doc/info/bernstein.texi

   1 @menu
   2 * Functions and Variables for Bernstein::
   3 @end menu
   4
   5 @node Functions and Variables for Bernstein,  , Package bernstein, Package bernstein
   6 @section Functions and Variables for Bernstein
   7
   8 @anchor{bernstein_poly}
   9 @deffn {Function} bernstein_poly (@var{k}, @var{n}, @var{x})
  10
  11 Provided @code{k} is not a negative integer, the Bernstein polynomials
  12 are defined by @code{bernstein_poly(k,n,x) = binomial(n,k) x^k
  13 (1-x)^(n-k)}; for a negative integer @code{k}, the Bernstein polynomial
  14 @code{bernstein_poly(k,n,x)} vanishes.  When either @code{k} or @code{n} are
  15 non integers, the option variable @code{bernstein_explicit}
  16 controls the expansion of the Bernstein polynomials into its explicit form;
  17 example:
  18
  19 @example
  20 (%i1) load("bernstein")$
  21
  22 (%i2) bernstein_poly(k,n,x);
  23 (%o2)                bernstein_poly(k, n, x)
  24 (%i3) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
  25                                        n - k  k
  26 (%o3)            binomial(n, k) (1 - x)      x
  27 @end example
  28
  29 The Bernstein polynomials have both a gradef property and an integrate property:
  30
  31 @example
  32 (%i4) diff(bernstein_poly(k,n,x),x);
  33 (%o4) (bernstein_poly(k - 1, n - 1, x)
  34                                  - bernstein_poly(k, n - 1, x)) n
  35 (%i5) integrate(bernstein_poly(k,n,x),x);
  36 (%o5)
  37                                                             k + 1
  38  hypergeometric([k + 1, k - n], [k + 2], x) binomial(n, k) x
  39  ----------------------------------------------------------------
  40                               k + 1
  41 @end example
  42
  43 For numeric inputs, both real and complex, the Bernstein polynomials evaluate
  44 to a numeric result:
  45
  46 @example
  47 (%i6) bernstein_poly(5,9, 1/2 + %i);
  48                         39375 %i   39375
  49 (%o6)                   -------- + -----
  50                           128       256
  51 (%i7) bernstein_poly(5,9, 0.5b0 + %i);
  52 (%o7)           3.076171875b2 %i + 1.5380859375b2
  53 @end example
  54
  55 To use @code{bernstein_poly}, first @code{load("bernstein")}.
  56
  57 @end deffn
  58
  59
  60 @anchor{bernstein_explicit}
  61 @defvr {Variable} bernstein_explicit
  62 Default value: @code{false}
  63
  64 When either @code{k} or @code{n} are non integers, the option variable
  65 @code{bernstein_explicit} controls the expansion of @code{bernstein(k,n,x)}
  66 into its explicit form; example:
  67
  68 @example
  69 (%i1) bernstein_poly(k,n,x);
  70 (%o1)                bernstein_poly(k, n, x)
  71 (%i2) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
  72                                        n - k  k
  73 (%o2)            binomial(n, k) (1 - x)      x
  74 @end example
  75 When both @code{k} and @code{n} are explicitly integers, @code{bernstein(k,n,x)}
  76 @emph{always} expands to its explicit form.
  77
  78 @end defvr
  79
  80
  81 @anchor{multibernstein_poly}
  82 @deffn {Function} multibernstein_poly (@var{[k1,k2,@dots{}, kp]}, @var{[n1,n2,@dots{}, np]}, @var{[x1,x2,@dots{}, xp]})
  83
  84 The multibernstein polynomial @code{multibernstein_poly (@var{[k1, k2, ...,
  85 kp]}, @var{[n1, n2, ..., np]}, @var{[x1, x2, ..., xp]})} is the product of
  86 bernstein polynomials @code{bernstein_poly(k1, n1, x1)
  87 bernstein_poly(k2, n2, x2) ... bernstein_poly(kp, np, xp)}.
  88
  89 To use @code{multibernstein_poly}, first @code{load("bernstein")}.
  90
  91 @end deffn
  92
  93 @anchor{bernstein_approx}
  94 @deffn {Function} bernstein_approx (@var{f}, @var{[x1, x1, @dots{}, xn]}, n)
  95
  96 Return the @code{n}-th order uniform Bernstein polynomial approximation for the
  97 function @code{(x1, x2, ..., xn) |--> f}.
  98 Examples
  99
 100 @example
 101 (%i1) bernstein_approx(f(x),[x], 2);
 102                  2       1                          2
 103 (%o1)      f(1) x  + 2 f(-) (1 - x) x + f(0) (1 - x)
 104                          2
 105 (%i2) bernstein_approx(f(x,y),[x,y], 2);
 106                2  2       1                2
 107 (%o2) f(1, 1) x  y  + 2 f(-, 1) (1 - x) x y
 108                           2
 109                   2  2          1   2
 110  + f(0, 1) (1 - x)  y  + 2 f(1, -) x  (1 - y) y
 111                                 2
 112        1  1                               1         2
 113  + 4 f(-, -) (1 - x) x (1 - y) y + 2 f(0, -) (1 - x)  (1 - y) y
 114        2  2                               2
 115             2        2       1                      2
 116  + f(1, 0) x  (1 - y)  + 2 f(-, 0) (1 - x) x (1 - y)
 117                              2
 118                   2        2
 119  + f(0, 0) (1 - x)  (1 - y)
 120 @end example
 121
 122 To use @code{bernstein_approx}, first @code{load("bernstein")}.
 123
 124 @end deffn
 125
 126 @anchor{bernstein_expand}
 127 @deffn {Function} bernstein_expand (@var{e}, @var{[x1, x1, @dots{}, xn]})
 128
 129 Express the @emph{polynomial} @code{e} exactly as a linear combination of multi-variable
 130 Bernstein polynomials.
 131
 132 @example
 133 (%i1) bernstein_expand(x*y+1,[x,y]);
 134 (%o1)    2 x y + (1 - x) y + x (1 - y) + (1 - x) (1 - y)
 135 (%i2) expand(%);
 136 (%o2)                        x y + 1
 137 @end example
 138
 139 Maxima signals an error when the first argument isn't a polynomial.
 140
 141 To use @code{bernstein_expand}, first @code{load("bernstein")}.
 142
 143 @end deffn
 144