Merge branch 'newmaster' of ssh://repo.or.cz/srv/git/pde-course
[pde-course.git] / Model.tex
blob918c58c31f07e9f7374c84774faa460712166dca
1 \chapter{Математическая модель}
3 Из уравнений Максвелла получаем общий вид волнового уравнения:
5 \begin{equation}
6 \label{eq:wave_equation}
7 \Delta \vec{E} = \frac{1}{a^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t},
8 \end{equation}
10 \begin{tabbing}
11 где \= $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ \=~--- оператор Лапласа,\\
12 \> $\sigma$ \>~--- электрическая проводимость среды,\\
13 \>$\varepsilon$ \>~--- диэлектрическая проницаемость среды,\\
14 \>$\mu$ \>~--- магнитная проводимость среды,\\
15 \>$a = \frac{c}{\varepsilon \mu}$ \>~--- скорость распространения электромагнитных волн в среде.
16 \end{tabbing}
18 Вывод \eqref{eq:wave_equation} из уравнений Максвелла можно найти, например в \cite{samarsky}.
20 Преобразуем \eqref{eq:wave_equation} для нашего случая. Положим, что внутри волновода вакуум, а стенки его по условию изготовлены из проводящего материала. В вакууме $\sigma = 0$, $\varepsilon = 1$, $\mu = 1$, а значит $a = c$. Кроме того, в нашем случае $\vec{E} = \left( E_x, 0, 0\right)$, т.~е. нам нужно рассматривать \eqref{eq:wave_equation} только в проекции на одну координату $E_x$. Причем $E_x$ по условию зависит только от $y$, $z$ и $t$, а от $x$ не зависит. Значит и $\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = 0$.
22 С учетом этого, \eqref{eq:wave_equation} перепишется в виде
24 \begin{equation}
25 \label{eq:wave_equation_2}
26 \Delta_{yz} E_x = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}.
27 \end{equation}
29 Здесь использовано обозначение $\Delta_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$.
31 Задумаемся о краевых условиях для нашей задачи. Раз три стенки выполнены из электропроводящего матриала, значит на них напряженности поля никогда не возникнет: $\left. E_x \right|_{y=0} = \left. E_x \right|_{y=l_y} = \left. E_x \right|_{z=l_z} = 0$. Напряженность на оставшейся стенке нам известна. Она поддерживается неким источником и изменяется по известному закону: $\left. E_x \right|_{z=0} = \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda}t$ все интересующее нас время. При этом в начальный момент времени на всем волноводе какая-либо напряженность отсутствует и ее производная во времени --- тоже: $\left. E_x \right|_{t=0} = \left. \frac{\partial E_x}{\partial t} \right|_{t=0} = 0$. Присовокупив к \eqref{eq:wave_equation_2} эти условия, получим задачу математической физики:
33 \begin{equation}
34 \label{eq:problem}
35 \left\{
36 \begin{array}{rclr}
37 \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} &=& \Delta_{yz} E_x, & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z, \\
38 &&& 0 \le t \le T; \\
39 \left. E_x \right|_{y=0} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
40 \left. E_x \right|_{y=l_y} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
41 \left. E_x \right|_{z=0} &=& \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda} t, & 0 \le y \le l_y, 0 \le t \le T; \\
42 \left. E_x \right|_{z=l_z} &=& 0, & 0 < y < l_y, 0 < t \le T; \\
43 \left. E_x \right|_{t=0} & = & 0, & 0 \le y \le l_y, 0 < z \le l_z; \\
44 \left. \frac{\partial E_x}{\partial t} \right|_{t=0} &=& 0, & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z.
45 \end{array}
46 \right.
47 \end{equation}
49 Как видно, задачу \eqref{eq:problem} невозможно решить методом разделения переменных вследствие неоднородного краевого условия. Для решения этой проблемы сделаем замену
50 \begin{equation}
51 \label{eq:changeling}
52 U(y, z, t) = E_x(y, z, t) - \frac{l_z - z}{l_z} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda}t \sin\frac{\pi y}{l_y}.
53 \end{equation}
55 Подставив \eqref{eq:changeling} в \eqref{eq:problem} получим новую краевую задачу
57 \begin{equation}
58 \label{eq:new_problem}
59 \left\{
60 \begin{array}{rclr}
61 \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} & = & \Delta_{yz} U + G(y, z, t), & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z, \\
62 &&& 0 \le t \le T;\\
63 \left. U \right|_{y=0} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
64 \left. U \right|_{y=l_y} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
65 \left. U \right|_{z=0} & = & 0, & 0 \le y \le l_y, 0 < t \le T; \\
66 \left. U \right|_{z=l_z} &=& 0, & 0 \le y \le l_y, 0 < t \le T; \\
67 \left. U \right|_{t=0} & = & 0, & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z; \\
68 \left. \frac{\partial U}{\partial t} \right|_{t=0} &=& \Phi(y, z), & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z.
69 \end{array}
70 \right.
71 \end{equation}
73 Здесь сразу же для компактности записи использованы обозначения:
75 \begin{equation}
76 \label{eq:g}
77 G(y, z, t) = \pi^2 \frac{l_z - z}{lz}\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{\lambda^2 \l_y^2}\sin k t \sin\frac{\pi y}{l_y},
78 \end{equation}
80 \begin{equation}
81 \label{eq:phi}
82 \Phi(y, z) = -k\frac{l_z - z}{l_z}\sin\frac{\pi y}{l_y},
83 \end{equation}
85 \begin{equation}
86 \label{eq:k}
87 k = \frac{2 \pi c}{\lambda}.
88 \end{equation}
90 Получена неоднородная задача, имеющая однородные краевые условия, что
91 позволяет нам применять метод разделения переменных.