notes/cylinderT.lyx

   1 #LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
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  91
  92 \end_inset
  93
  94
  95 \end_layout
  96
  97 \begin_layout Title
  98 T-matrix of an axially symmetric particle
  99 \end_layout
 100
 101 \begin_layout Standard
 102 So we have
 103 \begin_inset CommandInset citation
 104 LatexCommand cite
 105 after "(9.12)"
 106 key "kristensson_scattering_2016"
 107 literal "false"
 108
 109 \end_inset
 110
 111 :
 112 \begin_inset Formula
 113 \begin{align*}
 114 R_{nn'} & =ik^{2}\iint_{S_{s}}\left(\frac{\eta}{\eta_{1}}\wfkcreg_{n}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{\overline{n'}}\left(k_{1}\vect r\right)+\wfkcreg_{\overline{n}}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{n'}\left(k_{1}\vect r\right)\right)\cdot\uvec{\nu}\,\ud S,\\
 115 Q_{nn'} & =ik^{2}\iint_{S_{s}}\left(\frac{\eta}{\eta_{1}}\wfkcout_{n}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{\overline{n'}}\left(k_{1}\vect r\right)+\wfkcout_{\overline{n}}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{n'}\left(k_{1}\vect r\right)\right)\cdot\uvec{\nu}\,\ud S,
 116 \end{align*}
 117
 118 \end_inset
 119
 120 where
 121 \begin_inset Formula $S_{s}$
 122 \end_inset
 123
 124  is the scatterer surface,
 125 \begin_inset Formula $\uvec{\nu}$
 126 \end_inset
 127
 128  is the outwards pointing unit normal to it, and the subscript
 129 \begin_inset Formula $_{1}$
 130 \end_inset
 131
 132  refers to the particle inside; then
 133 \begin_inset Formula
 134 \begin{equation}
 135 T_{nn'}=-\sum_{n''}R_{nn''}Q_{n''n}^{-1}.\label{eq:T matrix from R and Q}
 136 \end{equation}
 137
 138 \end_inset
 139
 140
 141 \end_layout
 142
 143 \begin_layout Standard
 144 Let us consider the case with full rotational symmetry around the
 145 \begin_inset Formula $z$
 146 \end_inset
 147
 148  axis and parametrise the integral in terms of polar angle
 149 \begin_inset Formula $\theta$
 150 \end_inset
 151
 152 .
 153  Let
 154 \begin_inset Formula $\beta$
 155 \end_inset
 156
 157  be the angle between the surface normal
 158 \begin_inset Formula $\uvec{\nu}$
 159 \end_inset
 160
 161  and the coordinate radial direction
 162 \begin_inset Formula $\uvec r$
 163 \end_inset
 164
 165 .
 166  The infinitesimal surface area element is then
 167 \begin_inset Formula
 168 \[
 169 \ud S\left(\theta\right)=\frac{\left(r\left(\theta\right)\right)^{2}\sin\theta}{\cos\beta\left(\theta\right)}\ud\theta\,\ud\phi
 170 \]
 171
 172 \end_inset
 173
 174 and the surface normal in local coordinates
 175 \begin_inset Formula
 176 \[
 177 \uvec{\nu}\left(\theta\right)=\uvec r\cos\beta\left(\theta\right)+\uvec{\theta}\sin\beta\left(\theta\right),
 178 \]
 179
 180 \end_inset
 181
 182 which also sets a convention for the sign of
 183 \begin_inset Formula $\beta$
 184 \end_inset
 185
 186 .
 187 \end_layout
 188
 189 \begin_layout Standard
 190 For fully axially symmetric particles the integrals vanish for
 191 \begin_inset Formula $m\ne-m'$
 192 \end_inset
 193
 194  due to the
 195 \begin_inset Formula $e^{i\left(m+m'\right)}$
 196 \end_inset
 197
 198  asimuthal factor in the integrand.
 199  One then has
 200 \begin_inset Formula
 201 \begin{equation}
 202 T_{nn'}=-\sum_{n''}R'_{nn''}Q'_{n''n}^{-1}\label{eq:T-matrix from reduced R and Q}
 203 \end{equation}
 204
 205 \end_inset
 206
 207 where
 208 \begin_inset Formula
 209 \begin{align*}
 210 R'_{nn'} & =\int_{0}^{\pi}\left(\frac{\eta}{\eta_{1}}\wfkcreg_{n}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{\overline{n'}}\left(k_{1}\vect r\right)+\wfkcreg_{\overline{n}}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{n'}\left(k_{1}\vect r\right)\right)\cdot\left(\uvec r\cos\beta\left(\theta\right)+\uvec{\theta}\sin\beta\left(\theta\right)\right)\frac{\left(r\left(\theta\right)\right)^{2}\sin\theta}{\cos\beta\left(\theta\right)}\ud\theta,\\
 211 Q'_{nn'} & =\int_{0}^{\pi}\left(\frac{\eta}{\eta_{1}}\wfkcreg_{n}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{\overline{n'}}\left(k_{1}\vect r\right)+\wfkcreg_{\overline{n}}\left(k\vect r\right)\times\wfkcreg_{n'}\left(k_{1}\vect r\right)\right)\cdot\left(\uvec r\cos\beta\left(\theta\right)+\uvec{\theta}\sin\beta\left(\theta\right)\right)\frac{\left(r\left(\theta\right)\right)^{2}\sin\theta}{\cos\beta\left(\theta\right)}\ud\theta
 212 \end{align*}
 213
 214 \end_inset
 215
 216 where
 217 \begin_inset Formula $\vect r=\vect r\left(\theta\right)=\left(r\left(\theta\right),\theta,0\right)$
 218 \end_inset
 219
 220 .
 221  Matrices
 222 \begin_inset Formula $Q',R'$
 223 \end_inset
 224
 225  differ from the original
 226 \begin_inset Formula $R,Q$
 227 \end_inset
 228
 229  matrices in
 230 \begin_inset CommandInset ref
 231 LatexCommand eqref
 232 reference "eq:T matrix from R and Q"
 233 plural "false"
 234 caps "false"
 235 noprefix "false"
 236
 237 \end_inset
 238
 239  by a factor of
 240 \begin_inset Formula $2\pi ik^{2}$
 241 \end_inset
 242
 243 , but this cancels out in the matrix product.
 244
 245 \end_layout
 246
 247 \begin_layout Standard
 248 \begin_inset Float figure
 249 placement document
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 254
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 263
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 266
 267 \begin_layout Plain Layout
 268 \begin_inset Caption Standard
 269
 270 \begin_layout Plain Layout
 271 Parametrisation of cylindrical particle surface.
 272 \end_layout
 273
 274 \end_inset
 275
 276
 277 \end_layout
 278
 279 \begin_layout Plain Layout
 280
 281 \end_layout
 282
 283 \end_inset
 284
 285
 286 \end_layout
 287
 288 \begin_layout Standard
 289 For cylindrical particle of radius
 290 \begin_inset Formula $R$
 291 \end_inset
 292
 293  and height
 294 \begin_inset Formula $h$
 295 \end_inset
 296
 297 , we can divide the parametrisation into three intervals
 298 \begin_inset Formula $\left(0,\theta_{1}\right),\left(\theta_{1},\theta_{2}\right),\left(\theta_{2},\pi\right)$
 299 \end_inset
 300
 301  where
 302 \begin_inset Formula $\theta_{1}=\tan^{-1}\left(2R/h\right),\theta_{2}=\pi-\tan^{-1}\left(2R/h\right)$
 303 \end_inset
 304
 305 :
 306 \end_layout
 307
 308 \begin_layout Enumerate
 309 In the first section,
 310 \begin_inset Formula $0<\theta<\theta_{1}$
 311 \end_inset
 312
 313 ,
 314 \begin_inset Formula
 315 \begin{align*}
 316 r & =\frac{h}{2\cos\theta},\\
 317 \beta & =-\theta.
 318 \end{align*}
 319
 320 \end_inset
 321
 322
 323 \end_layout
 324
 325 \begin_layout Enumerate
 326 In the second section,
 327 \begin_inset Formula $\theta_{1}<\theta<\theta_{2}$
 328 \end_inset
 329
 330 ,
 331 \begin_inset Formula
 332 \begin{align*}
 333 r & =\frac{R}{\cos\left(\theta-\pi/2\right)}=\frac{R}{\sin\theta},\\
 334 \beta & =-\theta+\pi/2.
 335 \end{align*}
 336
 337 \end_inset
 338
 339
 340 \end_layout
 341
 342 \begin_layout Enumerate
 343 In the third section,
 344 \begin_inset Formula $\theta_{2}<\theta<\pi$
 345 \end_inset
 346
 347 ,
 348 \begin_inset Formula
 349 \begin{align*}
 350 r & =\frac{h}{2\cos\left(\theta-\pi\right)}=-\frac{h}{2\cos\theta},\\
 351 \beta & =-\theta+\pi.
 352 \end{align*}
 353
 354 \end_inset
 355
 356
 357 \end_layout
 358
 359 \begin_layout Standard
 360 Let's write VSWFs in terms of the power-normalised
 361 \begin_inset Formula $p,\pi,\tau$
 362 \end_inset
 363
 364  funs:
 365 \begin_inset Formula
 366 \begin{align*}
 367 \vsh_{1lm} & =\left(\uvec{\theta}\pi_{lm}-\uvec{\phi}\tau_{lm}\right)e^{im\phi}\\
 368 \vsh_{2lm} & =\left(\uvec{\theta}\tau_{lm}+\uvec{\phi}\pi_{lm}\right)e^{im\phi}\\
 369 \vsh_{3lm} & =\sqrt{l\left(l+1\right)}p_{lm}e^{im\theta}
 370 \end{align*}
 371
 372 \end_inset
 373
 374
 375 \begin_inset Formula
 376 \begin{align*}
 377 \vect y_{\kappa1lm} & =\underbrace{h_{l}^{\kappa}e^{im\phi}}_{c_{\kappa lm}^{1}}\left(\uvec{\theta}\pi_{lm}-\uvec{\phi}\tau_{lm}\right)\\
 378 \vect y_{\kappa2lm} & =\frac{1}{kr}e^{im\phi}\left(\frac{\ud\left(krh_{l}^{\kappa}\right)}{\ud\left(kr\right)}\left(\uvec{\theta}\tau_{lm}+\uvec{\phi}\pi_{lm}\right)+h_{l}^{\kappa}l\left(l+1\right)\uvec rp_{lm}\right)\\
 379  & =c_{\kappa lm}^{2}\left(\uvec{\theta}\tau_{lm}+\uvec{\phi}\pi_{lm}\right)+c_{\kappa lm}^{3}\uvec rp_{lm}
 380 \end{align*}
 381
 382 \end_inset
 383
 384 The triple products than are (reminder:
 385 \begin_inset Formula $\uvec{\nu}\left(\theta\right)=\uvec r\cos\beta\left(\theta\right)+\uvec{\theta}\sin\beta\left(\theta\right))$
 386 \end_inset
 387
 388 :
 389 \begin_inset Formula
 390 \begin{align*}
 391 \left(\vect y_{\kappa1lm}\times\vect v_{1l'm'}\right)\cdot\uvec{\nu} & =\cos\beta c_{\kappa lm}^{1}c_{\mathrm{R}l'm'}^{1}\left(-\pi_{lm}\tau_{l'm'}+\tau_{lm}\pi_{l'm'}\right)\\
 392 \left(\vect y_{\kappa1lm}\times\vect v_{2l'm'}\right)\cdot\uvec{\nu} & =\cos\beta c_{\kappa lm}^{1}c_{\mathrm{R}l'm'}^{2}\left(\pi_{lm}\pi_{l'm'}+\tau_{lm}\tau_{l'm'}\right)\\
 393  & +\sin\beta c_{\kappa lm}^{1}c_{\mathrm{R}l'm'}^{3}\left(-\tau_{lm}p_{l'm'}\right)\\
 394 \left(\vect y_{\kappa2lm}\times\vect v_{1l'm'}\right)\cdot\uvec{\nu} & =\cos\beta c_{\kappa lm}^{2}c_{\mathrm{R}l'm'}^{1}\left(-\pi_{lm}\pi_{l'm'}-\tau_{lm}\tau_{l'm'}\right)\\
 395  & +\sin\beta c_{\kappa lm}^{3}c_{\mathrm{R}l'm'}^{1}\left(p_{lm}\tau_{l'm'}\right)\\
 396 \left(\vect y_{\kappa2lm}\times\vect v_{2l'm'}\right)\cdot\uvec{\nu} & =\cos\beta c_{\kappa lm}^{2}c_{\mathrm{R}l'm'}^{2}\left(\tau_{lm}\pi_{l'm'}-\pi_{lm}\tau_{l'm'}\right)\\
 397  & -\sin\beta c_{\kappa lm}^{3}c_{\mathrm{R}l'm'}^{2}p_{lm}\pi_{l'm'}\\
 398  & +\sin\beta c_{\kappa lm}^{2}c_{\mathrm{R}l'm'}^{3}\pi_{lm}p_{l'm'}
 399 \end{align*}
 400
 401 \end_inset
 402
 403
 404 \end_layout
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