doc/intromax/intromax.html

   1 <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"
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  25  --></style>
  26
  27
  28
  29 <title> Introduction to Maxima</title>
  30
  31 <h1 align="center">Introduction to Maxima </h1>
  32
  33 <h3 align="center">Richard H. Rand<br />
  34 Dept. of Theoretical and Applied Mechanics, Cornell University
  35 <a href="#tthFtNtAAB" name="tthFrefAAB"><sup>1</sup></a> </h3>
  36
  37 <h3 align="center">  </h3>
  38
  39 <div class="p"><!----></div>
  40 Copyright (c) 1988-2010 Richard H. Rand.
  41
  42 <div class="p"><!----></div>
  43 This document is free; you can redistribute it and/or modify it under
  44 the terms of the GNU General Public License as published by the Free
  45 Software Foundation. See the GNU General Public License for more
  46 details at http://www.gnu.org/copyleft/gpl.html
  47
  48 <div class="p"><!----></div>
  49  <a name="tth_sEc1"></a><h2>
  50 1&nbsp;&nbsp;Introduction <a name="sec:introduction">
  51 </a></h2>
  52
  53 <div class="p"><!----></div>
  54 To invoke Maxima in a console, type
  55
  56 <pre>
  57 maxima&nbsp;&lt;enter&#62;
  58
  59 </pre>
  60
  61 <div class="p"><!----></div>
  62 The computer will display a greeting of the sort:
  63
  64 <pre>
  65 Distributed&nbsp;under&nbsp;the&nbsp;GNU&nbsp;Public&nbsp;License.&nbsp;See&nbsp;the&nbsp;file&nbsp;COPYING.
  66 Dedicated&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;memory&nbsp;of&nbsp;William&nbsp;Schelter.
  67 This&nbsp;is&nbsp;a&nbsp;development&nbsp;version&nbsp;of&nbsp;Maxima.&nbsp;The&nbsp;function&nbsp;bug_report()
  68 provides&nbsp;bug&nbsp;reporting&nbsp;information.
  69 (%i1)
  70
  71 </pre>
  72
  73 <div class="p"><!----></div>
  74 The <tt>(%i1)</tt> is a "label".  Each input or output line is
  75 labelled and can be referred to by its own label for the rest of the
  76 session.  <tt>i</tt> labels denote your commands and <tt>o</tt> labels
  77 denote displays of the machine's response.  <em>Never use variable
  78   names like <tt>%i1</tt> or <tt>%o5</tt>, as these will be confused with
  79   the lines so labeled</em>.
  80
  81 <div class="p"><!----></div>
  82 Maxima distinguishes lower and upper case.  All built-in functions
  83 have names which are lowercase only (<tt>sin</tt>, <tt>cos</tt>, <tt>save</tt>,
  84 <tt>load</tt>, etc).  Built-in constants have lowercase names (<tt>%e</tt>,
  85 <tt>%pi</tt>, <tt>inf</tt>, etc).  If you type <tt>SIN(x)</tt> or <tt>
  86   Sin(x)</tt>, Maxima assumes you mean something other than the built-in
  87 <tt>sin</tt> function.  User-defined functions and variables can have
  88 names which are lower or upper case or both.  <tt>foo(XY)</tt>, <tt>
  89   Foo(Xy)</tt>, <tt>FOO(xy)</tt> are all different.
  90
  91 <div class="p"><!----></div>
  92  <a name="tth_sEc2"></a><h2>
  93 2&nbsp;&nbsp;Special keys and symbols <a name="sec:keys">
  94 </a></h2>
  95
  96 <div class="p"><!----></div>
  97
  98 <ol type="1">
  99 <li> To end a Maxima session, type <tt>quit();</tt>.
 100 <div class="p"><!----></div>
 101 </li>
 102
 103 <li> To abort a computation without leaving Maxima, type <tt>^C</tt>.
 104 (Here <tt>^</tt> stands for the control key, so
 105 that <tt>^C</tt> means first press the key marked control and hold it down while pressing the C key.)
 106 It is important for you to
 107 know how to do this in case, for example, you begin a computation which is taking too long.
 108 For example:
 109
 110 <pre>
 111 (%i1)&nbsp;sum&nbsp;(1/x^2,&nbsp;x,&nbsp;1,&nbsp;100000)$
 112 ^C
 113 Maxima&nbsp;encountered&nbsp;a&nbsp;Lisp&nbsp;error:
 114
 115 &nbsp;Interactive&nbsp;interrupt&nbsp;at&nbsp;#x7FFFF74A43C3.
 116
 117 Automatically&nbsp;continuing.
 118 To&nbsp;enable&nbsp;the&nbsp;Lisp&nbsp;debugger&nbsp;set&nbsp;*debugger-hook*&nbsp;to&nbsp;nil.
 119 (%i2)
 120
 121 </pre>
 122 <div class="p"><!----></div>
 123 </li>
 124
 125 <li> In order to tell Maxima that you have finished your command, use
 126   the semicolon (<tt>;</tt>), followed by a return.  Note that the return
 127   key alone does not signal that you are done with your input.
 128 <div class="p"><!----></div>
 129 </li>
 130
 131 <li> An alternative input terminator to the semicolon (<tt>;</tt>) is
 132   the dollar sign (<tt>$</tt>), which, however, suppresses the display of
 133   Maxima's computation.  This is useful if you are computing some long
 134   intermediate result, and you don't want to waste time having it
 135   displayed on the screen.
 136 <div class="p"><!----></div>
 137 </li>
 138
 139 <li> If you wish to repeat a command which you have already given,
 140   say on line <tt>(%i5)</tt>, you may do so without typing it over again
 141   by preceding its label with two single quotes (<tt>"</tt>), i.e., <tt>
 142     "%i5</tt>. (Note that simply inputing <tt>%i5</tt> will not do the job
 143   - try it.)
 144 <div class="p"><!----></div>
 145 </li>
 146
 147 <li> If you want to refer to the immediately preceding result
 148   computed by Maxima, you can either use its <tt>o</tt> label, or you can
 149   use the special symbol percent (<tt>%</tt>).
 150 <div class="p"><!----></div>
 151 </li>
 152
 153 <li> The standard quantities e (natural log base), i (square root
 154   of &#8722;1) and &#960; (3.14159&#8230;) are respectively referred to as
 155   <tt>%e</tt>, <tt>%i</tt>,
 156   and <tt>%pi</tt>.  Note that the use of <tt>%</tt> here as a prefix
 157   is completely unrelated to the use of <tt>%</tt> to refer to the
 158   preceding result computed.
 159 <div class="p"><!----></div>
 160 </li>
 161
 162 <li> In order to assign a value to a variable, Maxima uses the colon
 163   (<tt>:</tt>), not the equal sign.  The equal sign is used for
 164   representing equations.
 165 <div class="p"><!----></div>
 166 </li>
 167 </ol>
 168
 169 <div class="p"><!----></div>
 170  <a name="tth_sEc3"></a><h2>
 171 3&nbsp;&nbsp;Arithmetic <a name="sec:arithmetic">
 172 </a></h2>
 173
 174 <div class="p"><!----></div>
 175 The common arithmetic operations are
 176
 177 <dl>
 178  <dt><b><tt>+</tt></b></dt>
 179         <dd> addition</dd>
 180  <dt><b><tt>-</tt></b></dt>
 181         <dd> subtraction</dd>
 182  <dt><b><tt>*</tt></b></dt>
 183         <dd> scalar multiplication</dd>
 184  <dt><b><tt>/</tt></b></dt>
 185         <dd> division</dd>
 186  <dt><b><tt>^</tt></b></dt>
 187         <dd>  or <tt>**</tt> exponentiation</dd>
 188  <dt><b><tt>.</tt></b></dt>
 189         <dd> matrix multiplication</dd>
 190  <dt><b><tt>sqrt(x)</tt></b></dt>
 191         <dd> square root of <tt>x</tt>.</dd>
 192 </dl>
 193 Maxima's output is characterized by exact (rational) arithmetic. For example,
 194
 195 <pre>
 196 (%i1)&nbsp;1/100&nbsp;+&nbsp;1/101;
 197 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;201
 198 (%o1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-----
 199 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;10100
 200
 201 </pre>
 202 If irrational numbers are involved in a computation, they are kept in symbolic form:
 203
 204 <pre>
 205 (%i2)&nbsp;(1&nbsp;+&nbsp;sqrt(2))^5;
 206 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5
 207 (%o2)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(sqrt(2)&nbsp;+&nbsp;1)
 208 (%i3)&nbsp;expand&nbsp;(%);
 209 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;7/2
 210 (%o3)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+&nbsp;5&nbsp;sqrt(2)&nbsp;+&nbsp;41
 211
 212 </pre>
 213 However, it is often useful to express a result in decimal notation.
 214 This may be accomplished by following the expression you want expanded
 215 by "<tt>,numer</tt>":
 216
 217 <pre>
 218 (%i4)&nbsp;%,&nbsp;numer;
 219 (%o4)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;82.01219330881977
 220
 221 </pre>
 222 Note the use here of <tt>%</tt>
 223 to refer to the previous result.  In this version of Maxima, <tt>
 224   numer</tt> gives 16 significant figures, of which the last is often
 225 unreliable.  However, Maxima can offer <em>arbitrarily high
 226   precision</em> by using the <tt>bfloat</tt> function:
 227
 228 <pre>
 229 (%i5)&nbsp;bfloat&nbsp;(%o3);
 230 (%o5)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8.201219330881976b1
 231
 232 </pre>
 233 The number of significant figures displayed is controlled by the
 234 Maxima variable <tt>fpprec</tt>, which has the default value of 16:
 235
 236 <pre>
 237 (%i6)&nbsp;fpprec;
 238 (%o6)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;16
 239
 240 </pre>
 241 Here we reset <tt>fpprec</tt> to yield 100 digits:
 242
 243 <pre>
 244 (%i7)&nbsp;fpprec:&nbsp;100;
 245 (%o7)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;100
 246 (%i8)&nbsp;''%i5;
 247 (%o8)&nbsp;8.20121933088197564152489730020812442785204843859314941221\
 248 2371240173124187540110412666123849550160561b1
 249
 250 </pre>
 251 Note the use of two single quotes (<tt>"</tt>) in <tt>(%i8)</tt> to repeat
 252 command <tt>(%i5)</tt>.  Maxima can handle very large numbers without
 253 approximation:
 254
 255 <pre>
 256 (%i9)&nbsp;100!;
 257 (%o9)&nbsp;9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859\
 258 2963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251\
 259 185210916864000000000000000000000000
 260
 261 </pre>
 262
 263 <div class="p"><!----></div>
 264  <a name="tth_sEc4"></a><h2>
 265 4&nbsp;&nbsp;Algebra <a name="sec:algebra">
 266 </a></h2>
 267
 268 <div class="p"><!----></div>
 269 Maxima's importance as a computer tool to facilitate analytical
 270 calculations becomes more evident when we see how easily it does
 271 algebra for us.  Here's an example in which a polynomial is expanded:
 272
 273 <pre>
 274 (%i1)&nbsp;(x&nbsp;+&nbsp;3*y&nbsp;+&nbsp;x^2*y)^3;
 275 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 276 (%o1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;y&nbsp;+&nbsp;x)
 277 (%i2)&nbsp;expand&nbsp;(%);
 278 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;2
 279 (%o2)&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;9&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;27&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;27&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;18&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y
 280 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 281 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+&nbsp;27&nbsp;x&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;+&nbsp;9&nbsp;x&nbsp;&nbsp;y&nbsp;+&nbsp;x
 282
 283 </pre>
 284 Now suppose we wanted to substitute <tt>5/z</tt> for <tt>x</tt> in the above
 285 expression:
 286
 287 <div class="p"><!----></div>
 288 <table border="0"><tr><td></td><td><table border="0"><tr><td></td><td width="1000">
 289
 290 <pre>
 291 (%i3)&nbsp;%o2,&nbsp;x=5/z;
 292 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 293 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;135&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;675&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;225&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;2250&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;125&nbsp;&nbsp;&nbsp;5625&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1875&nbsp;y
 294 (%o3)&nbsp;------&nbsp;+&nbsp;------&nbsp;+&nbsp;-----&nbsp;+&nbsp;-------&nbsp;+&nbsp;---&nbsp;+&nbsp;-------&nbsp;+&nbsp;------
 295 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 296 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z
 297 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 298 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;9375&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;15625&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 299 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+&nbsp;-------&nbsp;+&nbsp;--------&nbsp;+&nbsp;27&nbsp;y
 300 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6
 301 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z
 302
 303 </pre>
 304
 305 </td></tr></table><!--vbox-->
 306 </td><td></td></tr></table><!--hboxt-->The Maxima function <tt>ratsimp</tt> will place this over a common denominator:
 307
 308 <pre>
 309 (%i4)&nbsp;ratsimp&nbsp;(%);
 310 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 311 (%o4)&nbsp;(27&nbsp;y&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;+&nbsp;135&nbsp;y&nbsp;&nbsp;z&nbsp;&nbsp;+&nbsp;(675&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;225&nbsp;y)&nbsp;z
 312 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2
 313 &nbsp;+&nbsp;(2250&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;125)&nbsp;z&nbsp;&nbsp;+&nbsp;(5625&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;1875&nbsp;y)&nbsp;z&nbsp;&nbsp;+&nbsp;9375&nbsp;y&nbsp;&nbsp;z
 314 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;6
 315 &nbsp;+&nbsp;15625&nbsp;y&nbsp;)/z
 316
 317 </pre>
 318 Expressions may also be <tt>factor</tt>ed:
 319
 320 <pre>
 321 (%i5)&nbsp;factor&nbsp;(%);
 322 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 323 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3&nbsp;y&nbsp;z&nbsp;&nbsp;+&nbsp;5&nbsp;z&nbsp;+&nbsp;25&nbsp;y)
 324 (%o5)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;----------------------
 325 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6
 326 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;z
 327
 328 </pre>
 329 Maxima can obtain exact solutions to systems of nonlinear algebraic
 330 equations.  In this example we <tt>solve</tt> three equations in the
 331 three unknowns <tt>a</tt>, <tt>b</tt>, <tt>c</tt>:
 332
 333 <pre>
 334 (%i6)&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;b*c&nbsp;=&nbsp;1;
 335 (%o6)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b&nbsp;c&nbsp;+&nbsp;a&nbsp;=&nbsp;1
 336 (%i7)&nbsp;b&nbsp;-&nbsp;a*c&nbsp;=&nbsp;0;
 337 (%o7)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;c&nbsp;=&nbsp;0
 338 (%i8)&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;b&nbsp;=&nbsp;5;
 339 (%o8)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;b&nbsp;+&nbsp;a&nbsp;=&nbsp;5
 340 (%i9)&nbsp;solve&nbsp;([%o6,&nbsp;%o7,&nbsp;%o8],&nbsp;[a,&nbsp;b,&nbsp;c]);
 341 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(79)&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;11&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(79)&nbsp;%i&nbsp;+&nbsp;9
 342 (%o9)&nbsp;[[a&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;----------------,&nbsp;b&nbsp;=&nbsp;---------------,
 343 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 344 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(79)&nbsp;%i&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(79)&nbsp;%i&nbsp;+&nbsp;11
 345 c&nbsp;=&nbsp;---------------],&nbsp;[a&nbsp;=&nbsp;----------------,
 346 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;10&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 347 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(79)&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;9&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(79)&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;1
 348 b&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;---------------,&nbsp;c&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;---------------]]
 349 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;10
 350
 351 </pre>
 352 Note that the display consists of a "list", i.e., some expression
 353 contained between two brackets <tt>[ ... ]</tt>, which itself contains
 354 two lists.  Each of the latter contain a distinct solution to the
 355 simultaneous equations.
 356
 357 <div class="p"><!----></div>
 358 Trigonometric identities are easy to manipulate in Maxima.  The
 359 function <tt>trigexpand</tt> uses the sum-of-angles formulas to make the
 360 argument inside each trig function as simple as possible:
 361
 362 <pre>
 363 (%i10)&nbsp;sin(u&nbsp;+&nbsp;v)&nbsp;*&nbsp;cos(u)^3;
 364 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 365 (%o10)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;cos&nbsp;(u)&nbsp;sin(v&nbsp;+&nbsp;u)
 366 (%i11)&nbsp;trigexpand&nbsp;(%);
 367 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 368 (%o11)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;cos&nbsp;(u)&nbsp;(cos(u)&nbsp;sin(v)&nbsp;+&nbsp;sin(u)&nbsp;cos(v))
 369
 370 </pre>
 371 The function <tt>trigreduce</tt>, on the other hand, converts an
 372 expression into a form which is a sum of terms, each of which contains
 373 only a single <tt>sin</tt> or <tt>cos</tt>:
 374
 375 <pre>
 376 (%i12)&nbsp;trigreduce&nbsp;(%o10);
 377 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sin(v&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;u)&nbsp;+&nbsp;sin(v&nbsp;-&nbsp;2&nbsp;u)&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;sin(v&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;u)&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;sin(v)
 378 (%o12)&nbsp;---------------------------&nbsp;+&nbsp;-------------------------
 379 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8
 380
 381 </pre>
 382 The functions <tt>realpart</tt> and <tt>imagpart</tt> will return the real
 383 and imaginary parts of a complex expression:
 384
 385 <pre>
 386 (%i13)&nbsp;w:&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;k*%i;
 387 (%o13)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;%i&nbsp;k&nbsp;+&nbsp;3
 388 (%i14)&nbsp;w^2&nbsp;*&nbsp;%e^w;
 389 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;%i&nbsp;k&nbsp;+&nbsp;3
 390 (%o14)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(%i&nbsp;k&nbsp;+&nbsp;3)&nbsp;&nbsp;%e
 391 (%i15)&nbsp;realpart&nbsp;(%);
 392 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 393 (%o15)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;(9&nbsp;-&nbsp;k&nbsp;)&nbsp;cos(k)&nbsp;-&nbsp;6&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;k&nbsp;sin(k)
 394
 395 </pre>
 396
 397 <div class="p"><!----></div>
 398  <a name="tth_sEc5"></a><h2>
 399 5&nbsp;&nbsp;Calculus <a name="sec:calculus">
 400 </a></h2>
 401
 402 <div class="p"><!----></div>
 403 Maxima can compute derivatives and integrals, expand in Taylor series,
 404 take limits, and obtain exact solutions to ordinary differential
 405 equations.  We begin by defining the symbol <tt>f</tt> to be the
 406 following function of <tt>x</tt>:
 407
 408 <pre>
 409 (%i1)&nbsp;f:&nbsp;x^3&nbsp;*&nbsp;%e^(k*x)&nbsp;*&nbsp;sin(w*x);
 410 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x
 411 (%o1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x&nbsp;&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sin(w&nbsp;x)
 412
 413 </pre>
 414 We compute the derivative of <tt>f</tt> with respect to <tt>x</tt>:
 415
 416 <pre>
 417 (%i2)&nbsp;diff&nbsp;(f,&nbsp;x);
 418 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x
 419 (%o2)&nbsp;k&nbsp;x&nbsp;&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sin(w&nbsp;x)&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;x&nbsp;&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sin(w&nbsp;x)
 420 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x
 421 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+&nbsp;w&nbsp;x&nbsp;&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;cos(w&nbsp;x)
 422
 423 </pre>
 424 Now we find the indefinite integral of <tt>f</tt> with respect to <tt>x</tt>:
 425
 426 <pre>
 427 (%i3)&nbsp;integrate&nbsp;(f,&nbsp;x);
 428 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 429 (%o3)&nbsp;(((k&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;k&nbsp;)&nbsp;x
 430 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;2
 431 &nbsp;+&nbsp;(3&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;)&nbsp;x
 432 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 433 &nbsp;+&nbsp;(-&nbsp;18&nbsp;k&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;12&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;k&nbsp;)&nbsp;x&nbsp;-&nbsp;6&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;36&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;6&nbsp;k&nbsp;)
 434 &nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 435 &nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sin(w&nbsp;x)&nbsp;+&nbsp;((-&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;3&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w)&nbsp;x
 436 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2
 437 &nbsp;+&nbsp;(6&nbsp;k&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;12&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w)&nbsp;x
 438 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x
 439 &nbsp;+&nbsp;(6&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;12&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;-&nbsp;18&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w)&nbsp;x&nbsp;-&nbsp;24&nbsp;k&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;24&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w)&nbsp;%e
 440 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8
 441 &nbsp;cos(w&nbsp;x))/(w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;k&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;+&nbsp;k&nbsp;)
 442
 443 </pre>
 444 A slight change in syntax gives definite integrals:
 445
 446 <pre>
 447 (%i4)&nbsp;integrate&nbsp;(1/x^2,&nbsp;x,&nbsp;1,&nbsp;inf);
 448 (%o4)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1
 449 (%i5)&nbsp;integrate&nbsp;(1/x,&nbsp;x,&nbsp;0,&nbsp;inf);
 450
 451 defint:&nbsp;integral&nbsp;is&nbsp;divergent.
 452 &nbsp;--&nbsp;an&nbsp;error.&nbsp;To&nbsp;debug&nbsp;this&nbsp;try:&nbsp;debugmode(true);
 453
 454 </pre>
 455 Next we define the symbol <tt>g</tt> in terms of <tt>f</tt> (previously
 456 defined in <tt>%i1</tt>) and the hyperbolic sine function, and find its
 457 Taylor series expansion (up to, say, order 3 terms) about the point
 458 <tt>x = 0</tt>:
 459
 460 <div class="p"><!----></div>
 461 <table border="0"><tr><td></td><td><table border="0"><tr><td></td><td width="1000">
 462
 463 <pre>
 464 (%i6)&nbsp;g:&nbsp;f&nbsp;/&nbsp;sinh(k*x)^4;
 465 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;x
 466 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;x&nbsp;&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sin(w&nbsp;x)
 467 (%o6)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-----------------
 468 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 469 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sinh&nbsp;(k&nbsp;x)
 470 (%i7)&nbsp;taylor&nbsp;(g,&nbsp;x,&nbsp;0,&nbsp;3);
 471 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 472 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;w&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;w&nbsp;x&nbsp;&nbsp;&nbsp;(w&nbsp;k&nbsp;&nbsp;+&nbsp;w&nbsp;)&nbsp;x&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3&nbsp;w&nbsp;k&nbsp;&nbsp;+&nbsp;w&nbsp;)&nbsp;x
 473 (%o7)/T/&nbsp;--&nbsp;+&nbsp;---&nbsp;-&nbsp;--------------&nbsp;-&nbsp;----------------&nbsp;+&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.
 474 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 475 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;k&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;k&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;k
 476
 477 </pre>
 478
 479 </td></tr></table><!--vbox-->
 480 </td><td></td></tr></table><!--hboxt-->The limit of <tt>g</tt> as <tt>x</tt> goes to 0 is computed as follows:
 481
 482 <pre>
 483 (%i8)&nbsp;limit&nbsp;(g,&nbsp;x,&nbsp;0);
 484 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;w
 485 (%o8)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;--
 486 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4
 487 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;k
 488
 489 </pre>
 490 Maxima also permits derivatives to be represented in unevaluated form
 491 (note the quote):
 492
 493 <pre>
 494 (%i9)&nbsp;'diff&nbsp;(y,&nbsp;x);
 495 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dy
 496 (%o9)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;--
 497 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dx
 498
 499 </pre>
 500 The quote operator in <tt>(%i9)</tt> means "do not evaluate".  Without
 501 it, Maxima would have obtained 0:
 502
 503 <pre>
 504 (%i10)&nbsp;diff&nbsp;(y,&nbsp;x);
 505 (%o10)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0
 506
 507 </pre>
 508 Using the quote operator we can write differential equations:
 509
 510 <pre>
 511 (%i11)&nbsp;'diff&nbsp;(y,&nbsp;x,&nbsp;2)&nbsp;+&nbsp;'diff&nbsp;(y,&nbsp;x)&nbsp;+&nbsp;y;
 512 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2
 513 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;d&nbsp;y&nbsp;&nbsp;&nbsp;dy
 514 (%o11)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;---&nbsp;+&nbsp;--&nbsp;+&nbsp;y
 515 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;dx
 516 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;dx
 517
 518 </pre>
 519 Maxima's <tt>ode2</tt> function can solve first and second order ODE's:
 520
 521 <pre>
 522 (%i12)&nbsp;ode2&nbsp;(%o11,&nbsp;y,&nbsp;x);
 523 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-&nbsp;x/2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(3)&nbsp;x&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(3)&nbsp;x
 524 (%o12)&nbsp;y&nbsp;=&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(%k1&nbsp;sin(---------)&nbsp;+&nbsp;%k2&nbsp;cos(---------))
 525 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2
 526
 527 </pre>
 528
 529 <div class="p"><!----></div>
 530  <a name="tth_sEc6"></a><h2>
 531 6&nbsp;&nbsp;Matrix calculations <a name="sec:matrix">
 532 </a></h2>
 533
 534 <div class="p"><!----></div>
 535 Maxima can compute the determinant, inverse and eigenvalues and
 536 eigenvectors of matrices which have symbolic elements (i.e., elements
 537 which involve algebraic variables.) We begin by entering a matrix <tt>
 538   m</tt> element by element:
 539
 540 <pre>
 541 (%i1)&nbsp;m:&nbsp;entermatrix&nbsp;(3,&nbsp;3);
 542
 543 Is&nbsp;the&nbsp;matrix&nbsp;&nbsp;1.&nbsp;Diagonal&nbsp;&nbsp;2.&nbsp;Symmetric&nbsp;&nbsp;3.&nbsp;Antisymmetric&nbsp;&nbsp;4.&nbsp;General
 544 Answer&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3&nbsp;or&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;
 545 4;
 546 Row&nbsp;1&nbsp;Column&nbsp;1:&nbsp;
 547 0;
 548 Row&nbsp;1&nbsp;Column&nbsp;2:&nbsp;
 549 1;
 550 Row&nbsp;1&nbsp;Column&nbsp;3:&nbsp;
 551 a;
 552 Row&nbsp;2&nbsp;Column&nbsp;1:&nbsp;
 553 1;
 554 Row&nbsp;2&nbsp;Column&nbsp;2:&nbsp;
 555 0;
 556 Row&nbsp;2&nbsp;Column&nbsp;3:&nbsp;
 557 1;
 558 Row&nbsp;3&nbsp;Column&nbsp;1:&nbsp;
 559 1;
 560 Row&nbsp;3&nbsp;Column&nbsp;2:&nbsp;
 561 1;
 562 Row&nbsp;3&nbsp;Column&nbsp;3:&nbsp;
 563 0;
 564
 565 Matrix&nbsp;entered.
 566 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;a&nbsp;]
 567 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 568 (%o1)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;]
 569 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 570 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;1&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;]
 571
 572 </pre>
 573 Next we find its transpose, determinant and inverse:
 574
 575 <pre>
 576 (%i2)&nbsp;transpose&nbsp;(m);
 577 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;1&nbsp;]
 578 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 579 (%o2)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;]
 580 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 581 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;a&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;]
 582 (%i3)&nbsp;determinant&nbsp;(m);
 583 (%o3)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1
 584 (%i4)&nbsp;invert&nbsp;(m),&nbsp;detout;
 585 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;]
 586 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 587 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;]
 588 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 589 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;]
 590 (%o4)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-----------------
 591 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1
 592
 593 </pre>
 594 In <tt>(%i4)</tt>, the modifier <tt>detout</tt> keeps the determinant
 595 outside the inverse.  As a check, we multiply <tt>m</tt> by its inverse
 596 (note the use of the period to represent matrix multiplication):
 597
 598 <pre>
 599 (%i5)&nbsp;m&nbsp;.&nbsp;%o4;
 600 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;]
 601 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 602 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;]
 603 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;a&nbsp;]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 604 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;]
 605 (%o5)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;]&nbsp;.&nbsp;-----------------
 606 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1
 607 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;1&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;]
 608 (%i6)&nbsp;expand&nbsp;(%);
 609 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 610 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;-----&nbsp;+&nbsp;-----&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 611 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 612 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 613 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 614 (%o6)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-----&nbsp;+&nbsp;-----&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 615 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 616 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 617 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 618 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-----&nbsp;+&nbsp;-----&nbsp;]
 619 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;]
 620 (%i7)&nbsp;factor&nbsp;(%);
 621 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;0&nbsp;]
 622 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 623 (%o7)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;0&nbsp;]
 624 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;]
 625 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[&nbsp;0&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;1&nbsp;]
 626
 627 </pre>
 628 In order to find the eigenvalues and eigenvectors of <tt>m</tt>, we use the function <tt>
 629 eigenvectors</tt>:
 630
 631 <div class="p"><!----></div>
 632 <table border="0"><tr><td></td><td><table border="0"><tr><td></td><td width="1000">
 633
 634 <pre>
 635 (%i8)&nbsp;eigenvectors&nbsp;(m);
 636 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;+&nbsp;1
 637 (%o8)&nbsp;[[[-&nbsp;-----------------,&nbsp;-----------------,&nbsp;-&nbsp;1],&nbsp;
 638 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2
 639 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;-&nbsp;1
 640 [1,&nbsp;1,&nbsp;1]],&nbsp;[[[1,&nbsp;-&nbsp;-----------------,&nbsp;-&nbsp;-----------------]],&nbsp;
 641 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;2
 642 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;+&nbsp;1
 643 [[1,&nbsp;-----------------,&nbsp;-----------------]],&nbsp;[[1,&nbsp;-&nbsp;1,&nbsp;0]]]]
 644 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;2
 645
 646 </pre>
 647   In <tt>%o8</tt>, the first triple gives the eigenvalues of <tt>m</tt> and
 648   the next gives their respective multiplicities (here each is
 649   unrepeated).  The next three triples give the corresponding
 650   eigenvectors of <tt>m</tt>.  In order to extract from this expression
 651   one of these eigenvectors, we may use the <tt>part</tt> function:
 652
 653 <pre>
 654 (%i9)&nbsp;part&nbsp;(%o23,&nbsp;2,&nbsp;1,&nbsp;1);
 655 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;sqrt(4&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;5)&nbsp;-&nbsp;1
 656 (%o9)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[1,&nbsp;-&nbsp;-----------------,&nbsp;-&nbsp;-----------------]
 657 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;a&nbsp;+&nbsp;2
 658
 659 </pre>
 660
 661 </td></tr></table><!--vbox-->
 662 </td><td></td></tr></table><!--hboxt--> <a name="tth_sEc7"></a><h2>
 663 7&nbsp;&nbsp;Programming in Maxima <a name="sec:programming">
 664 </a></h2>
 665
 666 <div class="p"><!----></div>
 667 So far, we have used Maxima in the interactive mode, rather like a
 668 calculator.  However, for computations which involve a repetitive
 669 sequence of commands, it is better to execute a program.  Here we
 670 present a short sample program to calculate the critical points of a
 671 function <tt>f</tt> of two variables <tt>x</tt> and <tt>y</tt>.  The program
 672 cues the user to enter the function <tt>f</tt>, then it computes the
 673 partial derivatives <tt>f</tt><sub><tt>x</tt></sub> and <tt>f</tt><sub><tt>y</tt></sub>, and then it
 674 uses the Maxima command <tt>solve</tt> to obtain solutions to
 675 <tt>f</tt><sub><tt>x</tt></sub><tt> = </tt><tt>f</tt><sub><tt>y</tt></sub><tt> = </tt><tt>0</tt>.  The program is written outside of Maxima
 676 with a text editor, and then loaded into Maxima with the <tt>batch</tt>
 677 command.  Here is the program listing:
 678
 679 <pre>
 680 /*&nbsp;--------------------------------------------------------------------------&nbsp;
 681 &nbsp;&nbsp;&nbsp;this&nbsp;is&nbsp;file&nbsp;critpts.max:&nbsp;
 682 &nbsp;&nbsp;&nbsp;as&nbsp;you&nbsp;can&nbsp;see,&nbsp;comments&nbsp;in&nbsp;maxima&nbsp;are&nbsp;like&nbsp;comments&nbsp;in&nbsp;C&nbsp;
 683
 684 &nbsp;&nbsp;&nbsp;Nelson&nbsp;Luis&nbsp;Dias,&nbsp;nldias@simepar.br
 685 &nbsp;&nbsp;&nbsp;created&nbsp;20000707
 686 &nbsp;&nbsp;&nbsp;updated&nbsp;20000707
 687 &nbsp;&nbsp;&nbsp;---------------------------------------------------------------------------&nbsp;*/
 688 critpts():=(
 689 &nbsp;&nbsp;&nbsp;print("program&nbsp;to&nbsp;find&nbsp;critical&nbsp;points"),
 690 /*&nbsp;---------------------------------------------------------------------------
 691 &nbsp;&nbsp;&nbsp;asks&nbsp;for&nbsp;a&nbsp;function
 692 &nbsp;&nbsp;&nbsp;---------------------------------------------------------------------------&nbsp;*/
 693 &nbsp;&nbsp;&nbsp;f:read("enter&nbsp;f(x,y)"),
 694 /*&nbsp;---------------------------------------------------------------------------
 695 &nbsp;&nbsp;&nbsp;echoes&nbsp;it,&nbsp;to&nbsp;make&nbsp;sure
 696 &nbsp;&nbsp;&nbsp;---------------------------------------------------------------------------&nbsp;*/
 697 &nbsp;&nbsp;&nbsp;print("f&nbsp;=&nbsp;",f),
 698 /*&nbsp;---------------------------------------------------------------------------
 699 &nbsp;&nbsp;&nbsp;produces&nbsp;a&nbsp;list&nbsp;with&nbsp;the&nbsp;two&nbsp;partial&nbsp;derivatives&nbsp;of&nbsp;f
 700 &nbsp;&nbsp;&nbsp;---------------------------------------------------------------------------&nbsp;*/
 701 &nbsp;&nbsp;&nbsp;eqs:[diff(f,x),diff(f,y)],
 702 /*&nbsp;---------------------------------------------------------------------------
 703 &nbsp;&nbsp;&nbsp;produces&nbsp;a&nbsp;list&nbsp;of&nbsp;unknowns
 704 &nbsp;&nbsp;&nbsp;---------------------------------------------------------------------------&nbsp;*/
 705 &nbsp;&nbsp;&nbsp;unk:[x,y],
 706 /*&nbsp;---------------------------------------------------------------------------
 707 &nbsp;&nbsp;&nbsp;solves&nbsp;the&nbsp;system
 708 &nbsp;&nbsp;&nbsp;---------------------------------------------------------------------------&nbsp;*/
 709 &nbsp;&nbsp;&nbsp;solve(eqs,unk)&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 710 )$
 711
 712 </pre>
 713 The program (which is actually a function with no argument) is called
 714 <tt>critpts</tt>. Each line is a valid Maxima command which could be
 715 executed from the keyboard, and which is separated by the next command
 716 by a comma.  The partial derivatives are stored in a variable named
 717 <tt>eqs</tt>, and the unknowns are stored in <tt>unk</tt>.  Here is a sample
 718 run:
 719
 720 <pre>&nbsp;
 721 (%i1)&nbsp;batch&nbsp;("critpts.max");
 722
 723 batching&nbsp;#p/home/robert/tmp/maxima-clean/maxima/critpts.max
 724 (%i2)&nbsp;critpts()&nbsp;:=&nbsp;(print("program&nbsp;to&nbsp;find&nbsp;critical&nbsp;points"),&nbsp;
 725 f&nbsp;:&nbsp;read("enter&nbsp;f(x,y)"),&nbsp;print("f&nbsp;=&nbsp;",&nbsp;f),&nbsp;
 726 eqs&nbsp;:&nbsp;[diff(f,&nbsp;x),&nbsp;diff(f,&nbsp;y)],&nbsp;unk&nbsp;:&nbsp;[x,&nbsp;y],&nbsp;solve(eqs,&nbsp;unk))
 727 (%i3)&nbsp;critpts&nbsp;();
 728 program&nbsp;to&nbsp;find&nbsp;critical&nbsp;points&nbsp;
 729 enter&nbsp;f(x,y)&nbsp;
 730 %e^(x^3&nbsp;+&nbsp;y^2)*(x&nbsp;+&nbsp;y);
 731 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3
 732 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;y&nbsp;&nbsp;+&nbsp;x
 733 f&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(y&nbsp;+&nbsp;x)&nbsp;%e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 734 (%o3)&nbsp;[[x&nbsp;=&nbsp;.4588955685487001&nbsp;%i&nbsp;+&nbsp;.3589790871086935,&nbsp;
 735 y&nbsp;=&nbsp;.4942017368275118&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;.1225787367783657],&nbsp;
 736 [x&nbsp;=&nbsp;.3589790871086935&nbsp;-&nbsp;.4588955685487001&nbsp;%i,&nbsp;
 737 y&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;.4942017368275118&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;.1225787367783657],&nbsp;
 738 [x&nbsp;=&nbsp;.4187542327234816&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;.6923124204420268,&nbsp;
 739 y&nbsp;=&nbsp;0.455912070111699&nbsp;-&nbsp;.8697262692814121&nbsp;%i],&nbsp;
 740 [x&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;.4187542327234816&nbsp;%i&nbsp;-&nbsp;.6923124204420268,&nbsp;
 741 y&nbsp;=&nbsp;.8697262692814121&nbsp;%i&nbsp;+&nbsp;0.455912070111699]]
 742
 743 </pre>
 744
 745 <div class="p"><!----></div>
 746  <a name="tth_sEc8"></a><h2>
 747 8&nbsp;&nbsp;A partial list of Maxima functions</h2>
 748
 749 <div class="p"><!----></div>
 750 See the Maxima reference manual <tt>doc/html/maxima_toc.html</tt> (under
 751 the main Maxima installation directory).  From Maxima itself, you can
 752 use <tt>describe(<i>function name</i>)</tt>.
 753
 754 <div class="p"><!----></div>
 755
 756 <dl>
 757  <dt><b><tt>allroots(a)</tt></b></dt>
 758         <dd> Finds all the (generally complex) roots of
 759   the polynomial equation <tt>A</tt>, and lists them in <tt>numer</tt>ical
 760   format (i.e. to 16 significant figures).</dd>
 761  <dt><b><tt>append(a,b)</tt></b></dt>
 762         <dd> Appends the list <tt>b</tt> to the list <tt>a</tt>,
 763   resulting in a single list.</dd>
 764  <dt><b><tt>batch(a)</tt></b></dt>
 765         <dd> Loads and runs a program with filename <tt>a</tt>.</dd>
 766  <dt><b><tt>coeff(a,b,c)</tt></b></dt>
 767         <dd> Gives the coefficient of <tt>b</tt> raised to
 768   the power <tt>c</tt> in expression <tt>a</tt>.</dd>
 769  <dt><b><tt>concat(a,b)</tt></b></dt>
 770         <dd> Creates the symbol <tt>ab</tt>.</dd>
 771  <dt><b><tt>cons(a,b)</tt></b></dt>
 772         <dd> Adds <tt>a</tt> to the list <tt>b</tt> as its first element.</dd>
 773  <dt><b><tt>demoivre(a)</tt></b></dt>
 774         <dd> Transforms all complex exponentials in <tt>
 775     a</tt> to their trigonometric equivalents.</dd>
 776  <dt><b><tt>denom(a)</tt></b></dt>
 777         <dd> Gives the denominator of <tt>a</tt>.</dd>
 778  <dt><b><tt>depends(a,b)</tt></b></dt>
 779         <dd> Declares <tt>a</tt> to be a function of <tt>
 780     b</tt>.  This is useful for writing unevaluated derivatives, as in
 781   specifying differential equations.</dd>
 782  <dt><b><tt>desolve(a,b)</tt></b></dt>
 783         <dd> Attempts to solve a linear system <tt>a</tt> of
 784   ODE's for unknowns <tt>b</tt> using Laplace transforms.</dd>
 785  <dt><b><tt>determinant(a)</tt></b></dt>
 786         <dd> Returns the determinant of the square
 787   matrix <tt>a</tt>.</dd>
 788  <dt><b><tt>diff(a,b1,c1,b2,c2,...,bn,cn)</tt></b></dt>
 789         <dd> Gives the mixed partial
 790   derivative of <tt>a</tt> with respect to each <tt>bi</tt>, <tt>ci</tt> times.
 791   For brevity, <tt>diff(a,b,1)</tt> may be represented by <tt>
 792     diff(a,b)</tt>.  <tt>'diff(...)</tt> represents the unevaluated
 793   derivative, useful in specifying a differential equation.</dd>
 794  <dt><b><tt>eigenvalues(a)</tt></b></dt>
 795         <dd> Returns two lists, the first being the
 796   eigenvalues of the square matrix <tt>a</tt>, and the second being their
 797   respective multiplicities.</dd>
 798  <dt><b><tt>eigenvectors(a)</tt></b></dt>
 799         <dd> Does everything that <tt>eigenvalues</tt>
 800   does, and adds a list of the eigenvectors of <tt>a</tt>.</dd>
 801  <dt><b><tt>entermatrix(a,b)</tt></b></dt>
 802         <dd> Cues the user to enter an <tt>a</tt> &times;&nbsp;<tt>b</tt> matrix, element by element.</dd>
 803  <dt><b><tt>ev(a,b1,b2,...,bn)</tt></b></dt>
 804         <dd> Evaluates <tt>a</tt> subject to the
 805   conditions <tt>bi</tt>.  In particular the <tt>bi</tt> may be equations,
 806   lists of equations (such as that returned by <tt>solve</tt>), or
 807   assignments, in which cases <tt>ev</tt> "plugs" the <tt>bi</tt> into
 808   <tt>a</tt>.  The <tt>Bi</tt> may also be words such as <tt>numer</tt> (in
 809   which case the result is returned in numerical format), <tt>detout</tt>
 810   (in which case any matrix inverses in <tt>a</tt> are performed with the
 811   determinant factored out), or <tt>diff</tt> (in which case all
 812   differentiations in <tt>a</tt> are evaluated, i.e., <tt>'diff</tt> in <tt>
 813     a</tt> is replaced by <tt>diff</tt>).  For brevity in a manual command
 814   (i.e., not inside a user-defined function), the <tt>ev</tt> may be
 815   dropped, shortening the syntax to <tt>a,b1,b2,...,bn</tt>.</dd>
 816  <dt><b><tt>expand(a)</tt></b></dt>
 817         <dd> Algebraically expands <tt>a</tt>.  In particular
 818   multiplication is distributed over addition.</dd>
 819  <dt><b><tt>exponentialize(a)</tt></b></dt>
 820         <dd> Transforms all trigonometric functions
 821   in <tt>a</tt> to their complex exponential equivalents.</dd>
 822  <dt><b><tt>factor(a)</tt></b></dt>
 823         <dd> Factors <tt>a</tt>.</dd>
 824  <dt><b><tt>freeof(a,b)</tt></b></dt>
 825         <dd> Is true if the variable <tt>a</tt> is not part
 826   of the expression <tt>b</tt>.</dd>
 827  <dt><b><tt>grind(a)</tt></b></dt>
 828         <dd> Displays a variable or function <tt>a</tt> in a
 829   compact format.  When used with <tt>writefile</tt> and an editor
 830   outside of Maxima, it offers a scheme for producing <tt>batch</tt>
 831   files which include Maxima-generated expressions.</dd>
 832  <dt><b><tt>ident(a)</tt></b></dt>
 833         <dd> Returns an <tt>a</tt> &times;&nbsp;<tt>a</tt>
 834   identity matrix.</dd>
 835  <dt><b><tt>imagpart(a)</tt></b></dt>
 836         <dd> Returns the imaginary part of <tt>a</tt>.</dd>
 837  <dt><b><tt>integrate(a,b)</tt></b></dt>
 838         <dd> Attempts to find the indefinite integral
 839   of <tt>a</tt> with respect to <tt>b</tt>.</dd>
 840  <dt><b><tt>integrate(a,b,c,d)</tt></b></dt>
 841         <dd> Attempts to find the indefinite
 842   integral of <tt>a</tt> with respect to <tt>b</tt>. taken from
 843   <tt>b</tt><tt>=</tt><tt>c</tt> to <tt>b</tt><tt>=</tt><tt>d</tt>.  The limits of integration <tt>c</tt>
 844   and <tt>d</tt> may be taken as <tt>inf</tt> (positive infinity) or <tt>
 845     minf</tt> (negative infinity).</dd>
 846  <dt><b><tt>invert(a)</tt></b></dt>
 847         <dd> Computes the inverse of the square matrix <tt>
 848     a</tt>.</dd>
 849  <dt><b><tt>kill(a)</tt></b></dt>
 850         <dd> Removes the variable <tt>a</tt> with all its
 851   assignments and properties from the current Maxima environment.</dd>
 852  <dt><b><tt>limit(a,b,c)</tt></b></dt>
 853         <dd> Gives the limit of expression <tt>a</tt> as
 854   variable <tt>b</tt> approaches the value <tt>c</tt>.  The latter may be
 855   taken as <tt>inf</tt> or <tt>minf</tt> as in <tt>integrate</tt>.</dd>
 856  <dt><b><tt>lhs(a)</tt></b></dt>
 857         <dd> Gives the left-hand side of the equation <tt>a</tt>.</dd>
 858  <dt><b><tt>loadfile(a)</tt></b></dt>
 859         <dd> Loads a disk file with filename <tt>a</tt> from
 860   the current default directory.  The disk file must be in the proper
 861   format (i.e. created by a <tt>save</tt> command).</dd>
 862  <dt><b><tt>makelist(a,b,c,d)</tt></b></dt>
 863         <dd> Creates a list of <tt>a</tt>'s (each of
 864   which presumably depends on <tt>b</tt>), concatenated from
 865   <tt>b</tt><tt>=</tt><tt>c</tt> to <tt>b</tt><tt>=</tt><tt>d</tt></dd>
 866  <dt><b><tt>map(a,b)</tt></b></dt>
 867         <dd> Maps the function <tt>a</tt> onto the
 868   subexpressions of <tt>b</tt>.</dd>
 869  <dt><b><tt>matrix(a1,a2,...,an)</tt></b></dt>
 870         <dd> Creates a matrix consisting of the rows <tt>ai</tt>, where each
 871   row <tt>ai</tt> is a list of <tt>m</tt> elements, <tt>[b1, b2, ..., bm]</tt>.</dd>
 872  <dt><b><tt>num(a)</tt></b></dt>
 873         <dd> Gives the numerator of <tt>a</tt>.</dd>
 874  <dt><b><tt>ode2(a,b,c)</tt></b></dt>
 875         <dd> Attempts to solve the first- or second-order
 876   ordinary differential equation <tt>a</tt> for <tt>b</tt> as a function of
 877   <tt>c</tt>.</dd>
 878  <dt><b><tt>part(a,b1,b2,...,bn)</tt></b></dt>
 879         <dd> First takes the <tt>b1</tt>th part
 880   of <tt>a</tt>, then the <tt>b2</tt>th part of that, and so on.</dd>
 881  <dt><b><tt>playback(a)</tt></b></dt>
 882         <dd> Displays the last <tt>a</tt> (an integer)
 883   labels and their associated expressions.  If <tt>a</tt> is omitted,
 884   all lines are played back.  See the Manual for other options.</dd>
 885  <dt><b><tt>ratsimp(a)</tt></b></dt>
 886         <dd> Simplifies <tt>a</tt> and returns a quotient of
 887   two polynomials.</dd>
 888  <dt><b><tt>realpart(a)</tt></b></dt>
 889         <dd> Returns the real part of <tt>a</tt>.</dd>
 890  <dt><b><tt>rhs(a)</tt></b></dt>
 891         <dd> Gives the right-hand side of the equation <tt>a</tt>.</dd>
 892  <dt><b><tt>save(a,b1,b2,..., bn)</tt></b></dt>
 893         <dd> Creates a disk file with
 894   filename <tt>a</tt> in the current default directory, of variables,
 895   functions, or arrays <tt>bi</tt>.  The format of the file permits it to
 896   be reloaded into Maxima using the <tt>loadfile</tt> command.
 897   Everything (including labels) may be <tt>save</tt>d by taking <tt>b1</tt>
 898   equal to <tt>all</tt>.</dd>
 899  <dt><b><tt>solve(a,b)</tt></b></dt>
 900         <dd> Attempts to solve the algebraic equation <tt>
 901     a</tt> for the unknown <tt>b</tt>.  A list of solution equations is
 902   returned.  For brevity, if <tt>a</tt> is an equation of the form
 903   <tt>c</tt><tt> = </tt><tt>0</tt>, it may be abbreviated simply by the expression
 904   <tt>c</tt>.</dd>
 905  <dt><b><tt>string(a)</tt></b></dt>
 906         <dd> Converts <tt>a</tt> to Maxima's linear notation
 907   (similar to Fortran's) just as if it had been typed in and puts <tt>
 908     a</tt> into the buffer for possible editing.  The <tt>string</tt>'ed
 909   expression should not be used in a computation.</dd>
 910  <dt><b><tt>stringout(a,b1,b2,...,bn)</tt></b></dt>
 911         <dd> Creates a disk file with
 912   filename <tt>a</tt> in the current default directory, of variables
 913   (e.g. labels) <tt>bi</tt>.  The file is in a text format and is not
 914   reloadable into Maxima. However the strungout expressions can be
 915   incorporated into a Fortran, Basic or C program with a minimum of
 916   editing.</dd>
 917  <dt><b><tt>subst(a,b,c)</tt></b></dt>
 918         <dd> Substitutes <tt>a</tt> for <tt>b</tt> in <tt>c</tt>.</dd>
 919  <dt><b><tt>taylor(a,b,c,d)</tt></b></dt>
 920         <dd> Expands <tt>a</tt> in a Taylor series in
 921   <tt>b</tt> about <tt>b</tt><tt>=</tt><tt>c</tt>, up to and including the term
 922   <tt>(</tt><tt>b</tt>&#8722;<tt>c</tt><tt>)</tt><sup><tt>d</tt></sup>.  Maxima also supports Taylor expansions in more
 923   than one independent variable; see the Manual for details.</dd>
 924  <dt><b><tt>transpose(a)</tt></b></dt>
 925         <dd> Gives the transpose of the matrix <tt>a</tt>.</dd>
 926  <dt><b><tt>trigexpand(a)</tt></b></dt>
 927         <dd> Is a trig simplification function which
 928   uses the sum-of-angles formulas to simplify the arguments of
 929   individual <tt>sin</tt>'s or <tt>cos</tt>'s.  For example, <tt>
 930     trigexpand(sin(x+y))</tt> gives <tt>cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y)</tt>.</dd>
 931  <dt><b><tt>trigreduce(a)</tt></b></dt>
 932         <dd> Is a trig simplification function which
 933   uses trig identities to convert products and powers of <tt>sin</tt> and
 934   <tt>cos</tt> into a sum of terms, each of which contains only a single
 935   <tt>sin</tt> or <tt>cos</tt>.  For example, <tt>trigreduce(sin(x)^2)</tt>
 936   gives <tt>(1 - cos(2x))/2</tt>.</dd>
 937  <dt><b><tt>trigsimp(a)</tt></b></dt>
 938         <dd> Is a trig simplification function which
 939   replaces <tt>tan</tt>, <tt>sec</tt>, etc., by their <tt>sin</tt> and <tt>
 940     cos</tt> equivalents.  It also uses the identity <tt>sin</tt><tt>(</tt><tt>)</tt><sup><tt>2</tt></sup> <tt>+</tt> <tt>cos</tt><tt>(</tt><tt>)</tt><sup><tt>2</tt></sup><tt> = </tt><tt>1</tt>.</dd>
 941 </dl>
 942
 943 <div class="p"><!----></div>
 944 <hr /><h3>Footnotes:</h3>
 945
 946 <div class="p"><!----></div>
 947 <a name="tthFtNtAAB"></a><a href="#tthFrefAAB"><sup>1</sup></a>Adapted from ``Perturbation Methods, Bifurcation Theory and Computer Algebra''
 948 by Rand and Armbruster, Springer, 1987.
 949 Adapted to <span class="roman">L</span><sup><span class="roman">A</span></sup><span class="roman">T</span><sub><span class="roman">E</span></sub><span class="roman">X</span>&nbsp;and HTML by Nelson L. Dias (nldias@simepar.br),
 950 SIMEPAR Technological Institute and Federal University of Paraná, Brazil.
 951 Updated by Robert Dodier, August 2005.
 952 <br /><br /><hr /><small>File translated from
 953 T<sub><span class="small">E</span></sub>X
 954 by <a href="http://hutchinson.belmont.ma.us/tth/">
 955 T<sub><span class="small">T</span></sub>H</a>,
 956 version 4.03.<br />On  2 Feb 2019, 17:00.</small>
 957 </html>