doc/tutorial/de/max_einfuehrung.tex

   1 \documentclass[12pt]{scrartcl}
   2
   3 \usepackage{lmodern}
   4 \usepackage[T1]{fontenc}
   5 \usepackage[utf8]{inputenc}
   6 \usepackage[ngerman]{babel}
   7 \usepackage{xspace}
   8 \usepackage{microtype}
   9 \usepackage[driverfallback=dvipdfm]{hyperref}
  10
  11 \newcommand*\zB{z.\,B.\xspace}
  12 \newcommand*\ua{u.\,a.\xspace}
  13
  14 %% make the examples use a smaller fontsize in verbatim env
  15 \makeatletter
  16 \def\verbatim@font{\scriptsize\ttfamily
  17                    \hyphenchar\font\m@ne
  18                    \@noligs}
  19 \makeatother
  20
  21 \pagestyle{headings}
  22
  23 \title{Einführung in Maxima}
  24 \author{Robert Glöckner}
  25
  26 \begin{document}
  27
  28 \maketitle
  29
  30 \tableofcontents
  31
  32 \newpage
  33 \thispagestyle{empty}
  34 Copyright (C) Robert Glöckner
  35
  36 email (entferne alle Ziffern): 2R4o5b66e7r8t9.G0l5oe55ck8ne5r@6w0eb4.d3e
  37
  38 \vspace{1cm}
  39
  40 {\scriptsize
  41 This program-documentation is free software-documentation; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later version.
  42 This program-documentation is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE\@. See the GNU General Public License for more details.
  43 You should have received a copy of the GNU General Public License along with this program-documentation; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301, USA
  44
  45 To keep this document short, a link to the text of the GPL-LICENCE (\url{https://www.fsf.org/licenses/gpl.html}).
  46
  47 \vspace{1cm}
  48
  49 Inoffizielle Übersetzung: Diese Programm-Dokumentation ist freie Software. Sie können es unter den Bedingungen der GNU General Public License, wie von der Free Software Foundation veröffentlicht, weitergeben und/oder modifizieren, entweder gemäß Version 2 der Lizenz oder (nach Ihrer Option) jeder späteren Version.
  50 Die Veröffentlichung dieser Programm-Dokumentation erfolgt in der Hoffnung, dass es Ihnen von Nutzen sein wird, aber OHNE IRGENDEINE GARANTIE, sogar ohne die implizite Garantie der MARKTREIFE oder der VERWENDBARKEIT FüR EINEN BESTIMMTEN ZWECK\@. Details finden Sie in der GNU General Public License.
  51 Sie sollten ein Exemplar der GNU General Public License zusammen mit dieser Programm-Dokumentation erhalten haben. Falls nicht, schreiben Sie an die Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110, USA.
  52
  53 Um das Dokument nicht aufzublähen, hier ein Link auf die inoffizielle
  54 deutsche übersetzung der GPL:\\
  55 \url{https://www.gnu.de/gpl-ger.html}.
  56 }
  57
  58 \vspace{1cm}
  59
  60 Ich möchte nur kurz betonen, dass ich selbst Maxima-Anfänger bin und der Text nur auf die Grundlagen der Maxima-Benutzung eingehen kann. Die Beispiele haben keinen tieferen Sinn. Sie dienen lediglich der Darstellung der Möglichkeiten von Maxima.\\
  61 Für weitere Anregungen bin ich immer dankbar\@.\\
  62 Email (entferne alle Ziffern): 2R4o5b66e7r8t9.G0l5oe55ck8ne5r@6w0eb4.d3e
  63
  64 \vspace{1cm}
  65 Verbesserungsvorschläge durch: Volker van Nek, Robert Figura.
  66
  67 \newpage
  68 \section{Einführung}
  69
  70 \subsection{Starten von Maxima}
  71
  72 Maxima\footnote{Webseite: \url{https://maxima.sourceforge.io} \\
  73 Dokumentation: \url{https://maxima.sourceforge.io/documentation.html} \\
  74 Referenzhandbuch: \url{https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/en/maxima.html}}
  75 ist ein in Lisp geschriebenes freies Computer-Algebra System. Es ist
  76 auf verschiedenen Betriebssystemen lauffähig.
  77 Es gibt mehrere Möglichkeiten das Programm zu verwenden:
  78
  79 \begin{itemize}
  80 \item auf der Konsole (hierzu \texttt{maxima}, bzw. \texttt{maxima.bat} starten)
  81 \item eine rudimentäre grafische Oberfläche bietet \texttt{xmaxima} (mitgeliefert)
  82 \item eine grafische Formelausgabe bietet wxmaxima
  83 \item für Leute die \LaTeX{} benutzen ist texmacs oder emaxima interessant
  84 \item für Emacs-Verrückte gibt es einen mitgelieferten maxima und
  85   emaxima Modus (Start im Emacs mit M-x maxima oder öffnen einer {.mac} Datei)
  86 \end{itemize}
  87
  88 Startet man Maxima (auf der Konsole) so erhält man folgende Meldung:
  89
  90 \begin{verbatim}
  91 Maxima 5.14.0cvs http://maxima.sourceforge.net
  92 Using Lisp CLISP 2.44 (2008-02-02)
  93 Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
  94 Dedicated to the memory of William Schelter.
  95 The function bug_report() provides bug reporting information.
  96 (%i1)
  97 \end{verbatim}
  98
  99 Es erscheint eine Meldung über die freie Lizenz, die
 100 Widmung an Prof. W. Schelter (ihm haben wir die freie Version
 101 von Maxima zu verdanken) und ein sog. Label \texttt{(\%i1)}. Jede Eingabe
 102 wird mit einer Marke (Label) gekennzeichnet. Marken, welche mit einem
 103 \texttt{i} beginnen kennzeichnen Benutzereingaben, \texttt{o}-Markierungen kennzeichnen
 104 Ausgaben des Programms. Der Benutzer sollte dies bei der Namensgebung
 105 eigener  Variablen oder Funktionen berücksichtigen, um Verwechslungen
 106 zu vermeiden.
 107
 108 \subsection{Kommandoeingabe}
 109
 110 Kommandos werden entweder mit einem Semikolon  \texttt{;}  oder einem
 111 \texttt{\$} abgeschlossen.  Es reicht nicht, Return oder Enter zu
 112 drücken, Maxima wartet auf eines der beiden Zeichen; vorher beginnt
 113 Maxima nicht mit der Auswertung der Eingabe. Ist das letzte Zeichen
 114 ein Semikolon, so wird das Ergebnis der Verarbeitung angezeigt, im
 115 Fall eines Dollarzeichens wird die Anzeige unterdrückt. Dies kann bei
 116 sehr langen Ergebnissen sinnvoll sein, um die Wartezeit zu reduzieren
 117 und die Übersicht zu wahren.
 118
 119 Maxima unterscheidet Groß- und Kleinschreibung. Alle eingebauten
 120 Funktionen und Konstanten sind kleingeschrieben (\texttt{simp},
 121 \texttt{solve}, \texttt{ode2}, \texttt{sin}, \texttt{cos},
 122 \texttt{\%e}, \texttt{\%pi}, \texttt{inf}, etc). \texttt{sImP} oder
 123 \texttt{SIMP} werden von Maxima nicht den eingebauten Funktionen
 124 zugeordnet. Benutzerfunktionen und -variablen können klein und/oder
 125 großgeschrieben  werden.
 126
 127 Auf vorangegangene Ergebnisse und Ausdrücke kann mittels \texttt{\%}
 128 zugegriffen werden. \texttt{\%} bezeichnet das letzte Ergebnis,
 129 \texttt{\%i13} die 13. Eingabe und \texttt{\%o27} das 27. Ergebnis,
 130 \texttt{''\%i42} wiederholt die Berechnung der 42. Eingabe,
 131 \texttt{\%th(2)} ist das vorletzte Ergebnis.
 132
 133 Ausdrücke werden mit \texttt{:} einem Symbol zugewiesen; Funktionen
 134 können mit \texttt{:=} einem Symbol zugewiesen werden.
 135
 136 \begin{verbatim}
 137 (%i1) value : 3;
 138
 139 (%o1)                                3
 140 (%i2) equation : a + 2 = b;
 141
 142 (%o2)                            a + 2 = b
 143 (%i3) function(x) := x + 3;
 144
 145 (%o3)                      function(x) := x + 3
 146 (%i4) function(3);
 147
 148 (%o4)                                6
 149 (%i5) function(b);
 150
 151 (%o5)                              b + 3
 152 \end{verbatim}
 153
 154 Zuweisungen können mit \texttt{kill} einzeln oder auch insgesamt gelöscht werden.
 155 \begin{verbatim}
 156 (%i6) kill(equation);
 157
 158 (%o6)                              done
 159 (%i7) equation;
 160
 161 (%o7)                            equation
 162 (%i8) function(3);
 163
 164 (%o8)                                6
 165 (%i9) kill(all);
 166
 167 (%o0)                                done
 168 (%i1) function(3);
 169
 170 (%o1)                             function(3)
 171 (%i2)
 172 \end{verbatim}
 173
 174 \subsection{Beenden von Maxima}
 175
 176 Zum Abbrechen eines Kommandos drückt man die Tastenkombination
 177 \texttt{Strg-C} oder \texttt{Strg-G}. Meldet sich der Debugger, so beendet
 178 man diesen durch Eingabe  von \texttt{Q}.
 179 Zum Beenden von Maxima gibt man \texttt{quit();} ein (Bemerkung: unter
 180 \texttt{xmaxima} (oder \texttt{wxmaxima}) das Menü benutzen).
 181
 182
 183 \subsection{Hilfefunktionen}
 184
 185 Neben den Hilfefunktionen der Benutzerumgebung enthält Maxima eigene
 186 Hilfefunktionen. Mit \texttt{apropos} kann nach Befehlen bezüglich
 187 eines Stichwortes gesucht werden. Mit \texttt{describe} können
 188 detaillierte Befehlsbeschreibungen angezeigt werden:
 189
 190 \begin{verbatim}
 191 (%i3) apropos('plot);
 192 (%o3) [plot, plot2d, plot2dopen, plot2d_ps, plot3d, plotheight, plotmode,
 193                                            plotting, plot_format, plot_options]
 194 (%i4) describe("plot");
 195 \end{verbatim}
 196
 197 Manchmal fragt \texttt{describe} auch nach, welcher Teilbereich
 198 beschrieben werden soll (hier nur ein kleiner Ausschnitt der
 199 angezeigten Informationen):
 200
 201 \begin{verbatim}
 202  0: (maxima.info)Plotting.
 203  1: Definitions for Plotting.
 204  2: OPENPLOT_CURVES :Definitions for Plotting.
 205  3: PLOT2D :Definitions for Plotting.
 206  4: PLOT2D_PS :Definitions for Plotting.
 207  5: PLOT3D :Definitions for Plotting.
 208  6: PLOT_OPTIONS :Definitions for Plotting.
 209  7: SET_PLOT_OPTION :Definitions for Plotting.
 210 Enter n, all, none, or multiple choices eg 1 3 : 5
 211 Info from file /usr/share/info/maxima.info:PLOT3D (expr,xrange,yrange,...,options,..)
 212  -- Function: PLOT3D ([expr1,expr2,expr3],xrange,yrange,...,options,..)
 213           plot3d(2^(-u^2+v^2),[u,-5,5],[v,-7,7]);
 214      would plot z = 2^(-u^2+v^2) with u and v varying in [-5,5] and
 215      [-7,7] respectively, and with u on the x axis, and v on the y axis.
 216
 217      An example of the second pattern of arguments is
 218           plot3d([cos(x)*(3+y*cos(x/2)),sin(x)*(3+y*cos(x/2)),y*sin(x/2)],
 219              [x,-%pi,%pi],[y,-1,1],['grid,50,15])
 220
 221      which will plot a moebius band, parametrized by the 3 expressions
 222      given as the first argument to plot3d.  An additional optional
 223      argument [grid,50,15] gives the grid number of rectangles in the x
 224      direction and y direction.
 225 ....
 226 \end{verbatim}
 227
 228 Mit der Funktion \texttt{example} können Beispiele zu einigen
 229 Funktionen von Maxima angezeigt werden (Darstellung hier gekürzt):
 230
 231 \begin{verbatim}
 232 (%i3) example(integrate);
 233
 234 (%i4) test(f):=block([u],u:integrate(f,x),ratsimp(f-diff(u,x)))
 235 (%o4) test(f) := block([u], u : integrate(f, x), ratsimp(f - diff(u, x)))
 236 (%i5) test(sin(x));
 237 (%o5)                                  0
 238 (%i6) test(1/(x+1));
 239 (%o6)                                  0
 240 (%i7) test(1/(x^2+1));
 241 (%o7)                                  0
 242 (%i8) integrate(sin(x)^3,x);
 243                                   3
 244                                cos (x)
 245 (%o8)                          ------- - cos(x)
 246                                   3
 247 ...
 248 \end{verbatim}
 249
 250 \subsection{Darstellung der Ergebnisse}
 251
 252 Die Darstellung der Ergebnisse von Maxima ist im Wesentlichen von der
 253 verwendeten Oberfläche abhängig. Während die Ausgabe auf der Konsole
 254 und im einfachen Emacs-Modus auf die Darstellung von ASCII Zeichen
 255 begrenzt ist, zeigen der erweiterte Emacs-Modus, Imaxima, Texmacs und
 256 WxMaxima die Ergebnisse in grafischer Form an. D.\,h.\@ es werden
 257 entsprechende Symbole  für $\pi$, $\int$, $\sum$ usw.\@ verwendet.
 258 Allgemein zeichnen sich die Ausgaben von Maxima durch exakte
 259 Arithmetik aus:
 260
 261 \begin{verbatim}
 262 (%i38) 1/11 + 9/11;
 263
 264                                       10
 265 (%o38)                                --
 266                                       11
 267 \end{verbatim}
 268
 269 Irrationale Zahlen werden in ihrer symbolischen Form beibehalten (mit
 270 \texttt{\%} wurde auf das Ergebnis der  letzten Berechnung zugegriffen):
 271
 272 \begin{verbatim}
 273 (%i39) (sqrt(3) - 1)^4;
 274
 275                                              4
 276 (%o39)                          (sqrt(3) - 1)
 277 (%i40) expand(%);
 278
 279 (%o40)                          28 - 16 sqrt(3)
 280 \end{verbatim}
 281
 282 Mit \texttt{ev(Ausdruck, numer)} oder kurz: \texttt{Ausdruck, numer}
 283 oder \texttt{float(Ausdruck)} kann eine Dezimaldarstellung erzwungen
 284 werden (beachten Sie hier die Referenz auf das vorangegangene Ergebnis
 285 via \texttt{\%o40}):
 286
 287 \begin{verbatim}
 288 (%i41) %o40, numer;
 289
 290 (%o41)                         0.28718707889796
 291
 292 (%i5) float(%e);
 293
 294 (%o5)                          2.718281828459045
 295 \end{verbatim}
 296
 297 Die Voreinstellung der Genauigkeit bei Fließommazahlen beträgt 16
 298 Stellen. Die Genauigkeit kann beliebig gewählt werden, wenn der
 299 Zahlentyp \texttt{bfloat} verwendet wird. Die Anzahl der angezeigten
 300 Stellen wird mit \texttt{fpprec} gesteuert. Man kann dazu
 301 \texttt{fpprec} nur für die Auswertung einer Zeile setzen, wie dies in
 302 Zeile \texttt{\%i46} geschieht, oder für alle folgenden Berechnungen,
 303 wie dies in Zeile \texttt{\%i48} zu sehen ist:
 304
 305 \begin{verbatim}
 306 (%i45) bfloat(%o40);
 307
 308 (%o45)                       2.871870788979631B-1
 309 (%i46) bfloat(%o40), fpprec=100;
 310
 311 (%o46) 2.871870788979633035608585359060421289151159390339099511070883287690717#
 312 294591994067016610118840227891B-1
 313 (%i47) fpprec;
 314
 315 (%o47)                                16
 316 (%i48) fpprec : 20;
 317
 318 (%o48)                                20
 319 (%i49) bfloat(%o40);
 320
 321 (%o49)                     2.8718707889796330358B-1
 322 (%i50) bfloat(%o40), fpprec=100;
 323
 324 (%o50) 2.871870788979633035608585359060421289151159390339099511070883287690717#
 325 294591994067016610118840227891B-1
 326 \end{verbatim}
 327
 328 Die Eingabe von bestimmten Konstanten (\zB $\pi$, \ldots) erfolgt mit
 329 vorangestelltem \texttt{\%} (\texttt{\%e}, \texttt{\%i}, \texttt{\%pi} \ldots).
 330 Die Darstellung von Konstanten (\zB $\pi$, \ldots), Operatoren
 331 ($\sum$, $\int$, $\partial$, \ldots) und anderen Symbolen (Klammern,
 332 Brüche, \ldots) ist abhängig von der gewählten Oberfläche. Im
 333 Textmodus, der von der Konsole, dem einfachen Emacs-Modus und der
 334 mitgelieferten xmaxima Oberfläche geboten wird, werden Konstanten mit
 335 einem \texttt{\%} vorangestellt (\texttt{\%e}, \texttt{\%i},
 336 \texttt{\%pi} \ldots), Operatoren werden in ASCII-Grafik dargestellt.
 337 Klammern werden nicht in der Größe expandiert und Brüche mit Hilfe von
 338 \texttt{-} dargestellt:
 339
 340 \begin{verbatim}
 341 (%i51) sqrt(-3);
 342
 343 (%o51)                            sqrt(3) %i
 344 (%i52) exp(5 * a);
 345
 346                                        5 a
 347 (%o52)                               %e
 348
 349 (%i54) integrate( f(x) , x, 0, inf);
 350
 351                                   inf
 352                                  /
 353                                  [
 354 (%o54)                           I    f(x) dx
 355                                  ]
 356                                  /
 357                                   0
 358 \end{verbatim}
 359
 360 Die Darstellung im erweiterten Emacs-Modus, in Imaxima und in Texmacs
 361 ist grafisch, d.\,h.\@ für \texttt{\%pi}, \texttt{\%e}, Integrale,
 362 Summen, \ldots werden entsprechende Symbole verwendet.
 363
 364 Maxima kann natürlich auch Funktionen plotten. Die Funktion \\
 365 \texttt{plot2d([Funktionsliste], [X-Var, Min, Max], [Y-Var, Min, Max])} \\
 366 kann eine Gruppe von Funktionen plotten. Hierzu gibt man die
 367 Liste von Funktionen in eckigen Klammern und durch Kommas getrennt als
 368 ersten Parameter an, es folgt eine Liste, welche die abhängige
 369 Variable und den Plotbereich (x-Achse) angibt. Darüber hinaus gibt es
 370 noch viele andere Plotmöglichkeiten (\texttt{apropos('plot)},
 371 \texttt{describe(plot)}).
 372
 373 \begin{verbatim}
 374 (%i55)  plot2d([sin(x), cos(x)], [x, 0, 5]);
 375
 376 (%i58) apropos('plot);
 377
 378 (%o58) [plot, plot2d, plot2dopen, plot2d_ps, plot3d, plotheight, plotmode,
 379                                            plotting, plot_format, plot_options]
 380 (%i59) (%i59) describe(plot);
 381
 382  0: (maxima.info)Plotting.
 383  1: Definitions for Plotting.
 384  2: openplot_curves :Definitions for Plotting.
 385  3: plot2d :Definitions for Plotting.
 386  4: plot2d_ps :Definitions for Plotting.
 387  5: plot3d :Definitions for Plotting.
 388  6: plot_options :Definitions for Plotting.
 389  7: set_plot_option :Definitions for Plotting.
 390 Enter space-separated numbers, `all' or `none': Enter space-separated numbers, `all' or `none': none
 391 \end{verbatim}
 392
 393 \section{Rechnen mit Maxima}
 394
 395 \subsection{Operatoren}
 396
 397 Die üblichen arithmetischen Operatoren stehen zur Verfügung:
 398
 399 \begin{itemize}
 400 \item \texttt{+} Addition,
 401 \item \texttt{-} Subtraktion,
 402 \item \texttt{*} skalare Multiplikation,
 403 \item \texttt{.} Skalarmultiplikation von Vektoren und Matrix-Multiplikation,
 404 \item \texttt{/} Division,
 405 \item \texttt{**} oder \texttt{\^} Potenzfunktion,
 406 \item \texttt{sqrt()} Quadratwurzelfunktion\footnote{$\sqrt[n]{x}$ muss durch \texttt{x\^{}(1/n)} ausgedrückt werden.},
 407 \item \texttt{exp()} Exponentialfunktion,
 408 \item \texttt{log()} natürliche Logarithmusfunktion
 409 \end{itemize}
 410
 411
 412 \subsection{Algebra}
 413
 414 Niemand ist vor Leichtsinnsfehlern bei der Umformung oder
 415 Transformation von algebraischen Ausdrucken gefeit. Hier eignet sich
 416 Maxima hervorragend  bei der Unterstützung analytischer Berechnungen.
 417 Dazu ein einfaches Beispiel für die Behandlung von Polynomen. Zunächst
 418 wird via \texttt{expand} expandiert, anschließend eine Ersetzung vorgenommen,
 419 danach mittels \texttt{ratsimp} ein gemeinsamer Nenner gesucht und
 420 anschließend via \texttt{factor} faktorisiert:
 421
 422 \begin{verbatim}
 423 (%i72) (5*a + 3*a*b )^3;
 424
 425                                              3
 426 (%o72)                          (3 a b + 5 a)
 427 (%i73) expand(%);
 428
 429                        3  3        3  2        3          3
 430 (%o73)             27 a  b  + 135 a  b  + 225 a  b + 125 a
 431 (%i74) %, a=1/x;
 432
 433                              3        2
 434                          27 b    135 b    225 b   125
 435 (%o74)                   ----- + ------ + ----- + ---
 436                            3        3       3      3
 437                           x        x       x      x
 438 (%i75) (%i75) ratsimp(%);
 439
 440                              3        2
 441                          27 b  + 135 b  + 225 b + 125
 442 (%o75)                   ----------------------------
 443                                        3
 444                                       x
 445 (%i76) factor(%);
 446
 447                                            3
 448                                   (3 b + 5)
 449 (%o76)                            ----------
 450                                        3
 451                                       x
 452 \end{verbatim}
 453
 454 \subsection{Lösen von Gleichungssystemen}
 455
 456 Maxima ist in der Lage, exakte Lösungen auch von nichtlinearen
 457 algebraischen  Gleichungsystemen zu berechnen. Im folgenden Beispiel
 458 werden 3  Gleichungen nach drei Unbekannten aufgelöst:
 459
 460 \begin{verbatim}
 461 (%i77) eq1: a + b + c = 6;
 462
 463 (%o77)                           c + b + a = 6
 464 (%i78) eq2: a * b + c = 5;
 465
 466 (%o78)                            c + a b = 5
 467 (%i79) eq3: a + b * c = 7;
 468
 469 (%o79)                            b c + a = 7
 470
 471 (%i93) s: solve([eq1, eq2, eq3], [a, b, c]);
 472
 473 (%o93)          [[a = 1, b = 3, c = 2], [a = 1, b = 2, c = 3]]
 474 \end{verbatim}
 475
 476 Die Lösung wird in Form einer Liste in eckigen Klammern dargestellt.
 477 Im Folgenden wird gezeigt, wie auf die Elemente  einer Liste
 478 zugegriffen werden kann und wie man die  Lösungen in andere
 479 Gleichungen einsetzt.
 480
 481 \begin{verbatim}
 482 (%i94) s[1];
 483
 484 (%o94)                       [a = 1, b = 3, c = 2]
 485
 486 (%i95) s[2];
 487
 488 (%o95)                       [a = 1, b = 2, c = 3]
 489
 490
 491 (%i98) eq4: a * a + 2 * b * b + c * c;
 492
 493                                  2      2    2
 494 (%o98)                          c  + 2 b  + a
 495 (%i99) eq4, s[1];
 496
 497 (%o99)                                23
 498 (%i100) eq4, s[2];
 499
 500 (%o100)                               18
 501 \end{verbatim}
 502
 503 \subsection{Trigonometrische Funktionen}
 504
 505 Es stehen \ua\@ \texttt{tan}, \texttt{sin}, \texttt{cos},
 506 \texttt{tanh}, \texttt{sinh}, \texttt{cosh} und deren Umkehrfunktionen
 507 zur Verfügung.
 508
 509 \begin{verbatim}
 510 (%i102) example(trig);
 511
 512 (%i103) tan(%pi/6)+sin(%pi/12);
 513                                   %pi       1
 514 (%o103)                       sin(---) + -------
 515                                   12     sqrt(3)
 516 (%i104) ev(%,numer);
 517 (%o104)                       0.83616931429214658
 518 (%i105) sin(1);
 519 (%o105)                             sin(1)
 520 (%i106) ev(sin(1),numer);
 521 (%o106)                       0.8414709848078965
 522 (%i107) beta(1/2,2/5);
 523                                        1  2
 524 (%o107)                           beta(-, -)
 525                                        2  5
 526 (%i108) ev(%,numer);
 527 (%o108)                       3.6790939804058804
 528 (%i109) diff(atanh(sqrt(x)),x);
 529                                        1
 530 (%o109)                        -----------------
 531                                2 (1 - x) sqrt(x)
 532 (%i110) fpprec:25;
 533 (%i111) sin(5.0B-1);
 534 (%o111)                  4.794255386042030002732879B-1
 535 (%i112) cos(x)^2-sin(x)^2;
 536                                   2         2
 537 (%o112)                        cos (x) - sin (x)
 538 (%i113) ev(%,x:%pi/3);
 539                                         1
 540 (%o113)                               - -
 541                                         2
 542 (%i114) diff(%th(2),x);
 543 (%o114)                        - 4 cos(x) sin(x)
 544 (%i115) integrate(%th(3),x);
 545                           sin(2 x)           sin(2 x)
 546                           -------- + x   x - --------
 547                              2                  2
 548 (%o115)                   ------------ - ------------
 549                                2              2
 550 (%i116) expand(%);
 551                                    sin(2 x)
 552 (%o116)                            --------
 553                                       2
 554 \end{verbatim}
 555
 556 Trigonometrische Ausdrücke lassen sich in Maxima leicht manipulieren.
 557 Die Funktion \texttt{trigexpand} benutzt die
 558 Summe-der-Winkel-Funktion,  um Argumente innerhalb jeder
 559 trigonometrischen Funktion so stark wie möglich zu vereinfachen.
 560
 561 \begin{verbatim}
 562                                    sin(2 x)
 563 (%o116)                            --------
 564                                       2
 565 (%i117) trigexpand(%);
 566 (%o117)                          cos(x) sin(x)
 567 \end{verbatim}
 568
 569 Die Funktion \texttt{trigreduce}, konvertiert einen Ausdruck in eine
 570 Form, welche eine Summe von Einzeltermen, bestehend aus jeweils einer
 571 sin oder cos Funktion ist.
 572
 573 \begin{verbatim}
 574 (%o117)                          cos(x) sin(x)
 575
 576 (%i118) trigreduce(%);
 577                                    sin(2 x)
 578 (%o118)                            --------
 579                                       2
 580
 581 (%i119) sech(x)^2*tanh(x)/coth(x)^2+cosh(x)^2*sech(x)^2*tanh(x)/coth(x)^2
 582                                    +sech(x)^2*sinh(x)*tanh(x)/coth(x)^2;
 583
 584             2                          2        2                  2
 585         sech (x) sinh(x) tanh(x)   cosh (x) sech (x) tanh(x)   sech (x) tanh(x)
 586 (%o119) ------------------------ + ------------------------- + ----------------
 587                     2                          2                       2
 588                 coth (x)                   coth (x)                coth (x)
 589 \end{verbatim}
 590
 591 (\texttt{sech()} ist eine hyperbolische Sekantenfunktion.)
 592 \texttt{trigsimp} ist eine Vereinfachungsroutine, welche verschiedene
 593 trigonometrische Funktionen in sin und cos Equivalente umwandelt.
 594
 595 \begin{verbatim}
 596 (%i120) trigsimp(%);
 597
 598                            5          4            3
 599                        sinh (x) + sinh (x) + 2 sinh (x)
 600 (%o120)                --------------------------------
 601                                        5
 602                                    cosh (x)
 603 \end{verbatim}
 604
 605 \texttt{exponentialize()} transformiert trigonometrische Funktionen in ihre komplexe Exponentialform.
 606
 607 \begin{verbatim}
 608 (%i121) ev(sin(x),exponentialize);
 609                                    %i x     - %i x
 610                              %i (%e     - %e      )
 611 (%o121)                    - ----------------------
 612                                        2
 613 \end{verbatim}
 614
 615 \texttt{taylor(Funktion, Variable, Entwicklungspunkt, Grad)}
 616 entwickelt Funktionen in ihre Taylorreihe um den angegebenen
 617 Entwicklungspunkt bis zum vorgegebenen Grad.
 618
 619 \begin{verbatim}
 620
 621 (%i122) taylor(sin(x)/x,x,0,4);
 622
 623                                   2    4
 624                                  x    x
 625 (%o122)/T/                   1 - -- + --- + . . .
 626                                  6    120
 627
 628 (%i123) ev(cos(x)^2-sin(x)^2,sin(x)^2 = 1-cos(x)^2);
 629
 630                                       2
 631 (%o123)                          2 cos (x) - 1
 632
 633 \end{verbatim}
 634
 635 \subsection{Komplexe Zahlen}
 636
 637 \begin{verbatim}
 638 (%i144) z: a + b * %i;
 639
 640 (%o144)                            %i b + a
 641 (%i145) z^2;
 642
 643                                             2
 644 (%o145)                           (%i b + a)
 645 (%i146) exp(z);
 646
 647                                     %i b + a
 648 (%o146)                           %e
 649 \end{verbatim}
 650
 651 \texttt{trigrat()} transformiert (komplexe) Exponentialfunktionen in
 652 entsprechende sin und cos Funktionen um.
 653
 654 \begin{verbatim}
 655 (%i148) trigrat(exp(z));
 656
 657                                a            a
 658 (%o148)                   %i %e  sin(b) + %e  cos(b)
 659 \end{verbatim}
 660
 661 Komplexe Zahlen lassen sich mit \texttt{imagpart()} und
 662 \texttt{realpart()} in die entsprechenden Real- und Imaginärteile
 663 aufspalten:
 664
 665 \begin{verbatim}
 666 (%i149) imagpart(%);
 667
 668                                     a
 669 (%o149)                           %e  sin(b)
 670 (%i150) realpart(%th(2));
 671 \end{verbatim}
 672
 673 \subsection{Ableitungen, Grenzwerte, Integrale}
 674
 675 Mit Maxima lassen sich \ua\@ Ableitungen, Integrale,
 676 Taylorentwicklungen, Grenzwerte sowie exakte Lösungen gewöhnlicher
 677 Differentialgleichungen berechnen.
 678 Zunächst definieren wir auf zwei verschiedene Arten ein Symbol f als
 679 Funktion von x. Beachten Sie die Unterschiede bei der Auswertung der
 680 Ableitung.
 681
 682 \begin{verbatim}
 683 (%i129) f : x^3;
 684
 685                                        3
 686 (%o129)                               x
 687 (%i130) diff(f,x);
 688
 689                                         2
 690 (%o130)                              3 x
 691 (%i131) kill(f);
 692
 693 (%o131)                              done
 694 (%i132) f(x) := x^3;
 695
 696                                            3
 697 (%o132)                           f(x) := x
 698 (%i133) diff(f,x);
 699
 700 (%o133)                                0
 701 (%i134) diff(f(x),x);
 702
 703                                         2
 704 (%o134)                              3 x
 705 \end{verbatim}
 706
 707 Ein Beispiel für eine Taylorreihenentwicklung und eine Grenzwertberechnung:
 708
 709 \begin{verbatim}
 710 (%i140) f(x) := sin(x) / x;
 711
 712                                         sin(x)
 713 (%o140)                         f(x) := ------
 714                                           x
 715 (%i141) taylor(f(x),x,0,5);
 716
 717                                   2    4
 718                                  x    x
 719 (%o141)/T/                   1 - -- + --- + . . .
 720                                  6    120
 721 (%i142) limit(f(x),x,0);
 722
 723 (%o142)                                1
 724 \end{verbatim}
 725
 726 Integrale lassen sich bestimmt und unbestimmt berechnen:
 727
 728 \begin{verbatim}
 729 (%i109) integrate(%e^x/(2+%e^x),x);
 730                                        x
 731 (%o109)                          log(%e  + 2)
 732
 733 (%i116) integrate(x^(5/4)/(1+x)^(5/2),x,0,inf);
 734
 735                                        9  1
 736 (%o116)                           beta(-, -)
 737                                        4  4
 738 \end{verbatim}
 739
 740 \subsection{Lösen von Differentialgleichungen}
 741
 742 Ableitungen, bzw. Differentiale können so eingegeben werden, dass sie
 743 ausgewertet oder nicht ausgewertet werden.  Das Apostroph wirkt als
 744 Maskierung und verhindert die Auswertung durch Maxima:
 745
 746 \begin{verbatim}
 747 (%i9) 'diff (y, x);
 748                                dy
 749 (%o9)                          --
 750                                dx
 751 (%i10) diff (y, x);
 752 (%o10)                          0
 753 \end{verbatim}
 754
 755 Zum Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen stehen folgende
 756 Funktionen zur Verfügung: \texttt{ode2}, \texttt{ic1}, \texttt{ic2}, \texttt{bc1}, \texttt{bc2}.
 757 \texttt{ic1}, \texttt{ic2} sind auf Anfangswertaufgaben 1. bzw. 2. Ordnung spezialisiert.
 758 \texttt{bc1}, \texttt{bc2} sind auf Randwertaufgaben 1. bzw. 2. Ordnung spezialisiert.
 759
 760 \begin{verbatim}
 761 (%i23) dgl1: -'diff(y,x) * sin(x) + y * cos(x) = 1;
 762
 763                                              dy
 764 (%o23)                     cos(x) y - sin(x) -- = 1
 765                                              dx
 766 (%i24) ode2( dgl1, y, x);
 767
 768                                          1
 769 (%o24)                     y = sin(x) (------ + %c)
 770                                        tan(x)
 771 (%i25) (%i25) trigsimp(%);
 772
 773 (%o25)                      y = %c sin(x) + cos(x)
 774 \end{verbatim}
 775
 776 \subsubsection*{Anfangswertaufgabe}
 777 Harmonische Schwingungen \zB eines Pendels
 778 werden durch folgende Differentialgleichung beschrieben und mittels
 779 \texttt{ode2} und \texttt{ic2} gelöst:
 780
 781 \begin{verbatim}
 782 (%i38) dgl2: 'diff(y,x,2) + y = 0;
 783
 784                                    2
 785                                   d y
 786 (%o38)                            --- + y = 0
 787                                     2
 788                                   dx
 789 (%i39) ode2(dgl2, y, x);
 790
 791 (%o39)                    y = %k1 sin(x) + %k2 cos(x)
 792 (%i40) ic2(%, x=0, y=y0, 'diff(y,x)=0);
 793
 794 (%o40)                           y = cos(x) y0
 795 \end{verbatim}
 796
 797 \subsubsection*{Randwertaufgabe}
 798 Bei gleichmäßger Belastung, lässt sich die Biegelinie
 799 eines ruhenden und auf 2 Stützen liegenden Balkens unter bestimmten
 800 Umständen durch folgende Differentialgleichung beschreiben und mittels
 801 \texttt{ode2} und \texttt{ic2} lösen:
 802
 803 \begin{verbatim}
 804 (%i41) dgl3: 'diff(y,x,2) = x -  x^2;
 805
 806                                   2
 807                                  d y        2
 808 (%o41)                           --- = x - x
 809                                    2
 810                                  dx
 811 (%i42) ode2(dgl3, y, x);
 812
 813                                 4      3
 814                                x  - 2 x
 815 (%o42)                   y = - --------- + %k2 x + %k1
 816                                   12
 817 (%i43) bc2(%, x=0, y=0, x=1, y=0);
 818
 819                                     4      3
 820                                    x  - 2 x    x
 821 (%o43)                       y = - --------- - --
 822                                       12       12
 823
 824 (%i45) expand(%);
 825
 826                                      4    3
 827                                     x    x    x
 828 (%o45)                        y = - -- + -- - --
 829                                     12   6    12
 830 \end{verbatim}
 831
 832 \subsection{Matrizenrechnung}
 833
 834 Mit Maxima lassen sich auch allgemeine Matrizenoperationen durchführen.
 835
 836 \begin{verbatim}
 837 (%i79) m:matrix([a,0],[b,1]);
 838                                    [ a  0 ]
 839 (%o79)                             [      ]
 840                                    [ b  1 ]
 841 (%i80) m^2;
 842                                    [  2    ]
 843                                    [ a   0 ]
 844 (%o80)                             [       ]
 845                                    [  2    ]
 846                                    [ b   1 ]
 847 (%i81) m . m;
 848                                 [    2       ]
 849 (%o81)                          [   a      0 ]
 850                                 [            ]
 851                                 [ a b + b  1 ]
 852 (%i82) m[1,1]*m;
 853                                   [  2     ]
 854 (%o82)                            [ a    0 ]
 855                                   [        ]
 856                                   [ a b  a ]
 857 (%i83) 1-%th(2)+%;
 858                                  [   1    1 ]
 859 (%o83)                           [          ]
 860                                  [ 1 - b  a ]
 861 (%i84) m^^(-1);
 862                                   [  1     ]
 863                                   [  -   0 ]
 864                                   [  a     ]
 865 (%o84)                            [        ]
 866                                   [   b    ]
 867                                   [ - -  1 ]
 868                                   [   a    ]
 869 (%i85) [x,y] . m;
 870
 871 (%o85)                         [ b y + a x  y ]
 872
 873 (%i86) matrix([a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]);
 874
 875                                   [ a  b  c ]
 876                                   [         ]
 877 (%o86)                            [ d  e  f ]
 878                                   [         ]
 879                                   [ g  h  i ]
 880 (%i87) %^^2;
 881              [              2                                    ]
 882              [ c g + b d + a    c h + b e + a b  c i + b f + a c ]
 883              [                                                   ]
 884 (%o87)       [                         2                         ]
 885              [ f g + d e + a d  f h + e  + b d   f i + e f + c d ]
 886              [                                                   ]
 887              [                                    2              ]
 888              [ g i + d h + a g  h i + e h + b g  i  + f h + c g  ]
 889 \end{verbatim}
 890
 891 Außerdem lassen sich \ua\@ die Determinante, die Inverse, die
 892 Eigenwerte sowie Eigenvektoren einer Matrix berechnen. Die Matrix darf
 893 dabei auch symbolische Ausdrücke enthalten. \texttt{eigenvalues(m)}
 894 hat als Ergebnis eine Liste, bestehend aus 2 Unterlisten. Die erste
 895 Unterliste enthält die Eigenwerte, die zweite Unterliste die
 896 entsprechenden Multiplikatoren.
 897
 898 \begin{verbatim}
 899 (%i60) m : matrix( [1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]);
 900
 901                                   [ 1  0  0 ]
 902                                   [         ]
 903 (%o60)                            [ 0  2  0 ]
 904                                   [         ]
 905                                   [ 0  0  3 ]
 906 (%i61) eigenvalues(m);
 907
 908 (%o61)                      [[1, 2, 3], [1, 1, 1]]
 909 \end{verbatim}
 910
 911 Die Funktion \texttt{eigenvectors} berechnet Eigenwerte, deren
 912 Multiplikatoren, sowie die Eigenvektoren der gegebenen Matrix. Die
 913 Ergebnisse werden in Listen bzw. Unterlisten zusammengefasst. Es gibt
 914 verschiedene Möglichkeiten die Auswertung mit Kommandos wie
 915 \texttt{nondiagonalizable}, \texttt{hermitianmatrix},
 916 \texttt{knowneigvals} zu beeinflussen. Diese werden mit
 917 \texttt{describe(eigenvectors)} beschrieben.
 918
 919 \begin{verbatim}
 920 (%i62) eigenvectors(m);
 921
 922 (%o62)     [[[1, 2, 3], [1, 1, 1]], [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
 923 (%i71) part( %, 2);
 924
 925 (%o71)                             [1, 0, 0]
 926 \end{verbatim}
 927
 928 Weiterhin gibt es Funktionen zur Transponierung (\texttt{transpose}),
 929 Berechnung der Determinante (\texttt{determinant}), Berechnung  des
 930 charakteristischen Polynomes \texttt{charpoly(Matrix, Variable)} sowie
 931 zur Berechnung der Inversen (\texttt{invert}). Das  Schlüsselwort
 932 \texttt{detout} faktorisiert  dabei die Determinante aus der Inversen.
 933
 934 \section{Programmieren in Maxima}
 935
 936 Bis jetzt haben Sie gesehen, wie man Maxima im interaktiven Modus wie
 937 einen Taschenrechner benutzt. Für Berechnungen, welche wiederholt
 938 Kommandosequenzen durchlaufen müssen, sind Programme geeigneter.
 939 Programme werden gewöhnlich in einem Texteditor (z.B. Emacs) geschrieben
 940 und dann mittels \texttt{batch}  in Maxima geladen.
 941
 942 Im Folgenden schreiben wir ein kleines Statistik-Münzwurfprogramm zur
 943 Veranschaulichung. Mit \texttt{block([Lokale Variablen], Kommando1,  Kommando2 \ldots)} wird
 944 ein Block von Kommandos  definiert. Die lokalen Variablen können auch
 945 mit Startwerten versehen werden, wie im Folgenden gezeigt wird:
 946
 947 \begin{verbatim}
 948 (%i13)  muenze_werfen(n) := block([muenze, statistik:[0,0] ], /* Kommentare wie in C/C++ */
 949           print("Ich werde die Münze ", n, "mal werfen. 1 = Zahl, 2 = Kopf"),
 950           for i: 1 thru n do ( /* eine for schleife, für genauere informationen siehe DO */
 951             muenze : random(2) + 1,   /* 1 + Zufallsgenerator von 0 bis 1  */
 952           statistik[muenze] : statistik[muenze] + 1 ), /* Array-Indizes beginnen mit EINS! */
 953           print("Zahl wurde ", statistik[1], "mal geworfen"),
 954           print("Kopf wurde ", statistik[2], "mal geworfen"), n);
 955
 956 (%o13) muenze_werfen(n) := block([muenze, statistik : [0, 0]],
 957 print("Ich werde die Münze ", n, "mal werfen. 1 = Zahl, 2 = Kopf"),
 958 for i thru n do (muenze : random(2) + 1,
 959 statistik       : statistik       + 1),
 960          muenze            muenze
 961
 962 print("Zahl wurde ", statistik , "mal geworfen"),
 963                               1
 964
 965 print("Kopf wurde ", statistik , "mal geworfen"), n)
 966                               2
 967 (%i14) muenze_werfen(1000);
 968
 969 Ich werde die Münze  1000 mal werfen. 1 = Zahl, 2 = Kopf
 970 Zahl wurde  485 mal geworfen
 971 Kopf wurde  515 mal geworfen
 972 (%o14)                               1000
 973 \end{verbatim}
 974
 975 Dieselben Ausgaben kann man auch in eine Datei \texttt{daten.txt} umlenken:
 976
 977 \begin{verbatim}
 978 muenze_werfen(n) := block( [muenze, statistik:[0,0] ], /* Kommentare wie in C/C++ */
 979   with_stdout( "Daten.txt",
 980     print("Ich werde die Münze ", n, "mal werfen. 1 = Zahl, 2 = Kopf"),
 981     for i: 1 thru n do ( /* eine for schleife, für genauere informationen siehe DO */
 982       muenze : random(2) + 1,   /* 1 + Zufallsgenerator von 0 bis 1  */
 983       statistik[muenze] : statistik[muenze] + 1 ), /* Array-Indizes beginnen mit EINS! */
 984     print("Zahl wurde ", statistik[1], "mal geworfen"),
 985     print("Kopf wurde ", statistik[2], "mal geworfen")
 986   ),
 987   n
 988 );
 989 \end{verbatim}
 990
 991 \section{Maxima-Funktionen}
 992
 993 Die Referenz befindet sich unter \url{file://doc/html/maxima_toc.html} im
 994 Installationspfad von Maxima. In Maxima können  Sie Hilfe durch die
 995 Kommandos \texttt{describe}, \texttt{apropos} und  \texttt{example}
 996 erhalten. \texttt{apropos(Stichwort)} gibt eine  Liste von eventuell
 997 geeigneten Kommandos. \texttt{describe(Befehl)} beschreibt  die
 998 einzelnen Kommandos genauer (evtl.\@ müssen Sie noch eine Auswahl treffen,
 999 welcher Aspekt genauer beschrieben werden soll) und
1000 \texttt{example(Befehl)} gibt Beispiele für den jeweiligen Befehl
1001 (soweit vorhanden) aus.
1002
1003 Ein kleine Auswahl wichtiger und nützlicher Maxima-Funktionen:
1004
1005 \begin{itemize}
1006 \item \texttt{allroots(a)} Findet alle (allgemein komplexen) Wurzeln
1007   einer  Polynomialgleichung.
1008 \item \texttt{append(a,b)} Fügt Liste b an a an.
1009 \item \texttt{apropos(a);} Liefert zu einem Stichwort mögliche Befehle/Funktionen.
1010 \item \texttt{batch(a)} Lädt und startet Programm/File a.
1011 \item \texttt{bc1, bc2 ( DGL, x=x0, y=y0, x=x1, y=y1)} Lösung einer
1012   Randwertaufgabe einer DGL nach Behandlung mit ode2.
1013 \item \texttt{charpoly(Matrix, Variable)} Berechnet das
1014   charakteristische Polynom einer Matrix bzgl.\@ der gegebenen  Variable.
1015 \item \texttt{coeff(a,b,c)} Koeffizienten von b der Potenz C in Ausdruck a.
1016 \item \texttt{concat(a,b)} Generiert ein Symbol ab.
1017 \item \texttt{cons(a,b)} Fügt a in Liste b als erstes Element ein.
1018 \item \texttt{demoivre(a)} Transformiert alle komplexen Exponentialterme in trigonometrische.
1019 \item \texttt{denom(a)} Nenner von a.
1020 \item \texttt{depends(a,b)} Erklärt a als Funktion von b (nützlich für Differentialgleichungen).
1021 \item \texttt{desolve(a,b)} Versucht ein lineares System a von gew. DGLs
1022   nach unbekannten b mittels Laplace-Transformation  zu lösen.
1023 \item \texttt{describe(a)} Beschreibt einen Befehl oder eine Funktion
1024   näher.  Eventuell wird nachgefragt, welcher Aspekt eines Befehls oder
1025   einer Befehlsgruppe näher beschrieben  werden soll.
1026 \item \texttt{determinant(a)} Determinante
1027 \item \texttt{diff(a,b1,c1,b2,c2,\ldots,bn,cn)} Gemischte partielle Ableitung von a nach $b_i$ der Stufe $c_i$.
1028 \item \texttt{eigenvalues(a)} Berechnet die Eigenwerte und ihre Multiplikatoren.
1029 \item \texttt{eigenvectors(a)} Berechnet Eigenvektoren, Eigenwerte und  Multiplikatoren.
1030 \item \texttt{entermatrix(a,b)} Matrixeingabe einer Matrix mit a Zeilen und b Spalten.
1031 \item \texttt{ev(a,b1,b2,\ldots,bn)} Berechnet Ausdruck a unter den Annahmen $b_i$
1032   (Gleichungen, Zuweisungen, Schlüsselwörter (numer - Zahlenwerte,
1033   detout - Matrixinverse ohne Determinante, diff - alle Ableitungen
1034   werden ausgeführt). \emph{Nur} bei  direkter Eingabe kann ev weggelassen werden.
1035 \item \texttt{example(a)} Zeigt Beispiele für die Verwendung eines
1036   Befehls oder einer  Funktion an. Nicht für jede Funktion sind Beispiele vorhanden.
1037 \item \texttt{expand(a)} Algebraische Expansion (Distribution).
1038 \item \texttt{exponentialize(a)} Transformiert trigonometrische Funktionen in ihre komplexen Exponentialfunktionen.
1039 \item \texttt{factor(a)} Faktorisiert a.
1040 \item \texttt{freeof(a,b)} Ergibt wahr, wenn b nicht a enthält.
1041 \item \texttt{grind(a)} Darstellung einer Variable oder Funktion in einer kompakten Form.
1042 \item \texttt{ic1, ic2 (dgl, x=x0, y=y0, dy0/dx = y1)} Lösung einer Anfangswertaufgabe einer DGL (nach Behandlung mit ode2).
1043 \item \texttt{ident(a)} Einheitsmatrix a x a.
1044 \item \texttt{imagpart(a)} Imaginärteil von a.
1045 \item \texttt{integrate(a,b)} Berechnungsversuch des unbestimmten Integrals a nach b.
1046 \item \texttt{integrate(a,b,c,d)} Berechnung des Integrals a nach b in den Grenzen b=c und b=d.
1047 \item \texttt{invert(a)} Inverse der Matrix a.
1048 \item \texttt{kill(a)} Vernichtet Variable/Symbol a.
1049 \item \texttt{limit(a,b,c)} Grenzwertbestimmung des Ausdrucks a für b gegen c.
1050 \item \texttt{lhs(a)} Linke Seite eines Ausdrucks.
1051 \item \texttt{loadfile(a)} Lädt eine Datei a und führt sie aus.
1052 \item \texttt{makelist(a,b,c,d)} Generiert eine Liste von a(b) mit  b=c
1053   bis  b=d.
1054 \item \texttt{map(a,b)} Wendet a auf b an.
1055 \item \texttt{matrix(a1,a2,\ldots,an)} Generiert eine Matrix aus  Zeilenvektoren.
1056 \item \texttt{num(a)} Zähler von a.
1057 \item \texttt{ode2(a,b,c)} Löst gewöhnliche Differentialgleichungen 1.
1058   und  2. Ordnung a für b als Funktion von c.
1059 \item \texttt{part(a,b1,\ldots,bn)} Extrahiert aus a die Teile bi.
1060 \item \texttt{playback(a)} Zeigt die a letzten Labels an, wird a
1061   weggelassen, so  werden alle Zeilen zurückgespielt.
1062 \item \texttt{print( a1, a2, a3, \ldots )} Zeigt die Auswertung der
1063   Ausdrücke  an.
1064 \item \texttt{ratsimp(a)} Vereinfacht a und gibt einen Quotienten zweier
1065   Polynome  zurück.
1066 \item \texttt{realpart(a)} Realteil von a
1067 \item \texttt{rhs(a)} Rechte Seite einer Gleichung a.
1068 \item \texttt{save(a,b1,\ldots,bn)} Generiert eine Datei a (im
1069   Standardverzeichnis), welche Variablen, Funktionen oder Arrays bi
1070   enthält. So generierte Dateien  lassen sich mit loadfile
1071   zurückspielen. Wenn b1  all ist, wird alles bis auf die Labels gespeichert.
1072 \item \texttt{solve(a,b)} Algebraischer Lösungsversuch für ein
1073   Gleichungssystem  oder eine Gleichung a für eine Variable oder eine
1074   Liste von  Variablen b. Gleichungen können =0 abkürzen.
1075 \item \texttt{string(a)} Konvertiert a in Maximas lineare Notation.
1076 \item \texttt{stringout(a,b1,\ldots,bn)} Generiert eine Datei a im
1077   Standardverzeichnis, bestehend aus Symbolen bi. Die Datei ist im
1078   Textformat und nicht dazu geeignet von Maxima geladen zu werden. Die
1079   Ausdrücke können aber genutzt werden,  um sie in Fortran, Basic oder
1080   C-Programmen  zu verwenden.
1081 \item \texttt{subst(a,b,c)} Ersetzt a für b in c.
1082 \item \texttt{taylor(a,b,c,d)} Taylorreihenentwicklung von a nach b in
1083   Punkt c  bis zur Ordnung d.
1084 \item \texttt{transpose(a)} Transponiert Matrix a.
1085 \item \texttt{trigexpand(a)} Eine Vereinfachungsroutine, welche
1086   trigonometrische  Winkelsummen nutzt, um einen Ausdruck zu vereinfachen.
1087 \item \texttt{trigreduce(a)} Eine Vereinfachungsroutine für
1088   trigonometrische  Produkte und Potenzen.
1089 \item \texttt{trigsimp(a)} Eine Vereinfachungsroutine, welche
1090   verschiedene  trigonometrische Funktionen in sin und cos Equivalente umwandelt.
1091 \item \texttt{with\_stdout(Datei, Ausdrücke)} Leitet die Ausgabe der
1092   Ausdrücke  in die angegebene Datei um.
1093 \end{itemize}
1094
1095 \end{document}