notes/Kambe_Delta_n.lyx

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  79
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  81
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  83 \begin_inset FormulaMacro
  84 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
  85 \end_inset
  86
  87
  88 \begin_inset Formula
  89 \begin{equation}
  90 \Delta_{n}(x,z)\equiv\int_{x}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}-n}e^{-t+\frac{z^{2}}{4t}}\ud t\label{eq:Delta definition}
  91 \end{equation}
  92
  93 \end_inset
  94
  95
  96 \end_layout
  97
  98 \begin_layout Standard
  99 Integration per partes:
 100 \end_layout
 101
 102 \begin_layout Standard
 103 \begin_inset Formula
 104 \[
 105 \int t^{-\frac{1}{2}-n}\ud t=\frac{t^{\frac{1}{2}-n}}{\frac{1}{2}-n};
 106 \]
 107
 108 \end_inset
 109
 110
 111 \begin_inset Formula
 112 \[
 113 \frac{\ud}{\ud t}e^{-t+\frac{z^{2}}{4t}}=\left(-1-\frac{z^{2}}{4t^{2}}\right)e^{-t+\frac{z^{2}}{4t}}
 114 \]
 115
 116 \end_inset
 117
 118
 119 \end_layout
 120
 121 \begin_layout Standard
 122 \begin_inset Formula
 123 \begin{align*}
 124 \left(\frac{1}{2}-n\right)\Delta_{n} & =-x^{\frac{1}{2}-n}e^{-x+\frac{z^{2}}{4x}}+\int_{x}^{\infty}t^{\frac{1}{2}-n}e^{-t+\frac{z^{2}}{4t}}\ud t+\frac{z^{2}}{4}\int_{x}^{\infty}t^{\frac{-3}{2}-n}e^{-t+\frac{z^{2}}{4t}}\ud t\\
 125  & =-x^{\frac{1}{2}-n}e^{-x+\frac{z^{2}}{4x}}+\Delta_{n-1}+\frac{z^{2}}{4}\Delta_{n+1},
 126 \end{align*}
 127
 128 \end_inset
 129
 130
 131 \begin_inset Formula
 132 \begin{equation}
 133 \Delta_{n+1}=\frac{4}{z^{2}}\left(\left(\frac{1}{2}-n\right)\Delta_{n}-\Delta_{n-1}+x^{\frac{1}{2}-n}e^{-x+\frac{z^{2}}{4x}}\right).\label{eq:Delta recurrence}
 134 \end{equation}
 135
 136 \end_inset
 137
 138 There are obviously wrong signs in Kambe II, (A 3.3).
 139 \end_layout
 140
 141 \begin_layout Standard
 142 Eq.
 143
 144 \begin_inset CommandInset ref
 145 LatexCommand eqref
 146 reference "eq:Delta recurrence"
 147 plural "false"
 148 caps "false"
 149 noprefix "false"
 150
 151 \end_inset
 152
 153  is obviously unsuitable for numerical computation when
 154 \begin_inset Formula $z$
 155 \end_inset
 156
 157 approaches 0.
 158  However, the definition
 159 \begin_inset CommandInset ref
 160 LatexCommand eqref
 161 reference "eq:Delta definition"
 162 plural "false"
 163 caps "false"
 164 noprefix "false"
 165
 166 \end_inset
 167
 168  suggests that the function should be analytical around
 169 \begin_inset Formula $z=0$
 170 \end_inset
 171
 172 .
 173  If
 174 \begin_inset Formula $z=0$
 175 \end_inset
 176
 177 , one has (by definition of incomplete Г function)
 178 \begin_inset Formula
 179 \begin{equation}
 180 \Delta_{n}(x,0)=\Gamma\left(\frac{1}{2}-n,x\right).\label{eq:Delta:z = 0}
 181 \end{equation}
 182
 183 \end_inset
 184
 185 For convenience, label
 186 \begin_inset Formula $w=z^{2}/4$
 187 \end_inset
 188
 189  and
 190 \begin_inset Formula
 191 \[
 192 \Delta'_{n}\left(x,w\right)\equiv\int_{x}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}-n}e^{-t+\frac{w}{t}}\ud t.
 193 \]
 194
 195 \end_inset
 196
 197  Differentiating by parameter
 198 \begin_inset Formula $w$
 199 \end_inset
 200
 201  (which should be fine as long as the integration contour does not go through
 202  zero) gives
 203 \begin_inset Formula
 204 \[
 205 \frac{\partial\Delta'_{n}\left(x,w\right)}{\partial w}=\Delta'_{n+1}\left(x,w\right),
 206 \]
 207
 208 \end_inset
 209
 210 so by recurrence
 211 \begin_inset Formula
 212 \[
 213 \frac{\partial^{k}}{\partial w^{k}}\Delta'_{n}\left(x,w\right)=\Delta'_{n+k}\left(x,w\right).
 214 \]
 215
 216 \end_inset
 217
 218 Together with
 219 \begin_inset CommandInset ref
 220 LatexCommand eqref
 221 reference "eq:Delta:z = 0"
 222 plural "false"
 223 caps "false"
 224 noprefix "false"
 225
 226 \end_inset
 227
 228 , this gives an expansion around
 229 \begin_inset Formula $w=0$
 230 \end_inset
 231
 232 :
 233 \begin_inset Formula
 234 \[
 235 \Delta_{n}'\left(x,w\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\Gamma\left(\frac{1}{2}-n-k,x\right)\frac{w^{k}}{k!},
 236 \]
 237
 238 \end_inset
 239
 240
 241 \begin_inset Formula
 242 \[
 243 \Delta_{n}\left(x,z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\Gamma\left(\frac{1}{2}-n-k,x\right)\frac{\left(z/2\right)^{2k}}{k!}.
 244 \]
 245
 246 \end_inset
 247
 248 The big negative first arguments in incomplete
 249 \begin_inset Formula $\Gamma$
 250 \end_inset
 251
 252  functions should be good (at least I think so, CHECKME), as well as the
 253
 254 \begin_inset Formula $1/k!$
 255 \end_inset
 256
 257  factor (of course).
 258  I am not sure what the convergence radius is, but for
 259 \begin_inset Formula $\left|z\right|<2$
 260 \end_inset
 261
 262  there seems to be absolutely no problem in using this formula.
 263 \end_layout
 264
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