doc/info/de/bernstein.de.texi

   1 @c -----------------------------------------------------------------------------
   2 @c File     : bernstein.de.texi
   3 @c License  : GNU General Public License (GPL)
   4 @c Original : bernstein.texi revision 19.07.2011
   5 @c Date     : 23.07.2011
   6 @c Revision : 23.07.2011
   7 @c
   8 @c This file is part of Maxima -- GPL CAS based on DOE-MACSYMA
   9 @c -----------------------------------------------------------------------------
  10
  11 @menu
  12 * Functions and Variables for Bernstein::
  13 @end menu
  14
  15 @c -----------------------------------------------------------------------------
  16 @node Functions and Variables for Bernstein,  , bernstein, bernstein
  17 @section Functions and Variables for Bernstein
  18 @c -----------------------------------------------------------------------------
  19
  20 @c -----------------------------------------------------------------------------
  21 @deffn {Function} bernstein_poly (@var{k}, @var{n}, @var{x})
  22
  23 Provided @code{k} is not a negative integer, the Bernstein polynomials
  24 are defined by @code{bernstein_poly(k,n,x) = binomial(n,k) x^k
  25 (1-x)^(n-k)}; for a negative integer @code{k}, the Bernstein polynomial
  26 @code{bernstein_poly(k,n,x)} vanishes. When either @code{k} or @code{n} are
  27 non integers, the option variable @code{bernstein_explicit} controls the
  28 expansion of the Bernstein polynomials into its explicit form; example:
  29
  30 @example
  31 (%i1) load("bernstein")$
  32
  33 (%i2) bernstein_poly(k,n,x);
  34 (%o2)                bernstein_poly(k, n, x)
  35 (%i3) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
  36                                        n - k  k
  37 (%o3)            binomial(n, k) (1 - x)      x
  38 @end example
  39
  40 The Bernstein polynomials have both a gradef property and an integrate property:
  41
  42 @example
  43 (%i4) diff(bernstein_poly(k,n,x),x);
  44 (%o4) (bernstein_poly(k - 1, n - 1, x)
  45                                  - bernstein_poly(k, n - 1, x)) n
  46 (%i5) integrate(bernstein_poly(k,n,x),x);
  47 (%o5)
  48                                                             k + 1
  49  hypergeometric([k + 1, k - n], [k + 2], x) binomial(n, k) x
  50  ----------------------------------------------------------------
  51                               k + 1
  52 @end example
  53
  54 For numeric inputs, both real and complex, the Bernstein polynomials evaluate
  55 to a numeric result:
  56
  57 @example
  58 (%i6) bernstein_poly(5,9, 1/2 + %i);
  59                         39375 %i   39375
  60 (%o6)                   -------- + -----
  61                           128       256
  62 (%i7) bernstein_poly(5,9, 0.5b0 + %i);
  63 (%o7)           3.076171875b2 %i + 1.5380859375b2
  64 @end example
  65
  66 To use @code{bernstein_poly}, first @code{load("bernstein")}.
  67 @end deffn
  68
  69 @c -----------------------------------------------------------------------------
  70 @defvr {Variable} bernstein_explicit
  71 Default value: @code{false}
  72
  73 When either @code{k} or @code{n} are non integers, the option variable
  74 @code{bernstein_explicit} controls the expansion of @code{bernstein(k,n,x)}
  75 into its explicit form; example:
  76
  77 @example
  78 (%i1) bernstein_poly(k,n,x);
  79 (%o1)                bernstein_poly(k, n, x)
  80 (%i2) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
  81                                        n - k  k
  82 (%o2)            binomial(n, k) (1 - x)      x
  83 @end example
  84
  85 When both @code{k} and @code{n} are explicitly integers, @code{bernstein(k,n,x)}
  86 @emph{always} expands to its explicit form.
  87 @end defvr
  88
  89 @c -----------------------------------------------------------------------------
  90 @deffn {Function} multibernstein_poly (@var{[k1, k2, @dots{}, kp]}, @var{[n1, n2, @dots{}, np]}, @var{[x1, x2, @dots{},  xp]})
  91
  92 The multibernstein polynomial
  93 @code{multibernstein_poly (@var{[k1, ..., kp]}, @var{[n1, ..., np]},
  94 @var{[x1, ..., xp]})} is the product of bernstein polynomials
  95 @code{bernstein_poly(k1, n1, x1) * ... * bernstein_poly(kp, np, xp)}.
  96
  97 To use @code{multibernstein_poly}, first @code{load("bernstein")}.
  98 @end deffn
  99
 100 @c -----------------------------------------------------------------------------
 101 @deffn {Function} bernstein_approx (@var{f}, @var{[x1, x1, @dots{}, xn]}, @var{n})
 102
 103 Return the @code{n}-th order uniform Bernstein polynomial approximation for the
 104 function @code{(x1, x2, ..., xn) |--> f}.
 105
 106 Examples:
 107
 108 @example
 109 (%i1) bernstein_approx(f(x),[x], 2);
 110                  2       1                          2
 111 (%o1)      f(1) x  + 2 f(-) (1 - x) x + f(0) (1 - x)
 112                          2
 113 (%i2) bernstein_approx(f(x,y),[x,y], 2);
 114                2  2       1                2
 115 (%o2) f(1, 1) x  y  + 2 f(-, 1) (1 - x) x y
 116                           2
 117                   2  2          1   2
 118  + f(0, 1) (1 - x)  y  + 2 f(1, -) x  (1 - y) y
 119                                 2
 120        1  1                               1         2
 121  + 4 f(-, -) (1 - x) x (1 - y) y + 2 f(0, -) (1 - x)  (1 - y) y
 122        2  2                               2
 123             2        2       1                      2
 124  + f(1, 0) x  (1 - y)  + 2 f(-, 0) (1 - x) x (1 - y)
 125                              2
 126                   2        2
 127  + f(0, 0) (1 - x)  (1 - y)
 128 @end example
 129
 130 To use @code{bernstein_approx}, first @code{load("bernstein")}.
 131 @end deffn
 132
 133 @c -----------------------------------------------------------------------------
 134 @deffn {Function} bernstein_expand (@var{e}, @var{[x1, x1, @dots{}, xn]})
 135
 136 Express the @emph{polynomial} @code{e} exactly as a linear combination of
 137 multi-variable Bernstein polynomials.
 138
 139 @example
 140 (%i1) bernstein_expand(x*y+1,[x,y]);
 141 (%o1)    2 x y + (1 - x) y + x (1 - y) + (1 - x) (1 - y)
 142 (%i2) expand(%);
 143 (%o2)                        x y + 1
 144 @end example
 145
 146 Maxima signals an error when the first argument isn't a polynomial.
 147
 148 To use @code{bernstein_expand}, first @code{load("bernstein")}.
 149 @end deffn
 150
 151 @c --- End of file bernstein.de.texi -------------------------------------------
 152