tests/wester_problems/test_series.mac

   1 /* Original version of this file copyright 1999 by Michael Wester,
   2  * and retrieved from http://www.math.unm.edu/~wester/demos/Series/problems.macsyma
   3  * circa 2006-10-23.
   4  *
   5  * Released under the terms of the GNU General Public License, version 2,
   6  * per message dated 2007-06-03 from Michael Wester to Robert Dodier
   7  * (contained in the file wester-gpl-permission-message.txt).
   8  *
   9  * See: "A Critique of the Mathematical Abilities of CA Systems"
  10  * by Michael Wester, pp 25--60 in
  11  * "Computer Algebra Systems: A Practical Guide", edited by Michael J. Wester
  12  * and published by John Wiley and Sons, Chichester, United Kingdom, 1999.
  13  */
  14 /* ----------[ M a c s y m a ]---------- */
  15 /* ---------- Initialization ---------- */
  16 showtime: all$
  17 prederror: false$
  18 /* ---------- Series ---------- */
  19 /* Taylor series---this first example comes from special relativity
  20    => 1 + 1/2 (v/c)^2 + 3/8 (v/c)^4 + 5/16 (v/c)^6 + O((v/c)^8) */
  21 1/sqrt(1 - (v/c)^2);
  22 taylor(%, v, 0, 7);
  23 1/%^2;
  24 /* Note: sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + O(x^9)
  25          cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + O(x^8)
  26          tan(x) = x + x^3/3 + 2/15 x^5 + 17/315 x^7 + O(x^9) */
  27 tsin: taylor(sin(x), x, 0, 7);
  28 tcos: taylor(cos(x), x, 0, 7);
  29 /* Note that additional terms will be computed as needed */
  30 tsin/tcos;
  31 taylor(tan(x), x, 0, 7);
  32 remvalue(tsin, tcos)$
  33 /* => -x^2/6 - x^4/180 - x^6/2835 - O(x^8) */
  34 taylor(log(sin(x)/x), x, 0, 7);
  35 taylor(sin(x)/x, x, 0, 7);
  36 taylor(log(%), x, 0, 7);
  37 /* => [a f'(a d) + g(b d) + integrate(h(c y), y = 0..d)]
  38       + [a^2 f''(a d) + b g'(b d) + h(c d)] (x - d) */
  39 diff(f(a*x), x) + g(b*x) + integrate(h(c*y), y, 0, x);
  40 taylor(%, x, d, 1);
  41 ev(%, diff);
  42 /* Taylor series of nonscalar objects (noncommutative multiplication)
  43    => (B A - A B) t^2/2 + O(t^3)   [Stanly Steinberg] */
  44 declare([A, B], nonscalar)$
  45 %e^((A + B)*t) - %e^(A*t) * %e^(B*t);
  46 ratsimp(%);
  47 taylor(%e^((A + B)*t) - %e^(A*t) * %e^(B*t), t, 0, 4);
  48 remove([A, B], nonscalar)$
  49 /* Laurent series:
  50    => sum( Bernoulli[k]/k! x^(k - 2), k = 1..infinity )
  51       = 1/x^2 - 1/(2 x) + 1/12 - x^2/720 + x^4/30240 + O(x^6)
  52       [Levinson and Redheffer, p. 173] */
  53 taylor(1/(x*(exp(x) - 1)), x, 0, 7);
  54 /* Puiseux series (terms with fractional degree):
  55    => 1/sqrt(x - 3/2 pi) + (x - 3/2 pi)^(3/2) / 12 + O([x - 3/2 pi]^(7/2)) */
  56 taylor(sqrt(sec(x)), x, 3/2*%pi, 4);
  57 /* Generalized Taylor series => sum( [x log x]^k/k!, k = 0..infinity ) */
  58 taylor(x^x, x, 0, 3);
  59 /* Compare the generalized Taylor series of two different formulations of a
  60    function => log(z) + log(cosh(w)) + tanh(w) z + O(z^2) */
  61 s1: taylor(log(sinh(z)) + log(cosh(z + w)), z, 0, 1);
  62 s2: taylor(log(sinh(z) * cosh(z + w)), z, 0, 1);
  63 radcan(s1 - s2);
  64 remvalue(s1, s2)$
  65 /* Look at the generalized Taylor series around x = 1
  66    => (x - 1)^a/e^b [1 - (a + 2 b) (x - 1) / 2 + O((x - 1)^2)] */
  67 log(x)^a*exp(-b*x);
  68 taylor(%, x, 1, 1);
  69 /* Asymptotic expansions => sqrt(2) x + O(1/x) */
  70 taylor(sqrt(2*x^2 + 1), x, inf, 0);
  71 /* Wallis' product => 1/sqrt(pi n) + ...   [Knopp, p. 385] */
  72 errcatch(taylor(1/2^(2*n) * binomial(2*n, n), n, inf, 0));
  73 /* => 0!/x - 1!/x^2 + 2!/x^3 - 3!/x^4 + O(1/x^5)   [Knopp, p. 544] */
  74 exp(x) * 'integrate(exp(-t)/t, t, x, inf);
  75 errcatch(taylor(%, x, inf, 5));
  76 /* Multivariate Taylor series expansion => 1 - (x^2 + 2 x y + y^2)/2 + O(x^4)
  77    */
  78 taylor(cos(x + y), [x, y], 0, 3);
  79 taylor(cos(x + y), [x, 0, 3], [y, 0, 3]);
  80 expand(%);
  81 /* Power series (compute the general formula) */
  82 verbose: true$
  83 powerseries(log(sin(x)/x), x, 0);
  84 taylor(%, x, 0, 7);
  85 powerseries(exp(-x)*sin(x), x, 0);
  86 taylor(%, x, 0, 7);
  87 /* Derive an explicit Taylor series solution of y as a function of x from the
  88    following implicit relation:
  89    y = x - 1 + (x - 1)^2/2 + 2/3 (x - 1)^3 + (x - 1)^4 + 17/10 (x - 1)^5 + ...
  90    */
  91 x = sin(y) + cos(y);
  92 taylor_revert(%, y, 7);
  93 /* Pade (rational function) approximation => (2 - x)/(2 + x) */
  94 pade(taylor(exp(-x), x, 0, 2), 1, 1);
  95 /* Fourier series of f(x) of period 2 p over the interval [-p, p]
  96    => - (2 p / pi) sum( (-1)^n sin(n pi x / p) / n, n = 1..infinity ) */
  97 assume(p > 0)$
  98 fourier_series(x, x, p);
  99 /* => p / 2
 100    - (2 p / pi^2) sum( [1 - (-1)^n] cos(n pi x / p) / n^2, n = 1..infinity ) */
 101 fourier_series(abs(x), x, p);
 102 forget(p > 0)$