share/contrib/rand/asympexp.usg

   1 asympexp.mac is from "The Use of Symbolic Computation in Perturbation
   2 Analysis" by R. H. Rand in Symbolic Computation in Fluid Mechanics and
   3 Heat Transfer ed H.H.Bau (ASME 1988) (http://tam.cornell.edu/Rand.html)
   4
   5 The routine approximates definite integrals of the form
   6
   7          b
   8        /
   9        |           x phi(t)
  10        |   f(t) %e         dt
  11        |
  12        /
  13          a
  14
  15 in the limit as x approaches infinity.
  16
  17 The idea of the method is that exp(x*phi(t)) makes its largest
  18 contribution to the integral in the neighbourhood of the point t=c at
  19 which phi(t) is maximum.
  20
  21 Example 1.
  22 ----------
  23
  24 The modified Bessel function of the first kind can be expressed as
  25
  26
  27                %pi
  28               /
  29            1  |            x cos(t)
  30   I (x) =  -  | cos(n*t) %e         dt
  31    n      %pi |
  32               /
  33                0
  34
  35 The results below from maxima-5.9.0-cvs match those in the paper.
  36
  37 (C1) load("./asympexp.mac");
  38 (D1)                            ./asympexp.mac
  39 (C2) asymptotic();
  40 The integrand is of the form: f(t) exp(x phi(t))
  41 enter f(t)
  42 cos(n*t);
  43 enter phi(t)
  44 cos(t);
  45 enter the lower limit of integration
  46 0;
  47 enter the upper limit of integration
  48 %pi;
  49                             COS(t) x
  50 The integrand is COS(n t) %E
  51 integrated from 0 to %PI
  52 enter value of t at which phi = COS(t)  is maximum
  53 0;
  54 enter truncation order
  55 4;
  56                                4          2  3          3          4  2
  57 (D2) SQRT(2) SQRT(%PI) (98304 x  - 49152 n  x  + 12288 x  + 12288 n  x
  58
  59           2  2         2         6            4            2
  60  - 30720 n  x  + 6912 x  - 2048 n  x + 17920 n  x - 33152 n  x + 7200 x
  61
  62         8         6          4          2            x          9/2
  63  + 256 n  - 5376 n  + 31584 n  - 51664 n  + 11025) %E /(196608 x   )
  64 (C3) time(d2);
  65 Time:
  66 (D3)                                [2.223]
  67
  68
  69 Example 2.
  70 ----------
  71
  72 The second example from the paper is Stirling's formula for the gamma function
  73
  74                infinity
  75               /
  76               |  1     -t+x*log(t)
  77   Gamma(x) =  |  -  %e            dt
  78               |  t
  79               /
  80                0
  81
  82 or by setting u = t/x
  83
  84                   infinity
  85                  /
  86                  |  1     x(log(u)-u)
  87   Gamma(x) =  x  |  -  %e            du
  88                  |  u
  89                  /
  90                 0
  91
  92 The results below from maxima-5.9.0-cvs match those in the paper.
  93
  94 (C4) asymptotic();
  95 The integrand is of the form: f(t) exp(x phi(t))
  96 enter f(t)
  97 1/t;
  98 enter phi(t)
  99 log(t)-t;
 100 enter the lower limit of integration
 101 0;
 102 enter the upper limit of integration
 103 inf;
 104                    (LOG(t) - t) x
 105                  %E
 106 The integrand is ----------------
 107                         t
 108 integrated from 0 to INF
 109 enter value of t at which phi = LOG(t) - t  is maximum
 110 1;
 111 enter truncation order
 112 4;
 113                                  4           3         2                   - x
 114      SQRT(2) SQRT(%PI) (2488320 x  + 207360 x  + 8640 x  - 6672 x - 571) %E
 115 (D4) -------------------------------------------------------------------------
 116                                             9/2
 117                                    2488320 x
 118 (C5) time(d4);
 119 Time:
 120 (D5)                               [10.045]
 121
 122
 123 Local Variables: ***
 124 mode: Text ***
 125 End: ***