail.com>
   6
   7
   8 @menu
   9 * Введение в пакет interpol::
  10 * Функции и переменные пакета interpol::
  11 @end menu
  12
  13 @node Введение в пакет interpol, Функции и переменные пакета interpol, Пакет interpol, Пакет interpol
  14 @section Введение в пакет interpol
  15
  16 Пакет @code{interpol} определяет методы Лагранжа, линейный и и метод кубических сплайнов для
  17 полиномиальной интерполяции.
  18
  19 С комментариями, сообщениями об ошибках и предложениями, пожалуйста
  20 обращайтесь ко мне по адресу @var{'mario AT edu DOT xunta DOT es'}.
  21
  22 @opencatbox{Категории:}
  23 @category{Численные методы}
  24 @category{Пакеты библиотеки share}
  25 @category{Пакет interpol}
  26 @closecatbox
  27
  28 @node Функции и переменные пакета interpol,  , Введение в пакет interpol, Пакет interpol
  29 @section Функции и переменные пакета interpol
  30
  31
  32 @deffn {Функция} lagrange (@var{points})
  33 @deffnx {Функция} lagrange (@var{points}, @var{option})
  34 Вычисляет полиномиальную интерполяцию методом Лагранжа. Аргумент @var{points} должен быть либо:
  35
  36 @itemize @bullet
  37 @item
  38 матрицей из двух колонок, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
  39 @item
  40 списком пар, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
  41 @item
  42 списком чисел @code{p: [4,6,3]}, в этом случае абсцисса будет назначена автоматически равной 1, 2, 3 и т.д.
  43 @end itemize
  44
  45 В первых двух случаях, перед проведением вычислений, пары упорядочиваются в соответствии
  46 со значением первой координаты.
  47
  48 Аргумент @var{option} позволяет выбрать имя независимой переменной, по умолчанию равной @code{'x}.
  49 Чтобы задать другую переменную напишите @code{varname='z}.
  50
  51 Отметим, что при работе с многочленами высокого порядка, вычисления с плавающей точкой
  52 нестабильны.
  53
  54 Примеры:
  55
  56 @example
  57 (%i1) load("interpol")$
  58 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
  59 (%i3) lagrange(p);
  60                  4        3         2
  61              73 x    701 x    8957 x    5288 x   186
  62 (%o3)        ----- - ------ + ------- - ------ + ---
  63               420     210       420      105      5
  64 (%i4) f(x):=''%;
  65                      4        3         2
  66                  73 x    701 x    8957 x    5288 x   186
  67 (%o4)    f(x) := ----- - ------ + ------- - ------ + ---
  68                   420     210       420      105      5
  69 (%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
  70       map(f,[2.3,5/7,%pi]);
  71                              919062
  72 (%o5)  [- 1.567534999999992, ------,
  73                              84035
  74                          4          3           2
  75                    73 %pi    701 %pi    8957 %pi    5288 %pi   186
  76                    ------- - -------- + --------- - -------- + ---]
  77                      420       210         420        105       5
  78 (%i6) %,numer;
  79 (%o6) [- 1.567534999999992, 10.9366573451538, 2.89319655125692]
  80 (%i7) load("draw")$  /* load draw package */
  81 (%i8) /* Plot the polynomial together with points */
  82       draw2d(
  83         color      = red,
  84         key        = "Lagrange polynomial",
  85         explicit(f(x),x,0,10),
  86         point_size = 3,
  87         color      = blue,
  88         key        = "Sample points",
  89         points(p))$
  90 (%i9) /* Change variable name */
  91       lagrange(p, varname=w);
  92                  4        3         2
  93              73 w    701 w    8957 w    5288 w   186
  94 (%o9)        ----- - ------ + ------- - ------ + ---
  95               420     210       420      105      5
  96 @end example
  97
  98 @opencatbox{Категории:}
  99 @category{Пакет interpol}
 100 @closecatbox
 101
 102 @end deffn
 103
 104
 105 @deffn {Функция} charfun2 (@var{x}, @var{a}, @var{b})
 106 Возвращает @code{true} если число @var{x} принадлежит интервалу @math{[a, b)}, и @code{false} в противном случае.
 107
 108 @opencatbox{Категории:}
 109 @category{Пакет interpol}
 110 @closecatbox
 111
 112 @end deffn
 113
 114
 115 @deffn {Функция} linearinterpol (@var{points})
 116 @deffnx {Функция} linearinterpol (@var{points}, @var{option})
 117 Вычисляет полиномиальную интерполяцию линейным методом. Аргумент @var{points} должен быть либо:
 118
 119 @itemize @bullet
 120 @item
 121 матрицей из двух колонок, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 122 @item
 123 списком пар, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 124 @item
 125 списком чисел @code{p: [4,6,3]}, в этом случае абсцисса будет назначена автоматически равной 1, 2, 3 и т.д.
 126 @end itemize
 127
 128 В первых двух случаях, перед проведением вычислений, пары упорядочиваются в соответствии
 129 со значением первой координаты.
 130
 131 Аргумент @var{option} позволяет выбрать имя независимой переменной, по умолчанию равной @code{'x}.
 132 Чтобы задать другую переменную напишите @code{varname='z}.
 133
 134 Примеры:
 135 @example
 136 (%i1) load("interpol")$
 137 (%i2) p: matrix([7,2],[8,3],[1,5],[3,2],[6,7])$
 138 (%i3) linearinterpol(p);
 139         13   3 x
 140 (%o3)  (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 141         2     2
 142  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 143     5 x
 144  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 145      3
 146
 147 (%i4) f(x):=''%;
 148                 13   3 x
 149 (%o4)  f(x) := (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 150                 2     2
 151  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 152     5 x
 153  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 154      3
 155 (%i5)  /* Evaluate the polynomial at some points */
 156        map(f,[7.3,25/7,%pi]);
 157                             62  5 %pi
 158 (%o5)                 [2.3, --, ----- - 3]
 159                             21    3
 160 (%i6) %,numer;
 161 (%o6)  [2.3, 2.952380952380953, 2.235987755982989]
 162 (%i7) load("draw")$  /* load draw package */
 163 (%i8)  /* Plot the polynomial together with points */
 164        draw2d(
 165          color      = red,
 166          key        = "Linear interpolator",
 167          explicit(f(x),x,-5,20),
 168          point_size = 3,
 169          color      = blue,
 170          key        = "Sample points",
 171          points(args(p)))$
 172 (%i9)  /* Change variable name */
 173        linearinterpol(p, varname='s);
 174        13   3 s
 175 (%o9) (-- - ---) charfun2(s, minf, 3)
 176        2     2
 177  + (s - 5) charfun2(s, 7, inf) + (37 - 5 s) charfun2(s, 6, 7)
 178     5 s
 179  + (--- - 3) charfun2(s, 3, 6)
 180      3
 181 @end example
 182
 183 @opencatbox{Категории:}
 184 @category{Пакет interpol}
 185 @closecatbox
 186
 187 @end deffn
 188
 189
 190
 191 @deffn {Функция} cspline (@var{points})
 192 @deffnx {Функция} cspline (@var{points}, @var{option1}, @var{option2}, ...)
 193 Вычисляет полиномиальную интерполяцию методом кубических сплайнов. Аргумент @var{points} должен быть либо:
 194
 195 @itemize @bullet
 196 @item
 197 матрицей из двух колонок, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 198 @item
 199 списком пар, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 200 @item
 201 списком чисел @code{p: [4,6,3]}, в этом случае абсцисса будет назначена автоматически равной 1, 2, 3 и т.д.
 202 @end itemize
 203
 204 В первых двух случаях, перед проведением вычислений, пары упорядочиваются в соответствии
 205 со значением первой координаты.
 206
 207 Существует три специальные опции:
 208 @itemize @bullet
 209 @item
 210 @code{'d1}, по умолчанию @code{'unknown}, -- первая производная в точке @math{x_1}. Если @code{'unknown},
 211 то вторая производная в точке @math{x_1} предполагается равной 0 (натуральный кубический сплайн).
 212 Если задана, то вторая производная вычисляется исходя из этого числа.
 213
 214 @item
 215 @code{'dn}, по умолчанию @code{'unknown}, -- первая производная в точке @math{x_n}. Если @code{'unknown},
 216 то вторая производная в точке @math{x_n} предполагается равной 0 (натуральный кубический сплайн).
 217 Если задана, то вторая производная вычисляется исходя из этого числа.
 218
 219 @item
 220 @code{'varname}, по умолчанию @code{'x}, -- имя независимой переменной.
 221 @end itemize
 222
 223 Примеры:
 224 @example
 225 (%i1) load("interpol")$
 226 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
 227 (%i3) /* Unknown first derivatives at the extremes
 228          is equivalent to natural cubic splines */
 229       cspline(p);
 230               3         2
 231         1159 x    1159 x    6091 x   8283
 232 (%o3)  (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)
 233          3288      1096      3288    1096
 234             3         2
 235       2587 x    5174 x    494117 x   108928
 236  + (- ------- + ------- - -------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 237        1644       137       1644      137
 238           3          2
 239     4715 x    15209 x    579277 x   199575
 240  + (------- - -------- + -------- - ------) charfun2(x, 6, 7)
 241      1644       274        1644      274
 242             3         2
 243       3287 x    2223 x    48275 x   9609
 244  + (- ------- + ------- - ------- + ----) charfun2(x, 3, 6)
 245        4932       274      1644     274
 246
 247 (%i4) f(x):=''%$
 248 (%i5) /* Some evaluations */
 249       map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;
 250 (%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]
 251 (%i6) load("draw")$  /* load draw package */
 252 (%i7) /* Plotting interpolating function */
 253       draw2d(
 254         color      = red,
 255         key        = "Cubic splines",
 256         explicit(f(x),x,0,10),
 257         point_size = 3,
 258         color      = blue,
 259         key        = "Sample points",
 260         points(p))$
 261 (%i8) /* New call, but giving values at the derivatives */
 262       cspline(p,d1=0,dn=0);
 263               3          2
 264         1949 x    11437 x    17027 x   1247
 265 (%o8)  (------- - -------- + ------- + ----) charfun2(x, minf, 3)
 266          2256       2256      2256     752
 267             3          2
 268       1547 x    35581 x    68068 x   173546
 269  + (- ------- + -------- - ------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 270         564       564        141      141
 271          3          2
 272     607 x    35147 x    55706 x   38420
 273  + (------ - -------- + ------- - -----) charfun2(x, 6, 7)
 274      188       564        141      47
 275             3         2
 276       3895 x    1807 x    5146 x   2148
 277  + (- ------- + ------- - ------ + ----) charfun2(x, 3, 6)
 278        5076       188      141      47
 279 (%i8) /* Defining new interpolating function */
 280       g(x):=''%$
 281 (%i9) /* Plotting both functions together */
 282       draw2d(
 283         color      = black,
 284         key        = "Cubic splines (default)",
 285         explicit(f(x),x,0,10),
 286         color      = red,
 287         key        = "Cubic splines (d1=0,dn=0)",
 288         explicit(g(x),x,0,10),
 289         point_size = 3,
 290         color      = blue,
 291         key        = "Sample points",
 292         points(p))$
 293 @end example
 294
 295 @opencatbox{Категории:}
 296 @category{Пакет interpol}
 297 @closecatbox
 298
 299 @end deffn