doc/info/Differential.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to Differential Equations::
   3 * Functions and Variables for Differential Equations::
   4 @end menu
   5
   6 @node Introduction to Differential Equations, Functions and Variables for Differential Equations, Differential Equations, Differential Equations
   7 @section Introduction to Differential Equations
   8
   9 This section describes the functions available in Maxima to obtain
  10 analytic solutions for some specific types of first and second-order
  11 equations. To obtain a numerical solution for a system of differential
  12 equations, see the additional package @code{dynamics}. For graphical
  13 representations in phase space, see the additional package
  14 @mref{plotdf}.
  15
  16 @node Functions and Variables for Differential Equations,  , Introduction to Differential Equations, Differential Equations
  17 @section Functions and Variables for Differential Equations
  18
  19 @anchor{bc2}
  20 @deffn {Function} bc2 (@var{solution}, @var{xval1}, @var{yval1}, @var{xval2}, @var{yval2})
  21 Solves a boundary value problem for a second order differential equation.
  22 Here: @var{solution} is a general solution to the equation, as found by
  23 @mref{ode2}; @var{xval1} specifies the value of the independent variable
  24 in a first point, in the form @code{@var{x} = @var{x1}}, and @var{yval1}
  25 gives the value of the dependent variable in that point, in the form
  26 @code{@var{y} = @var{y1}}. The expressions @var{xval2} and @var{yval2}
  27 give the values for these variables at a second point, using the same
  28 form.
  29
  30 See @mref{ode2} for an example of its usage.
  31
  32 @opencatbox{Categories:}
  33 @category{Differential equations}
  34 @closecatbox
  35 @end deffn
  36
  37 @anchor{desolve}
  38 @deffn {Function} desolve @
  39 @fname{desolve} (@var{eqn}, @var{y}) @
  40 @fname{desolve} ([@var{eqn_1}, ..., @var{eqn_n}], [@var{y_1}, ..., @var{y_n}])
  41
  42 The function @code{desolve} solves systems of linear ordinary
  43 differential equations using Laplace transform. Here the @var{eqn}'s are
  44 differential equations in the dependent variables @var{y_1}, ...,
  45 @var{y_n}. The functional dependence of @var{y_1}, ..., @var{y_n} on an
  46 independent variable, for instance @var{x}, must be explicitly indicated
  47 in the variables and its derivatives. For example, the @emph{correct}
  48 way to define the differential equations would be:
  49
  50 @example
  51 eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
  52 eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
  53 @end example
  54
  55 The call to the function @code{desolve} would then be:
  56 @example
  57 desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
  58 @end example
  59
  60 If initial conditions at @code{x=0} are known, they can be supplied before
  61 calling @code{desolve} by using @mref{atvalue}.
  62
  63 @c ===beg===
  64 @c 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
  65 @c 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
  66 @c atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
  67 @c atvalue(f(x),x=0,1);
  68 @c desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
  69 @c [%o1,%o2],%o5,diff;
  70 @c ===end===
  71 @example
  72 (%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
  73                  d           d
  74 (%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
  75                  dx          dx
  76 (%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
  77 @group
  78                   2
  79                  d            d
  80 (%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
  81                    2          dx
  82                  dx
  83 @end group
  84 (%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
  85 (%o3)                           a
  86 (%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
  87 (%o4)                           1
  88 (%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
  89                   x
  90 (%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) =
  91
  92                                                 x
  93                                    cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
  94 (%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
  95              x       x      x                x
  96 (%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]
  97
  98 @end example
  99
 100 If @code{desolve} cannot obtain a solution, it returns @code{false}.
 101
 102 See also @mrefcomma{ode2} @mref{drawdf} and @mrefdot{rk}
 103
 104 @opencatbox{Categories:}
 105 @category{Differential equations}
 106 @category{Laplace transform}
 107 @closecatbox
 108 @end deffn
 109 @anchor{ic1}
 110 @deffn {Function} ic1 (@var{solution}, @var{xval}, @var{yval})
 111 Solves initial value problems for first order differential equations.
 112 Here @var{solution} is a general solution to the equation, as found by
 113 @mref{ode2}, @var{xval} gives an initial value for the independent
 114 variable in the form @code{@var{x} = @var{x0}}, and @var{yval} gives the
 115 initial value for the dependent variable in the form @code{@var{y} =
 116 @var{y0}}.
 117
 118 See @mref{ode2} for an example of its usage.
 119
 120 @opencatbox{Categories:}
 121 @category{Differential equations}
 122 @closecatbox
 123 @end deffn
 124 @anchor{ic2}
 125 @deffn {Function} ic2 (@var{solution}, @var{xval}, @var{yval}, @var{dval})
 126 Solves initial value problems for second-order differential equations.
 127 Here @var{solution} is a general solution to the equation, as found by
 128 @code{ode2}, @var{xval} gives the initial value for the independent
 129 variable in the form @code{@var{x} = @var{x0}}, @var{yval} gives the
 130 initial value of the dependent variable in the form @code{@var{y} =
 131 @var{y0}}, and @var{dval} gives the initial value for the first
 132 derivative of the dependent variable with respect to independent
 133 variable, in the form @code{'diff(@var{y},@var{x}) = @var{dy0}}.
 134
 135 See @mref{ode2} for an example of its usage.
 136
 137 @opencatbox{Categories:}
 138 @category{Differential equations}
 139 @closecatbox
 140 @end deffn
 141
 142 @anchor{ode2}
 143 @deffn {Function} ode2 (@var{eqn}, @var{dvar}, @var{ivar})
 144 The function @code{ode2} solves an ordinary differential equation (ODE)
 145 of first or second order. It takes three arguments: an ODE given by
 146 @var{eqn}, the dependent variable @var{dvar}, and the independent
 147 variable @var{ivar}. When successful, it returns either an explicit or
 148 implicit solution for the dependent variable. @mref{%c} is used to
 149 represent the integration constant in the case of first-order equations,
 150 and @mref{%k1} and @mref{%k2} the constants for second-order
 151 equations. The dependence of the dependent variable on the independent
 152 variable does not have to be written explicitly, as in the case of
 153 @mref{desolve}, but the independent variable must always be given as the
 154 third argument.
 155
 156 If @code{ode2} cannot obtain a solution for whatever reason, it returns
 157 @code{false}, after perhaps printing out an error message. The methods
 158 implemented for first order equations in the order in which they are
 159 tested are: linear, separable, exact - perhaps requiring an integrating
 160 factor, homogeneous, Bernoulli's equation, and a generalized homogeneous
 161 method. The types of second-order equations which can be solved are:
 162 constant coefficients, exact, linear homogeneous with non-constant
 163 coefficients which can be transformed to constant coefficients, the
 164 Euler or equi-dimensional equation, equations solvable by the method of
 165 variation of parameters, and equations which are free of either the
 166 independent or of the dependent variable so that they can be reduced to
 167 two first order linear equations to be solved sequentially.
 168
 169 In the course of solving ODE's, several variables are set purely for
 170 informational purposes: @mref{method} denotes the method of solution
 171 used (e.g., @code{linear}), @code{intfactor} denotes any integrating
 172 factor used, @code{odeindex} denotes the index for Bernoulli's method or
 173 for the generalized homogeneous method, and @mref{yp} denotes the
 174 particular solution for the variation of parameters technique.
 175
 176 In order to solve initial value problems (IVP) functions @mref{ic1} and
 177 @mref{ic2} are available for first and second order equations, and to
 178 solve second-order boundary value problems (BVP) the function @mref{bc2}
 179 can be used.
 180
 181 See also @mrefcomma{desolve} @mref{drawdf} and @mrefdot{rk}
 182
 183 Example:
 184
 185 @c ===beg===
 186 @c x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
 187 @c soln1: ode2(%,y,x);
 188 @c ic1 (soln1,x=%pi,y=0);
 189 @c 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
 190 @c soln2: ode2(%,y,x);
 191 @c ratsimp (ic2(soln2,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
 192 @c bc2 (soln2,x=0,y=1,x=1,y=3);
 193 @c ===end===
 194 @example
 195 (%i1) x^2*'diff(y,x)+3*x*y = sin(x)/x;
 196                                      2 dy   sin(x)
 197 (%o1)                       3 x y + x  -- = ------
 198                                        dx     x
 199 (%i2) soln1:ode2(%,y,x);
 200                                     %c - cos(x)
 201 (%o2)                           y = -----------
 202                                          3
 203                                         x
 204 (%i3) ic1(soln1,x = %pi,y = 0);
 205                                      1 + cos(x)
 206 (%o3)                          y = - ----------
 207                                           3
 208                                          x
 209 (%i4) 'diff(y,x,2)+y*('diff(y,x))^3 = 0;
 210                                           2
 211                                   dy 3   d y
 212 (%o4)                          y (--)  + --- = 0
 213                                   dx       2
 214                                          dx
 215 (%i5) soln2:ode2(%,y,x);
 216                                        3
 217                             6 %k1 y + y
 218 (%o5)                       ------------ = %k2 + x
 219                                  6
 220 (%i6) ratsimp(ic2(soln2,x = 0,y = 0,'diff(y,x) = 2));
 221                                         3
 222                                  3 y + y
 223 (%o6)                            -------- = x
 224                                     6
 225 (%i7) bc2(soln2,x = 0,y = 1,x = 1,y = 3);
 226
 227                                        3
 228                              - 10 y + y      3
 229 (%o7)                        ----------- = - - + x
 230                                   6          2
 231 @end example
 232
 233 @opencatbox{Categories:}
 234 @category{Differential equations}
 235 @closecatbox
 236 @end deffn
 237
 238 @anchor{method}
 239 @defvr {System variable} method
 240
 241 The variable @code{method} is set by @mref{ode2} to the successful solution
 242 method.
 243
 244 @opencatbox{Categories:}
 245 @category{Differential equations}
 246 @category{Package contrib_ode}
 247 @closecatbox
 248
 249 @end defvr
 250
 251 @anchor{%c}
 252 @defvr {Variable} %c
 253
 254 @code{%c} is the integration constant in the solutions of first
 255 order ODEs returned from @mref{ode2}.
 256
 257 @opencatbox{Categories:}
 258 @category{Differential equations}
 259 @category{Package contrib_ode}
 260 @closecatbox
 261
 262 @end defvr
 263
 264 @anchor{%k1}
 265 @defvr {Variable} %k1
 266
 267 @code{%k1} is the first integration constant in the solutions of second
 268 order ODEs returned from @mref{ode2}.
 269
 270 @opencatbox{Categories:}
 271 @category{Differential equations}
 272 @category{Package contrib_ode}
 273 @closecatbox
 274
 275 @end defvr
 276
 277 @anchor{%k2}
 278 @defvr {Variable} %k2
 279
 280 @code{%k2} is the second integration constant in the solutions of second
 281 order ODEs returned from @mref{ode2}.
 282
 283 @opencatbox{Categories:}
 284 @category{Differential equations}
 285 @category{Package contrib_ode}
 286 @closecatbox
 287
 288 @end defvr
 289
 290
 291 @anchor{yp}
 292 @defvr {Variable} yp
 293
 294 @mref{yp} is the particular solution of an ODE found by @mref{ode2}
 295 when using the variation of parameters technique.
 296
 297 @opencatbox{Categories:}
 298 @category{Differential equations}
 299 @closecatbox
 300
 301 @end defvr
 302