Important solution fix

[pde-course.git] / Remainder.tex

\chapter{Исследование сходимости}
\section{Оценка погрешности}

Итак, мы получили решение в виде ряда. Чтобы выдавать численное значение напряжённости, нам необходимо суммировать определённое конечное количество элементов ряда. Пусть это будет $M$ элементов.
\begin{eqnarray*}
&&S_M = \sum \limits_{m=1}^{M} \left( \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right) \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{\pi m z}{l_z}.\\
\end{eqnarray*}

Эту частичную сумму мы и будем выдавать в качестве ответа. При этом мы ошибёмся на величину, равную модулю хвоста ряда, начиная с $(M+1)$-ого элемента. Обозначим за $r_M$ хвост нашего ряда.
\[
r_M = \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left( \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right) \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{\pi m z}{l_z}.
\]

Оценим сверху модуль хвоста ряда $|r_{M}|$ и выясним, как величина ошибки зависит от количества просуммированных элементов. Воспользуемся неравенством треугольника, чтобы перейти к оценки каждого слагаемого, затем все синусы оценим сверху единицами.
\begin{eqnarray*}
  |r_{M}| &=& \left| \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left( \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right) \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{\pi m z}{l_z} \right| \leqslant \\
  \\
  &\leq& \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right| \left| \sin\frac{\pi y}{l_y} \right| \left| \sin\frac{\pi m z}{l_z} \right| \leq \\
  \\
  &\leq& \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right| \leq \\
  \\
  &\leq& \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} \right| + \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right| = \\
  \\
  &=& \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)} \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right| \left| \sin{kt} \right| + \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right) \right| \left| \sin{w_mt} \right| \leq \\
  \\
  &\leq& \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)} \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right| + \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right) \right| \leq \\
  \\
  &\leq& \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)} \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right| + \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2 k}{\pi m w_m} \right| + \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{k D}{w_m} \right|.
\end{eqnarray*}

Если удастся оценить каждый из этих хвостов, то сумма полученных оценок будет оценкой остатка исходного ряда. Для получения оценок восользуемся интегральным признаком Коши (см. \cite{sendov}): \\
\[
\sum \limits_{n = N + 1}^{\infty} f(n) \leq \int \limits_N^{\infty} f(x) \diff x.
\]

Cчитаем, кроме того, что $2 l_y > \lambda$, т.~е. размер стенки волновода превосходит половину длины волны.
\begin{eqnarray*}
  & &\sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)} \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right| =
  \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2\pi c^2}{m \left| w_m^2 - k^2 \right|} =\\
  \\
  &=&\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2\pi c^2}{m \left| \pi^2 c^2 \left( \frac{1}{l_y^2} + \frac{m^2}{l_z^2} \right) - \frac{4 \pi^2 c^2}{\lambda^2} \right|} = \\
  \\
  &=& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2 \lambda^2 l_y^2 l_z^2}{m \pi \left| m^2 \lambda^2 l_y^2 - 4 l_y^2 l_z^2 + \lambda^2 l_z^2 \right|} =\\
  \\
  &=&\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2 l_z^2}{m \pi \left| m^2 - \frac{4 l_y^2 l_z^2 - \lambda^2 l_z^2}{\lambda^2 l_y^2} \right|} = \\
  \\
  &=& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{\lambda^2} \frac{l_z^2}{l_y^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2}{\pi m} \frac{1}{\left| m^2 - \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{\lambda^2} \frac{l_z^2}{l_y^2} \right|} =\\
  \\
  &=& \delta{}^2 \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2}{\pi m} \frac{1}{\left| m^2 - \delta{}^2 \right|}.
\end{eqnarray*}

Здесь $\delta{} = \cfrac{\sqrt{4l_y^2 - \lambda^2}}{\lambda}\cfrac{l_z}{l_y}$. Это константа, так что найдётся такое $M$, что \\$\forall m > M \colon m > \delta{}$. Будем всегда брать $M$ именно таким. Это позволит нам раскрыть последний модуль.
\begin{eqnarray*}
  & &\sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)} \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right| \leq \delta{}^2 \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{2}{\pi m} \frac{1}{m^2 - \delta{}^2} \leq \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{2}{\pi x} \frac{\diff x}{x^2 - \delta{}^2}.
\end{eqnarray*}
Учтем, что
\begin{equation}
  \label{rem:const:estimate}
  \frac{1}{x(x^2 - \delta^2)} = \frac{1}{x(x - \delta)(x + \delta)} < \frac{1}{x^2(x - \delta)} < \frac{A}{x^3}.
\end{equation}
Оценим $A$. Из \eqref{rem:const:estimate} следует, что $A > \cfrac{x}{x - \delta}$. Поскольку $x$ - переменная величина, нужно подобрать такое $A$, чтобы оно было максимальним для всех $x$. 
\begin{equation}
  \label{rem:const:max}
  A = \max\limits_{x}\left(\frac{x}{x - \delta}\right).
\end{equation}
Максимизируя \eqref{rem:const:max}, с учетом того, что $x$ представляет собой аналог дискретной переменной $m$, получим, что максимум достигается на $x = [\delta + 1]$, где квадратные скобки~--- операция взятия целой части.
\[
  A = \frac{\left[\delta + 1\right]}{\left[\delta + 1\right] - \delta}.
\]
Теперь можем продолжить раскрытие последнего модуля.
\begin{eqnarray*}
 && \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{2}{\pi x} \frac{\diff x}{x^2 - \delta{}^2} < \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{2A}{\pi} \frac{\diff x}{x^3} = \left. -\delta{}^2\frac{A}{\pi x^2} \right|_M^{\infty} = \frac{A\delta^2}{\pi M^2}.
\end{eqnarray*}

Помня об указанных выше предположениях, оценим второй и третий хвосты.
\begin{eqnarray*}
  & & \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2 k}{\pi m w_m} \right| =
  \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{4 \pi c}{m \lambda \pi^2 c \sqrt{\frac{1}{l_y^2} + \frac{m^2}{l_z^2}}} \right| <
  \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{4}{m \lambda \pi \sqrt{\frac{m^2}{l_z^2}}} \right| =\\
  \\
  &=&\sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{4 l_z}{\pi \lambda m^2} \leq
  \int \limits_M^{\infty} \frac{4 l_z \diff x}{\pi \lambda x^2} =
  \left. - \frac{4 l_z}{\pi \lambda x} \right|_M^{\infty} =
  \frac{4 l_z}{\pi \lambda M};
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
  &&\sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{k D}{w_m} \right| =
  \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{2 \pi k c^2}{m w_m (w_m^2 - k^2)} \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right| =\\
  \\
  &=& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{4 \pi^2 c^3}{m \lambda \pi c \sqrt{\frac{1}{l_y^2} + \frac{m^2}{l_z^2}} \left( \pi^2 c^2 \left( \frac{1}{l_y^2} + \frac{m^2}{l_z^2} \right) - \frac{4 \pi^2 c^2}{\lambda^2} \right) } \right| \leq \\
  \\
  &\leq& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{4 \pi c^2}{m \lambda \sqrt{\frac{m^2}{l_z^2}} \left( \frac{\pi^2 c^2}{l_y^2} + \frac{\pi^2 c^2 m^2}{l_z^2} - \frac{4 \pi^2 c^2}{\lambda^2} \right) } \right| =\\
  \\
  &=& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \left| \frac{4 \pi l_z c^2}{m^2 \lambda \pi^2 c^2 \left( \frac{1}{l_y^2} + \frac{m^2}{l_z^2} - \frac{4}{\lambda^2} \right) } \right| = \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty}  \frac{4 l_z}{m^2 \lambda \pi \left| \frac{1}{l_y^2} + \frac{m^2}{l_z^2} - \frac{4}{\lambda^2} \right|} =\\
  \\
  &=& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty}  \frac{4 \lambda^2 l_y^2 l_z^3}{m^2 \lambda \pi \left| m^2 \lambda^2 l_y^2 - 4 l_y^2 l_z^2 + \lambda^2 l_z^2 \right|} = \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty}  \frac{4 l_z^3}{m^2 \lambda \pi \left| m^2 - \frac{4 l_y^2 l_z^2 - \lambda^2 l_z^2}{\lambda^2 l_y^2} \right|} =\\
  \\
  &=& \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{\lambda^2} \frac{l_z^2}{l_y^2} \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{4 l_z}{m^2 \lambda \pi \left| m^2 - \frac{4l_y^2 - \lambda^2}{\lambda^2} \frac{l_z^2}{l_y^2} \right|} = \delta{}^2 \sum \limits_{m=M+1}^{\infty} \frac{4 l_z}{m^2 \lambda \pi \left( m^2 - \delta{}^2 \right)} \leq \\
  \\
  &\leq& \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{4 l_z \diff x}{\pi \lambda x^2 \left( x^2 - \delta{}^2 \right)} = 
  \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{4 l_z \diff x}{\pi \lambda x^2 (x - \delta{}) (x + g)} \leq
  \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{4 l_z \diff x}{\pi \lambda x^2 (x + \delta{})} \leq \\
  &\leq& \delta{}^2 \int \limits_M^{\infty} \frac{4 l_z}{\pi \lambda x^3} =
  \left. - \delta{}^2 \frac{8 l_z}{\pi \lambda x^2} \right|_M^{\infty} =
  \frac{8 l_z \delta{}^2}{\pi \lambda M^2}.
\end{eqnarray*}


Таким образом, мы получили оценку хвоста: \\
\[
\left| r_{M+1} \right| \leq \frac{2 \delta{}^2}{\pi M} + \frac{4 l_z}{\pi \lambda M} + \frac{8 l_z \delta{}^2}{\pi \lambda M^2} = \frac{2 \lambda \delta{}^2 M + 4 l_z M + 8 l_z \delta{}^2}{\pi \lambda M^2}.
\]

Поскольку мы смогли оценить хвост ряда, представляющего решение, числом, можно с уверенностью заявить, что ряд сходится.
Это значение мы будем выдавать за ошибку при вычислениях:\\
\[
\varepsilon = \frac{2 \lambda \delta{}^2 M + 4 l_z M + 8 l_z \delta{}^2}{\pi \lambda M^2}.
\]

Задумаемся над тем, сколько элементов ряда нам нужно оставить, чтобы выдержать наперёд заданную погрешность $\varepsilon$.
\begin{eqnarray*}
\frac{2 \lambda \delta{}^2 M + 4 l_z M + 8 l_z \delta{}^2}{\pi \lambda M^2} - \varepsilon &=& 0;\\
\pi \lambda \varepsilon M^2 - 2 \left( \lambda \delta{}^2 + 2 l_z \right) M - 8 l_z \delta{}^2 &=& 0.
\end{eqnarray*}

Единственный положительный корень этого уравнения:
\begin{eqnarray*}
  M &=& \frac{2 \left( \lambda \delta{}^2 + 2 l_z \right) + \sqrt{4 \left( \lambda \delta{}^2 + 2 l_z \right)^2 + 32 \pi \lambda l_z \varepsilon \delta{}^2}}{2 \pi \lambda \varepsilon} =\\
  &=&\frac{\lambda \delta{}^2 + 2 l_z + \sqrt{\left( \lambda \delta{}^2 + 2 l_z \right)^2 + 8 \pi \lambda l_z \varepsilon \delta{} c^2}}{\pi \lambda \varepsilon}.
\end{eqnarray*}

Оценка $M$ при подсчёте округляется вверх до ближайшего целого.

\section{Исследование качества оценки остатка}
Исследуем с помощью ряда экспериментов качество полученной оценки используя следующий метод. Пусть $S_m$ - $m$-тая частичная сумма ряда.
С помощью полученной оценки найдем теоретическое количество элементов ряда $N_t$, достаточное для выполнения данной оценки. 
Возьмем $N_{p} = 1, m = 2$. Будем идти с первого до $N_t$ элемента ряда, на каждом шаге проверяя, не различаются ли $S_{N_p}$ и $S_m$ больше, чем на погрешность $\varepsilon$. Если различаются, то установим $N_p = m$. Пройдя весь ряд, получим, что $N_p$ и есть искомое практическое количество элементов ряда, достаточное для удовлетворения заданной погрешности.

Зафиксируем $y = \frac{l_y}{2}$. Для большей убедительности фиксируем $z$ в трех точках: $z_0 = \frac{l_z}{8}$, $z_1 = \frac{l_z}{4}$ 
и $z_2 = \frac{l_z}{2}$. Для верности время зафиксируем в достаточно большой момент $1$ с. Сведем результаты в таблицу 
\ref{tab:rem:experiment}, где $N_{p}^{(k)}$ соответствует количеству членов ряда при $z = z_k$.

\begin{table}[!hbtp]
  \centering
  \caption{Исследование качества оценки остатка ряда}
  \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|r|}
    \hline
    $\mathrm{\varepsilon}$ & $0.1$ & $0.01$ & $0.001$ & $0.0001$ & $0.00001$ \\
    \hline
    $\mathrm{N_p}$ & $1123$ & $4039$ & $18705$ & $135564$ & $1281953$ \\
    \hline
    $\mathrm{N_t^{(0)}}$ & $23$ & $60$ & $197$ & $1641$ & $7780$ \\
    \hline
    $\mathrm{N_t^{(1)}}$ & $22$ & $45$ & $210$ & $1127$ & $5334$ \\
    \hline
    $\mathrm{N_t^{(2)}}$ & $21$ & $63$ & $297$ & $1193$ & $6631$ \\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:rem:experiment}
\end{table}

Как видно, во всех трех точках разница между теоретической и практической оценками количества элементов ряда исчисляется порядками,
что позволяет сделать вывод о плохом качестве полученной оценки.