doc/info/Limits.texi

   1 @menu
   2 * Functions and Variables for Limits::
   3 @end menu
   4
   5 @c -----------------------------------------------------------------------------
   6 @node Functions and Variables for Limits,  , Limits, Limits
   7 @section Functions and Variables for Limits
   8 @c -----------------------------------------------------------------------------
   9
  10 @c -----------------------------------------------------------------------------
  11 @anchor{lhospitallim}
  12 @defvr {Option variable} lhospitallim
  13 Default value: 4
  14
  15 @code{lhospitallim} is the maximum number of times L'Hospital's
  16 rule is used in @mref{limit}.  This prevents infinite looping in cases like
  17 @code{limit (cot(x)/csc(x), x, 0)}.
  18
  19 @opencatbox{Categories:}
  20 @category{Limits}
  21 @closecatbox
  22 @end defvr
  23
  24 @c -----------------------------------------------------------------------------
  25 @anchor{limit}
  26 @deffn  {Function} limit @
  27 @fname{limit} (@var{expr}, @var{x}, @var{val}, @var{dir}) @
  28 @fname{limit} (@var{expr}, @var{x}, @var{val}) @
  29 @fname{limit} (@var{expr})
  30
  31 Computes the limit of @var{expr} as the real variable @var{x} approaches the
  32 value @var{val} from the direction @var{dir}.  @var{dir} may have the value
  33 @code{plus} for a limit from above, @code{minus} for a limit from below, or
  34 may be omitted (implying a two-sided limit is to be computed).
  35
  36 @code{limit} uses the following special symbols: @code{inf} (positive infinity)
  37 and @mref{minf} (negative infinity).  On output it may also use @mref{und}
  38 (undefined), @mref{ind} (indefinite but bounded) and @mref{infinity} (complex
  39 infinity).
  40
  41 @code{infinity} (complex infinity) is returned when the limit of
  42 the absolute value of the expression is positive infinity, but
  43 the limit of the expression itself is not positive infinity or
  44 negative infinity.  This includes cases where the limit of the
  45 complex argument is a constant, as in @code{limit(log(x), x, minf)},
  46 cases where the complex argument oscillates, as in
  47 @code{limit((-2)^x, x, inf)}, and cases where the complex
  48 argument is different for either side of a two-sided limit, as in
  49 @code{limit(1/x, x, 0)} and @code{limit(log(x), x, 0)}.
  50
  51 @mref{lhospitallim} is the maximum number of times L'Hospital's rule
  52 is used in @code{limit}.  This prevents infinite looping in cases like
  53 @code{limit (cot(x)/csc(x), x, 0)}.
  54
  55 @mref{tlimswitch} when true will allow the @code{limit} command to use
  56 Taylor series expansion when necessary.
  57
  58 @mref{limsubst} prevents @code{limit} from attempting substitutions on
  59 unknown forms.  This is to avoid bugs like @code{limit (f(n)/f(n+1), n, inf)}
  60 giving 1.  Setting @code{limsubst} to @code{true} will allow such
  61 substitutions.
  62
  63 @code{limit} with one argument is often called upon to simplify constant
  64 expressions, for example, @code{limit (inf-1)}.
  65
  66 @c MERGE EXAMPLES INTO THIS FILE
  67 @code{example (limit)} displays some examples.
  68
  69 For the method see Wang, P., "Evaluation of Definite Integrals by Symbolic
  70 Manipulation", Ph.D. thesis, MAC TR-92, October 1971.
  71
  72 @opencatbox{Categories:}
  73 @category{Limits}
  74 @closecatbox
  75 @end deffn
  76
  77 @c -----------------------------------------------------------------------------
  78 @anchor{limsubst}
  79 @defvr {Option variable} limsubst
  80 Default value: @code{false}
  81
  82 prevents @mref{limit} from attempting substitutions on unknown forms.  This is
  83 to avoid bugs like @code{limit (f(n)/f(n+1), n, inf)} giving 1.  Setting
  84 @code{limsubst} to @code{true} will allow such substitutions.
  85
  86 @opencatbox{Categories:}
  87 @category{Limits}
  88 @closecatbox
  89 @end defvr
  90
  91 @c -----------------------------------------------------------------------------
  92 @anchor{tlimit}
  93 @deffn  {Function} tlimit @
  94 @fname{tlimit} (@var{expr}, @var{x}, @var{val}, @var{dir}) @
  95 @fname{tlimit} (@var{expr}, @var{x}, @var{val}) @
  96 @fname{tlimit} (@var{expr})
  97
  98 Take the limit of the Taylor series expansion of @code{expr} in @code{x}
  99 at @code{val} from direction @code{dir}.
 100
 101 @opencatbox{Categories:}
 102 @category{Limits}
 103 @closecatbox
 104 @end deffn
 105
 106 @c -----------------------------------------------------------------------------
 107 @anchor{tlimswitch}
 108 @defvr {Option variable} tlimswitch
 109 Default value: @code{true}
 110
 111 When @code{tlimswitch} is @code{true}, the @mref{limit} command will use a
 112 Taylor series expansion if the limit of the input expression cannot be computed
 113 directly.  This allows evaluation of limits such as
 114 @code{limit(x/(x-1)-1/log(x),x,1,plus)}.  When @code{tlimswitch} is @code{false}
 115 and the limit of input expression cannot be computed directly, @code{limit} will
 116 return an unevaluated limit expression.
 117
 118 @opencatbox{Categories:}
 119 @category{Limits}
 120 @closecatbox
 121 @end defvr
 122
 123 @c -----------------------------------------------------------------------------
 124 @anchor{gruntz}
 125 @deffn {Function} gruntz @
 126 @fname{gruntz} (@var{expr}, @var{var}, @var{value}) @
 127 @fname{gruntz} (@var{expr}, @var{var}, @var{value}, @var{direction})
 128
 129 Compute limit of expression @var{expr} with respect to variable @var{var} at @var{value}.
 130 When @var{value} is not infinite (i.e., not @code{inf} or @code{minf}),
 131 @var{direction} must be supplied,
 132 either @code{plus} for a limit from above,
 133 or @code{minus} for a limit from below.
 134
 135 If @code{gruntz} cannot find the limit,
 136 an unevaluated expression @code{gruntz(...)} is returned.
 137
 138 @code{gruntz} implements the method described in the dissertation of
 139 Dominik Gruntz, "On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System"
 140 (ETH Zurich, 1996).
 141
 142 The algorithm identifies the most rapidly varying subexpression,
 143 replaces it with a new variable, rewrites the expression in terms
 144 of the new variable, and then repeats.
 145
 146 The algorithm doesn't handle oscillating functions, so it can't do things like
 147 @code{limit(sin(x)/x, x, inf)}.
 148
 149 To handle limits involving functions such as @code{gamma(x)} and @code{erf(x)},
 150 the Gruntz algorithm requires them to be written in terms of asymptotic expansions,
 151 which Maxima cannot currently do.
 152
 153 The Gruntz algorithm assumes that variables and expressions are real,
 154 so, for example, it can't handle @code{limit((-2)^x, x, inf)}.
 155
 156 @code{gruntz} is one of the methods called from @code{limit}.
 157
 158 @opencatbox{Categories:}
 159 @category{Limits}
 160 @closecatbox
 161
 162 @end deffn