lepaper/symmetries.lyx

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  79
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  81
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  83 Symmetries
  84 \begin_inset CommandInset label
  85 LatexCommand label
  86 name "sec:Symmetries"
  87
  88 \end_inset
  89
  90
  91 \end_layout
  92
  93 \begin_layout Standard
  94 If the system has nontrivial point group symmetries, group theory gives
  95  additional understanding of the system properties, and can be used to reduce
  96  the computational costs.
  97
  98 \end_layout
  99
 100 \begin_layout Standard
 101 As an example, if our system has a
 102 \begin_inset Formula $D_{2h}$
 103 \end_inset
 104
 105  symmetry and our truncated
 106 \begin_inset Formula $\left(I-T\trops\right)$
 107 \end_inset
 108
 109  matrix has size
 110 \begin_inset Formula $N\times N$
 111 \end_inset
 112
 113 ,
 114 \begin_inset Note Note
 115 status open
 116
 117 \begin_layout Plain Layout
 118 nepoužívám
 119 \begin_inset Formula $N$
 120 \end_inset
 121
 122  už v jiném kontextu?
 123 \end_layout
 124
 125 \end_inset
 126
 127  it can be block-diagonalized into eight blocks of size about
 128 \begin_inset Formula $N/8\times N/8$
 129 \end_inset
 130
 131 , each of which can be LU-factorised separately (this is due to the fact
 132  that
 133 \begin_inset Formula $D_{2h}$
 134 \end_inset
 135
 136  has eight different one-dimensional irreducible representations).
 137  This can reduce both memory and time requirements to solve the scattering
 138  problem
 139 \begin_inset CommandInset ref
 140 LatexCommand eqref
 141 reference "eq:Multiple-scattering problem block form"
 142 plural "false"
 143 caps "false"
 144 noprefix "false"
 145
 146 \end_inset
 147
 148  by a factor of 64.
 149 \end_layout
 150
 151 \begin_layout Standard
 152 In periodic systems (problems
 153 \begin_inset CommandInset ref
 154 LatexCommand eqref
 155 reference "eq:Multiple-scattering problem unit cell block form"
 156 plural "false"
 157 caps "false"
 158 noprefix "false"
 159
 160 \end_inset
 161
 162 ,
 163 \begin_inset CommandInset ref
 164 LatexCommand eqref
 165 reference "eq:lattice mode equation"
 166 plural "false"
 167 caps "false"
 168 noprefix "false"
 169
 170 \end_inset
 171
 172 ) due to small number of particles per unit cell, the costliest part is
 173  usually the evaluation of the lattice sums in the
 174 \begin_inset Formula $W\left(\omega,\vect k\right)$
 175 \end_inset
 176
 177  matrix, not the linear algebra.
 178  However, the lattice modes can be searched for in each irrep separately,
 179  and the irrep dimension gives a priori information about mode degeneracy.
 180 \end_layout
 181
 182 \begin_layout Subsection
 183 Excitation coefficients under point group operations
 184 \end_layout
 185
 186 \begin_layout Standard
 187 \begin_inset Note Note
 188 status open
 189
 190 \begin_layout Plain Layout
 191 TODO Zkontrolovat všechny vzorečky zde!!!
 192 \end_layout
 193
 194 \end_inset
 195
 196 In order to use the point group symmetries, we first need to know how they
 197  affect our basis functions, i.e.
 198  the VSWFs.
 199 \end_layout
 200
 201 \begin_layout Standard
 202 Let
 203 \begin_inset Formula $g$
 204 \end_inset
 205
 206  be a member of orthogonal group
 207 \begin_inset Formula $O(3)$
 208 \end_inset
 209
 210 , i.e.
 211  a 3D point rotation or reflection operation that transforms vectors in
 212
 213 \begin_inset Formula $\reals^{3}$
 214 \end_inset
 215
 216  with an orthogonal matrix
 217 \begin_inset Formula $R_{g}$
 218 \end_inset
 219
 220 :
 221 \begin_inset Formula
 222 \[
 223 \vect r\mapsto R_{g}\vect r.
 224 \]
 225
 226 \end_inset
 227
 228 Spherical harmonics
 229 \begin_inset Formula $\ush lm$
 230 \end_inset
 231
 232 , being a basis the
 233 \begin_inset Formula $l$
 234 \end_inset
 235
 236 -dimensional representation of
 237 \begin_inset Formula $O(3)$
 238 \end_inset
 239
 240 , transform as
 241 \begin_inset CommandInset citation
 242 LatexCommand cite
 243 after "???"
 244 key "dresselhaus_group_2008"
 245 literal "false"
 246
 247 \end_inset
 248
 249
 250 \begin_inset Formula
 251 \[
 252 \ush lm\left(R_{g}\uvec r\right)=\sum_{m'=-l}^{l}D_{m,m'}^{l}\left(g\right)\ush l{m'}\left(\uvec r\right)
 253 \]
 254
 255 \end_inset
 256
 257 where
 258 \begin_inset Formula $D_{m,m'}^{l}\left(g\right)$
 259 \end_inset
 260
 261  denotes the elements of the
 262 \emph on
 263 Wigner matrix
 264 \emph default
 265  representing the operation
 266 \begin_inset Formula $g$
 267 \end_inset
 268
 269 .
 270  By their definition, vector spherical harmonics
 271 \begin_inset Formula $\vsh 2lm,\vsh 3lm$
 272 \end_inset
 273
 274  transform in the same way,
 275 \begin_inset Formula
 276 \begin{align*}
 277 \vsh 2lm\left(R_{g}\uvec r\right) & =\sum_{m'=-l}^{l}D_{m,m'}^{l}\left(g\right)\vsh 2l{m'}\left(\uvec r\right),\\
 278 \vsh 3lm\left(R_{g}\uvec r\right) & =\sum_{m'=-l}^{l}D_{m,m'}^{l}\left(g\right)\vsh 3l{m'}\left(\uvec r\right),
 279 \end{align*}
 280
 281 \end_inset
 282
 283 but the remaining set
 284 \begin_inset Formula $\vsh 1lm$
 285 \end_inset
 286
 287  transforms differently due to their pseudovector nature stemming from the
 288  cross product in their definition:
 289 \begin_inset Formula
 290 \[
 291 \vsh 3lm\left(R_{g}\uvec r\right)=\sum_{m'=-l}^{l}\widetilde{D_{m,m'}^{l}}\left(g\right)\vsh 3l{m'}\left(\uvec r\right),
 292 \]
 293
 294 \end_inset
 295
 296 where
 297 \begin_inset Formula $\widetilde{D_{m,m'}^{l}}\left(g\right)=D_{m,m'}^{l}\left(g\right)$
 298 \end_inset
 299
 300  if
 301 \begin_inset Formula $g$
 302 \end_inset
 303
 304  is a proper rotation, but for spatial inversion operation
 305 \begin_inset Formula $i:\vect r\mapsto-\vect r$
 306 \end_inset
 307
 308  we have
 309 \begin_inset Formula $\widetilde{D_{m,m'}^{l}}\left(i\right)=\left(-1\right)^{l+m}D_{m,m'}^{l}\left(i\right)$
 310 \end_inset
 311
 312 .
 313  The transformation behaviour of vector spherical harmonics directly propagates
 314  to the spherical vector waves, cf.
 315
 316 \begin_inset CommandInset ref
 317 LatexCommand eqref
 318 reference "eq:VSWF regular"
 319 plural "false"
 320 caps "false"
 321 noprefix "false"
 322
 323 \end_inset
 324
 325 ,
 326 \begin_inset CommandInset ref
 327 LatexCommand eqref
 328 reference "eq:VSWF outgoing"
 329 plural "false"
 330 caps "false"
 331 noprefix "false"
 332
 333 \end_inset
 334
 335 :
 336 \begin_inset Formula
 337 \begin{align*}
 338 \vswfouttlm 1lm\left(R_{g}\vect r\right) & =\sum_{m'=-l}^{l}\widetilde{D_{m,m'}^{l}}\left(g\right)\vswfouttlm 1l{m'}\left(\vect r\right),\\
 339 \vswfouttlm 2lm\left(R_{g}\vect r\right) & =\sum_{m'=-l}^{l}D_{m,m'}^{l}\left(g\right)\vswfouttlm 2l{m'}\left(\vect r\right),
 340 \end{align*}
 341
 342 \end_inset
 343
 344 (and analogously for the regular waves
 345 \begin_inset Formula $\vswfrtlm{\tau}lm$
 346 \end_inset
 347
 348 ).
 349
 350 \begin_inset Note Note
 351 status open
 352
 353 \begin_layout Plain Layout
 354 TODO víc obdivu.
 355 \end_layout
 356
 357 \end_inset
 358
 359  For convenience, we introduce the symbol
 360 \begin_inset Formula $D_{m,m'}^{\tau l}$
 361 \end_inset
 362
 363  that describes the transformation of both types (
 364 \begin_inset Quotes eld
 365 \end_inset
 366
 367 magnetic
 368 \begin_inset Quotes erd
 369 \end_inset
 370
 371  and
 372 \begin_inset Quotes eld
 373 \end_inset
 374
 375 electric
 376 \begin_inset Quotes erd
 377 \end_inset
 378
 379 ) of waves at once:
 380 \begin_inset Formula
 381 \[
 382 \vswfouttlm{\tau}lm\left(R_{g}\vect r\right)=\sum_{m'=-l}^{l}D_{m,m'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfouttlm{\tau}l{m'}\left(\vect r\right).
 383 \]
 384
 385 \end_inset
 386
 387 Using these, we can express the VSWF expansion
 388 \begin_inset CommandInset ref
 389 LatexCommand eqref
 390 reference "eq:E field expansion"
 391 plural "false"
 392 caps "false"
 393 noprefix "false"
 394
 395 \end_inset
 396
 397  of the electric field around origin in a rotated/reflected system,
 398 \begin_inset Formula
 399 \[
 400 \vect E\left(\omega,R_{g}\vect r\right)=\sum_{\tau=1,2}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\sum_{m'=-l}^{l}\left(\rcoefftlm{\tau}lmD_{m,m'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfrtlm{\tau}l{m'}\left(k\vect r\right)+\outcoefftlm{\tau}lmD_{m,m'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfouttlm{\tau}l{m'}\left(k\vect r\right)\right),
 401 \]
 402
 403 \end_inset
 404
 405 which, together with the
 406 \begin_inset Formula $T$
 407 \end_inset
 408
 409 -matrix definition,
 410 \begin_inset CommandInset ref
 411 LatexCommand eqref
 412 reference "eq:T-matrix definition"
 413 plural "false"
 414 caps "false"
 415 noprefix "false"
 416
 417 \end_inset
 418
 419  can be used to obtain a
 420 \begin_inset Formula $T$
 421 \end_inset
 422
 423 -matrix of a rotated or mirror-reflected particle.
 424  Let
 425 \begin_inset Formula $T$
 426 \end_inset
 427
 428  be the
 429 \begin_inset Formula $T$
 430 \end_inset
 431
 432 -matrix of an original particle; the
 433 \begin_inset Formula $T$
 434 \end_inset
 435
 436 -matrix of a particle physically transformed by operation
 437 \begin_inset Formula $g\in O(3)$
 438 \end_inset
 439
 440  is then
 441 \begin_inset Note Note
 442 status open
 443
 444 \begin_layout Plain Layout
 445 check sides
 446 \end_layout
 447
 448 \end_inset
 449
 450
 451 \begin_inset Formula
 452 \begin{equation}
 453 T'_{\tau lm;\tau'l'm'}=\sum_{\mu=-l}^{l}\sum_{\mu'=-l'}^{l'}\left(D_{\mu,m}^{\tau l}\left(g\right)\right)^{*}T_{\tau l\mu;\tau'l'm'}D_{m',\mu'}^{\tau l}\left(g\right).\label{eq:T-matrix of a transformed particle}
 454 \end{equation}
 455
 456 \end_inset
 457
 458 If the particle is symmetric (so that
 459 \begin_inset Formula $g$
 460 \end_inset
 461
 462  produces a particle indistinguishable from the original one), the
 463 \begin_inset Formula $T$
 464 \end_inset
 465
 466 -matrix must remain invariant under the transformation
 467 \begin_inset CommandInset ref
 468 LatexCommand eqref
 469 reference "eq:T-matrix of a transformed particle"
 470 plural "false"
 471 caps "false"
 472 noprefix "false"
 473
 474 \end_inset
 475
 476 ,
 477 \begin_inset Formula $T'_{\tau lm;\tau'l'm'}=T{}_{\tau lm;\tau'l'm'}$
 478 \end_inset
 479
 480 .
 481  Explicit forms of these invariance properties for the most imporant point
 482  group symmetries can be found in
 483 \begin_inset CommandInset citation
 484 LatexCommand cite
 485 key "schulz_point-group_1999"
 486 literal "false"
 487
 488 \end_inset
 489
 490 .
 491 \end_layout
 492
 493 \begin_layout Standard
 494 If the field expansion is done around a point
 495 \begin_inset Formula $\vect r_{p}$
 496 \end_inset
 497
 498  different from the global origin, as in
 499 \begin_inset CommandInset ref
 500 LatexCommand ref
 501 reference "eq:E field expansion multiparticle"
 502 plural "false"
 503 caps "false"
 504 noprefix "false"
 505
 506 \end_inset
 507
 508 , we have
 509 \begin_inset Formula
 510 \begin{multline}
 511 \vect E\left(\omega,R_{g}\vect r\right)=\sum_{\tau=1,2}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\sum_{m'=-l}^{l}\left(\rcoeffptlm p{\tau}lmD_{m',\mu'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfrtlm{\tau}l{m'}\left(k\left(\vect r-R_{g}\vect r_{p}\right)\right)\right.+\\
 512 +\left.\outcoeffptlm p{\tau}lmD_{m',\mu'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfouttlm{\tau}l{m'}\left(k\left(\vect r-R_{g}\vect r_{p}\right)\right)\right).\label{eq:rotated E field expansion around outside origin}
 513 \end{multline}
 514
 515 \end_inset
 516
 517
 518 \end_layout
 519
 520 \begin_layout Standard
 521 \begin_inset Float figure
 522 placement document
 523 alignment document
 524 wide false
 525 sideways false
 526 status open
 527
 528 \begin_layout Plain Layout
 529 \align center
 530 \begin_inset CommandInset include
 531 LatexCommand input
 532 filename "orbits.tex"
 533 literal "true"
 534
 535 \end_inset
 536
 537
 538 \end_layout
 539
 540 \begin_layout Plain Layout
 541 \begin_inset Caption Standard
 542
 543 \begin_layout Plain Layout
 544 Scatterer orbits under
 545 \begin_inset Formula $D_{2}$
 546 \end_inset
 547
 548  symmetry.
 549  Particles
 550 \begin_inset Formula $A,B,C,D$
 551 \end_inset
 552
 553  lie outside of origin or any mirror planes, and together constitute an
 554  orbit of the size equal to the order of the group,
 555 \begin_inset Formula $\left|D_{2}\right|=4$
 556 \end_inset
 557
 558 .
 559  Particles
 560 \begin_inset Formula $E,F$
 561 \end_inset
 562
 563  lie on the
 564 \begin_inset Formula $yz$
 565 \end_inset
 566
 567  plane, hence the corresponding reflection maps each of them to itself,
 568  but the
 569 \begin_inset Formula $xz$
 570 \end_inset
 571
 572  reflection (or the
 573 \begin_inset Formula $\pi$
 574 \end_inset
 575
 576  rotation around the
 577 \begin_inset Formula $z$
 578 \end_inset
 579
 580  axis) maps them to each other, forming a particle orbit of size 2
 581 \begin_inset Note Note
 582 status open
 583
 584 \begin_layout Plain Layout
 585 =???
 586 \end_layout
 587
 588 \end_inset
 589
 590 .
 591  The particle
 592 \begin_inset Formula $O$
 593 \end_inset
 594
 595  in the very origin is always mapped to itself, constituting its own orbit.
 596 \begin_inset CommandInset label
 597 LatexCommand label
 598 name "fig:D2-symmetric structure particle orbits"
 599
 600 \end_inset
 601
 602
 603 \end_layout
 604
 605 \end_inset
 606
 607
 608 \end_layout
 609
 610 \end_inset
 611
 612
 613 \end_layout
 614
 615 \begin_layout Standard
 616 \begin_inset Note Note
 617 status open
 618
 619 \begin_layout Plain Layout
 620 TODO restructure this
 621 \end_layout
 622
 623 \end_inset
 624
 625 With these transformation properties in hand, we can proceed to the effects
 626  of point symmetries on the whole many-particle system.
 627  Let us have a many-particle system symmetric with respect to a point group
 628
 629 \begin_inset Formula $G$
 630 \end_inset
 631
 632 .
 633  A symmetry operation
 634 \begin_inset Formula $g\in G$
 635 \end_inset
 636
 637  determines a permutation of the particles:
 638 \begin_inset Formula $p\mapsto\pi_{g}(p)$
 639 \end_inset
 640
 641 ,
 642 \begin_inset Formula $p\in\mathcal{P}$
 643 \end_inset
 644
 645 .
 646  For a given particle
 647 \begin_inset Formula $p$
 648 \end_inset
 649
 650 , we will call the set of particles onto which any of the symmetries maps
 651  the particle
 652 \begin_inset Formula $p$
 653 \end_inset
 654
 655 , i.e.
 656  the set
 657 \begin_inset Formula $\left\{ \pi_{g}\left(p\right);g\in G\right\} $
 658 \end_inset
 659
 660 , as the
 661 \emph on
 662 orbit
 663 \emph default
 664  of particle
 665 \begin_inset Formula $p$
 666 \end_inset
 667
 668 .
 669  The whole set
 670 \begin_inset Formula $\mathcal{P}$
 671 \end_inset
 672
 673  can therefore be divided into the different particle orbits; an example
 674  is in Fig.
 675
 676 \begin_inset CommandInset ref
 677 LatexCommand ref
 678 reference "fig:D2-symmetric structure particle orbits"
 679 plural "false"
 680 caps "false"
 681 noprefix "false"
 682
 683 \end_inset
 684
 685 .
 686  The importance of the particle orbits stems from the following: in the
 687  multiple-scattering problem, outside of the scatterers
 688 \begin_inset Note Note
 689 status open
 690
 691 \begin_layout Plain Layout
 692 < FIXME
 693 \end_layout
 694
 695 \end_inset
 696
 697  one has
 698 \begin_inset Formula
 699 \begin{align}
 700 \vect E\left(\omega,R_{g}\vect r\right) & =\sum_{\tau=1,2}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\sum_{m'=-l}^{l}\left(\rcoeffptlm p{\tau}lmD_{m,\mu'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfrtlm{\tau}l{m'}\left(k\left(\vect r-\vect r_{\pi_{g}(p)}\right)\right)\right.+\label{eq:rotated E field expansion around outside origin-1}\\
 701  & \quad+\left.\outcoeffptlm p{\tau}lmD_{m,\mu'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfouttlm{\tau}l{m'}\left(k\left(\vect r-\vect r_{p}\right)\right)\right)\\
 702  & =\sum_{\tau=1,2}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\sum_{m'=-l}^{l}\left(\rcoeffptlm{\pi_{g}^{-1}(p)}{\tau}lmD_{m,\mu'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfrtlm{\tau}l{m'}\left(k\left(\vect r-\vect r_{p}\right)\right)\right.+\\
 703  & \quad+\left.\outcoeffptlm{\pi_{g}^{-1}(p)}{\tau}lmD_{m,\mu'}^{\tau l}\left(g\right)\vswfouttlm{\tau}l{m'}\left(k\left(\vect r-\vect r_{p}\right)\right)\right).
 704 \end{align}
 705
 706 \end_inset
 707
 708 This means that the field expansion coefficients
 709 \begin_inset Formula $\rcoeffp p,\outcoeffp p$
 710 \end_inset
 711
 712  transform as
 713 \begin_inset Formula
 714 \begin{align}
 715 \rcoeffptlm p{\tau}lm & \mapsto\rcoeffptlm{\pi_{g}^{-1}(p)}{\tau}lmD_{m,\mu'}^{\tau l}\left(g\right),\nonumber \\
 716 \outcoeffptlm p{\tau}lm & \mapsto\outcoeffptlm{\pi_{g}^{-1}(p)}{\tau}lmD_{m,\mu'}^{\tau l}\left(g\right).\label{eq:excitation coefficient under symmetry operation}
 717 \end{align}
 718
 719 \end_inset
 720
 721 Obviously, the expansion coefficients belonging to particles in different
 722  orbits do not mix together.
 723  As before, we introduce a short-hand block-matrix notation for
 724 \begin_inset CommandInset ref
 725 LatexCommand ref
 726 reference "eq:excitation coefficient under symmetry operation"
 727 plural "false"
 728 caps "false"
 729 noprefix "false"
 730
 731 \end_inset
 732
 733  (TODO avoid notation clash here in a more consistent and readable way!)
 734 \end_layout
 735
 736 \begin_layout Standard
 737 \begin_inset Formula
 738 \begin{align}
 739 \rcoeff & \mapsto J\left(g\right)a,\nonumber \\
 740 \outcoeff & \mapsto J\left(g\right)\outcoeff.\label{eq:excitation coefficient under symmetry operation block form}
 741 \end{align}
 742
 743 \end_inset
 744
 745
 746 \begin_inset Note Note
 747 status open
 748
 749 \begin_layout Plain Layout
 750 The matrices
 751 \begin_inset Formula $D\left(g\right)$
 752 \end_inset
 753
 754 ,
 755 \begin_inset Formula $g\in G$
 756 \end_inset
 757
 758  will play a crucial role blablabla
 759 \end_layout
 760
 761 \end_inset
 762
 763 If the particle indices are ordered in a way that the particles belonging
 764  to the same orbit are grouped together,
 765 \begin_inset Formula $J\left(g\right)$
 766 \end_inset
 767
 768  will be a block-diagonal unitary matrix, each block (also unitary) representing
 769  the action of
 770 \begin_inset Formula $g$
 771 \end_inset
 772
 773  on one particle orbit.
 774  All the
 775 \begin_inset Formula $J\left(g\right)$
 776 \end_inset
 777
 778 s make together a (reducible) linear representation of
 779 \begin_inset Formula $G$
 780 \end_inset
 781
 782 .
 783 \end_layout
 784
 785 \begin_layout Subsection
 786 Irrep decomposition
 787 \end_layout
 788
 789 \begin_layout Standard
 790 Knowledge of symmetry group actions
 791 \begin_inset Formula $J\left(g\right)$
 792 \end_inset
 793
 794  on the field expansion coefficients give us the possibility to construct
 795  a symmetry adapted basis in which we can block-diagonalise the multiple-scatter
 796 ing problem matrix
 797 \begin_inset Formula $\left(I-TS\right)$
 798 \end_inset
 799
 800 .
 801  Let
 802 \begin_inset Formula $\Gamma_{n}$
 803 \end_inset
 804
 805  be the
 806 \begin_inset Formula $d_{n}$
 807 \end_inset
 808
 809 -dimensional irreducible matrix representations of
 810 \begin_inset Formula $G$
 811 \end_inset
 812
 813 consisting of matrices
 814 \begin_inset Formula $D^{\Gamma_{n}}\left(g\right)$
 815 \end_inset
 816
 817 .
 818  Then the projection operators
 819 \begin_inset Formula
 820 \[
 821 P_{kl}^{\left(\Gamma_{n}\right)}\equiv\frac{d_{n}}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\left(D^{\Gamma_{n}}\left(g\right)\right)_{kl}^{*}J\left(g\right),\quad k,l=1,\dots,d_{n}
 822 \]
 823
 824 \end_inset
 825
 826 project the full scattering system field expansion coefficient vectors
 827 \begin_inset Formula $\rcoeff,\outcoeff$
 828 \end_inset
 829
 830  onto a subspace corresponding to the irreducible representation
 831 \begin_inset Formula $\Gamma_{n}$
 832 \end_inset
 833
 834 .
 835  The projectors can be used to construct a unitary transformation
 836 \begin_inset Formula $U$
 837 \end_inset
 838
 839  with components
 840 \begin_inset Formula
 841 \begin{equation}
 842 U_{nri;p\tau lm}=\frac{d_{n}}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\left(D^{\Gamma_{n}}\left(g\right)\right)_{rr}^{*}J\left(g\right)_{p'\tau'l'm'(nri);p\tau lm}\label{eq:SAB unitary transformation operator}
 843 \end{equation}
 844
 845 \end_inset
 846
 847 where
 848 \begin_inset Formula $r$
 849 \end_inset
 850
 851  goes from
 852 \begin_inset Formula $1$
 853 \end_inset
 854
 855  through
 856 \begin_inset Formula $d_{n}$
 857 \end_inset
 858
 859  and
 860 \begin_inset Formula $i$
 861 \end_inset
 862
 863  goes from 1 through the multiplicity of irreducible representation
 864 \begin_inset Formula $\Gamma_{n}$
 865 \end_inset
 866
 867  in the (reducible) representation of
 868 \begin_inset Formula $G$
 869 \end_inset
 870
 871  spanned by the field expansion coefficients
 872 \begin_inset Formula $\rcoeff$
 873 \end_inset
 874
 875  or
 876 \begin_inset Formula $\outcoeff$
 877 \end_inset
 878
 879 .
 880  The indices
 881 \begin_inset Formula $p',\tau',l',m'$
 882 \end_inset
 883
 884  are given by an arbitrary bijective mapping
 885 \begin_inset Formula $\left(n,r,i\right)\mapsto\left(p',\tau',l',m'\right)$
 886 \end_inset
 887
 888  with the constraint that for given
 889 \begin_inset Formula $n,r,i$
 890 \end_inset
 891
 892  there are at least some non-zero elements
 893 \begin_inset Formula $U_{nri;p\tau lm}$
 894 \end_inset
 895
 896 .
 897  For details, we refer the reader to textbooks about group representation
 898  theory
 899 \begin_inset Note Note
 900 status open
 901
 902 \begin_layout Plain Layout
 903 or linear representations?
 904 \end_layout
 905
 906 \end_inset
 907
 908 , e.g.
 909
 910 \begin_inset CommandInset citation
 911 LatexCommand cite
 912 after "Chapter 4"
 913 key "dresselhaus_group_2008"
 914 literal "false"
 915
 916 \end_inset
 917
 918  or
 919 \begin_inset CommandInset citation
 920 LatexCommand cite
 921 after "???"
 922 key "bradley_mathematical_1972"
 923 literal "false"
 924
 925 \end_inset
 926
 927 .
 928  The transformation given by
 929 \begin_inset Formula $U$
 930 \end_inset
 931
 932  transforms the excitation coefficient vectors
 933 \begin_inset Formula $\rcoeff,\outcoeff$
 934 \end_inset
 935
 936  into a new,
 937 \emph on
 938 symmetry-adapted basis
 939 \emph default
 940 .
 941
 942 \end_layout
 943
 944 \begin_layout Standard
 945 One can show that if an operator
 946 \begin_inset Formula $M$
 947 \end_inset
 948
 949  acting on the excitation coefficient vectors is invariant under the operations
 950  of group
 951 \begin_inset Formula $G$
 952 \end_inset
 953
 954 , meaning that
 955 \begin_inset Formula
 956 \[
 957 \forall g\in G:J\left(g\right)MJ\left(g\right)^{\dagger}=M,
 958 \]
 959
 960 \end_inset
 961
 962 then in the symmetry-adapted basis,
 963 \begin_inset Formula $M$
 964 \end_inset
 965
 966  is block diagonal, or more specifically
 967 \begin_inset Formula
 968 \[
 969 M_{\Gamma,r,i;\Gamma',r',j}^{\mathrm{s.a.b.}}=\frac{\delta_{\Gamma\Gamma'}\delta_{ij}}{d_{\Gamma}}\sum_{q}M{}_{\Gamma,r,q;\Gamma',r',q}^{\mathrm{s.a.b.}}.
 970 \]
 971
 972 \end_inset
 973
 974 Both the
 975 \begin_inset Formula $T$
 976 \end_inset
 977
 978  and
 979 \begin_inset Formula $\trops$
 980 \end_inset
 981
 982  operators (and trivially also the identity
 983 \begin_inset Formula $I$
 984 \end_inset
 985
 986 ) in
 987 \begin_inset CommandInset ref
 988 LatexCommand eqref
 989 reference "eq:Multiple-scattering problem block form"
 990 plural "false"
 991 caps "false"
 992 noprefix "false"
 993
 994 \end_inset
 995
 996  are invariant under the actions of whole system symmetry group, so
 997 \begin_inset Formula $\left(I-T\trops\right)$
 998 \end_inset
 999
1000  is also invariant, hence
1001 \begin_inset Formula $U\left(I-T\trops\right)U^{\dagger}$
1002 \end_inset
1003
1004  is a block-diagonal matrix, and the problem
1005 \begin_inset CommandInset ref
1006 LatexCommand eqref
1007 reference "eq:Multiple-scattering problem block form"
1008 plural "false"
1009 caps "false"
1010 noprefix "false"
1011
1012 \end_inset
1013
1014  can be solved for each block separately.
1015 \end_layout
1016
1017 \begin_layout Standard
1018 From the computational perspective, it is important to note that
1019 \begin_inset Formula $U$
1020 \end_inset
1021
1022  is at least as sparse as
1023 \begin_inset Formula $J\left(g\right)$
1024 \end_inset
1025
1026  (which is
1027 \begin_inset Quotes eld
1028 \end_inset
1029
1030 orbit-block
1031 \begin_inset Quotes erd
1032 \end_inset
1033
1034  diagonal), hence the block-diagonalisation can be performed fast.
1035
1036 \begin_inset Note Note
1037 status open
1038
1039 \begin_layout Plain Layout
1040 Kvantifikovat!
1041 \end_layout
1042
1043 \end_inset
1044
1045
1046 \end_layout
1047
1048 \begin_layout Subsection
1049 Periodic systems
1050 \end_layout
1051
1052 \begin_layout Standard
1053 For periodic systems, we can in similar manner also block-diagonalise the
1054
1055 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)=\left(I-W\left(\omega,\vect k\right)T\left(\omega\right)\right)$
1056 \end_inset
1057
1058  from the left hand side of eqs.
1059
1060 \begin_inset CommandInset ref
1061 LatexCommand eqref
1062 reference "eq:Multiple-scattering problem unit cell block form"
1063 plural "false"
1064 caps "false"
1065 noprefix "false"
1066
1067 \end_inset
1068
1069 ,
1070 \begin_inset CommandInset ref
1071 LatexCommand eqref
1072 reference "eq:lattice mode equation"
1073 plural "false"
1074 caps "false"
1075 noprefix "false"
1076
1077 \end_inset
1078
1079 .
1080  Hovewer, in this case,
1081 \begin_inset Formula $W\left(\omega,\vect k\right)$
1082 \end_inset
1083
1084  is in general not invariant under the whole point group symmetry subgroup
1085  of the system geometry due to the
1086 \begin_inset Formula $\vect k$
1087 \end_inset
1088
1089  dependence.
1090  In other words, only those point symmetries that the
1091 \begin_inset Formula $e^{i\vect k\cdot\vect r}$
1092 \end_inset
1093
1094  modulation does not break are preserved, and no preservation of point symmetrie
1095 s happens unless
1096 \begin_inset Formula $\vect k$
1097 \end_inset
1098
1099  lies somewhere in the high-symmetry parts of the Brillouin zone.
1100  However, the high-symmetry points are usually the ones of the highest physical
1101  interest, for it is where the band edges
1102 \begin_inset Note Note
1103 status open
1104
1105 \begin_layout Plain Layout
1106 or
1107 \begin_inset Quotes eld
1108 \end_inset
1109
1110 dirac points
1111 \begin_inset Quotes erd
1112 \end_inset
1113
1114
1115 \end_layout
1116
1117 \end_inset
1118
1119  are typically located.
1120 \end_layout
1121
1122 \begin_layout Standard
1123 The transformation to the symmetry adapted basis
1124 \begin_inset Formula $U$
1125 \end_inset
1126
1127  is constructed in a similar way as in the finite case, but because we do
1128  not work with all the (infinite number of) scatterers but only with one
1129  unit cell, additional phase factors
1130 \begin_inset Formula $e^{i\vect k\cdot\vect r_{p}}$
1131 \end_inset
1132
1133  appear in the per-unit-cell group action
1134 \begin_inset Formula $J(g)$
1135 \end_inset
1136
1137 .
1138  This is illustrated in Fig.
1139
1140 \begin_inset CommandInset ref
1141 LatexCommand ref
1142 reference "Phase factor illustration"
1143 plural "false"
1144 caps "false"
1145 noprefix "false"
1146
1147 \end_inset
1148
1149 .
1150 \begin_inset Float figure
1151 placement document
1152 alignment document
1153 wide false
1154 sideways false
1155 status open
1156
1157 \begin_layout Plain Layout
1158
1159 \end_layout
1160
1161 \begin_layout Plain Layout
1162 \begin_inset Caption Standard
1163
1164 \begin_layout Plain Layout
1165 \begin_inset CommandInset label
1166 LatexCommand label
1167 name "Phase factor illustration"
1168
1169 \end_inset
1170
1171
1172 \end_layout
1173
1174 \end_inset
1175
1176
1177 \end_layout
1178
1179 \begin_layout Plain Layout
1180
1181 \end_layout
1182
1183 \end_inset
1184
1185
1186 \end_layout
1187
1188 \begin_layout Standard
1189 More rigorous analysis can be found e.g.
1190  in
1191 \begin_inset CommandInset citation
1192 LatexCommand cite
1193 after "chapters 10–11"
1194 key "dresselhaus_group_2008"
1195 literal "true"
1196
1197 \end_inset
1198
1199 .
1200 \end_layout
1201
1202 \begin_layout Standard
1203 \begin_inset Note Note
1204 status open
1205
1206 \begin_layout Plain Layout
1207 In the group-theoretical terminology, blablabla little groups blabla bla...
1208 \end_layout
1209
1210 \end_inset
1211
1212
1213 \end_layout
1214
1215 \begin_layout Standard
1216 \begin_inset Note Note
1217 status open
1218
1219 \begin_layout Plain Layout
1220 A general overview of utilizing group theory to find lattice modes at high-symme
1221 try points of the Brillouin zone can be found e.g.
1222  in
1223 \begin_inset CommandInset citation
1224 LatexCommand cite
1225 after "chapters 10–11"
1226 key "dresselhaus_group_2008"
1227 literal "true"
1228
1229 \end_inset
1230
1231 ; here we use the same notation.
1232 \end_layout
1233
1234 \begin_layout Plain Layout
1235 We analyse the symmetries of the system in the same VSWF representation
1236  as used in the
1237 \begin_inset Formula $T$
1238 \end_inset
1239
1240 -matrix formalism introduced above.
1241  We are interested in the modes at the
1242 \begin_inset Formula $\Kp$
1243 \end_inset
1244
1245 -point of the hexagonal lattice, which has the
1246 \begin_inset Formula $D_{3h}$
1247 \end_inset
1248
1249  point symmetry.
1250  The six irreducible representations (irreps) of the
1251 \begin_inset Formula $D_{3h}$
1252 \end_inset
1253
1254  group are known and are available in the literature in their explicit forms.
1255  In order to find and classify the modes, we need to find a decomposition
1256  of the lattice mode representation
1257 \begin_inset Formula $\Gamma_{\mathrm{lat.mod.}}=\Gamma^{\mathrm{equiv.}}\otimes\Gamma_{\mathrm{vec.}}$
1258 \end_inset
1259
1260  into the irreps of
1261 \begin_inset Formula $D_{3h}$
1262 \end_inset
1263
1264 .
1265  The equivalence representation
1266 \begin_inset Formula $\Gamma^{\mathrm{equiv.}}$
1267 \end_inset
1268
1269  is the
1270 \begin_inset Formula $E'$
1271 \end_inset
1272
1273  representation as can be deduced from
1274 \begin_inset CommandInset citation
1275 LatexCommand cite
1276 after "eq. (11.19)"
1277 key "dresselhaus_group_2008"
1278 literal "true"
1279
1280 \end_inset
1281
1282 , eq.
1283  (11.19) and the character table for
1284 \begin_inset Formula $D_{3h}$
1285 \end_inset
1286
1287 .
1288
1289 \begin_inset Formula $\Gamma_{\mathrm{vec.}}$
1290 \end_inset
1291
1292  operates on a space spanned by the VSWFs around each nanoparticle in the
1293  unit cell (the effects of point group operations on VSWFs are described
1294  in
1295 \begin_inset CommandInset citation
1296 LatexCommand cite
1297 key "schulz_point-group_1999"
1298 literal "true"
1299
1300 \end_inset
1301
1302 ).
1303  This space can be then decomposed into invariant subspaces of the
1304 \begin_inset Formula $D_{3h}$
1305 \end_inset
1306
1307  using the projectors
1308 \begin_inset Formula $\hat{P}_{ab}^{\left(\Gamma\right)}$
1309 \end_inset
1310
1311  defined by
1312 \begin_inset CommandInset citation
1313 LatexCommand cite
1314 after "eq. (4.28)"
1315 key "dresselhaus_group_2008"
1316 literal "true"
1317
1318 \end_inset
1319
1320 .
1321  This way, we obtain a symmetry adapted basis
1322 \begin_inset Formula $\left\{ \vect b_{\Gamma,r,i}^{\mathrm{s.a.b.}}\right\} $
1323 \end_inset
1324
1325  as linear combinations of VSWFs
1326 \begin_inset Formula $\vswfs lm{p,t}$
1327 \end_inset
1328
1329  around the constituting nanoparticles (labeled
1330 \begin_inset Formula $p$
1331 \end_inset
1332
1333 ),
1334 \begin_inset Formula
1335 \[
1336 \vect b_{\Gamma,r,i}^{\mathrm{s.a.b.}}=\sum_{l,m,p,t}U_{\Gamma,r,i}^{p,t,l,m}\vswfs lm{p,t},
1337 \]
1338
1339 \end_inset
1340
1341 where
1342 \begin_inset Formula $\Gamma$
1343 \end_inset
1344
1345  stands for one of the six different irreps of
1346 \begin_inset Formula $D_{3h}$
1347 \end_inset
1348
1349 ,
1350 \begin_inset Formula $r$
1351 \end_inset
1352
1353  labels the different realisations of the same irrep, and the last index
1354
1355 \begin_inset Formula $i$
1356 \end_inset
1357
1358  going from 1 to
1359 \begin_inset Formula $d_{\Gamma}$
1360 \end_inset
1361
1362  (the dimensionality of
1363 \begin_inset Formula $\Gamma$
1364 \end_inset
1365
1366 ) labels the different partners of the same given irrep.
1367  The number of how many times is each irrep contained in
1368 \begin_inset Formula $\Gamma_{\mathrm{lat.mod.}}$
1369 \end_inset
1370
1371  (i.e.
1372  the range of index
1373 \begin_inset Formula $r$
1374 \end_inset
1375
1376  for given
1377 \begin_inset Formula $\Gamma$
1378 \end_inset
1379
1380 ) depends on the multipole degree cutoff
1381 \begin_inset Formula $l_{\mathrm{max}}$
1382 \end_inset
1383
1384 .
1385 \end_layout
1386
1387 \begin_layout Plain Layout
1388 Each mode at the
1389 \begin_inset Formula $\Kp$
1390 \end_inset
1391
1392 -point shall lie in the irreducible spaces of only one of the six possible
1393  irreps and it can be shown via
1394 \begin_inset CommandInset citation
1395 LatexCommand cite
1396 after "eq. (2.51)"
1397 key "dresselhaus_group_2008"
1398 literal "true"
1399
1400 \end_inset
1401
1402  that, at the
1403 \begin_inset Formula $\Kp$
1404 \end_inset
1405
1406 -point, the matrix
1407 \begin_inset Formula $M\left(\omega,\vect k\right)$
1408 \end_inset
1409
1410  defined above takes a block-diagonal form in the symmetry-adapted basis,
1411
1412 \begin_inset Formula
1413 \[
1414 M\left(\omega,\vect K\right)_{\Gamma,r,i;\Gamma',r',j}^{\mathrm{s.a.b.}}=\frac{\delta_{\Gamma\Gamma'}\delta_{ij}}{d_{\Gamma}}\sum_{q}M\left(\omega,\vect K\right)_{\Gamma,r,q;\Gamma',r',q}^{\mathrm{s.a.b.}}.
1415 \]
1416
1417 \end_inset
1418
1419 This enables us to decompose the matrix according to the irreps and to solve
1420  the singular value problem in each irrep separately, as done in Fig.
1421
1422 \begin_inset CommandInset ref
1423 LatexCommand ref
1424 reference "smfig:dispersions"
1425
1426 \end_inset
1427
1428 (a).
1429 \end_layout
1430
1431 \end_inset
1432
1433
1434 \end_layout
1435
1436 \end_body
1437 \end_document