lepaper/infinite.lyx

   1 #LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
   2 \lyxformat 583
   3 \begin_document
   4 \begin_header
   5 \save_transient_properties true
   6 \origin unavailable
   7 \textclass article
   8 \use_default_options true
   9 \maintain_unincluded_children false
  10 \language english
  11 \language_package default
  12 \inputencoding utf8
  13 \fontencoding auto
  14 \font_roman "default" "TeX Gyre Pagella"
  15 \font_sans "default" "default"
  16 \font_typewriter "default" "default"
  17 \font_math "auto" "auto"
  18 \font_default_family default
  19 \use_non_tex_fonts false
  20 \font_sc false
  21 \font_roman_osf true
  22 \font_sans_osf false
  23 \font_typewriter_osf false
  24 \font_sf_scale 100 100
  25 \font_tt_scale 100 100
  26 \use_microtype false
  27 \use_dash_ligatures true
  28 \graphics default
  29 \default_output_format default
  30 \output_sync 0
  31 \bibtex_command default
  32 \index_command default
  33 \float_placement class
  34 \float_alignment class
  35 \paperfontsize default
  36 \spacing single
  37 \use_hyperref true
  38 \pdf_author "Marek Nečada"
  39 \pdf_bookmarks true
  40 \pdf_bookmarksnumbered false
  41 \pdf_bookmarksopen false
  42 \pdf_bookmarksopenlevel 1
  43 \pdf_breaklinks false
  44 \pdf_pdfborder false
  45 \pdf_colorlinks false
  46 \pdf_backref false
  47 \pdf_pdfusetitle true
  48 \papersize default
  49 \use_geometry false
  50 \use_package amsmath 1
  51 \use_package amssymb 1
  52 \use_package cancel 1
  53 \use_package esint 1
  54 \use_package mathdots 1
  55 \use_package mathtools 1
  56 \use_package mhchem 1
  57 \use_package stackrel 1
  58 \use_package stmaryrd 1
  59 \use_package undertilde 1
  60 \cite_engine basic
  61 \cite_engine_type default
  62 \biblio_style plain
  63 \use_bibtopic false
  64 \use_indices false
  65 \paperorientation portrait
  66 \suppress_date false
  67 \justification true
  68 \use_refstyle 1
  69 \use_minted 0
  70 \use_lineno 0
  71 \index Index
  72 \shortcut idx
  73 \color #008000
  74 \end_index
  75 \secnumdepth 3
  76 \tocdepth 3
  77 \paragraph_separation indent
  78 \paragraph_indentation default
  79 \is_math_indent 0
  80 \math_numbering_side default
  81 \quotes_style english
  82 \dynamic_quotes 0
  83 \papercolumns 1
  84 \papersides 1
  85 \paperpagestyle default
  86 \tablestyle default
  87 \tracking_changes false
  88 \output_changes false
  89 \html_math_output 0
  90 \html_css_as_file 0
  91 \html_be_strict false
  92 \end_header
  93
  94 \begin_body
  95
  96 \begin_layout Section
  97 Infinite periodic systems
  98 \begin_inset FormulaMacro
  99 \newcommand{\dlv}{\vect a}
 100 \end_inset
 101
 102
 103 \begin_inset FormulaMacro
 104 \newcommand{\rlv}{\vect b}
 105 \end_inset
 106
 107
 108 \end_layout
 109
 110 \begin_layout Standard
 111 Although large finite systems are where MSTMM excels the most, there are
 112  several reasons that makes its extension to infinite lattices (where periodic
 113  boundary conditions might be applied) desirable as well.
 114  Other methods might be already fast enough, but MSTMM will be faster in
 115  most cases in which there is enough spacing between the neighboring particles.
 116  MSTMM works well with any space group symmetry the system might have (as
 117  opposed to, for example, FDTD with cubic mesh applied to a honeycomb lattice),
 118  which makes e.g.
 119  application of group theory in mode analysis quite easy.
 120 \begin_inset Note Note
 121 status open
 122
 123 \begin_layout Plain Layout
 124 Topology anoyne?
 125 \end_layout
 126
 127 \end_inset
 128
 129  And finally, having a method that handles well both infinite and large
 130  finite system gives a possibility to study finite-size effects in periodic
 131  scatterer arrays.
 132 \end_layout
 133
 134 \begin_layout Subsection
 135 Notation
 136 \end_layout
 137
 138 \begin_layout Standard
 139 TODO Fourier transforms, Delta comb, lattice bases, reciprocal lattices
 140  etc.
 141 \end_layout
 142
 143 \begin_layout Subsection
 144 Formulation of the problem
 145 \end_layout
 146
 147 \begin_layout Standard
 148 Let us have a linear system of compact EM scatterers on a homogeneous background
 149  as in Section
 150 \begin_inset CommandInset ref
 151 LatexCommand eqref
 152 reference "subsec:Multiple-scattering"
 153 plural "false"
 154 caps "false"
 155 noprefix "false"
 156
 157 \end_inset
 158
 159 , but this time, the system shall be periodic: let there be a
 160 \begin_inset Formula $d$
 161 \end_inset
 162
 163 -dimensional (
 164 \begin_inset Formula $d$
 165 \end_inset
 166
 167  can be 1, 2 or 3) lattice embedded into the three-dimensional real space,
 168  with lattice vectors
 169 \begin_inset Formula $\left\{ \dlv_{i}\right\} _{i=1}^{d}$
 170 \end_inset
 171
 172 , and let the lattice points be labeled with an
 173 \begin_inset Formula $d$
 174 \end_inset
 175
 176 -dimensional integar multiindex
 177 \begin_inset Formula $\vect n\in\ints^{d}$
 178 \end_inset
 179
 180 , so the lattice points have cartesian coordinates
 181 \begin_inset Formula $\vect R_{\vect n}=\sum_{i=1}^{d}n_{i}\vect a_{i}$
 182 \end_inset
 183
 184 .
 185  There can be several scatterers per unit cell with indices
 186 \begin_inset Formula $\alpha$
 187 \end_inset
 188
 189  from set
 190 \begin_inset Formula $\mathcal{P}_{1}$
 191 \end_inset
 192
 193  and (relative) positions inside the unit cell
 194 \begin_inset Formula $\vect r_{\alpha}$
 195 \end_inset
 196
 197 ; any particle of the periodic system can thus be labeled by a multiindex
 198  from
 199 \begin_inset Formula $\mathcal{P}=\ints^{d}\times\mathcal{P}_{1}$
 200 \end_inset
 201
 202 .
 203  The scatterers are located at positions
 204 \begin_inset Formula $\vect r_{\vect n,\alpha}=\vect R_{\vect n}+\vect r_{\alpha}$
 205 \end_inset
 206
 207  and their
 208 \begin_inset Formula $T$
 209 \end_inset
 210
 211 -matrices are periodic,
 212 \begin_inset Formula $T_{\vect n,\alpha}=T_{\alpha}$
 213 \end_inset
 214
 215 .
 216  In such system, the multiple-scattering problem
 217 \begin_inset CommandInset ref
 218 LatexCommand eqref
 219 reference "eq:Multiple-scattering problem"
 220 plural "false"
 221 caps "false"
 222 noprefix "false"
 223
 224 \end_inset
 225
 226  can be rewritten as
 227 \end_layout
 228
 229 \begin_layout Standard
 230 \begin_inset Formula
 231 \begin{equation}
 232 \outcoeffp{\vect n,\alpha}-T_{\alpha}\sum_{\left(\vect m,\beta\right)\in\mathcal{P}\backslash\left\{ \left(\vect n,\alpha\right)\right\} }\tropsp{\vect n,\alpha}{\vect m,\beta}\outcoeffp{\vect m,\beta}=T_{\alpha}\rcoeffincp{\vect n,\alpha}.\quad\left(\vect n,\alpha\right)\in\mathcal{P}\label{eq:Multiple-scattering problem periodic}
 233 \end{equation}
 234
 235 \end_inset
 236
 237
 238 \end_layout
 239
 240 \begin_layout Standard
 241 Due to periodicity, we can also write
 242 \begin_inset Formula $\tropsp{\vect n,\alpha}{\vect m,\beta}=\tropsp{\alpha}{\beta}\left(\vect R_{\vect m}-\vect R_{\vect n}\right)=\tropsp{\alpha}{\beta}\left(\vect R_{\vect m-\vect n}\right)=\tropsp{\vect 0,\alpha}{\vect m-\vect n,\beta}$
 243 \end_inset
 244
 245 .
 246  Assuming quasi-periodic right-hand side with quasi-momentum
 247 \begin_inset Formula $\vect k$
 248 \end_inset
 249
 250 ,
 251 \begin_inset Formula $\rcoeffincp{\vect n,\alpha}=\rcoeffincp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect n}}$
 252 \end_inset
 253
 254 , the solutions of
 255 \begin_inset CommandInset ref
 256 LatexCommand eqref
 257 reference "eq:Multiple-scattering problem periodic"
 258 plural "false"
 259 caps "false"
 260 noprefix "false"
 261
 262 \end_inset
 263
 264  will be also quasi-periodic according to Bloch theorem,
 265 \begin_inset Formula $\outcoeffp{\vect n,\alpha}=\outcoeffp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect n}}$
 266 \end_inset
 267
 268 , and eq.
 269
 270 \begin_inset CommandInset ref
 271 LatexCommand eqref
 272 reference "eq:Multiple-scattering problem periodic"
 273 plural "false"
 274 caps "false"
 275 noprefix "false"
 276
 277 \end_inset
 278
 279  can be rewritten as follows
 280 \begin_inset Formula
 281 \begin{align}
 282 \outcoeffp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect n}}-T_{\alpha}\sum_{\left(\vect m,\beta\right)\in\mathcal{P}\backslash\left\{ \left(\vect n,\alpha\right)\right\} }\tropsp{\vect n,\alpha}{\vect m,\beta}\outcoeffp{\vect 0,\beta}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect m}} & =T_{\alpha}\rcoeffincp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect n}},\nonumber \\
 283 \outcoeffp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)-T_{\alpha}\sum_{\left(\vect m,\beta\right)\in\mathcal{P}\backslash\left\{ \left(\vect n,\alpha\right)\right\} }\tropsp{\vect 0,\alpha}{\vect m-\vect n,\beta}\outcoeffp{\vect 0,\beta}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect m-\vect n}} & =T_{\alpha}\rcoeffincp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right),\nonumber \\
 284 \outcoeffp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)-T_{\alpha}\sum_{\left(\vect m,\beta\right)\in\mathcal{P}\backslash\left\{ \left(\vect 0,\alpha\right)\right\} }\tropsp{\vect 0,\alpha}{\vect m,\beta}\outcoeffp{\vect 0,\beta}\left(\vect k\right)e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect m}} & =T_{\alpha}\rcoeffincp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right),\nonumber \\
 285 \outcoeffp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right)-T_{\alpha}\sum_{\beta\in\mathcal{P}}W_{\alpha\beta}\left(\vect k\right)\outcoeffp{\vect 0,\beta}\left(\vect k\right) & =T_{\alpha}\rcoeffincp{\vect 0,\alpha}\left(\vect k\right),\label{eq:Multiple-scattering problem unit cell}
 286 \end{align}
 287
 288 \end_inset
 289
 290 so we reduced the initial scattering problem to one involving only the field
 291  expansion coefficients from a single unit cell, but we need to compute
 292  the
 293 \begin_inset Quotes eld
 294 \end_inset
 295
 296 lattice Fourier transform
 297 \begin_inset Quotes erd
 298 \end_inset
 299
 300  of the translation operator,
 301 \begin_inset Formula
 302 \begin{equation}
 303 W_{\alpha\beta}(\vect k)\equiv\sum_{\vect m\in\ints^{d}}\left(1-\delta_{\alpha\beta}\right)\tropsp{\vect 0,\alpha}{\vect m,\beta}e^{i\vect k\cdot\vect R_{\vect m}},\label{eq:W definition}
 304 \end{equation}
 305
 306 \end_inset
 307
 308 evaluation of which is possible but quite non-trivial due to the infinite
 309  lattice sum, so we explain it separately in Sect.
 310
 311 \begin_inset CommandInset ref
 312 LatexCommand eqref
 313 reference "subsec:W operator evaluation"
 314 plural "false"
 315 caps "false"
 316 noprefix "false"
 317
 318 \end_inset
 319
 320 .
 321 \end_layout
 322
 323 \begin_layout Standard
 324 As in the case of a finite system, eq.
 325  can be written in a shorter block-matrix form,
 326 \begin_inset Formula
 327 \begin{equation}
 328 \left(I-WT\right)\outcoeffp{\vect 0}\left(\vect k\right)=\rcoeffincp{\vect 0}\left(\vect k\right)\label{eq:Multiple-scattering problem unit cell block form}
 329 \end{equation}
 330
 331 \end_inset
 332
 333  Eq.
 334
 335 \begin_inset CommandInset ref
 336 LatexCommand eqref
 337 reference "eq:Multiple-scattering problem unit cell"
 338 plural "false"
 339 caps "false"
 340 noprefix "false"
 341
 342 \end_inset
 343
 344  can be used to calculate electromagnetic response of the structure to external
 345  quasiperiodic driving field – most notably a plane wave.
 346  However, the non-trivial solutions of the equation with right hand side
 347  (i.e.
 348  the external driving) set to zero,
 349 \begin_inset Formula
 350 \begin{equation}
 351 \left(I-WT\right)\outcoeffp{\vect 0}\left(\vect k\right)=0,\label{eq:lattice mode equation}
 352 \end{equation}
 353
 354 \end_inset
 355
 356 describes the
 357 \emph on
 358 lattice modes.
 359
 360 \emph default
 361  Non-trivial solutions to
 362 \begin_inset CommandInset ref
 363 LatexCommand eqref
 364 reference "eq:lattice mode equation"
 365 plural "false"
 366 caps "false"
 367 noprefix "false"
 368
 369 \end_inset
 370
 371  exist if the matrix on the left-hand side
 372 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)=\left(I-W\left(\omega,\vect k\right)T\left(\omega\right)\right)$
 373 \end_inset
 374
 375  is singular – this condition gives the
 376 \emph on
 377 dispersion relation
 378 \emph default
 379  for the periodic structure.
 380  Note that in realistic (lossy) systems, at least one of the pair
 381 \begin_inset Formula $\omega,\vect k$
 382 \end_inset
 383
 384  will acquire complex values.
 385  The solution
 386 \begin_inset Formula $\outcoeffp{\vect 0}\left(\vect k\right)$
 387 \end_inset
 388
 389  is then obtained as the right
 390 \begin_inset Note Note
 391 status open
 392
 393 \begin_layout Plain Layout
 394 CHECK!
 395 \end_layout
 396
 397 \end_inset
 398
 399  singular vector of
 400 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
 401 \end_inset
 402
 403  corresponding to the zero singular value.
 404 \end_layout
 405
 406 \begin_layout Subsection
 407 Numerical solution
 408 \end_layout
 409
 410 \begin_layout Standard
 411 In practice, equation
 412 \begin_inset CommandInset ref
 413 LatexCommand eqref
 414 reference "eq:Multiple-scattering problem unit cell block form"
 415 plural "false"
 416 caps "false"
 417 noprefix "false"
 418
 419 \end_inset
 420
 421  is solved in the same way as eq.
 422
 423 \begin_inset CommandInset ref
 424 LatexCommand eqref
 425 reference "eq:Multiple-scattering problem block form"
 426 plural "false"
 427 caps "false"
 428 noprefix "false"
 429
 430 \end_inset
 431
 432  in the multipole degree truncated form.
 433 \end_layout
 434
 435 \begin_layout Standard
 436 The lattice mode problem
 437 \begin_inset CommandInset ref
 438 LatexCommand eqref
 439 reference "eq:lattice mode equation"
 440 plural "false"
 441 caps "false"
 442 noprefix "false"
 443
 444 \end_inset
 445
 446  is (after multipole degree truncation) solved by finding
 447 \begin_inset Formula $\omega,\vect k$
 448 \end_inset
 449
 450  for which the matrix
 451 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
 452 \end_inset
 453
 454  has a zero singular value.
 455  A naïve approach to do that is to sample a volume with a grid in the
 456 \begin_inset Formula $\left(\omega,\vect k\right)$
 457 \end_inset
 458
 459  space, performing a singular value decomposition of
 460 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
 461 \end_inset
 462
 463  at each point and finding where the lowest singular value of
 464 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
 465 \end_inset
 466
 467  is close enough to zero.
 468  However, this approach is quite expensive, for
 469 \begin_inset Formula $W\left(\omega,\vect k\right)$
 470 \end_inset
 471
 472  has to be evaluated for each
 473 \begin_inset Formula $\omega,\vect k$
 474 \end_inset
 475
 476  pair separately (unlike the original finite case
 477 \begin_inset CommandInset ref
 478 LatexCommand eqref
 479 reference "eq:Multiple-scattering problem block form"
 480 plural "false"
 481 caps "false"
 482 noprefix "false"
 483
 484 \end_inset
 485
 486  translation operator
 487 \begin_inset Formula $\trops$
 488 \end_inset
 489
 490 , which, for a given geometry, depends only on frequency).
 491  Therefore, a much more efficient approach to determine the photonic bands
 492  is to sample the
 493 \begin_inset Formula $\vect k$
 494 \end_inset
 495
 496 -space (a whole Brillouin zone or its part) and for each fixed
 497 \begin_inset Formula $\vect k$
 498 \end_inset
 499
 500  to find a corresponding frequency
 501 \begin_inset Formula $\omega$
 502 \end_inset
 503
 504  with zero singular value of
 505 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
 506 \end_inset
 507
 508  using a minimisation algorithm (two- or one-dimensional, depending on whether
 509  one needs the exact complex-valued
 510 \begin_inset Formula $\omega$
 511 \end_inset
 512
 513  or whether the its real-valued approximation is satisfactory).
 514  Typically, a good initial guess for
 515 \begin_inset Formula $\omega\left(\vect k\right)$
 516 \end_inset
 517
 518  is obtained from the empty lattice approximation,
 519 \begin_inset Formula $\left|\vect k\right|=\sqrt{\epsilon\mu}\omega/c_{0}$
 520 \end_inset
 521
 522  (modulo lattice points; TODO write this a clean way).
 523  A somehow challenging step is to distinguish the different bands that can
 524  all be very close to the empty lattice approximation, especially if the
 525  particles in the systems are small.
 526  In high-symmetry points of the Brilloin zone, this can be solved by factorising
 527
 528 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
 529 \end_inset
 530
 531  into irreducible representations
 532 \begin_inset Formula $\Gamma_{i}$
 533 \end_inset
 534
 535  and performing the minimisation in each irrep separately, cf.
 536  Section
 537 \begin_inset CommandInset ref
 538 LatexCommand ref
 539 reference "sec:Symmetries"
 540 plural "false"
 541 caps "false"
 542 noprefix "false"
 543
 544 \end_inset
 545
 546 , and using the different
 547 \begin_inset Formula $\omega_{\Gamma_{i}}\left(\vect k\right)$
 548 \end_inset
 549
 550  to obtain the initial guesses for the nearby points
 551 \begin_inset Formula $\vect k+\delta\vect k$
 552 \end_inset
 553
 554 .
 555 \end_layout
 556
 557 \begin_layout Subsection
 558 Computing the Fourier sum of the translation operator
 559 \begin_inset CommandInset label
 560 LatexCommand label
 561 name "subsec:W operator evaluation"
 562
 563 \end_inset
 564
 565
 566 \end_layout
 567
 568 \begin_layout Standard
 569 The problem evaluating
 570 \begin_inset CommandInset ref
 571 LatexCommand eqref
 572 reference "eq:W definition"
 573
 574 \end_inset
 575
 576  is the asymptotic behaviour of the translation operator,
 577 \begin_inset Formula $\tropsp{\vect 0,\alpha}{\vect m,\beta}\sim\left|\vect R_{\vect b}\right|^{-1}e^{ik_{0}\left|\vect R_{\vect b}\right|}$
 578 \end_inset
 579
 580  that does not in the strict sense converge for any
 581 \begin_inset Formula $d>1$
 582 \end_inset
 583
 584 -dimensional lattice.
 585 \begin_inset Note Note
 586 status open
 587
 588 \begin_layout Plain Layout
 589 \begin_inset Foot
 590 status open
 591
 592 \begin_layout Plain Layout
 593 Note that
 594 \begin_inset Formula $d$
 595 \end_inset
 596
 597  here is dimensionality of the lattice, not the space it lies in, which
 598  I for certain reasons assume to be three.
 599  (TODO few notes on integration and reciprocal lattices in some appendix)
 600 \end_layout
 601
 602 \end_inset
 603
 604
 605 \end_layout
 606
 607 \end_inset
 608
 609  In electrostatics, this problem can be solved with Ewald summation [TODO
 610  REF].
 611  Its basic idea is that if what asymptoticaly decays poorly in the direct
 612  space, will perhaps decay fast in the Fourier space.
 613  We use the same idea here, but the technical details are more complicated
 614  than in electrostatics.
 615 \end_layout
 616
 617 \begin_layout Standard
 618 Let us re-express the sum in
 619 \begin_inset CommandInset ref
 620 LatexCommand eqref
 621 reference "eq:W definition"
 622
 623 \end_inset
 624
 625  in terms of integral with a delta comb
 626 \begin_inset FormulaMacro
 627 \renewcommand{\basis}[1]{\mathfrak{#1}}
 628 \end_inset
 629
 630
 631 \end_layout
 632
 633 \begin_layout Standard
 634 \begin_inset Formula
 635 \begin{equation}
 636 W_{\alpha\beta}(\vect k)=\int\ud^{d}\vect r\dc{\basis u}(\vect r)S(\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect r+\vect r_{\beta})e^{i\vect k\cdot\vect r}.\label{eq:W integral}
 637 \end{equation}
 638
 639 \end_inset
 640
 641 The translation operator
 642 \begin_inset Formula $S$
 643 \end_inset
 644
 645  is now a function defined in the whole 3d space;
 646 \begin_inset Formula $\vect r_{\alpha},\vect r_{\beta}$
 647 \end_inset
 648
 649  are the displacements of scatterers
 650 \begin_inset Formula $\alpha$
 651 \end_inset
 652
 653  and
 654 \begin_inset Formula $\beta$
 655 \end_inset
 656
 657  in a unit cell.
 658  The arrow notation
 659 \begin_inset Formula $S(\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect r+\vect r_{\beta})$
 660 \end_inset
 661
 662  means
 663 \begin_inset Quotes eld
 664 \end_inset
 665
 666 translation operator for spherical waves originating in
 667 \begin_inset Formula $\vect r+\vect r_{\beta}$
 668 \end_inset
 669
 670  evaluated in
 671 \begin_inset Formula $\vect r_{\alpha}$
 672 \end_inset
 673
 674
 675 \begin_inset Quotes erd
 676 \end_inset
 677
 678  and obviously
 679 \begin_inset Formula $S$
 680 \end_inset
 681
 682  is in fact a function of a single 3d argument,
 683 \begin_inset Formula $S(\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect r+\vect r_{\beta})=S(\vect 0\leftarrow\vect r+\vect r_{\beta}-\vect r_{\alpha})=S(-\vect r-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect 0)=S(-\vect r-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha})$
 684 \end_inset
 685
 686 .
 687  Expression
 688 \begin_inset CommandInset ref
 689 LatexCommand eqref
 690 reference "eq:W integral"
 691
 692 \end_inset
 693
 694  can be rewritten as
 695 \begin_inset Formula
 696 \[
 697 W_{\alpha\beta}(\vect k)=\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}\uaft{(\dc{\basis u}S(\vect{\bullet}-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect 0))\left(\vect k\right)}
 698 \]
 699
 700 \end_inset
 701
 702 where changed the sign of
 703 \begin_inset Formula $\vect r/\vect{\bullet}$
 704 \end_inset
 705
 706  has been swapped under integration, utilising evenness of
 707 \begin_inset Formula $\dc{\basis u}$
 708 \end_inset
 709
 710 .
 711  Fourier transform of product is convolution of Fourier transforms, so (using
 712  formula
 713 \begin_inset CommandInset ref
 714 LatexCommand eqref
 715 reference "eq:Dirac comb uaFt"
 716
 717 \end_inset
 718
 719  for the Fourier transform of Dirac comb)
 720 \begin_inset Formula
 721 \begin{eqnarray}
 722 W_{\alpha\beta}(\vect k) & = & \left(\left(\uaft{\dc{\basis u}}\right)\ast\left(\uaft{S(\vect{\bullet}-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect 0)}\right)\right)(\vect k)\nonumber \\
 723  & = & \frac{\left|\det\recb{\basis u}\right|}{\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}}\left(\dc{\recb{\basis u}}^{(d)}\ast\left(\uaft{S(\vect{\bullet}-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect 0)}\right)\right)\left(\vect k\right)\nonumber \\
 724  & = & \frac{\left|\det\rec{\basis u}\right|}{\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}}\sum_{\vect K\in\recb{\basis u}\ints^{d}}\left(\uaft{S(\vect{\bullet}-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect 0)}\right)\left(\vect k-\vect K\right)\label{eq:W sum in reciprocal space}\\
 725  & = & \frac{\left|\det\rec{\basis u}\right|}{\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}}\sum_{\vect K\in\recb{\basis u}\ints^{d}}e^{i\left(\vect k-\vect K\right)\cdot\left(-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\right)}\left(\uaft{S(\vect{\bullet}\leftarrow\vect 0)}\right)\left(\vect k-\vect K\right)\nonumber
 726 \end{eqnarray}
 727
 728 \end_inset
 729
 730
 731 \begin_inset Note Note
 732 status open
 733
 734 \begin_layout Plain Layout
 735 Factor
 736 \begin_inset Formula $\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}$
 737 \end_inset
 738
 739  cancels out with the
 740 \begin_inset Formula $\left(2\pi\right)^{-\frac{d}{2}}$
 741 \end_inset
 742
 743  factor appearing in the convolution/product formula in the unitary angular
 744  momentum convention.
 745
 746 \end_layout
 747
 748 \end_inset
 749
 750 As such, this is not extremely helpful because the the
 751 \emph on
 752 whole
 753 \emph default
 754  translation operator
 755 \begin_inset Formula $S$
 756 \end_inset
 757
 758  has singularities in origin, hence its Fourier transform
 759 \begin_inset Formula $\uaft S$
 760 \end_inset
 761
 762  will decay poorly.
 763
 764 \end_layout
 765
 766 \begin_layout Standard
 767 However, Fourier transform is linear, so we can in principle separate
 768 \begin_inset Formula $S$
 769 \end_inset
 770
 771  in two parts,
 772 \begin_inset Formula $S=S^{\textup{L}}+S^{\textup{S}}$
 773 \end_inset
 774
 775 .
 776
 777 \begin_inset Formula $S^{\textup{S}}$
 778 \end_inset
 779
 780  is a short-range part that decays sufficiently fast with distance so that
 781  its direct-space lattice sum converges well;
 782 \begin_inset Formula $S^{\textup{S}}$
 783 \end_inset
 784
 785  must as well contain all the singularities of
 786 \begin_inset Formula $S$
 787 \end_inset
 788
 789  in the origin.
 790  The other part,
 791 \begin_inset Formula $S^{\textup{L}}$
 792 \end_inset
 793
 794 , will retain all the slowly decaying terms of
 795 \begin_inset Formula $S$
 796 \end_inset
 797
 798  but it also has to be smooth enough in the origin, so that its Fourier
 799  transform
 800 \begin_inset Formula $\uaft{S^{\textup{L}}}$
 801 \end_inset
 802
 803  decays fast enough.
 804  (The same idea lies behind the Ewald summation in electrostatics.) Using
 805  the linearity of Fourier transform and formulae
 806 \begin_inset CommandInset ref
 807 LatexCommand eqref
 808 reference "eq:W definition"
 809
 810 \end_inset
 811
 812  and
 813 \begin_inset CommandInset ref
 814 LatexCommand eqref
 815 reference "eq:W sum in reciprocal space"
 816
 817 \end_inset
 818
 819 , the operator
 820 \begin_inset Formula $W_{\alpha\beta}$
 821 \end_inset
 822
 823  can then be re-expressed as
 824 \begin_inset Formula
 825 \begin{eqnarray}
 826 W_{\alpha\beta}\left(\vect k\right) & = & W_{\alpha\beta}^{\textup{S}}\left(\vect k\right)+W_{\alpha\beta}^{\textup{L}}\left(\vect k\right)\nonumber \\
 827 W_{\alpha\beta}^{\textup{S}}\left(\vect k\right) & = & \sum_{\vect R\in\basis u\ints^{d}}S^{\textup{S}}(\vect 0\leftarrow\vect R+\vect r_{\beta}-\vect r_{\alpha})e^{i\vect k\cdot\vect R}\label{eq:W Short definition}\\
 828 W_{\alpha\beta}^{\textup{L}}\left(\vect k\right) & = & \frac{\left|\det\rec{\basis u}\right|}{\left(2\pi\right)^{\frac{d}{2}}}\sum_{\vect K\in\recb{\basis u}\ints^{d}}\left(\uaft{S^{\textup{L}}(\vect{\bullet}-\vect r_{\beta}+\vect r_{\alpha}\leftarrow\vect 0)}\right)\left(\vect k-\vect K\right)\label{eq:W Long definition}
 829 \end{eqnarray}
 830
 831 \end_inset
 832
 833 where both sums expected to converge nicely.
 834  We note that the elements of the translation operators
 835 \begin_inset Formula $\tropr,\trops$
 836 \end_inset
 837
 838  in
 839 \begin_inset CommandInset ref
 840 LatexCommand eqref
 841 reference "eq:translation operator"
 842 plural "false"
 843 caps "false"
 844 noprefix "false"
 845
 846 \end_inset
 847
 848  can be rewritten as linear combinations of expressions
 849 \begin_inset Formula $\ush{\nu}{\mu}\left(\uvec d\right)j_{n}\left(d\right),\ush{\nu}{\mu}\left(\uvec d\right)h_{n}^{(1)}\left(d\right)$
 850 \end_inset
 851
 852  (TODO WRITE THEM EXPLICITLY IN THIS FORM), respectively, hence if we are
 853  able evaluate the lattice sums sums
 854 \begin_inset Note Note
 855 status open
 856
 857 \begin_layout Plain Layout
 858 CHECK THE FOLLOWING EXPRESSION FOR CORRECT FUNCTION ARGUMENTS
 859 \end_layout
 860
 861 \end_inset
 862
 863
 864 \begin_inset Formula
 865 \begin{equation}
 866 \sigma_{\nu}^{\mu}\left(\vect k\right)=\sum_{\vect n\in\ints^{d}\backslash\left\{ \vect 0\right\} }e^{i\vect{\vect k}\cdot\vect R_{\vect n}}\ush{\nu}{\mu}\left(\uvec{R_{n}}\right)h_{n}^{(1)}\left(R_{n}\right),\label{eq:sigma lattice sums}
 867 \end{equation}
 868
 869 \end_inset
 870
 871 then by linearity, we can get the
 872 \begin_inset Formula $W_{\alpha\beta}\left(\vect k\right)$
 873 \end_inset
 874
 875  operator as well.
 876 \end_layout
 877
 878 \begin_layout Standard
 879 TODO ADD MOROZ AND OTHER REFS HERE.
 880
 881 \begin_inset CommandInset citation
 882 LatexCommand cite
 883 key "linton_one-_2009"
 884 literal "true"
 885
 886 \end_inset
 887
 888  offers an exponentially convergent Ewald-type summation method for
 889 \begin_inset Formula $\sigma_{\nu}^{\mu}\left(\vect k\right)=\sigma_{\nu}^{\mu(\mathrm{S})}\left(\vect k\right)+\sigma_{\nu}^{\mu(\mathrm{L})}\left(\vect k\right)$
 890 \end_inset
 891
 892 .
 893  Here we rewrite them in a form independent on the convention used for spherical
 894  harmonics (as long as they are complex
 895 \begin_inset Note Note
 896 status open
 897
 898 \begin_layout Plain Layout
 899 lepší formulace
 900 \end_layout
 901
 902 \end_inset
 903
 904 ).
 905  The short-range part reads (UNIFY INDEX NOTATION)
 906 \begin_inset Formula
 907 \begin{multline}
 908 \sigma_{n}^{m(\mathrm{S})}\left(\vect{\beta}\right)=-\frac{2^{n+1}i}{k^{n+1}\sqrt{\pi}}\sum_{\vect R\in\Lambda}^{'}\left|\vect R\right|^{n}e^{i\vect{\beta}\cdot\vect R}Y_{n}^{m}\left(\vect R\right)\int_{\eta}^{\infty}e^{-\left|\vect R\right|^{2}\xi^{2}}e^{-k/4\xi^{2}}\xi^{2n}\ud\xi\\
 909 +\frac{\delta_{n0}\delta_{m0}}{\sqrt{4\pi}}\Gamma\left(-\frac{1}{2},-\frac{k}{4\eta^{2}}\right)Y_{n}^{m},\label{eq:Ewald in 3D short-range part}
 910 \end{multline}
 911
 912 \end_inset
 913
 914
 915 \begin_inset Note Note
 916 status open
 917
 918 \begin_layout Plain Layout
 919 NEPATŘÍ TAM NĚJAKÁ DELTA FUNKCE K PŮVODNÍMU
 920 \begin_inset Formula $\sigma_{n}^{m(0)}$
 921 \end_inset
 922
 923 ?
 924 \end_layout
 925
 926 \end_inset
 927
 928 and the long-range part (FIXME, this is the 2D version; include the 1D and
 929  3D lattice expressions as well)
 930 \begin_inset Formula
 931 \begin{multline}
 932 \sigma_{n}^{m(\mathrm{L})}\left(\vect{\beta}\right)=-\frac{i^{n+1}}{k^{2}\mathscr{A}}\sqrt{\pi}2\left(\left(n-m\right)/2\right)!\left(\left(n+m\right)/2\right)!\times\\
 933 \times\sum_{\vect K_{pq}\in\Lambda^{*}}^{'}Y_{n}^{m}\left(\frac{\pi}{2},\phi_{\vect{\beta}_{pq}}\right)\sum_{j=0}^{\left[\left(n-\left|m\right|/2\right)\right]}\frac{\left(-1\right)^{j}\left(\beta_{pq}/k\right)^{n-2j}\Gamma_{j,pq}}{j!\left(\frac{1}{2}\left(n-m\right)-j\right)!\left(\frac{1}{2}\left(n+m\right)-j\right)!}\left(\gamma_{pq}\right)^{2j-1}\label{eq:Ewald in 3D long-range part}
 934 \end{multline}
 935
 936 \end_inset
 937
 938 where
 939 \begin_inset Formula $\xi$
 940 \end_inset
 941
 942  is TODO,
 943 \begin_inset Formula $\beta_{pq}$
 944 \end_inset
 945
 946  is TODO,
 947 \begin_inset Formula $\Gamma_{j,pq}$
 948 \end_inset
 949
 950  is TODO and
 951 \begin_inset Formula $\eta$
 952 \end_inset
 953
 954  is a real parameter that determines the pace of convergence of both parts.
 955  The larger
 956 \begin_inset Formula $\eta$
 957 \end_inset
 958
 959  is, the faster
 960 \begin_inset Formula $\sigma_{n}^{m(\mathrm{S})}\left(\vect{\beta}\right)$
 961 \end_inset
 962
 963  converges but the slower
 964 \begin_inset Formula $\sigma_{n}^{m(\mathrm{L})}\left(\vect{\beta}\right)$
 965 \end_inset
 966
 967  converges.
 968  Therefore (based on the lattice geometry) it has to be adjusted in a way
 969  that a reasonable amount of terms needs to be evaluated numerically from
 970  both
 971 \begin_inset Formula $\sigma_{n}^{m(\mathrm{S})}\left(\vect{\beta}\right)$
 972 \end_inset
 973
 974  and
 975 \begin_inset Formula $\sigma_{n}^{m(\mathrm{L})}\left(\vect{\beta}\right)$
 976 \end_inset
 977
 978  .
 979  Generally, a good choice for
 980 \begin_inset Formula $\eta$
 981 \end_inset
 982
 983  is TODO; in order to achieve accuracy TODO, one has to evaluate the terms
 984  on TODO lattice points.
 985  (I HAVE SOME DERIVATIONS OF THE ESTIMATES IN MY NOTES; SHOULD I INCLUDE
 986  THEM?)
 987 \end_layout
 988
 989 \begin_layout Standard
 990 In practice, the integrals in
 991 \begin_inset CommandInset ref
 992 LatexCommand eqref
 993 reference "eq:Ewald in 3D short-range part"
 994 plural "false"
 995 caps "false"
 996 noprefix "false"
 997
 998 \end_inset
 999
1000  can be easily evaluated by numerical quadrature and the incomplete
1001 \begin_inset Formula $\Gamma$
1002 \end_inset
1003
1004 -functions using the series TODO and TODO from DLMF.
1005 \end_layout
1006
1007 \end_body
1008 \end_document